思維導圖專題02實數思維導圖【類型覆蓋】類型一、認識無理數【解惑】下列實數中，屬于無理數的是（）A．3.14 B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：等；開方開不盡的數；以及像等有這樣規律的數．無理數即無限不循環小數，據此進行判斷即可．【詳解】解：3.14是分數，是有限小數，是分數，它們都不是無理數；是無限不循環小數，它是無理數；故選：D．【融會貫通】1．下列各數：，，，，，（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1），，，，是無理數的有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查了無理數的識別，初中范圍內常見的無理數有三類：①含類，如等；②開方開不盡的數，如等；③雖有規律但卻是無限不循環的小數，（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1）等．根據無理數的定義逐個判斷即可解答．【詳解】解：，，，，，（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1），，，，中，則、、、、是有理數，、、（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1）、、無理數，共5個．故選：D．2．在，，0，（每兩個1之間依次多2），中，無理數有個．【答案】2【分析】本題考查了無理數．熟練掌握無限不循環小數是無理數是解題的關鍵．根據無限不循環小數是無理數作答即可．【詳解】解：由題意知，，0，是有理數，故不符合要求；，（每兩個1之間依次多2）是無理數，故符合要求；故答案為：2．3．有一組數據：，，，，，其中無理數出現的頻率是．【答案】【分析】先判斷有理數和無理數的個數，然后根據頻率等于頻數除以總數即可求解．【詳解】解：∵在題中個數據里，其中，，是有理數，共個有理數，，是無理數，共個無理數，∴無理數出現的頻率，故答案為．【點睛】本題考查了求算術平方根，求立方根，無理數的定義，求頻率，掌握以上知識是解題的關鍵．類型二、認識二次根式【解惑】下列式子中，是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的定義．根據形如的式子叫做二次根式，逐項分析即可求解．【詳解】解：A、是二次根式，A符合題意；B、，不是二次根式，B不符合題意；C、不是二次根式，C不符合題意；D、不是二次根式，D不符合題意．故選：A．【融會貫通】1．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關鍵．形如（）是二次根式，注意二次根式的被開方數是非負數即可得解．【詳解】解：A、當時，不是二次根式，該選項不符合題意；B、當時，不是二次根式，該選項不符合題意；C、是三次根式，該選項不符合題意；D、，是二次根式，該選項符合題意；故選：D．2．當時，二次根式的值為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的定義以及二次根式求值．代入求值是解題的關鍵．把的值代入已知二次根式中，然后將其化為最簡二次根式．【詳解】解：把代入，得．故答案為：．3．當時，二次根式的值是．【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質及化簡，二次根式的定義，掌握代入求值法是解題關鍵．把代入原式化簡即可．【詳解】解：當時，，故答案為：2．類型三、認識同類二次根式【解惑】若與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值為（

）A．7 B．9 C．2 D．1【答案】D【分析】本題考查同類二次根式，利用二次根式的性質化簡，再根據最簡二次根式的被開方數相同即為同類二次根式求解即可．【詳解】解：∵與最簡二次根式是同類二次根式，且∴，∴，故選：D．【融會貫通】1．若與最簡二次根式是同類二次根式，則的平方根是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式、平方根，根據同類二次根式的定義得出、的值，從而得出的值，再求平方根即可得出答案．【詳解】解：∵與最簡二次根式是同類二次根式，∴，∴，∴，∴，∴，∴的平方根是，故選：B．2．與最簡二次根式是同類二次根式，則a＝．【答案】1【分析】本題考查了同類二次根式，幾個二次根式化為最簡二次根式后，若被開方數相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．先將化成最簡二次根式，然后根據同類二次根式得到被開方數相同得出關于a的方程求解即可．【詳解】解：∵與最簡二次根式是同類二次根式，∴，即：．故答案為：1．3．如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是．【答案】4【分析】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式的概念，本題屬于基礎題型．根據同類二次根式以及最簡二次根式的定義即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，，．故答案為：4類型四、二次根式有意義【解惑】使式子在實數范圍有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．根據被開方數為非負數且分母不為，可求出的取值范圍．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義．且，解得：且，故選：．【融會貫通】1．要使在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數為非負數得出，計算即可得解．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，∴，解得：，故選：A．2．如果在實數范圍內有意義，那么的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握被開方數不小于零的條件是解題的關鍵．根據二次根式被開方數不小于零的條件進行解題即可．【詳解】解：由題可得，解得．故答案為：．3．若二次根式有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式被開方數為非負數，分式分母不為0．據此即可解答．【詳解】解：∵有意義，∴，解得：．故答案為：．類型五、求一個數的平方根【解惑】有理數4的平方根是（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了平方根的定義，根據平方根的定義，一個正數有兩個平方根，他們互為相反數即可得到結果，掌握平方根的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴4的平方根是．故選：D．【融會貫通】1．下列說法正確的是（

