第二章：“平面向量”的教材分析與教法建議房山區教師進修學校張吉一、地位與作用向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系。向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。在本章中，讓學生了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力。二、課程學習目標本章主要包括向量的線性運算、向量的分解與向量的坐標運算、平面向量的數量積、向量應用四部分內容。通過本章學習，應引導學生：

1．通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

2．通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義。

3．通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的條件。4．了解向量的線性運算性質及其幾何意義。5．了解平面向量的基本定理及其意義。6．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。7．會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。8．會用坐標表示的平面向量共線的條件。9．通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。

10．體會平面向量的數量積與向量投影的關系。11．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。12．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。13．經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。三、本章重點與難點（一）重點：（1）向量的線性運算及應用；（2）數量積的運算及應用。（二）難點：（1）理解平面向量基本定理；（2）理解平面向量分解定理。四、本章內容安排

本章共安排了4個小節內容，大約需要12個課時，具體分配如下（僅供參考）：節次內容課時2．1向量的線性運算

4課時2．1．1向量的的概念1課時2．1．2向量的加法1課時2．1．3向量的減法2．1．4數乘向量1課時2．1．5向量共線的條件與數軸上向量坐標運算1課時2．2向量的分解與向量的坐標運算2課時2．2．1平面向量的基本定理1課時2．2．2向量的正角分解與向量的直角坐標運算1課時2．2．3用平面向量坐標表示向量共線條件2．3平面向量的數量積2課時2．3．1向量數量積的物理背景與定義1課時2．3．2向量數量積的運算律1課時2．3．3向量數量積的坐標公式與度量公式2．4向量的應用2課時2．4．1向量在幾何中的應用1課時2．4．2向量在物理中的應用1課時小結與復習2課時五、本章教材編寫時注意了以下幾個問題

1．突出向量的物理背景與幾何背景教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過日常生活中確定“位置”中的位移概念，說明學習向量知識的意義；在2.1節，通過物理學中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實際背景素材，說明它們都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學生認識到向量在刻畫現實問題、物理問題以及數學問題中的作用，使學生建立起理解和運用向量概念的背景支持。

教科書借助幾何直觀，并通過與數的運算的類比引入向量運算，以加強向量的幾何背景。例如，關于向量的減法，在向量代數中，常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運算，即如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差。這樣，作b－a時，可先在平面內取一點，再作，則就是b－a。第二種方法是在相反向量的基礎上，通過向量的加法定義向量的減法，即已知、，定義。在這種定義下，作時，可先在平面內任取一點，作，，則由向量加法的平行四邊形法則知，。由于，即就是。實踐表明，中學生理解第一種定義方法存在困難，但能容易地作出；接受第二種定義方法容易，但作較繁。為便于學生接受，教科書先類比相反數給出相反向量，再把定義為，然后借助幾何直觀得出的作法（向量減法的幾何意義）。2．強調向量作為解決現實問題和數學問題的工具作用。為了強調向量作為刻畫力、速度、位移等現實中常見現象的有力的數學工具作用，本章特別注意聯系實際。特別是在概念引入中加強與實際的聯系。例如，在引入向量的概念時，聯系了位移、物體在液體中的受力分析、彈簧受力分析等；向量的加法運算、平面向量的正交分解、平面向量的數量積等都與相應的物理問題建立聯系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成相聯系。另外，向量也是解決數學問題的好工具，例如，和（差）角的三角函數公式、線段的定比分點公式、平面兩點間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進行推導；向量作為溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，是一個很好的數形結合工具，教科書通過“平面幾何中的向量方法”進行了介紹，并在第三章用向量方法來推導兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現向量作為基本的、重要的數學工具的地位。

3．根據數學知識的發展過程與學生的認知過程安排內容。

向量是高中數學課程近年來引進的新內容，為了保證其科學性，同時又易于被學生接受，根據向量知識的發展過程和學生的思維規律，根據“標準”對向量內容的定位，并考慮到學生在數及其運算中建立起來的經驗，本章按照如下次序來編排：向量的實際背景及基本概念→向量的線性運算→平面向量基本定理及坐標表示→向量的數量積→向量應用舉例。

具體的考慮是：（1）借助力、速度、位移等現實中的常見現象，讓學生認識引進向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，給出向量的概念。

