第03講分組法和并項法求數列前n項和

考法呈現

弘考法一：分組法求數列前n項和

［例題分析

［例1］已知數列5｝滿足號+||+…+(冶(neN*).

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)在｛冊｝相鄰兩項中間插入這兩項的等差中項，求所得新數列｛6n｝的前2〃項和72n.

【答案】(1)%=351(>16用)

(2)7'2n=f(3"-l)

【分析】(1)￡+墨+…+$=N*),可得n22時，■+墨+…+|^r=*，兩式相減，可得斯=

3”i(n22),檢驗的即可得答案;

(2)設數列｛%｝滿足7=吟膽=2X3"T,｛aj的前n項和為Sn,｛%｝的前n項和為灑,則T2n=&+S”,

根據等比數列求和公式，代入計算，即可得答案.

【詳解】⑴因為,+￡+…+S=((neN*)①,

所以九22時，岸+墨+…+簫=?②，

①一②得：瑞=］一空=/即％=37(踐22),

又n=l時，年=%所以的=1也滿足上式，

故｛%｝的通項公式為冊=3n-1(neN*).

(2)設數列｛0｝滿足c”=主產=2x3f

記｛%｝的前幾項和為Sn，｛%｝的前幾項和為Rn，則72n=Rn+Sn.

n

由等比數列的求和公式得：S,=S=:(3n—1),Rn=2Sn=3-1.

所以T2n=Rn+Sn=|(3"l).

即新數列｛3｝的前2n項和72n=|(3八—1).

滿分秘籍

若數列｛潟的通項公式為4=當土如且｛aj,｛劃為等差或等比數列，可

采用分組分別求和法求數列｛5｝的前A項和.

變式訓練

【變式1-1］已知正項數列｛an｝的前兀項和為5幾，滿足an=2戶-1.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

(2)若"=ancos等，求數列｛0｝的前3n+1項和T^+r

【答案】(1)%=2九—1

⑵弓+1=三

【分析】(1)利用和與項的關系可得(an+a,l-i)(an—an-i-2)=0,由an+an_1*0可得an—%-1=2,

再利用等差數列的通項公式即可求解；

(2)根據cos等的周期性，利用分組求和的方法即可求解.

2

【詳解】⑴an=2y/~S^—1=>(an+l)=4Sn,

當九22時，(冊_i+1)2=4S九_i，兩式子作差可得

2a

碎-?n-i+n-20n_1=4an=成一碎_1-23n+On_1)=0=(冊+%_i)(Qn一-2)=0,

又a九+。九—1W0,所以a九—a九—1—2=0a九—a九—i=2,

可得數列｛%｝為公差為2的等差數列，

當九二1時，的=2y[s[—1今%—2y/a[+1=0=>—I)2=0=%=1,

所以，數列｛冊｝的通項公式為斯=%+(幾一l)d=2n-1.

(2)bn=QnCOS等=(2n—1)COS等,73n+1=瓦+勾+/+b3n一2+b3n-l+b3n+力3九+1'

r=ix(-|)3x(-|+5x1+…+(6n-5)x(一；I)+(6n-1)x1

3n+1++(6n—3)x

+(6n+1)x￡

n(l+6n—5)n(3+6n—3)n(5+6n—1)

---------------------xI+---------------------x+x1+(6n+1)x

222

3n23n22?o

---------Fn---------1-o3n”+2n—3cn—1二—1

2222

所以，數列｛%｝的前3n+1項和73n+l=-1

【變式1-2】在等比數列｛冊｝中，已知助=4,⑥=32.

⑴求數列｛冊｝的通項公式;

n

(2)設與=(-l)-log2an,求數列｛%｝的前幾項和Sn.

【答案】(1知=2n

—手1，n為奇數

(2凡=

],n為偶數

【分析】(1)利用等比數列的通項公式得到關于ai，q的方程組，解之即可;

(2)先由(1)得bn=(-l)n-n,再分類討論n為奇數與n為偶數兩種情況，利用并項求和法即可得解.

【詳解】(1)因為在等比數列｛aj中,a2=4,a5=32,設其公比為q,

嘉二〉解得a1=2

所以

.q=2

所以數列｛aj的通項公式a。=2x2-1=2n.

