3.4相似三角形的判定與性質第1課時

相似三角形的判定知識點平行線截三角形相似的定理11.

定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似.深度理解“與其他兩邊相交”是指與其他兩邊所在直線相交.數學表達式：如圖3.4-1，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.2.

作用：本定理是相似三角形判定定理的預備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對應角相等、對應邊成比例.特別提醒◆書寫兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大寫字母寫在對應的位置上.◆根據定理得到的相似三角形的三個基本圖形中都有BC∥DE，圖3.4-1①②很像大寫字母A，故我們稱之為“A”型相似；圖3.4-1③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯數字“8”).[母題教材P78例2]如圖3.4-2所示，已知在?

ABCD中，E為AB延長線上的一點，AB＝3BE，DE與BC相交于點F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.解題秘方：緊扣“平行線截三角形相似的兩種基本圖形：‘A’型和‘X’型”進行查找.例1

感悟新知1-1.

[期末·婁底]如圖，在平行四邊形ABCD中，E

是AB

邊延長線上一點，連接DE，交AC

于點G，交BC

于點F，那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)A．6對

B．5對C．4對

D．3對B

例2答案：D解題秘方：掌握平行線截三角形相似的定理和相似三角形的對應邊成比例是解題的關鍵.

感悟新知

知識點角的關系判定三角形相似定理21.

相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.2.

數學表達式：如圖3.4-4所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.特別提醒由兩角分別相等判定兩個三角形相似，其關鍵是找準對應角.一般地，相等的角是對應角．如：公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補角)、同弧所對的圓周角(以后會學到)都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.3.

常見的相似三角形的類型：(1)“平行線”型：如圖3.4-5①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.(2)“相交線”型：如圖3.4-5②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如圖3.4-5③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖3.4-5④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC.整體像一個橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.如圖3.4-6，在△ABC中，AD是角平分線，AD的垂直平分線交AD于點E，交BC的延長線于點F，連接AF.求證：△ABF∽△CAF.例3感悟新知解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩三角形相似”證明.由于∠BFA是公共角，因此只需說明∠B＝∠4即可.證明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD

－∠2，∴∠B

＝∠4.∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.感悟新知3-1.

【二模·廣州越秀區】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E

為BC邊上的點(不與點B，點C

重合)，連接DE

并延長，交AB

的延長線于點F.求證：△CDE∽△AFD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AF，∠C＝∠A.∴∠CDE＝∠F.∴△CDE∽△AFD.知識點邊角關系判定三角形相似定理31.

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.特別提醒運用該定理證明相似時，一定要注意邊角的關系，相等的角一定是成比例的兩組對應邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.

如圖3.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一點，且BP＝3PC，Q是CD的中點.求證：△ADQ∽△QCP.解題秘方：緊扣“邊角關系判定三角形相似定理”證明即可.例4

感悟新知4-1.

[期末·岳陽]如圖，在△ABC

中，AB=6，AC=9，點D，E

分別在AB，AC

上，D

為AB的中點，CE＝7.求證：△AED∽△ABC.知4－講知識點三邊關系判定三角形相似定理41.

相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.知4－講

圖3.4-10、圖3.4-11中小正方形的邊長均為1，則圖3.4-11中的哪一個三角形(陰影部分)與圖3.4-10中的△ABC相似？例5解題秘方：利用網格的特征用勾股定理求三角形三邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個三角形相似”判斷.

感悟新知5-1.如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ACB

和△DCE的頂點都在格點上，ED

的延長線交AB

于點

F．求證：(1)△ACB

∽△DCE；感悟新知(2)EF⊥AB．