3.2.2函數(shù)的奇偶性（精練）1．（2023·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，的定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，A是；對于B，的定義域為R，，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不是；對于C，的定義域為R，，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不是；對于D，的定義域為R，，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不是.故選：A2．（2023·高一課時練習(xí)）下列關(guān)于奇函數(shù)與偶函數(shù)的敘述中：①奇函數(shù)的圖象必通過原點；②偶函數(shù)的圖象必與y軸相交；③奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)必是.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定過原點，如，故①錯；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定與軸相交，如，故②錯；根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，其定義域必關(guān)于原點對稱，故③對；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)不一定是，如，故④錯；故選：B3．（2023·高一課時練習(xí)）已知，則等于（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【【解析】函數(shù)的定義域為R，令函數(shù)，顯然，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，因此，即，而，所以.故選：C4（2023·河北）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，則，又因為是偶函數(shù)，所以.故選：B.5．（2022秋·河南）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時則在R上的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，所以，則，結(jié)合已知解析式知：.故選：D6．（2023·浙江）已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6【答案】C【解析】因為是上的偶函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時，，所以.故選：C.7．（2022秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)且，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】由，令，則，，故是奇函數(shù)，所以，所以．故選:A．8．（2023北京）已知是定義在上的周期為3的偶函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由是定義在上的周期為3的偶函數(shù)，則，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.9．（2023·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因為當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，故選：A.10．（2022秋·安徽馬鞍山）若定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為為的奇函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，或，或，由，，可得；由，，可得；所以的解集為.故選：D.11．（2022秋·江西撫州）下列四個函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，是偶函數(shù)，當(dāng)時是增函數(shù)；對于B，是偶函數(shù)，當(dāng)時是增函數(shù)；對于C，，不是偶函數(shù)；對于D，設(shè)，則，，當(dāng)時，，，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，是對稱軸，開口向上的拋物線，是減函數(shù)；故選：D.12．（2023·浙江）（多選）已知定義域為的函數(shù)滿足：，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．【答案】ABD【解析】因為，，取可得，又，所以，A對；取可得，因為，所以，所以為偶函數(shù)，C錯，B對；取可得，又，所以，D對．故選：ABD12．（2022秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，且是單調(diào)函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為定義在上的函數(shù)滿足，所以是奇函數(shù)，從而，所以A正確；因為是單調(diào)函數(shù)，且，所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以B正確；取，則滿足題干的所有條件，此時，所以C錯誤；由于，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以D正確.故選：ABD.13．（2023秋·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足，則（

）A． B．為奇函數(shù) C．是增函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】AB【解析】對于A項，令得：，解得：，故A項正確；對于B項，令得：，由A項知，，所以，所以為奇函數(shù)，故B項正確；對于C項，當(dāng)時，，，滿足，但是減函數(shù).故C項錯誤；對于D項，當(dāng)時，，，滿足，但不是周期函數(shù).故D項錯誤.故選：AB.14．（2023春·云南普洱·高一校考階段練習(xí)）（多選）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】因為滿足，所以是偶函數(shù)；因為滿足，所以是偶函數(shù)，因為滿足，所以是奇函數(shù)；因為滿足，所以是偶函數(shù)；故選：ABD．15．（2023春·云南普洱·高一校考階段練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A滿足；是奇函數(shù)，故B不滿足；是偶函數(shù)，但在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C不滿足；是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D滿足，故選：AD16．（2023·新疆）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的解析式為_________．【答案】【解析】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當(dāng)時，，設(shè)，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：17．（2023·高一課時練習(xí)）己知偶函數(shù)的定義域為，且在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集是__________．【答案】【解析】因為是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，又，所以，當(dāng)時，不等式即為，解得；當(dāng)時，不等式即為，解得，此時，故答案為：，18．（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，的最大值為，最小值為，則__________．【答案】4【解析】的定義域是，，所以為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，則最小值為，所以，所以．故答案為：19．（2022秋·高一單元測試）若定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，有，則下列說法中：①為奇函數(shù)；②為偶函數(shù)；③為奇函數(shù)；④為偶函數(shù).一定正確的是_________________.【答案】③【解析】對任意，有，令，得，令，，得，整理得，故為奇函數(shù)，無法判斷的奇偶性.故答案為：③.20．（2022春·北京·高一校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集是______.【答案】【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，解得.又，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，解得，故答案為：.21．（2023·江蘇蘇州）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由題知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，，，符合題意，當(dāng)時，，，，不符合題意，當(dāng)時，，，，符合題意，當(dāng)時，，，，不符合題意，綜上的解集為故答案為：22．（2022秋·廣東佛山）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)的解析式為_________；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為_________【答案】【解析】令，即，則；由題意可得：.故答案為：；23．（2022秋·廣東肇慶）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義法證明；【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)f（x）在（－1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析【解析】（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)證明如下：函數(shù)f（x）的定義域為，.所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù).（2）f（x）在上為單調(diào)遞增函數(shù)證明如下：設(shè)－1＜x1＜x2＜1，則.因為－1＜x1＜x2＜1，，所以，則.故f（x）在上為單調(diào)遞增函數(shù).24．（2022春·海南省直轄縣級單位·高一海南二中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性并證明；(3)在(2)的條件下，若實數(shù)滿足，求的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)單調(diào)遞增，證明見解析；(3)．【解析】（1）是奇函數(shù)，證明如下：∵f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且，∴函數(shù)是奇函數(shù)；（2）f(x)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，∵，∴，∴，即，∴f(x)在上單調(diào)遞增；（3）由(2)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，解之得，∴實數(shù)的取值范圍是．25．（2023山東）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)畫出的圖象；(3)求該函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)圖象見解析(3)【解析】（1）當(dāng)時，，故，因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，所以，綜上，；（2）當(dāng)時，，故此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，畫出函數(shù)圖象如下：（3）由（2）可知看出函數(shù)的值域為.26．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)對任意，恒有成立，且．(1)求證：是奇函數(shù)；(2)求的值；(3)若時，，試求在上的最大值和最小值．【答案】(1)證明見解析(2)，(3)最大值為2，最小值為【解析】（1）定義域為，令，得，再令，得，所以，故是奇函數(shù)；（2）因為，故令得，即，又是奇函數(shù)，所以，令得，令得故；（3）不妨設(shè)，中，令得，，因為，又時，，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減，故．27．（2023春·湖北宜昌·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，判斷的奇偶性（不用證明）．(2)當(dāng)時，先用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，再求函數(shù)在上的最小值．(3)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)奇函數(shù)(2)證明見解析，最小值為(3)【解析】（1）為奇函數(shù)．理由如下：，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以是奇函數(shù)．（2）當(dāng)時，，，且，所以，因為，所以，，，所以，即，于是有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為．（3）若對任意，恒成立，則所以問題轉(zhuǎn)化為a大于函數(shù)在上的最大值，，，由二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以最大值為，即.所以實數(shù)a的取值范圍是．28．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).(1)求實數(shù)m的值；(2)利用定義證明在上的單調(diào)性；(3)若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)-1.(2)證明見解析.(3).【解析】（1）因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，，.（2）由（1）可知，設(shè)，，，，，，，在上的單調(diào)遞增.（3）,,又因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上的單調(diào)遞增.，當(dāng)，當(dāng)，求實數(shù)a的取值范圍是.29．（2022秋·云南西雙版納·高一西雙版納州第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，有.(1)求，的值；(2)判斷的單調(diào)性（不需要寫證明過程）；(3)若對，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)(3)【解析】1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)∴，即∴.

