第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省雅安市雅安中學高二上學期入學檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數為奇數”，事件2表示“骰子向上的點數為偶數”，事件3表示“骰子向上的點數大于3”，事件4表示“骰子向上的點數小于3”則(

)A.事件1與事件3互斥 B.事件1與事件2互為對立事件

C.事件2與事件3互斥 D.事件3與事件4互為對立事件2.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40％，現采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三個隨機數為一組，代表三次投籃結果，經隨機模擬產生了如下12組隨機數：137，960，197，925，271，815，952，683，829，436，730，257，據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(

)A.14 B.38 C.5123.從裝有若干個紅球和白球(除顏色外其余均相同)的黑色布袋中，隨機不放回地摸球兩次，每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為215，“兩個球都是白球”的概率為13，則“兩個球顏色不同”的概率為(

)A.

415 B.715 C.8154.在空間直角坐標系O?xyz中，點M(2,?3,1)關于原點對稱的點的坐標為(

)A.(?2,?3,?1) B.(2,3,?1) C.(?2,3,1) D.(?2,3,?1)5.甲、乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨立解出的概率為(

)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.66.已知空間向量a=1,n,2，b=?2,1,2，若2a?b與A.532 B.3527.某同學進行投籃訓練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別p，12，23，該同學站在這三個不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為38，則p的值為A.14 B.13 C.238.甲?乙?丙三位同學進行乒乓球比賽，約定賽制如下：(1)累計負兩場者被淘汰；(2)比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；(3)每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；(4)當一人被淘汰后，剩余兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽甲?乙首先比賽，丙首輪輪空，設每場比賽雙方獲勝概率都為12，則丙最終獲勝的概率為(

)A.516 B.716 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.不透明的袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中3個紅球、2個黃球.記A為事件“從中任取1個球是紅球”，B為事件“在有放回隨機抽樣中，第二次取出1個球是紅球”，則(

)A.PA=35 B.PB=12

C.事件A與B10.已知事件A，B，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，則(

)A.如果B?A，那么P(AB)=0.3

B.如果B?A，那么P(A∪B)=0.4

C.如果A與B相互獨立，那么P(A∪B)=0.7

D.如果A與B相互獨立，那么P(11.一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個5位的數字

A=a1a2a3a4aA.A的所有實驗結果構成的樣本空間中共有32個樣本點

B.若A的各位數字都是等可能地取值為0或1，則A=11100的概率大于A=00011的概率

C.若A的各位數字都是等可能地取值為0或1，則A中各位數字之和是4的概率為532

D.若a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現0的概率為13，出現1的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A,B,C,D四點共面且任意三點不共線，平面ABCD外一點P，滿足PD=?2PA+5PB+λPC，則13.隨著阿根廷隊的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據足球比賽規則，兩支球隊先進行90分鐘常規賽.若比分相同，則進行30分鐘加時賽；如果在加時賽比分依舊相同，則進入5球點球大賽.若甲、乙兩隊在常規賽與加時賽中得分均相同，則甲、乙兩隊輪流進行5輪點球射門，進球得1分，不進球不得分.假設甲隊每次進球的概率均為0.8，乙隊每次進球的概率均為0.5，且在前兩輪點球中，乙隊領先一球，已知每輪點球大賽結果相互獨立，則最終甲隊獲勝的概率為

