2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第01講集合（精講）①集合的含義及其表示②集合間的基本關(guān)系③集合的交并補(bǔ)運(yùn)算④圖的應(yīng)用⑤集合新定義問(wèn)題一、必備知識(shí)整合一、必備知識(shí)整合一、集合的有關(guān)概念1．集合元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性．2．集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．3．元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?．4．五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．二、集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素，都是集合B中的元素，就稱(chēng)集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作AB.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為CUA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．二、考點(diǎn)分類(lèi)精講二、考點(diǎn)分類(lèi)精講【題型一集合的含義及其表示】解決與集合中的元素有關(guān)問(wèn)題的一般思路【典例1】（單選題）若集合中有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（單選題）已知集合下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【典例3】（單選題）已知集合，，則（

）A． B． C．或 D．一、單選題1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）若集合，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】計(jì)算出集合后可求其含有的元素的個(gè)數(shù).【詳解】依題意可得，則中的元素個(gè)數(shù)為5.故選：B.2．（23-24高三下·四川雅安·階段練習(xí)）若集合，，則B中元素的最小值為（

）A． B． C． D．32【答案】A【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】令分別為選項(xiàng)中不同值，求出的值進(jìn)行判定.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：A4．（2024·陜西榆林·二模）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合知識(shí)逐項(xiàng)求解，從而可判斷求解.【詳解】對(duì)A：依題意可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：即為與的交點(diǎn)，即，解得或，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確.對(duì)D：，故D錯(cuò)誤；故選：C.5．（2023·新疆·一模）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【分析】將的所有可能取值逐個(gè)代入計(jì)算即可得出集合，即可得集合的元素個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，共三個(gè)元素.故選：A.二、填空題6．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，且，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.【詳解】因?yàn)椋曰颍獾没颍?dāng)時(shí)，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以．故答案為：．7．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知集合，，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得，解之即可得解.【詳解】因?yàn)榧希裕獾?故答案為：.【題型二集合間的基本關(guān)系】判斷集合關(guān)系的三種方法【典例1】（單選題）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（單選題）集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8一、單選題1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)集合，，若，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1或2【答案】C【分析】依題意可得，則或，求出的值，再檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性.【詳解】因?yàn)椋遥裕瑒t或，解得或，當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意.綜上可得.故選：C2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先求集合A，確定即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕约系恼孀蛹膫€(gè)數(shù)為.故選:D.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，．若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A，由題意可知，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，因?yàn)椋瑒t，所以．故選：D．4．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則集合的子集有（

）個(gè)A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先求解集合中元素的個(gè)數(shù)，再求解子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】，故集合的子集有個(gè).故選：D5．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則、的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用列舉法表示出集合、，即可判斷、的關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：D二、填空題6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）滿足的集合的個(gè)數(shù)是．【答案】3【分析】借助真子集與集合包含關(guān)系的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】由題知，則，故集合的個(gè)數(shù)為.故答案為：.7．（2024·廣西·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)子集關(guān)系求出可能解，再利用集合中元素的互異性求出不能取的值即可得出m的值.【詳解】因?yàn)椋曰颍颍钟杉现性氐幕ギ愋钥芍仪遥遥C上.故答案為：.8．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是．【答案】【分析】解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕植坏仁降慕饧菂^(qū)間的真子集，則.故答案為：.9．（2024·山東濟(jì)寧·一模）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求解一元二次不等式解得集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式求解即可.【詳解】集合，又，且，故可得，即，解得.故答案為：.【題型三集合的交并補(bǔ)運(yùn)算】集合運(yùn)算三步驟【典例1】（單選題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（單選題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【典例3】（單選題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024高三下·北京·專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案．【詳解】因?yàn)椋?故選：D2．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.【詳解】或，故.故選：B.3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出集合A和B，利用交集的定義求出.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)或，即可由交集求解.【詳解】由可得或，又，所以，故選：A5．（2024·四川德陽(yáng)·二模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由集合的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛颍瑒t，又，所以.故選：B6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則滿足的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)集合運(yùn)算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類(lèi)討論求解即可.【詳解】依題意，，若，解得（時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），若，解得（時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），綜上所述，或.故選：B7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合的范圍，再根據(jù)交并補(bǔ)和集合間的關(guān)系的定義分別判斷各選項(xiàng)即得.【詳解】，，因故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由，知B項(xiàng)錯(cuò)誤；由知C項(xiàng)錯(cuò)誤；因，故D項(xiàng)正確.故選：D.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求解集合A，解指數(shù)函數(shù)不等式求解集合B，再利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：A9．（2024·遼寧·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式有意義、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)值域的解法，結(jié)合并集的定義即可求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，顯然函數(shù)在區(qū)間上上單調(diào)遞增，且，所以，只需，解得另函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，所以.故選：B.10．（2024·廣東佛山·二模）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算出集合后，借助并集定義計(jì)算即可得.【詳解】由，可得或，即或，由，，則.故選：D.11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】集合都是點(diǎn)集，根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系得到直線與圓相切，所以有一個(gè)交點(diǎn)，有個(gè)子集.【詳解】集合A表示直線上的所有點(diǎn)的集合，集合B表示圓上所有點(diǎn)的集合，因?yàn)閳A心到直線的距離為，等于圓的半徑，故直線與圓相切，故中只有一個(gè)元素，故的子集個(gè)數(shù)為．故選：C.二、多選題12．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、補(bǔ)集定義運(yùn)算和集合間的包含關(guān)系即可一一判斷正誤.【詳解】由可得或，即或.對(duì)于A項(xiàng)，或，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，或,故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因或，故，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.13．（2023·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可得，故選項(xiàng)正確；因?yàn)榍遥裕瑒t，故選項(xiàng)正確；由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：.三、填空題14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算及集合中的元素的個(gè)數(shù)，列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋糁杏?個(gè)元素，所以，所以，解得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.15．（2024·遼寧·二模）已知集合，，若．則m的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得，再列出不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕剩郧遥裕獾?故答案為：.16．（2024·吉林白山·二模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意求集合，根據(jù)分析求解.【詳解】由題意可知：，因?yàn)椋瑒t，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【題型四圖的應(yīng)用】【典例1】（單選題）如圖，已知集合，則陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可得解.【詳解】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為，因?yàn)椋裕瑒t.故選：A．2．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】利用集合的交并補(bǔ)的定義，結(jié)合圖即可求解.【詳解】因?yàn)榛颍颍曰蚧蚧颍蚧蚧?由題意可知陰影部分對(duì)于的集合為，所以，或.故選：D.3．（2024·廣西柳州·三模）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，80%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（

