第十四章整式的乘法與因式分解專題六6種數學思想在整式乘除中的運用建議用時：30分鐘類型一整體思想1.

已知：

m

，

n

滿足

m

＋

n

＝4，

mn

＝－2，則(1－

m

)(1－

n

)＝

，

m2＋

n2

＝

?.2.

已知

x

－

y

＝2，

y

－

z

＝2，

x

＋

z

＝14，則

x2－

y2的值為

?.3.

已知

x2－2

x

＝1，則(

x

－1)(3

x

＋1)－(

x

＋1)2的值為

?.－5

20

32

0

1234567891011121314151617184.

提供示例支架閱讀例題的解答過程，并解答(1)(2)兩個問題.例：計算(

a

－2

b

＋3)(

a

＋2

b

－3).解：原式＝[

a

－(2

b

－3)][

a

＋(2

b

－3)]①＝

a2－(2

b

－3)2②＝

a2－4

b2＋12

b

－9.③(1)例題求解過程中，利用了整體思想，其中①→②的變形依據是

?

，②→③的變形依據是

；(填整式乘法公式的名稱)(2)用此方法計算：(

a

＋2

x

－

y

－

b

)(

a

－2

x

＋

y

－

b

).解：原式＝[(

a

－

b

)＋(2

x

－

y

)][(

a

－

b

)－(2

x

－

y

)]＝(

a

－

b

)2－(2

x

－

y

)2＝

a2－2

ab

＋

b2－4

x2＋4

xy

－

y2.平方差公

式

完全平方公式

123456789101112131415161718類型二轉化思想5.

若

a

＝8131，

b

＝2741，

c

＝961，則

a

，

b

，

c

從小到大的排序為

?.6.

若一多項式

M

除以2

x2－3，得到的商式為7

x

－4，則這個多項式

M

為

?

?.c

＜

b

＜

a

14

x3－8

x2

－21

x

＋12

123456789101112131415161718

3

－2

7

12345678910111213141516171810.

已知42

x

×52

x＋1－42

x＋1×52

x

＝203

x－4，求

x

的值.解：42

x

×52

x＋1－42

x＋1×52

x

＝5×(42

x

×52

x

)－4×(42

x

×52

x

)＝202

x

.∵42

x

×52

x＋1－42

x＋1×52

x

＝203

x－4，∴2

x

＝3

x

－4，∴

x

＝4.123456789101112131415161718類型四分類討論思想11.

(1)若(－2

x

＋

ay

)(－

ay

－2

x

)＝4

x2－9

y2，則

a

的值為

?；(2)若4

m2－(

a

＋2)

mn

＋9

n2是完全平方式，則

a

的值為

?.±3

－14或10

123456789101112131415161718

解：①∵1的任何次冪都為1，∴2

x

－3＝1，解得

x

＝2，此時(2

x

－3)

x＋3＝1；②∵－1的任何偶次冪都為1，∴2

x

－3＝－1且

x

＋3為偶數，解得

x

＝1，此時(2

x

－3)

x＋3＝1；③∵任何不是0的數的零次冪都為1，∴

x

＋3＝0且2

x

－3≠0，解得

x

＝－3，此時(2

x

－3)

x＋3＝1.綜上所述，

x

的值為2或1或－3.123456789101112131415161718類型五數形結合思想13.

如圖，在邊長為

a

＋

b

的正方形的四個角上，分別剪去直角邊長分別為

a

，

b

的

四個直角三角形，則剩余部分面積即圖中的陰影部分的面積是(

C

)A.

a2－

b2B.

2

ab

C.

a2＋

b2D.

4

ab

第13題圖C12345678910111213141516171814.

有兩個正方形

A

，

B

，現將

B

放在

A

的內部得圖1，將

A

，

B

并列放置后構造新

的正方形得圖2.若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為1和14，則圖2所示的大正方形

的面積為

?.第14題圖29

12345678910111213141516171815.

從邊長為

a

的正方形中剪掉一個邊長為

b

的正方形(如圖1)，然后將剩余部分拼

成一個長方形(如圖2).(1)上述操作能驗證的等式是

?；A.

a2－2

ab

＋

b2＝(

a

－

b

)2B.

a2－

b2＝(

a

＋

b

)(

a

－

b

)C.

a2＋

ab

＝

a

(

a

＋

b

)B

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718類型六類比歸納思想16.

觀察等式22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，…，用含自然數

n

的等式表示它的

規律為

?.(

n

＋1)2－

n2＝2

n

＋1(

n

≥1且

n

為正整數)

12345678910111213141516171817.

觀察下列各式的規律：(

a

－

b

)(

a

＋

b

)＝

a2－

b2；(

a

－

b

)(

a2＋

ab

＋

b2)＝

a3－

b3；(

a

－

b

)(

a3＋

a2

b

＋

ab2＋

b3)＝

a4－

b4；…則(

a

－

b

)(

a2

023＋

a2

022

b

＋…＋

ab2

022＋

b2

023)＝

?.a2

024－

b2

024

12345678910111213141516171818.

新運算型閱讀理解題閱讀下列材料：

(1)計算以下各對數的值：log24＝

，log216＝

，log264＝

?；2

4

6

123456789101112131415161718(3)由(2)的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？log

aM

＋log

aN

＝

(

a

＞0且

a

≠1，

M

＞0，

N

＞0)；解：(2)4×16＝64，log24＋log216＝log264.log

a

(

MN

)