兩點之間的距離公式2024.8教學目標：教學重點：教學難點：兩點間距離公式．1.掌握平面上兩點間的距離公式；2.會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題；用坐標法解決平面幾何問題．情境導入

在一條筆直的公路同側有兩個大型小區，現在計劃在公路上的某

處建一個公交站點，以方便居住在這兩個小區的住戶出行.

（1）如何確定這兩個小區的距離？

（2）如何選址能使公交站點到兩

個小區的距離之和最小？

知識點

兩點間的距離公式設點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2兩點間的距離公式：OxyP1(x1，y1)P2(x2，y2)法一：法二：構造直角三角形根據勾股定理也可得|P1P2|＝OxyPOxyP1(x1，y1)P2(x2，y2)OxyP1(x1，y1)P2(x2，y2)檢測：1.（2024·許昌質檢）已知A（1，2），B（a，6），且｜AB｜＝5則a＝

?.|AB

|＝解得a＝4或－2.2.已知點A，B是直線x＋2y－1＝0與坐標軸的交點，則|AB|＝(

)|AB|求直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)的距離等于的點的坐標解：設所求點的坐標為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，所求點的坐標為(－3，4)，(－1，2)題型一兩點間的距離公式例1（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知過A(m,2),B(-m,m-1),兩點的直線的傾斜角是45o,則A,B兩點間的距離為()所以A(1,2),B(-1,0)|AB|在已知直線2x－y＝0上存在一點P，使它到點M（5，8）的距離為5，則直線PM的方程為

___________

∵點P在直線2x

－y＝0上，∴可設P點坐標為（a，2

a），∴直線

PM

的方程為即4

x

－3

y

＋4＝0或24

x

－7

y

－64＝0.練習：（2024·煙臺月考）直線y＝x上的兩點P，Q的橫坐標分別是1，5，則｜PQ｜＝()由題意得P（1，1），Q（5，5），∴｜

PQ

｜＝

題型二兩點間距離公式的應用例1（2024·福州月考）已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0）.判斷△ABC的形狀；所以｜

AB

｜2＋｜

AC

｜2＝｜

BC

｜2，即△

ABC

是以

A

為直角頂點的直角三角形.因為｜AB｜＝｜AC｜＝｜BC｜＝練習：1.設m∈R，過定點A的直線x＋my－m＝0和過定點B的直線mx－y－m＋3＝0交于點P，則|PA|2＋|PB|2＝(

)直線x＋my－m＝0過定點A(0，1)，直線mx－y－m＋3＝0過定點B(1，3)，且直線x＋my－m＝0和直線mx－y－m＋3＝0滿足1×m－m×1＝0，故兩直線垂直，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋22＝5.2.已知直線l過點(1，0)，與直線l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0分別交于A，B兩點，且|AB|＝9.求直線l的方程．當直線l斜率不存在時，方程為l：x＝1，即x－1＝0，與兩直線交點分別是(1，3)，(1，－6)，距離為9，符合題意；當直線l斜率存在時，方程可設為l：y＝k(x－1)，k≠－3，與直線3x＋y－6＝0聯立，得交點與直線3x＋y＋3＝0聯立，得交點＝9，4x＋3y－4＝0，題型三坐標法的應用例3

在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.設BC所在邊為x軸，以D為原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，設A（b，c），C（a，0），則B（－a，0），OxyABC(D)因為｜AB｜2＝（a＋b）2＋c2，｜AC｜2＝（a－

b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2，｜DC｜2＝a2，所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2），｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2，所以｜

AB

｜2＋｜

AC

｜2＝2（｜

AD

｜2＋｜

DC

｜2）.用坐標法（解析法）解決幾何問題的基本步驟第一步：建立適當的直角坐標系，用坐標表示有關的量；第二步：進行有關的代數運算；第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何關系.[注意]建系時讓圖形中盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于運算

練習：（2024·常州月考）已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．求證：|AC|＝|BD|.oxy(A)CDB證明：如圖所示，建立平面直角坐標系．設A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c)所以|AC|＝|BD|＝故|AC|＝|BD|.在△ABC中，D是BC邊上的任意一點（D與B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求證：△ABC為等腰三角形.作AO⊥BC，垂足為O，以BC所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.OxyABCD設

A

(0，

h

)，

B

(b

，0)，

C

(

c

，0)，

D

(

d

，0)因為｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜，得

b2＋

h2＝

d2＋

h2＋（

d

－

b

）·（

c

－

d

），整理得－（

d

－

b

）（

b

＋

d

）＝（

d

－

b

）（

c

－

d

）.因為點

D

與點

B

，

C

不重合，所以

d

－

b

≠0，所以－

b

－

d

＝

c

－

d

，即－

b

＝

c

.即△

ABC

為等腰三角形.課后練習1．已知直角坐標平面上端點為(－2，5)和點M的線段的中點是(1，0)，則點M到原點的距離為(

)設M(x，y)，由題意得則點M到原點的距離為2．在△ABC中，設點A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，利用二次函數知識可確定到△ABC的3個頂點距離的平方和最小的點為△ABC的(

)A．重心

B．垂心C．外心

D．內心設點P(x，y)，其中x，y∈R，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x－xA)2＋(y－yA)2＋(x－xB)2＋(y－yB)2＋(x－xC)2＋(y－yC)2＝3x2－2(xA＋xB＋xC)x＋＋3y2－2(yA＋yB＋yC)y＋|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值，此時點P(x，y