）A．4是的算術平方根 B．的平方根是C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的數是0和1【答案】C【分析】本題考查了平方根與算術平方根的定義，解題的關鍵是掌握負數沒有平方根．根據平方根與算術平方根的定義對各選項分析判斷即可．【詳解】解：A、2是的算術平方根，故本選項錯誤，不符合題意；B、負數沒有平方根，故本選項錯誤，不符合題意；C、9的平方根是，故本選項正確，符合題意；D、平方根等于它本身的數只有0，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C．2．若正數的一個平方根是，則它的另一個平方根是，這兩個平方根的和是．【答案】【分析】本題考查的是正數的平方根的含義，利用正數的兩個平方根互為相反數可得答案；【詳解】解：正數的一個平方根是，則它的另一個平方根是，這兩個平方根的和是．故答案為：，3．已知實數a，b，c，d，e，若a，b互為倒數，c，d互為相反數，e的算術平方根為3，求的平方根．【答案】【分析】本題主要考查了非負數的性質及實數的運算等知識點，掌握倒數、相反數及算術平方根的意義是解決本題的關鍵．根據倒數、相反數及算術平方根的意義，先求出、、，再代入計算即可．【詳解】解：∵a，b互為倒數，∴．∵c，d互為相反數，∴．∵e的算術平方根為3，∴，∴，∴4的平方根為．類型六、求一個數的立方根【解惑】下列結論正確的是（

）A．的立方根是 B．沒有立方根C．立方根等于本身的數是 D．【答案】D【分析】本題考查了立方根，利用立方根的定義及求法逐項判斷即可確定正確的選項，解題的關鍵是掌握立方根的定義的運用，理解：一個正數有一個正的立方根、的立方根是，一個負數有一個負的立方根．【詳解】、的立方根是，原選項錯誤，不符合題意；、有立方根為，原選項錯誤，不符合題意；、立方根等于本身的數是和，原選項錯誤，不符合題意；、，原選項正確，符合題意；故選：．【融會貫通】1．的立方根是（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】本題主要考查的是立方根的定義，先的求得的值，然后再依據立方根的定義求解即可．【詳解】解：，64的立方根是4．故選：C．2．的立方根是，0.0036的平方根是，的算術平方根是．【答案】3【分析】本題考查立方根、平方根、算術平方根，熟練掌握定義是解題關鍵．根據立方根、平方根、算術平方根的定義即可得答案．【詳解】的立方根是，0.0036的平方根是，的算術平方根是3．故答案為：，，3．3．已知一個正數x的兩個平方根分別是和，求這個正數x的立方根．【答案】4【分析】本題考查了平方根和立方根、一元一次方程的應用，熟練掌握平方根的性質是解題關鍵．先根據一個正數的兩個平方根互為相反數建立方程，解方程可得的值，再根據立方根的性質求解即可得．【詳解】解：∵一個正數的兩個平方根分別是和，∴，解得，∴這個正數，∴這個正數的立方根為．類型七、實數的分類【解惑】把下列各數填在相應的集合內．，，，，，，0，負數集合：{