（2）數學中引進一個新的量，自然要看看它的運算及其運算律的問題。向量運算可以與我們熟悉的數的運算進行類比，從中得到啟發，因此在引進向量概念后接著討論向量的線性運算（加、減及數乘）是很自然的。只是要對向量與數之間不同的地方要非常小心，也即運算中除了考慮大小，還要考慮方向問題。這里，為了便于學生理解，還要借助于物理中力的合成來定義向量的加法。（3）受到數軸上的點表示數的啟發，向量能不能用類似于數軸上的點的形式來表示呢？根據這個想法，以向量的加法運算為基礎，得出平面向量基本定理，就可以引進向量的坐標表示。

（4）從運算的角度看，自然要研究兩個向量是否可以相乘，如果可以，那么結果怎樣？還是從向量的物理背景中得到啟發，可以定義兩個向量的數量積運算，并討論運算律問題。至于向量是否可以作其他運算，以及如何定義，可以作為懸念留待今后解決。（5）學習的目的在于應用，應用的過程中可以加深理解相關知識，因此安排了“向量的簡單應用”。本章內容的這種想法，如果能夠讓學生在學習過程中明確起來，那么對他們掌握本章內容會有很大幫助。這里需要說明的是，向量的坐標表示的引入，由于目的不同而有不同的處理方式。高等數學教材中，往往采取先介紹向量的概念及各種運算，并直接用向量解決有關幾何問題，然后再引進坐標，并用向量和坐標方法討論空間直線、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章為了盡早讓學生知道處理幾何問題的另兩種方法——向量法和坐標法，突出數形結合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引進向量的坐標，并把向量的線性運算及向量的共線等用坐標表示。4．強調向量法的基本思想，明確向量運算及運算律的核心地位。

向量具有明確的幾何背景，向量的運算及運算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運算得到解決。另外，向量及其運算（運算律）與幾何圖形的性質緊密相聯，向量的運算（包括運算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質也可以用向量的運算（運算律）來表示。例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的加法及其交換律（a+b=b+a）又可以表示平行四邊形的性質（在平行四邊形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD）。這樣，建立了向量運算（包括運算律）與幾何圖形之間的關系后，可以使圖形的研究推進到有效能算的水平，向量運算（運算律）把向量與幾何、代數有機地聯系在一起。

幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運算”來代替解析幾何中的“數和數的運算”。這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結果翻譯成關于點、線、面的相應結果。如果把解析幾何的方法簡單地表述為：[形到數]——[數的運算]——[數到形]；則向量方法可簡單地表述為：[形到向量]——[向量的運算]——[向量和數到形]。教科書特別強調了向量法的上述基本思想，并根據上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問題的“三步曲”。為了使學生體會向量運算及運算律的重要性，教科書注意引導學生在解決具體問題時及時進行歸納，同時還明確使用了“因為有了運算，向量的力量無限；如果沒有運算，向量只是示意方向的路標”的提示語。5．通過與數及其運算的類比，向量法與坐標法的類比，建立相關知識的聯系，突出思想性。向量及其運算與數及其運算既有區別又有聯系，在研究的思想方法上可以進行類比。這種類比可以打開學生討論向量問題的思路，同時還能使向量的學習找到合適的思維固著點。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運算，向量的數量積運算等內容的展開上，都注意與數及其運算（加、減、乘）進行類比。又如，在學習向量的運算及運算律時，也是從數談起的：“數能進行運算，因為有了運算而使數的威力無窮。與數的運算類比，向量是否也能進行運算呢？”“數的加法啟發我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。”“數的運算和運算律緊密聯系，運算律可以有效地簡化運算。類似的，向量的加法是否也有運算律呢？”“我們知道，減去一個數等于加上這個數的相反數。向量的減法是否也有類似的法則？”……再如，在向量的坐標表示中，先提出問題：“在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數（即它的坐標）表示。對于直角坐標平面內的每一個向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐標表示，并把向量（有向線段）的坐標與點的坐標對應起來，實現向量的運算到數的運算的轉化。6．用恰時恰點的問題引導學生的數學思維。

