第8講函數奇偶性與周期性第二章

基本初等函數激活思維BC2．若一個奇函數的定義域為{－1，2，a，b}，則a＋b＝ (

)A．－1 B．1C．0 D．2A3．已知奇函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，且有最大值m，那么下列說法正確的是

(

)A．函數y＝f(x)在區間[－b，－a]上單調遞減，且f(－b)＝－mB．函數y＝f(x)在區間[－b，－a]上單調遞減，且f(－a)＝－mC．函數y＝f(x)在區間[－b，－a]上單調遞增，且f(－b)＝－mD．函數y＝f(x)在區間[－b，－a]上單調遞增，且f(－a)＝－mB【解析】奇函數在對稱區間上的單調性相同，最值互為相反數．4．已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－2)的值是_______．－6【解析】由題知f(2)＝6，因為f(x)為奇函數，所以f(－2)＝－f(2)＝－6.【解析】11．奇偶性與周期性奇偶性定義若________________，則f(x)為偶函數；若__________________，則f(x)為奇函數．這兩個式子有意義的前提條件是：定義域關于原點對稱．性質①奇函數的圖象關于________對稱，偶函數的圖象關于_______對稱；②若奇函數的定義域包含0，則必有f(0)＝_____；③在關于y

軸對稱的兩個區間內，奇函數單調性________，偶函數單調性________．④一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同．f(－x)＝f(x)聚焦知識f(－x)＝－f(x)原點y軸0相同相反f(x＋T)＝f(x)判斷下列函數的奇偶性．函數奇偶性的判定舉題說法1【解答】【解答】f(x)的定義域為{－1，1}，關于原點對稱．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數又是偶函數．【解析】判斷下列函數的奇偶性．1【解答】【解答】判斷下列函數的奇偶性．1【解答】判斷下列函數的奇偶性．1【解析】B【解析】由已知得，當x＞0時，－x＜0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b.B函數奇偶性的應用【解析】2由f(x)為R上的奇函數，得f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又f(－2024)＋f(0)＝2，所以1＋m＋0＝2，得m＝1.(2)已知函數f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)＜f(2)，則實數x的取值范圍是______．【解析】1【解析】231．若函數f(x)＝x(aex－e－x)是偶函數，則a＝_____．1【解析】【解析】設g(x)＝aex－e－x，x∈R，因為f(x)是偶函數，所以g(x)是奇函數，所以g(0)＝0，解得a＝1.經檢驗滿足題意.2．已知函數f(x)＝ax3－bx－tanx＋2，若f(m)＝1，則f(－m)＝_____．由題得f(m)＝am3－bm－tanm＋2＝1，所以am3－bm－tanm＝－1，所以f(－m)＝－am3＋bm＋tanm＋2＝－(am3－bm－tanm)＋2＝1＋2＝3.3【解析】【解析】當x＞0時，－x＜0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，則g(x)＝－x2＋3x－1.－x2＋3x－1(1)若f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝－5，則f(f(5))＝_____．函數的周期性3【解析】5【解析】因為f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1).令x＝－1，則f(1)＝－f(－1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－1)＝5.(2)若定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，則f(2024)＝_____．因為f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).兩式相減得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4為函數f(x)的周期．因此f(2024)＝f(4×506)＝f(0)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，則f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2024)＝0.0【解析】B【解析】抽象函數的性質新視角4因為f(x＋2)為偶函數，則f(2＋x)＝f(2－x).因為函數f(2x＋1)為奇函數，則f(1－2x)＝－f(2x＋1)，把2x＋1用x代替，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函數f(x)是以4為周期的周期函數．因為函數F(x)＝f(2x＋1)為奇函數，則F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝0，其它三個選項未知．B變式

(1)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

)A．－50 B．0C．2 D．50C【解析】f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函數周期為4.因為f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.D【解析】因為f(x＋1)為奇函數，所以有f(x＋1)＝－f(－x＋1)，因為f(x＋2)為偶函數，所以有f(x＋2)＝f(－x＋2)，f(x＋1)＝－f(－x＋1)?f(x＋2)＝－f(－x)＝f(－x＋2)?－f(x)＝f(x＋2)?－f(x＋2)＝f(x＋4)?f(x)＝f(x＋4)，所以函數f(x)的周期為4，隨堂練習1．設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論正確的是 (

)A．f(x)g(x)是偶函數

B．|f(x)|·g(x)是奇函數C．f(x)·|g(x)|是奇函數

D．|f(x)g(x)|是奇函數C【解析】依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函數，A錯誤；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函數，B錯誤；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，f(x)·|g(x)|是奇函數，C正確；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數，D錯誤．2．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，則f(2024)＝ (