…}正分數集合：{

…}整數集合：{

…}【答案】；；【分析】本題考查了負數，正分數，整數，掌握負數，正分數，整數的定義即可得，掌握負數，正分數，整數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意得，負數集合：；正分數集合：整數集合：．【融會貫通】1．把下列各數的序號分別填入相應的大括號內：①0，②，③1.5，④，⑤，⑥1.010010001…（每兩個“1”之間依次多1個“0”）負數：{________________________…}；整數：{________________________…}；無理數：{________________________…}．【答案】②，④，⑤；①，④；②，⑥【分析】本題考查了實數的分類，熟練掌握實數的分類是解答本題的關鍵．實數分為有理數和無理數，有理數分為整數和分數，無理數分為正無理數和負無理數．實數還可以分為正實數、零和負實數，正實數分為正有理數和正無理數，負實數分為負有理數和負無理數．據此解答即可．【詳解】解：，負數：{②，④，⑤，…}；整數：{①，④，…}；無理數：{②，⑥，…}故答案為：②，④，⑤；①，④；②，⑥．2．把下列各數填在相應的大括號內．，，，，，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），．有理數：；無理數：；正數：整數：；非負數：；分數：．【答案】見解析【分析】本題考查的是實數的概念和分類，掌握實數的分類方法是解題的關鍵．根據實數的概念和分類解答．【詳解】解：，，有理數：，，，，，，，；無理數：，，，（每相鄰兩個之間依次多個），；正數：，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），；整數：，，，；非負數：，，，，，，，（每相鄰兩個之間依次多個），；分數：，，，，．3．把下列各數的序號分別填入相應的集合內：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相鄰的兩個3之間依次多1個0），⑨，⑩(1)整數集合：（

）(2)分數集合：（

）(3)無理數集合：（

）【答案】(1)③④⑥(2)①⑨⑩(3)②⑤⑦⑧【分析】本題考查了有理數、實數和無理數的分類，熟練掌握無理數、有理數、實數的分類是解題的關鍵．（1）根據整數的定義作答即可；（2）根據分數的定義作答即可；（3）根據無理數的定義作答即可．【詳解】（1）解：③是整數，④0是整數，⑥是整數，整數集合：③④⑥故答案為：

③④⑥（2）①是分數，⑨是分數，⑩是分數．分數集合：①⑨⑩故答案為：①⑨⑩（3）②是無理數，⑤是無理數，⑦是無理數，⑧(相鄰的兩個3之間依次多1個0)是無理數，無理數集合故答案為：②⑤⑦⑧類型八、二次根式的加減乘除【解惑】化簡：(1)(2)【答案】(1)1；(2)．【分析】（1）先化簡二次根式及零次冪，再根據二次根式的加減混合運算法則，即可求解；（2）先利用平方差公式和完全平方公式計算，再合并同類二次根式，即可求解．【詳解】（1）解：=1；（2）解：．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算法則，完全平方公式，平方差公式及零次冪，掌握二次根式的性質和二次根式的運算法則，是解題的關鍵．【融會貫通】1．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的混合運算和實數的混合運算，掌握運算法則和運算順序是解題的關鍵．（1）利用平方差公式和二次根式的性質運算即可解題；（2）先利用負整數指數次冪、零指數次冪、二次根式的乘法和絕對值計算，然后合并解題．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)4(3)(4)【分析】本題考查二次根式的混合運算，掌握去絕對值，求立方根的計算，二次根式的混合運算是解答本題的關鍵．（1）先去括號，化簡二次根式，再進行二次根式的加減運算即可．（2）先化簡二次根式，去絕對值，求立方根，最后進行二次根式的加減運算即可．（3）先化簡二次根式，再進行二次根式的加減運算即可．（4）先化簡括號內的二次根式，再進行二次根式加減乘除混合運算即可．【詳解】（1）解：原式．（2）原式．（3）．（4）．3．計算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先化簡各二次根式，再合并同類二次根式即可得；（2）先計算負整數指數冪、化簡各二次根式、計算零指數冪，再合并同類二次根式即可得；（3）先化簡各二次根式、分母有理化，再計算乘法，最后計算加減可得；（4）先計算二次根式的除法，化簡二次根式，零次冪，再合并即可．【詳解】（1）解：（2）解：；（3）解：（4）解：【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．【一覽眾山小】1．9的算術平方根是（）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查算術平方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵．根據算術平方根的定義即可求得答案．【詳解】解：9的算術平方根為，故答案為：B．2．在實數0、、、2、中，無理數的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查無理數的概念，根據無理數是無限不循環小數逐個判斷即可．【詳解】解：在實數0、、、2、中，，是無理數，有兩個，故選：B．3．下列各式中是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是最簡二次根式的概念，被