本章充分利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設置了大量問題，教科書通過這些問題來啟發學生獨立思考，加強數學知識的形成過程，提高學生的數學思維水平。例如，引進向量加法運算時，通過“探究”欄目，創設從力的合成到向量加法的問題情景；討論向量加法的運算律時，提出“數的加法滿足交換律與結合律，向量的加法是否也滿足交換律與結合律？請畫圖進行探索。”在討論向量數乘運算時，先提出“已知非零向量，作出++和（-）+（-）+（-）。你能說明它們的幾何意義嗎？”平面向量基本定理的引入，先讓學生思考“給定平面內任意兩個向量，請作出向量3e1+2e2，e1－2e2。平面內任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？”引導學生從具體到抽象，概括出平面向量基本定理。六、對本章教學的幾個建議1．引導學生用數學模型的觀點看待向量內容在向量概念的教學中，要利用學生的生活經驗、其他學科的相關知識，創設豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實例是學生了解向量的物理背景、幾何背景，引導學生認識向量作為描述現實問題的數學模型的作用。同時還要通過解決一些實際問題或幾何問題，使學生學會用向量這一數學模型處理問題的基本方法。2．加強向量與相關知識的聯系性，使學生明確研究向量的基本思路向量既是代數的對象，又是幾何的對象。作為代數對象，向量可以運算，而且正是因為有了運算，向量的威力才得到充分的發揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點、線、面），利用向量的方向可以與三角函數發生聯系，通過向量運算還可以描述幾何元素之間的關系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。教學中，教師應當充分關注到向量的這些特點，引導學生在代數、幾何和三角函數的聯系中學習本章知識。