(2)由(1)得bn=(-l)n?log2an=(-l)n?n,

所以數列｛bn｝的前n項和Sn=-1+2-3+4-54-6-7+8+-+(-l)n?n,

n—1n+1

當n為奇數時，S=-1+2-3+4-5+6-7+84--—n=--------n=---------：

n22

當n為偶數時，Sn=-1+2—3+4—5+6—7+8+…+n=5；

-等,n為奇數

所以Sn='

：,n為偶數

【變式1-3］在等比數列｛an｝中,a7=8a4,且軻，。3—4,。4-12成等差數列.

(1)求｛%｝的通項公式；

n

(2)設"=(-l)log2an,數列｛bj的前n項和為〃，求滿足I限I=20的人的值.

【答案】⑴a0=2叫

(2)40或37.

【分析】(1)利用等比數列的通項公式，結合等差中項的意義求出公比及首項作答.

(2)由(1)的結論求出味，再分奇偶求和作答.

【詳解】(1)設｛aj的公比為q,由27=824,得a4q3=8a4，解得q=2,

由5a2,a3—4,—12成等差數列，得2(S3—4)=ga2+-12,即2(4a1—4)=a1+8al—12,解得a1=4,

所以數列｛aQ的通項公式是an=4x211-1=2n+1.

nn21112n

(2)由(1)知，bn=(-l)log2an=(-l)(n+l),+b2n=(-I)--2n+(-l)(2n+1)=1,

當k為偶數時，Tk=⑸+b2)+(b3+b4)+-+(bk_i+bk)=p令人|=T=20,得k=40；

當k為奇數時，Tk=Tk+i—bk+i=等一(k+2)=—警，令|Tkl=^=20,得k=37,

所以k=40或37.

【變式1-4】Sn為數列｛冊｝的前7i項和，已知6Sn=碎+3an-4,且冊＞0.

(1)求數列｛%｝的通項公式an；

2345678910

(2)數列出?｝依次為：的,3,a2l3,3,a3l3,3,3,a4,3,3,3,3-,規律是在以和依+i中間插入k(keN*)

項，所有插入的項構成以3為首項，3為公比的等比數列，求數列｛%｝的前100項的和.

【答案】(l)an=3n+l

(2號

【分析】(1)利用項與和的關系即可求解；

(2)先確定數列｛、｝的前100項中含有｛aj的前13項，含有｛3口中的前87項，再利用分組求和的方法即可

求解.

【詳解】(1)當n=l時，6sl=6al=a,+3al—4,解得a1=4(a]=—1舍去),

由6Sn=a,+3an—4得nN2時,6Sn_t=區_1)2+3an_r-4,

aaa

兩式相減得6an=aR-a?-i+^n-3an_^,(an+an-i)(n—n-i_3)=0,

因為an>0,所以an-an_i=3,

所以相口是等差數列，首項為4,公差為3,

所以Hn=4+3(n-1)=3n+1；

(2)由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<100,

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104

因此數列｛bn｝的前100項中含有｛an｝的前13項，含有｛3口中的前87項，

匚工ndc4,13x12c.3(1-387)388+569

所求和為S=4X13+——X3+\)=―--.

為考法二：并項法求數列前n項和

懸，例題分析

【例2］已知數列｛an｝的前n項和無滿足2Sn=(n+l)an,且即=1.

(1)求｛冊｝的通項公式;

n

(2)若“=(一l)a?,求數列｛bj的前？I項和7n.

【答案】(1月=n

(號\n為偶數

⑵Tn=l-爭,n為奇數

【分析】(1)根據a。=Sn-Sn_1(n>2)作差得到(n-l)an=na-i，即可得到曰=署，從而得至U｛半｝是常

數數列，即可得解；

(2)由(1)可得bn=(-l)nxn2,對n分奇、偶兩種情況討論，利用并項求和法計算可得.

【詳解】(1)因為2Sn=(n+l)an，當n22時25-1=皿-1，

所以2Sn—2Sn_i=(n+l)an-nan_i，即2an=(n+l)an-nan_x,

所以(n-l)an=nan_v

所以￡=普，即｛?｝是常數數列，又ai=l，所以4=1，則an=n.