．14.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述為：任一正整數x，如果是奇數就乘以3再加1，如果是偶數就除以2，反復計算，最終都將會得到數字1.例如：給出正整數5，則進行這種反復運算的過程為5→16→8→4→2→1，即按照這種運算規律進行5次運算后得到1.若從正整數6，7，8，9，10中任取2個數按照上述運算規律進行運算，則運算次數均為奇數的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)經調查某市三個地區存在嚴重的環境污染，嚴重影響本地區人員的生活．相關部門立即要求務必加強環境治理，通過三個地區所有人員的努力，在一年后，環境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環保的滿意程度，開展了一次問卷調查，并對三個地區進行分層抽樣，共抽取40名市民進行詢問打分，將最終得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調查分數的中位數；(2)若分數在區間[60,70)的市民視為對環保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機抽出兩位市民做進一步調查，求抽出的兩位市民來自不同打分區間的概率．16.(本小題12分)甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)完游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)設(i,j)分別表示甲、乙抽到的牌的數字，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況；(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數字比3大的概率是多少？(3)甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認為此游戲是否公平，說明你的理由．17.(本小題12分)杭州2022年第19屆亞運會(T?e?19t??Asian?Games?Hangz?ou?2022)將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設了電子競技項目．與傳統的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組．勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發現一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會．近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制．假設四支隊伍分別為A，B，C，D，其中A對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為12.最初分組時AB同組，(1)若p=23，在淘汰賽賽制下，A、(2)分別計算兩種賽制下A獲得冠軍的概率(用p表示)，并據此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質疑的“對強者不公平”？18.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．(1)求證：PA//平面EDB；(2)求證：PB⊥平面EFD；(3)求平面CPB與平面PBD

的

夾角的大小．19.(本小題12分)在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為p10<p1<1，收到0的概率為1?p1；發送1時，收到0的概率為p20<p2<1，收到1的概率為1?p2.現有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼(例如，若收到1，則譯碼為1(1)已知p1①若采用單次傳輸方案，重復發送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發送0,0,1，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數字之和為2”相互獨立．(2)若發送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求p2的取值范圍．

參考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.?2

13.0.304

14.110或0.

115.解：(1)由題意可得50.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020解得a=0.040，由0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35,0.35+0.06×5=0.65，可得此次問卷調查分數的中位數在75,80上，設為x，則0.35+0.06x?75=0.5，解得所以此次問卷調查分數的中位數為77.5(分)；(2)60,65的市民有0.010×5×40=2人，記為a，b，65,70的市民有0.020×5×40=4人，記為1，2，3，4，則從中抽取兩人的基本事件有：ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15種，其中兩人來自不同的組的基本事件有8種，則所求概率為815

16.解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用字母a表示，紅桃2，紅桃3，紅桃4分別用2，3，4表示)，可得基本事件的空間為：{(2,3)、(2,4)、(2,a)、(3,2)、(3,4)、(3,a)、(4,2)、(4,3)、(4,a)、(a,2)、(a,3)、(a,4)}，共12種不同情況，(2)解：由題意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的數字大于3的概率為23(3)解：根據題意，甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(a,2)、(a,3)，共有5種情況，所以甲勝的概率p1=5因為512

17.解：(1)記A，C拿到冠軍分別為事件M，N，

淘汰賽賽制下，A只需要連贏兩場即可拿到冠軍，

因此P(M)=23×23=49，

對于C想拿到冠軍，首先得戰勝D，然后戰勝A，B中的勝者，

因此P(N)=12×23×13+12×13×12=736．

(2)記兩種賽制下A獲得冠軍的概率分別為p1，p2，則p1=p2，

而雙敗賽制下，A獲得冠軍有三種可能性：?①直接連贏三局;?②從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽18.(1)解：側棱PD⊥底面ABCD，而AD，DC?底面ABCD，故PD⊥AD，PD⊥DC，

底面ABCD是正方形，故AD⊥DC，

故以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設

DC=1

．依題意得

A1,0,0

，

B1,1,0

，

P0,0,1

，

所以

PA=1,0,?1

，

DB=1,1,0

，設平面EDB的一個法向量為

m=(x則有

DB?m=x取

m=(1,?1,1)

，則

PA?因為

PA?

平面EDB，因此

PA/?/

平面EDB．(2)解：依題意得

PB=1,1,?1因為

PB?DE所以

PB⊥ED

．由已知

EF⊥PB

，且

EF∩DE=E

，EF，ED?平面EFD，所以

PB⊥

平面EFD．(3)解：依題意得

C0,1,0

，且

CB=1,0,0

，

設平面CPB的一個法向量為

n=(x則

CB?