又因為，即，所以，經(jīng)檢驗得符合題意.綜上所述，.（2）由（1）知，，，所以，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù).（3）由（1）可知，，則因為當(dāng)時，有，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)所以，

所以，綜上所述，，由（2）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，由于對恒成立，則，，即，于是有，解得或，因此，實數(shù)的取值范圍是.1．（2023四川省達(dá)州）是定義域為R的奇函數(shù)，，，則（

）A．3 B． C．6 D．0【答案】B【解析】由知，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，，所以.故選：B2．（2023春·海南省直轄縣級單位·高一嘉積中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B．2 C．0 D．5【答案】D【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以的周期為6，所以，故選：D3．（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，若函數(shù)滿足，則有，則有，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，所以，因為，所以，因為當(dāng)時，，所以，即.故選：A.4．（2023春·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的滿足且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，且，因為，所以，不等式兩邊同除以得，，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，定義域為，又是定義在上的奇函數(shù)，故，所以為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因為，所以，當(dāng)時，變形得到，即，解得，所以解集為，當(dāng)時，變形得到，即，解得，所以解集為，所以不等式的解集為.故選：D5．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以有，因為為偶函數(shù)，所以有，，所以函數(shù)的周期為，由，由，由，，，故選：A6．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)【答案】AD【解析】選項A：設(shè)，因為是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，，所以為偶函數(shù)，故A正確；選項B：，因為是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；選項C：設(shè)，因為，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；選項D：設(shè)，因為，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域為，，因為是不恒為0的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是奇函數(shù)，，因為是不恒為0的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)，故D正確，故選：AD.7．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）（多選）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的周期是4 B．直線是函數(shù)的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．【答案】ABD【解析】對于A，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即的圖象關(guān)于直線對稱，因為為奇函數(shù)，所以，則，所以，所以是周期為4的函數(shù)，故A正確；因為關(guān)于直線對稱，且為奇函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱，又是周期為4的函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱，因為，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；由是定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，可得當(dāng)時，，令，則，所以，此時單調(diào)遞增，因為，所以在上的單調(diào)性相當(dāng)于在上的單調(diào)性，故此時遞增，故C錯誤；，所以，故D正確.故選：ABD.8．（2022秋·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中m為常數(shù).(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求m的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)在（1）的條件下，對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)n的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】（1）函數(shù)，定義域為R，若函數(shù)是奇函數(shù)，，，，解得.（2）在R上單調(diào)遞減，證明如下，任取，則，由，有，，，所以，即，故在R上單調(diào)遞減；（3）由（1）（2）可知，函數(shù)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，，即，得，即，令，則，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)，即時，，解得當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，，解得與矛盾，所以無解；綜上，實數(shù)n的取值范圍為.9．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）若函數(shù)在時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【答案】(1)(2)(3)和【解析】（1）解：當(dāng)時，則，由奇函數(shù)的定義可得，所以，.（2）解：設(shè)，因為函數(shù)在上遞減，且在上的值域為，所以，，解得，所以，函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.（3）解：在時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，其中且，，所以，，則，只考慮或，①當(dāng)時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，則，所以，，所以，，由（2）知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，所以，，所以，.，因為在上單調(diào)遞減，則，解得，所以，在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.綜上所述，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.10．（2023秋·廣東揭陽）已知是定義在上的奇函數(shù)，其中、，且.(1)求、的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，