(2)因為bn=(-l)na2=(—l)nXn2,

當n為偶數時，Tn=-l2+22-32+42+?-?+[-(n-I)2]+n2

=(22-l2)+(42-32)++[n2-(n-l)2]

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+■■,+[n—(n-1)][n+(n—1)]

=2+l+4+3+…+n+(n-1)=

當n為奇數時，T；=一l2+22-32+42+…+(n-l)2-n2

=(22-l2)+(42-32)+…+[(n-I)2-(n-2)2]-n2

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+,,,+[(n—1)—(n—2)][(n—1)+(n—2)]—n2

=2+1+4+3+?■■+(n-2)+(n-1)-n2=羋-'-M

警,n為偶數

綜上可得兀=

-4,n為奇數

滿分秘籍

“并項求和”一般包括兩類問題：①同一數列的相鄰兩項（三項或多項）

并成“大項”之后，各個“大項”又呈現出有規律特征，進而通過“大項”的

求和得出結果.②兩個數列對應項的和（差）并成“大項”，通過求“大項”的

和得出結果.

變式訓練

【變式2-1］已知｛%｝是等差數列,的=1,d不0,且的,a2,成等比數列.

⑴求數列｛%｝的通項公式;

9

Q)令bn=CLn(n+l)記％=-歷+82—+…+(-1)”九，求S葭.

【答案】（l）an=n

為奇數

(2)S=

n華,n為偶數

【分析】(1)根據等比中項的性質及等差數列通項公式得到方程，求出d,即可求出通項；

(2)由(1)可得bn=n(n+l),在分n為偶數、奇數兩種情況討論，利用并項求和法計算可得.

【詳解】(1)因為｛aj是等差數列，a1=l,dWO,且a2,成等比數列，

所以=^29即(1+d>=1x(1+3d),解得d=1或d=0(舍去)，

所以an=l+(n—l)xl=n.

(2)由題意an=n知，bn=an(n+1)=n(n+1),

n

所以Sn=-bi+b2—b3+???(—l)bn

=-1x2+2x3-3x44-4x5——+(—l)nn(n+1).

當n為偶數時，

Sn=(b2—b。+(b4—bg)+,,,+(bn-bn-i)=2x2+2x4+…+2xn

=2(2+4+…+n)=2[2x2+3目)x2]=

'7222

當n為奇數時，

(n+i)2；2(n+i)_(n+i)(n+2)=-吟.

Sn=Sn+i—bn+1

-為奇數

綜上Sn=

牛,n為偶數

【變式2-2］記外為數列｛冊｝的前n項和，已知的=1,且滿足n%+i-(n+l)an+1.

(1)證明：數列｛an｝為等差數歹(J；

(2)設0=小濘cosn兀，求數列｛bj的前2n—1項和72-1.

【答案】(1)證明見解析

(2)T2n_!=-n-2

【分析】(1)方法1：由皿葉1=(n+l)an+l可得筑一￡=版扁，由累加法求出場戶，再證明數列｛aj

+

為等差數列；方法2：由nan+1=(n+l)an+1可得黑+^=7?可證得｛乎+§為常數數列，求出耳｝,

再證明數列｛aj為等差數列；方法3：由初葉1=8+1/11+1可得1^11+1=(11+1/11+1,兩式相減可明

數列｛aj為等差數列；

(2)由⑴知Sn=島所以bn=(—l)n(n+2),方法1：由并項求和法求出數列｛、｝的前2n-1項和T?2;

方法2：由錯位相減求和求出數列｛bj的前2n-1項和T2-1.

【詳解】（1）方法1：

na=(n+l)a+1,皿1=-+1

叱n+1'，1n1n+1nn(n+l)

...n22時，^=^-+-1-,

nn—1n(n—lj

累加得：啊=?+1_工=吧，

n1nn

an=2n—1,n=1時也成立，an=2n—1.

an—an.i=2,.??{an}是等差數列

方法2：

:na^=(n+l)a+1,電斗=-H-

n+i、7nnn+lnn(n+l)

,an+l?1_3n_|_工

n+ln+lnn

.?.伊+4為常數數列，.?.&+□=?+1=2,

InnJnn1

an=2n-1,an-an_x=2,{aj是等差數列.