)A．－1 B．0C．1 D．2B【解析】因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數，所以f(2024)＝f(0)＝0.C【解析】4．已知y＝f(x)是定義域為R的奇函數，當x≥0時，f(x)＝2x3＋2x－1，則f(－2)＝________．－19【解析】因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2×23＋22－1)＝－19.【解析】由題知當x＝－1時，f(－1)＝1，因為函數周期T＝2且為偶函數，所以f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1.1配套精練練習1A組夯基精練一、

單項選擇題1．已知f(x)是偶函數，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，若f(a)＝3，則a＝ (

)A．±1 B．±3C．－1或3 D．±1或±3B【解析】當a≥0時，由f(a)＝3，得a2－2a＝3，解得a＝－1(舍去)或a＝3.根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可知當a＜0時，由f(a)＝3，得a＝－3.綜上，a＝±3.【解析】C【解析】由于f(x)＝x3g(x)為定義在R上的偶函數，所以f(－x)＝－x3g(－x)＝x3g(x)，所以g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函數.A【解析】A【解析】對于B，函數f(x)＝x3的定義域為R，f(x)是奇函數，故B正確；【答案】BCD6．已知f(x)是定義在R上不恒為0的偶函數，g(x)是定義在R上不恒為0的奇函數，則 (

)A．f(f(x))為奇函數 B．g(g(x))為奇函數C．f(g(x))為偶函數 D．g(f(x))為偶函數BCD【解析】由題意可知，f(－x)＝f(x)，所以f(f(－x))＝f(f(x))，所以f(f(x))為偶函數，故A錯誤；由g(－x)＝－g(x)，得g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，所以g(g(x))為奇函數，故B正確；因為f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(g(x))為偶函數，故C正確；因為g(f(－x))＝g(f(x))，所以g(f(x))為偶函數，故D正確．【解析】【答案】[－2，0)∪(0，2]8．已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數，且f(－1)＝2f(10)＋3，則f(2024)＝_____．1【解析】由題意知f(2024)＝f(3×675－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，所以f(－1)＝1，故f(2024)＝1.【解析】2【解答】方法一：因為當x≤0時，f(x)＝－x2－4x，所以f(－2)＝4.又因為f(x)為奇函數，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，即4＋2a＝－4，所以a＝－4.綜上所述，實數a的值為－4.方法二：設任意x＞0，則－x＜0，所以f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x.又因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x，所以f(x)＝x2－4x，所以f(2)＝－4.因為當x＞0時，x2＋ax＝x2－4x恒成立，所以a＝－4.【解答】【解答】【解答】B組滾動小練12．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，則“a＝0”是“M?N”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件A【解析】當a＝0時，集合M＝{1，0}，N＝{－1，0，1}，可得M?N，滿足充分性；若M?N，則a＝0或a＝－1，不滿足必要性.所以“a＝0”是“M?N”的充分不必要條件．【解析】由P＝{a，b，c}?M得a≠b，故a＝－2b，c＝4b，所以P＝{－2b，b，4b}?M，且b≠0.【答案】101214．設k為實數，已知關于x的函數f(x)＝kx2＋kx－1.(1)若?x∈R，都有f(x)≤0恒成立，求k的取值范圍；【解答】當k＝0時，f(x)＝－1≤0恒成立，符合題意；綜上所述，k的取值范圍為[－4，0].14．設k為實數，已知關于x的函數f(x)＝kx2＋kx－1.(2)若?m≥1，?x∈[1，4]，滿足f(x)≤m成立，求k的取值范圍．【解答】方法一：當k＝0時，f(x)＝－1，顯然?m≥1，?x∈[1，4]，滿足f(x)≤m成立，符合題意；綜上所述，k的取值范圍為(－∞，1].練習2【解析】【答案】C對于C，易知y＝|x|－1是偶函數，當x＞0時，y＝x－1是增函數，故正確；【解析】2．已知f(x)為奇函數，且當x＜0時，f(x)＝ex，則f(e)＝ (

)A．ee B．－eeC．e－e D．－e－e因為f(x)為奇函數，且當x＜0時，f(x)＝ex，所以f(e)＝－f(－e)＝－e－e.DABCD【解析】【答案】D當x＞0時，ex＞e－x，即ex－e－x＞0，當x＞1時，|x|－1＞0，因此當x＞1時，f(x)＞0，排除B，C.【解析】【答案】B由f(x＋1)＋f(x)＝f(1)，有f(x＋2)＋f(x＋1)＝f(1)，可得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期為2.【答案】ACD【解析】因為f(x＋1)為奇函數，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱，故A正確；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期為4的函數，故B錯誤；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正確；【答案】ABD【解析】－12【解析】三、

填空題7．已知函數f(x)＝ax3＋bx＋csinx－2，且f(－2)＝8，則f(2)＝________．因為f(x)＝ax3＋bx＋csinx－2，所以f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx－csinx－2＋ax3＋bx＋csinx－2＝－4.因為f(－2)＝8，所以f(2)＝－12.【解析】9已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當－1≤x＜3時，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝_______．340【解析】因為f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝337×1＋1＋2