）A．70% B．60% C．50% D．40%【答案】C【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可．【詳解】由題意可得如下所示韋恩圖：所求比例為：．故選：C．4．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，再結(jié)合韋恩圖，利用交集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，即，由，得，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：A5．（23-24高三上·山東聊城·期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出集合A和B，然后根據(jù)圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合即可得出答案.【詳解】，所以，，所以，所以，圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合，即，故選：D.6．（2023·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，集合均為的子集，表示的區(qū)域?yàn)椋?/p>

）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【答案】B【分析】根據(jù)集合間的運(yùn)算分析判斷.【詳解】因?yàn)楸硎境螧以外的所有部分，即為Ⅰ和Ⅱ，所以表示與集合A的公共部分，即為Ⅱ.故選：B.7．（23-24高三上·湖北·期末）某校高一年級(jí)有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇，要求每個(gè)同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占50%到55%，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人B．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人C．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人D．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人【答案】B【分析】根據(jù)換算關(guān)系可得同時(shí)選兩項(xiàng)的人數(shù)的范圍，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，，，則同時(shí)選A，B的人數(shù)在到之間，換算成人數(shù)為，即120到240之間，因此符合題意的選項(xiàng)只有B．故選：B.8．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）“四書(shū)五經(jīng)”是中國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書(shū)”指《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》．某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書(shū)”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《大學(xué)》的有60位，閱讀過(guò)《論語(yǔ)》的有160位，閱讀過(guò)《大學(xué)》或《論語(yǔ)》的有180位，閱讀過(guò)《大學(xué)》且閱讀過(guò)《論語(yǔ)》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【答案】A【分析】根據(jù)描述，應(yīng)用容斥原理畫(huà)韋恩圖，求出該校閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】如下圖，閱讀過(guò)《大學(xué)》且閱讀過(guò)《論語(yǔ)》的人數(shù)是160＋60－180＝40，閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40－20＝20，由樣本估計(jì)總體，得所求比值為.故選：A【題型五集合新定義問(wèn)題】解決與集合的新定義有關(guān)問(wèn)題的一般思路解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．【典例1】對(duì)于正整數(shù)集合（），如果任意去掉其中一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合A為“可分集合”；(1)判斷集合和是否是“可分集合”（不必寫(xiě)過(guò)程）；(2)求證：四個(gè)元素的集合一定不是“可分集合”；(3)若集合是“可分集合”，證明：為奇數(shù).一、單選題1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算結(jié)合的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t,，由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，所以.故選：D2．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）若集合滿足：，若，則，則稱(chēng)集合是一個(gè)“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中為“偶集合”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出，，，，再利用“偶集合”的定義判斷即得.【詳解】集合，，則，顯然，而，A不是；，顯然，而，B不是；，則，不符合題意，C不是；，則，對(duì)，有，即是一個(gè)“偶集合”，D是.故選：D3．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空子集，且滿足，那么稱(chēng)子集組構(gòu)成集合U的一個(gè)k劃分．若集合I中含有4個(gè)元素，則集合I的所有劃分的個(gè)數(shù)為（