方法3：

當n22時，(n-l)an=nan^+1①，

nan+1=(n+l)an+1②，

②-①可得：nan+1-(n-l)an=(n+l)an-nan_x

2an=an_1+an+1,

{aj是等差數列，因為a】=1,a2=3,an=2n-1.

(2)由(1)知Sn=n2,所以bn=(—l)n(n+2),

方法1:并項求和

當n為偶數時，

n

bn+bn+1=(-l)(n+2)+(-l)n+i(n+3)=-1,

T2n-i=bx+(b2+b3)+…+(b2n-2+bzn-i)=-3+(n-1)x(-1)=-n—2

方法2：錯位相減求和

T2n_1=—3+4-5+6+……+(-l)2n-i(2n+1)①

(―1)丁2-1=3-4+5-6+……+(-l)2n(2n+1)②

①-②：2T2n-i=-3+1—1+1—1+........+1+(―1)—(2n+1)=-4—2n

???T2n-i-n—2

【變式2-3］已知｛aj是各項均為正數的數列，Sn為｛“；｝的前〃項和，且何，Sn,0n-2成等差數歹人

(1)求｛an｝的通項公式;

(2)已知bn=(-1T時,求數列｛%｝的前n項和7n.

【答案】(1島=(n+I)2

-n2-3n—4

,n為奇數

⑵Tn=

n2+3n

n為偶數

2，

【分析】(1)由恒，sn,an—2成等差數列，得2Sn=佝;+an—2,n=l時得炳=2；nN2時求得相一

佝五=1，可知｛何｝是首項為2,公差為1的等差數列，利用等差數列的通項公式可求得相，進而求得an；

(2)由(1)知bn=(—l)n(n+l)2,分n是奇數、偶數可得Tn.

【詳解】⑴由相，sn,2成等差數列，得2Sn=V^+an—2,①

當n=1時，+3i-2,

/.aT-751—2=0,得洞^=2(07=-1舍去)，

aa

當nN2時，2Sn_i=Vn-1+n-i-②

①一②得，V^n-l+Hn—3n-1f

??V^n+-\/an-l=an-an-l=(V^n+Van-l)(V^n—Van-1)，

又+V^n—1H°，,?-V^n—1=1，

，｛相｝是首項為2,公差為1的等差數列，

-^5^=2+n—l=n+l,

故an=(n+l)2；

(2)由(1)知bn=(-l)n(n+1)2,

當n是奇數時，Tn=-22+32-42+52-62+72--------(n-I)2+n2-(n+I)2

=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+-??+[n-(n-l)](n+n-1)-(n+l)2

5+2n—1n—1

=5+9+13+…+(2n—1)—(n+1)9—-------------x--------(n+1)9

_—n2—3n—4

―2'

22222222

當n是偶數時，Tn=-2+3-4+5-6+7--+n-(n+l)

=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+…+[(n+1)-n](n+n+1)

5+2n+lnn2+3n

=5+9+13+…+(2n+1)=X-=

222

n2—3n—4

,n為奇數

綜上冗=■2

n2+3n

n為偶數

、~~2~，

【變式2-4】設等比數列｛冊｝的首項為的=2,公比為q(q為正整數)，且滿足3a3是8al與的等差中項;

數列｛%｝滿足2712一(t+6n)兀+|垢=0(teR，n€N*).

(1)求數列｛冊｝的通項公式；

(2)試確定t的值，使得數列｛%｝為等差數列；

(3)當｛%｝為等差數列時，對每個正整數匕在以與在+i之間插入為個2,得到一個新數列｛cj設〃是數列｛品｝

的前幾項和，試求Boo.

【答案】⑴an=2n

(2)t=3

(3)2226

【分析】(1)由已知可求出q的值，從而可求數列｛aQ的通項公式；

(2)由已知可得,=空常，根據數列｛、｝為等差數列，得到bi+b3=2b2,再求出t的值即可；

n-

(3)根據題意可知｛.｝的前100項，由90個2,ai，a2，a3,…,a/aio構成，再利用分組求和法求解即可.

【詳解】(1)由題意，可得6a3=8a1+as，所以6q2=8+q3

解得q2=4或q2=2(舍)，則q=2,

又a1=2,所以an=2n.

