第一章特殊平行四邊形第二課時第一章特殊平行四邊形1.2

矩形的性質與判定

矩形的判定學習目標1.經歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理．（重點）2.能應用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.

(難點)定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形性質角邊對角線對稱性推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半ACBD矩形四個角都是直角對邊平行且相等互相平分且相等是軸對稱圖形∵∠ACB=90°AD=BD,知識回顧用上、下一樣長,左、右一樣長的四根木條,長對長,短對短,首尾相接,做成一個木條框一定是矩形嗎?還要滿足什么條件?平行四邊形一個角是直角∟矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

矩形的判定(1)

知識講解幾何語言：∵在ABCD中,∠B=90°,∴四邊形ABCD是矩形.ABCD∟有一個角是直角的平行四邊形是矩形.下圖所示的是一個平行四邊形的木條框,拉動一對不相鄰的頂點,平行四邊形的形狀會發生變化.(2)當兩條對角線的長度相等時,平行四邊形有什么特征?由此你能得到一個怎樣的猜想?(1)隨著∠α的變化,兩條對角線的長度將發生怎樣的變化?矩形的判定(2)

定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.

已知：在□ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.

證明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABDC幾何語言：∵在

ABCD中,

AC=BD,∴ABCD是矩形.0定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.有一個角是直角有兩個角是直角的四邊形是矩形嗎？有三個角是直角ABDC(有一個角是直角)ABDC(有二個角是直角)ABDC(有三個角是直角)猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形。你能證明上述結論嗎？矩形的判定(3)

已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求證：四邊形ABCD是矩形.ABCD∟∟∟證明：∵

∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC.同理可證：AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵

∠A=90°,∴四邊形ABCD是矩形.定理：有三個角是直角的四邊形是矩形.

例如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB=4cm，求這個□ABCD的面積.例題講解∴∠ABC=90°.（矩形的四個角是直角）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD..又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°.∴OA=OB=OC=OD=4，∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴ABCD是矩形.（對角線相等的平行四邊形是矩形）在Rt△ABC中，，1.下列說法正確的是 (

)(1)對角線相等的四邊形是矩形;(2)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形;(3)有一個角是直角的四邊形是矩形;(4)有三個角是直角的四邊形是矩形;(5)四個角都相等的四邊形是矩形;(6)對角線相等且有一個角是直角的四邊形是矩形;(7)對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形.

A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(7)B

當堂檢測2.如圖所示,工人師傅做鋁合金窗框分下面幾個步驟進行:①②③④(1)先截出兩對符合規格的鋁合金窗框,如圖①所示,即AB=CD,EF=GH;(2)這時窗框的形狀是

,根據的數學道理是

.

平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(3)將直角尺靠緊窗框的一個角(如圖③)調整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(如圖④)，說明窗框合格。這時窗框是

，根據的數學道理是

.矩形有一個角是直角的的平行四邊形是矩形∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是矩形.3.如圖所示,在?ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求證四邊形ABCD是矩形.證明:∵在△ABC中，

AB=6,BC=8,AC=10,∴AC2=AB2+BC2,∴∠ABC=90°.4.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，∴平行四邊形NDMB為矩形．5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且相等BD.又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形.又