）A．7個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．14個(gè)【答案】D【分析】分別計(jì)算2劃分，3劃分和4劃分的個(gè)數(shù)，再相加即可.【詳解】不妨設(shè)，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個(gè)，D正確.故選：D.4．（2024·上海靜安·二模）如果一個(gè)非空集合上定義了一個(gè)運(yùn)算，滿足如下性質(zhì)，則稱(chēng)關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.（1）封閉性，即對(duì)于任意的，有；（2）結(jié)合律，即對(duì)于任意的，有；（3）對(duì)于任意的，方程與在中都有解．例如，整數(shù)集關(guān)于整數(shù)的加法（）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對(duì)于任意的，方程與都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（）不構(gòu)成群，因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)解.以下關(guān)于“群”的真命題有（

）①自然數(shù)集關(guān)于自然數(shù)的加法（）構(gòu)成群；②有理數(shù)集關(guān)于有理數(shù)的乘法（）構(gòu)成群；③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（）構(gòu)成群；④復(fù)數(shù)集關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（）構(gòu)成群.A．0個(gè)； B．1個(gè)； C．2個(gè)； D．3個(gè).【答案】B【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，，在自然數(shù)集中無(wú)解，錯(cuò)誤；對(duì)于②，，在有理數(shù)集中無(wú)解，錯(cuò)誤；對(duì)于③，是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，且對(duì)任意的，方程與有復(fù)數(shù)解，正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的3個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（

）A．①對(duì)②對(duì) B．①對(duì)②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對(duì) D．①錯(cuò)②錯(cuò)【答案】A【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷②是真命題.【詳解】因?yàn)槿簦瑒t當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，所以，，因?yàn)椋瑵M足其中且，所以，因?yàn)椋遥裕驗(yàn)椋裕盛賹?duì)；下面討論元素與集合的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，，所以；依次類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，，，所以，則，故②對(duì).故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.二、解答題6．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有，則稱(chēng)A具有性質(zhì)．(1)試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由．(2)若．證明：A不可能具有性質(zhì)．(3)若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)920【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否具有性質(zhì)即可；（2）將分為個(gè)子集，結(jié)合抽屜原理證明結(jié)論；（3）先證明連續(xù)個(gè)自然數(shù)中至多有個(gè)元素屬于，由此可得集合A中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)個(gè)，再舉例說(shuō)明存在含有個(gè)元素的滿足要求的集合.【詳解】（1）因?yàn)椋郑约喜痪哂行再|(zhì)，因?yàn)椋郑约暇哂行再|(zhì).（2）將集合中的元素分為如下個(gè)集合，，所以從集合中取個(gè)元素，則前個(gè)集合至少要選10個(gè)元素，所以必有個(gè)元素取自前個(gè)集合中的同一集合，即存在兩個(gè)元素其差為，所以A不可能具有性質(zhì).（3）先說(shuō)明連續(xù)11項(xiàng)中集合中最多選取5項(xiàng)，以為例.構(gòu)造抽屜，，，，，，.①同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)和，所以選5則不選；選6則不選；選7則不選；則只剩.故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).②選2個(gè)，若只選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).若選，則只能從中選，但不能同時(shí)選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).若選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).③中只選1個(gè)，又四個(gè)集合，，，每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5個(gè).由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個(gè)，如取.因?yàn)?023=183×11+10，則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項(xiàng)；從2014開(kāi)始，最后10個(gè)數(shù)至多選取5項(xiàng)，故集合的元素最多有個(gè).給出如下選取方法：從中選取；然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造183次.此時(shí)集合的元素為：；；；；，共個(gè)元素.經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求，故集合的元素最多有個(gè).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.7．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個(gè)數(shù)，的元素個(gè)數(shù).(1)若，直接寫(xiě)出所有滿足條件的集合；(2)若，且對(duì)任意，都有，求的最大值；(3)若且對(duì)任意，都有，求的最大值.【答案】(1)或或或(2)(3)【分析】（1）根據(jù)新定義對(duì)交集情況分類(lèi)討論即可；（2）將集合的子集進(jìn)行兩兩配對(duì)得到16組，寫(xiě)出選擇的16個(gè)含有元素1的子集即可得到；（3）分中有一元集合和沒(méi)有一元集合但有二元集合，以及均為三元集合討論即可.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t和的元素個(gè)數(shù)均為1，又因?yàn)椋瑒t，若，，則或；若，，則或；綜上或或或.（2）集合共有32個(gè)不同的子集，將其兩兩配對(duì)成16組，使得，則不能同時(shí)被選中為子集，故.選擇的16個(gè)含有元素1的子集:，符合題意.綜上，.（3）結(jié)論:，令，集合符合題意.證明如下：①若中有一元集合，不妨設(shè)，則其它子集中都有元素1，且元素都至多屬于1個(gè)子集，所以除外的子集至多有個(gè)，故.②若中沒(méi)有