(2)由2n2-(t+bjn+jbn=0,得味=

2n--

所以b]=2t—4,b2=16—4t,bg=12—2t,

因為數列｛bj為等差數列，所以bi+b3=2b2,解得t=3,

所以當t=3時，bn=2n,由bn+1-bn=2(常數)知此時數列｛bn｝為等差數列.

(3)因為bi=2,所以a1與a2之間插入2個2,

b2=4,所以a2與a?之間插入4個2,

b3=6,所以a?與之間插入6個2,

則｛7｝的前100項,由90個2,21*2*3,…,a5a］。構成,

所以Two=(+a+…+a)+2x90=2(二)+180=2226.

ai2101—2

真題專練

1.己知｛an｝為等差數列，0=fn—6'"”，，記5?1,〃分別為數歹11｛冊｝，｛九｝的前〃項和，S4=32,73=16.

I2a”,n為偶數

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)證明：當n>5時，Tn>Sn.

【答案】⑴an=2n+3；

(2)證明見解析.

【分析】(1)設等差數列｛aj的公差為d,用ai，d表示Sn及幾，即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的結論求出Sn，bn，再分奇偶結合分組求和法求出Tn，并與作差比較作答；方法

2,利用(1)的結論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出Tn，并與Sn作差比較作答.

【詳解】(1)設等差數列｛aj的公差為d,而*:1,kCN*,

(n—ZK

則bi=a1—6,b2=2a2=2al+2d,b?=a?-6=a1+2d-6,

1

于是4rt6dB,解得a1=5,d=2,an=a1+(n-l)d=2n+3,

(I3—十4cl—1Z—lo

所以數列｛aj的通項公式是an=2n+3.

(2)方法1:由(1)知，Sn=M5+jn+3)=n2+4n,6=f，kCN*,

ZI4tllTO,11-乙K

當n為偶數時，bn_i+bn=2(n-l)-3+4n+6=6n+l,

_13+(6n+l)J1_37

n2+n，

TL—2—,2-22

當n>5時，Tn-Sn=(|n2+(n)—(n2+4n)=Tn(n—l)>0,因此又>Sn，

2

當n為奇數時，Tn=Tn+1-bn+1=|(n+1)2+_(n+1)-[4(n+1)+6]=|n+|n-5,

35

Tsz2

--(-n+-n

nnk221(n+2)(n-5)>0,因止匕Tn>Sn，

所以當n>5時，Tn>Sn.

n(5+n+3)2

方法2：由⑴知，Sn=^=n+4n,'=F)一加=2院1次eN*,

n211(4n+6,n=2k

當n為偶數時,Tn=(bl+b3+…+b—i)+(b2+b4+…+bn)=-1+2(『)-3,n+i4+：n+6,￡_|n2+gn,

22

當n>5時，又一Sn=(|n+|n)—(n+4n)=|n(n—1)>0,因此又>Sn,

當n為奇數時，若nN3,則幾=(尻+b?+…+bj+(b?++…+b.i)=一"；"一3.等+14+4(；T)+6.

n—1

—

=|n2+|n-5,顯然—=bi=-1滿足上式，因此當n為奇數時，-5,

當n>5時，Tn-Sn=(|n2+qn-5)-(n2+4n)=/n+2)(n-5)>0,因此冗>Sn，

所以當n>5時，Tn>Sn.

2.已知數列｛an｝和｛bn｝滿足:的=1,On+bn=an+1,%-%=4(2為常數，且2左1).

(1)證明：數列｛九｝是等比數列；

(2)若當n=3和九=4時，數列｛%｝的前n項和S”取得最大值，求Sn的表達式.

【答案】(1)證明見解析；

⑵Sn*-32—).

【分析】（1）根據題意消元可得，，+1=2幾，即可根據定義證出；

（2）由（1）知味=（1—入）?2—1,從而得出an=（1-入）?2―1+入,根據鄰項變號法可知，a4=0,進而

求出入，得到an的表達式，求出Sn.

【詳解】⑴因為an-bn=入，BPbn=an-A,

=

所以b]—a1—A—1—入W0,而bn+iHn+l—入=Hn+bn—入=Qn—入）+bn—2bn,

所以bnHO,即售=2,即數列｛bn｝是以1-入為首項，2為公比的等比數列.

（2）由（1）知bn=（l—入）—2-1,所以an=bn+入=（1一入）?2-1+-

因為當n=3和n=4時，數列｛aj的前n項和Sn取得最大值，所以=0,

即8（1-入）+入=0,解得入=*

所以an智三x2nT.

經檢驗，當nW3時，an>0,當n25時，an<0,所以Sn先增后減,

在n=3和n=4時取得最大值，符合題意.

818

12

-n--++-n11-2°81,?

777-x---=-n——(2nn-1).

71-27717

3.已知數列｛an｝的刖71項和為%,滿足S"=2(an-1).等差數列｛bn"兩足時=a2,b8=a3.

⑴求｛an｝,｛%｝的通項公式；

(2)將數列｛冊｝滿足(在①②中任選一個條件)的第m項0m取出，并按原順序組成一個新的數列｛%｝，

求｛%｝的前20項和Ro.①=勿，②=3久+1,其中keN*.

n

【答案】(l)an=2,bn=n

20

(2)T20^^(4-l)

【分析】(l)根據Sn=2(an-1)利用Sn-S-1=a。可得an=2%利用等差數列定義可求得bn=n；

(2)選擇①②都可以得到新組成的數列｛%｝是原來數列的偶數項，利用等比數列前n項和公式即可得T20=

|(420-1).

【詳解】(1)因為數列聞｝滿足Sn=2區-1)①,

當n=l時，ai=2(ai-l),解得a1=2；

當n22時，S-i=2(an_i-1)2,②

②-①得an=2(an-1)-2(an_1-1),即an=2an_i

因a1=2,所以an>0,從而3-=2)

an-l

所以數列｛aj是以a】=2為首項，q=2為公比的等比數列.

所以an=aiqnT=2n.

因為等差數列｛bj滿足b4=a2,b8=a3.所以b4=4,b8=8.

設｛bj公差為d,則比+3d=4,%+7d=8,解得bi=l,d=l.

所以bn=bl+(n-l)d=n.

所以數列｛aj的通項公式為an=2n,數列｛bj的通項公式為bn=n；

(2)若選①log4am=bk,則有log42m=k,m=2k,k€N*.

所以收戶取出的項就是原數列的偶數項，

所以｛7｝是以4為首項，4為公比的等比數列，

所以12。=處產=式42。—1);

若選②am=3bk+l,則有2m=3k+1,

因為m€N*,k€N*

所以當m=2n時，對應的k=卓匚=色嬰匚，

由二項展開式可知(3+l)n-1=C°-3n+-311-1+……+C『i?3】+Cb3°-1

=3(Cg-+Cj-3n-+……+CT】)能被3整除，

此時k為整數，滿足題意；

當m=2n—1時，對應的k=2^2.=(3T)：J,

由二項展開式可知

(3—1產-1-1=1-1?32n-l.(-1)0+C/1?32-2,(-1)1+……+嗡-「31?(―l)2n+C矣W?3。

?(一1產-1-1

=3?「1?32-2.(-1)0+*.32-3.(_1)1+……+嘲_].(一8—2

所以(3-1)2-1一I除以3的余數是1,不能整除，即此時k不是整數，不滿足題意；

所以｛aQ取出的項就是原數列的偶數項，

所以｛.｝是以4為首項，4為公比的等比數列，

所以丁20=處產=家420_1).

4.已知數列｛an｝的前幾項和為S“,的=l,a2=2,(2n+3)Sn+1=(n+2)Sn+(n+l)Sn+2(n6N*).

(1)求數列｛冊｝的通項公式；

(2)已知數歹U｛log2臂號的前n項和為7\,Cn=[T?](取整函數區表示不超過x的整數，如[2.1]=2),求數列｛0｝

的前100項的和Mio。-

【答案】(l)an=n

(2)486

【分析】(1)由an=Sn-Sn_i求出皿=坐，利用累乘法求出=n;(2)利用累加法求出兀，根據取整

an+ln+1

函數[x]求出Cn，進而求和.

【詳解】⑴???(2n+3)Sn+1=(n+2)Sn+(n+l)Sn+2,

(n+l)(Sn+2—Sn+1)=(n+2)(Sn+1—Sn),

即(n+l)an+2=(n+2)an+1,=鬻,

an+ln+l

??.當門23時，上=」)，又型=2適合上式，所以當n22時，二=」7，

an-in—1aian-in—1

所以當n22時，an=工.?.一.?…?31=—?—?—…―-x2x1-n,

an_ian_2an_3a±n—1n—2n—32

當n=l時，ax=1,符合上式，???an=n.

(2)???a=n,Alog—=log(n+1)-logn,

n2an22

Tn=(log22-log2l)+(log23-log22)+…+(log2(n+1)-log2n)=log2(n+1),

則G=[Tn]=[log2(n+1)],.1-M100=[log22]+[log23]+…+[log2101],

[log22]=[log23]=1,[log24]=[log25]=

[log26]=[log27]=2,—,[log264]=-?-=[log2101]=6,

25

M100=2xl+2x2+---+2x5+38x6=486.

5.已知各項均不為零的數列｛aj滿足的=L其前?項和記為方,且金圣1=2n2,n￡N*,n>2,數列仍“｝

an

?兩足b九—a九+。九+1、，KEN?

(1)求。2，Si。？；

(2)求數列｛(1+3")〃｝的前n項和〃.

【答案】(1間=6,a3=4,10507

f28n—1

㈠n-12n.3n+1+2n2+4n+4n>2

【分析】(1)首先利用數列an與Sn的關系，求得Sn+SnT=2n2,再賦值求a2,23,再利用nN2時,an=Sn-

Sn-1，即可求得S102;

(2)由(1)可知，Cn=(1+3n)bn=1+3琮Z：:;)n22'再利用分組轉化，以及錯位相減法求和.

【詳解】(1)因為蹉—S-i=2n2an=2n2(Sn—Sn-i)，n>2,又數列｛aj各項均不為零，所以

2

Sn+Sn-i=2n.當n=2時，S2+S1=a1+a2+a[=8,所以a2=6

當n=3時，S3+S2=2(a1+a2)+a3=18,所以a?=4,

11

???LS：：2：2；22,兩式相減可得+an=4n+2,n>2,

(Sn+1+Sn=2(n+iy,n>1

?*-S102=3i+a2)+(a3+a4)H----F(aioi+^102)=1+6+4(3101)+2x50

=7+4x過產X50+100=10507；

⑵由⑴可知，b—jL

設Cn=(1+3n)bn=[(]+3n儲n+2),n>2,

當n=l時，數列｛.｝的前n項和為28,

當n22,數列｛0｝的前n項和為，

3n

Tn=28+(1+32)(4X2+2)+(1+3)(4X3+2)+...+(1+3)(4n+2)

=28+10+14+...+(4n+2)+[3^x10+3^x14+...+3n,(4n+2)]

設T'n=32x10+33X14+...+3nx(4n+2)

34nn+1

3Tn=3X10+3X14+...+3X(4n-2)+3X(4n+2),

兩式相減得-2Tn=90+4(33+34+...+3n)-3n+1X(4n+2),

-2Tn=90+4x27(：,)-3n+1*(和+2),

n+1

解得：Tn=-18+2n-3,

10+14+…+(4n+2)=(nT)O；+4n+2)=g+6)(n-1)=2n2+4n-6,

所以幾=28+2n2+4n-6-18+2n-3n+1=2n-3n+1+2n2+4n+4,n>2,

所以Tn=｛2n.3n+i+22+^+4)'n>2,

6.設數列｛3J的前n項和Sn滿足Sn=2冊一的，且的，a2-1,口3-3成等比數列.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)設七%+冊｝是首項為1,公差為2的等差數列，求數列｛0｝的通項公式與前幾項和7\.

111

[答案](l)an=2-

n2n+1

(2)bn=2(2n-1)-2,Tn=2n-2+2

【分析】(1)先根據an=Sn-Sn-1得到an=2an_i，利用a1，a2—1,a3-3成等比數列，可得a1=1,可

判斷數列｛aj是首項為1,公比為2的等比數列，即可得an=2-1.

(2)由an=2n-^^bn=2(2n—l)—2n,利用分組求和法可得.

【詳解】(1)由已知Sn=2an-a。有an=Sn-Sn-1=2an-2an_i(n22),

BPan=2an-i(n>2),從而a?=2ai，a3=2a2=4a4

又因為a°a2-1,a3-3成等比數列，即(a2-1)2=a乂a?-3),

所以(2a1一I)2=ai(4ai-3),解得a1=1,

所以，數列｛aj是首項為1,公比為2的等比數列，

故an=211-1.

(2)因為《bn+aj是首項為1,公差為2的等差數列，所以?bn+an=l+2(n-l),

所以數列｛bn｝的通項公式為bn=2(2n-l)-2n,

12n

Tn=2[1+3+???+(2n-1)]-(2+2++2)

n[l+(2n-l)]2(1-2n)

=L--------------------------

21-2

=2n2-2n+1+2.

7.7知正項數列｛冊｝滿足的=1,a"[一成=8n.

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)記0=an-sin管,兀),求數列也｝的前2023項的和.

【答案】(l)an=2n—1

(2)2023

【分析】(1)由遞推關系式，結合累加法求得晶的通項公式，分析可得｛aj的通項公式；

(2)根據詠的關系式，結合并項求和即可得｛、｝的前2023項的和.

【詳解】(1)對任意的nEN*,因為aMi—a^=8n,

當nN2時，=(a^-a，[)+…+(a^-a？)+a,

=8(n-1)+…+8x1+1=8[1+2+3+…+(n-1)]+1=8X+1=(2n-I)2,

因為an>0,故an=2n-1.當n=1時，a1=1符合an=2n-1,

所以an=2n-l,neN*.

n+1

(2)bn=an-sin管=(-l)(2n-1),

所以當k€N*時，b2k+b2k+i=—(4k—1)4-4k+1=2,

故bi+b2+b3H---Fb2023=E+(b2+b3)+(b4+b5)H---F(b2022+^2023)=1+2x1011=2023.

8.已知等比數列｛a九｝的公比q>L前幾項和為Sn,滿足：S3=13,aj=3a6.

(1)求｛%J的通項公式；

⑵設數，求數歹/｝的前弱項和a

【答案】(l)an=3-1

n

9—1o2

(2)T2n=^+n+n

【分析】(1)法一：利用等比數列的通項公式和前n項和公式得到關于基本量a1,q的方程組，解之即可求

得an=3-1；

法二：利用等比數列的性質和前n項和公式依次轉化得到關于a1,a3的方程組，解之即可求得a”=3"-1；

(2)分類討論，的通項公式，注意當n為偶數時，n-1為奇數，從而利用分組求和法可求得S2n.

【詳解】(1)法一：

因為｛aj是公比q>1的等比數列，

所以由佗13，得13,卜式l+q+q?=13,

描=3a6[(aiq)=3aiq\[a】q=3

兩式相除得匕史正=拼整理得3q2—10q+3=0,即(3q—l)(q—3)=0,

解得q=3或q=g,又q>l,所以q=3,故ai=；=l,

所以an=aiq—1=3-1

法二：因為｛aj是公比q>1的等比數列，

+a2+a?=13，a]+a3=10Hi4-a=10

所以由3

a2a6=3a632=9a'=9=

<:1(舍去)，

故q2=￡=9,則q=3,所以an=a^nT=3。-t

n-1

(2)當n為奇數時，bn=an=3,

當n為偶數時，bn=，,1+n=3n-2+n,

所以T2n=bi+b2+b3+b4+…+b2n-i+b2n

=(bi+b3+—Fb2n_i)+(b2+b4H------Fb2n)

=(3°+32+--+32n-2)+(3°+2+32+4+…+32n-2+2n)

=2(3°+32+…+32n-2)+(2+4+…+2n)

01-(32)nn(2n+2)

1-322

9n—1.2I

=-------Fnz+n.

4

9.已知等差數列&｝與等比數列也｝的前幾項和分別為:5.,且滿足:%=3,等=竺萼，餐?=2一層_

Snn+Z4

71—1

⑴求數列｛aJ｛%｝的通項公式；

(n為奇數、