值得特別注意的是，在本章的教學之初，應引導學生通過與數及其運算的類比，體會研究向量的基本思路，在學完本章內容后，還要引導學生反思，重新概括研究思路，這樣可以使學生體會數學中研究問題的思想方法，提升學生的數學思維水平。3．引導學生認真體會向量法的思想實質向量集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實現形象思維與抽象思維的有機結合，因而向量方法是幾何研究的一個有效的強有力工具。教學中應當通過實例，引導學生認真體會通過建立向量及其運算（運算律）與幾何圖形之間的關系，利用向量的代數運算研究幾何問題的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。其中，由于向量的數量積集距離和角這兩個刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量于一身，因而它在解決幾何問題中的作用更大，應當通過適當的問題引起學生的注意。4．注意與數及其運算、解析幾何的思想方法的類比前已指出，向量及其運算與數及其運算可以類比，這種類比使學生體會向量研究中的問題與方法，使向量的學習有一個好的思維固著點。這樣的類比是教學中提高思想性的有效手段，因此教學中應當予以充分的關注。另外，從思想實質來說，向量法與解析法是完全一致的，教學中可以引導學生回顧數學2中歸納的解析法的“三步曲”，然后讓學生自己概括出向量法的“三步曲”。順便指出，作為向量數量化依據的平面向量基本定理，教科書是通過具體的例子來說明同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，這種表示是學生所不熟悉的。教學中應當充分用好具體例子，使學生形成對基本定理的直觀理解，但不要加以證明。在進入平面向量的坐標表示以及平面向量的坐標運算后，可以引導學生通過例題，在解決線段的定比分點、平移、平面上兩點之間的距離等問題的過程中，使學生看到結果與在數學2中得到的一樣，從而進一步體會平面向量基本定理的內涵。七、分節分析（一）向量的線性運算（共4課時）2．1向量的線性運算2．1．1向量的概念（1課時）1．教學要求（1）在物理學上一個向量為從始點到終點的位移，在幾何上向量表示一點相對于另一點的位置；（2）知道如何用向量確定點的位置，給定一點，另一點的位置可用向量唯一確定；（3）向量的有關概念。2．內容分析（1）位移的概念：表示質點位置變化的物理量，它只與質點的起點與終點位置有關，與質點實際運行的路徑無關。（2）向量的有關概念：①有向線段的概念；②向量、向量的方向、向量的大小（模）、向量的基線的概念；③向量的幾何表示：有向線段；④零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等基本概念；⑤自由向量：只有大小和方向，而無特定位置的向量。（3）用向量表示點的位置3．本節重點、難點（1）重點：①向量的概念；②相等向量的概念；③向量的幾何表示。（2）難點：向量的概念的理解。4．教法建議（1）向量概念的教學。在幾何學中，點是構成平面最基本的元素，連結兩點間的線段是空間最基本的圖形。這一小節，我們探究的是，在平面內如何表示一點到另一點的位移，以及如何確定一點相對于另一點的位置（用位置向量）。由此，引出有向線段和向量的概念，并講解如何用向量確定點的位置，為向量在幾何中的應用奠定必要的基礎。（2）思考與討論的目的是想說明，向量與平行四邊形的特征性質：“如果四邊形中，有一組對邊平行且相等，則另一組對邊平行且相等”之間的內在聯系。即，兩條不共線的有向線段表示同一向量的充要條件是：它們起點與起點、終點與終點相連構成平行四邊形。這一討論的另外一個目的是，為下一節學習加法交換律打下基礎。（3）書中例題的解，直接給出了答案，沒有說理。教學時，還是建議教師要引導學生說出理由。從而復習正六邊形和平行四邊形的有關性質。（4）強化幾何與向量的聯系。（4）練習A、B全做。練習B中的2、3可以增加要求“說明理由”，讓學生復習有關平面幾何知識。在學習平面向量時要抓住一切機會，讓學生復習平面幾何的知識。5．例題分析（課本例題）2．1．2向量的加法與2．1．3向量的減法（1課時）1．教學要求（1）理解向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則；（2）學生要熟練地掌握向量的加法運算及其運算律；（3）理解向量的減法運算為向量加法運算的逆運算；（4）能熟練地通過作圖，求作兩個向量的差。2．內容分析（1）向量加法的定義：向理加法是利用幾何作圖來定義的，方法有三角法則、平行四邊形法法則、多邊形法則。（2）兩向量的和向量與原向量之間的關系①②+=③當向量不共線時，的方向與不同向，且④當向量同向時，的方向與同向，且當向量反向時，若，則的方向與同向，且；若，則的方向與反向，且。（3）加法運算律①交換律：；②結合律：（4）向量減法的定義：有兩種方法，第一種類比運算中的加減互為逆運算，將向量減法定義為加法的逆運算；第二種方法是定義相反向量的基礎上，通過各量加法定義向量減法。3．本節重點與難點（1）重點：（1）向量加法的三角形法則與平行四邊形法則的運用；（2）向量減法法則的運用。（2）難點：對向量的加法與減法定義的理解。4．教學建議（1）建議直接從位移的合成引入向量的加法運算。認真分析“從點A位移到點B，再從點B位移到點C，等效于從點A到點C的位移”這句話的含義。（2）要認真地證明向量加法的交換律、結合律。特別是交換律的證明，不要忽略。教師要領悟到，向量加法交換律與“在四邊形中，如果有一組對邊平行且相等，則另一組對邊也一定平行且相行”這個命題是等價的。正由于這個事實，才使我們能把全等與平行的性質轉化為向量的加法運算及運算律表示。（3）本小節設置的“思考與討論”的目的是，說明求向量和與表示向量的有向線段的起點的選擇無關。向量加法構成的三角形平移到任何位置，其關系不變。通過證明這一事實進一步溝通“全等”“平行”與向量加法運算間的聯系。（4）講向量減法運算時，最好先復習一下數的減法運算和代數和概念。然后用逆運算的觀點引入向量的減法運算。（5）應注意共線向量求差的作圖方法。（6）練習A的1、2、3可作為課堂練習。練習A的4和B可留作課外作業。請教師們關注一下練習A的第4題，最好在下一節課，先對它作一小結，然后再講減法運算。5．例題分析（課本例題）2．1．4數乘向量（1課時）1．教學要求（1）理解數乘向量所表達的幾何意義；（2）理解數乘向量分配律所表達的幾何意義。2．內容分析（1）數乘向量的定義：實數與向量和乘積是一個向量，記作，且它的長，當>0時，與同方向；<0時，與反方向；當時，=；（2）數乘向量的運算律：①；②③（3）向量線性運算的概念：向量的加法、減法、數乘向量的綜合運算。3．本節重點、難點(1)重點：①數乘向量的定義；(2)數乘向量的運算律。（2）難點:正確運用法則、運算律，進行向量的線性運算4．教學建議（1）應該采用歸納對比的教學方式，與數的乘法進行對比。當學生充分理解3a、a與a的意義后，再給出數乘向量的一般定義。（2）建議探索與研究在課堂上進行。對分配律進行探索與說理是很重要的。高中學生一定要養成處處說理的習慣。培養學生的科學精神，是數學教育一項重要任務。（3）例1和例2可以由學生自己完成。例3由老師講解，說明例3的幾何意義。如過條件允許的話，最好啟發學生思考分配律與相似三角形的判斷定理之間的關系。向量等式，表明了在三角形OAB和三角形OA’B’中，有兩邊對應成比例而且夾角相等。例中用分配律證明了，即第三條邊也成比例，也就是證明了這兩個三角形相似。（4）教師要理解，如果把例3中的數3換為任意實數λ，則上面的過程也就證明了相似三角形的一個判斷定理：如果在兩個三角形中，有兩條邊對應成比例且其夾角相等，則第三條邊也對應成比例，即兩三角形相似。反之，由相似三角形判斷定理可以推出數乘向量的分配律成立。由上面分析可得出，相似三角形判斷定理與數乘向量分律是等價的。這樣，我們就可用數乘向量的分配律處理有關放大縮小及相似的問題。（5）練習A、B全做。5．例題分析（課本例題）2．1．5向量共線的條件與軸上向量的坐標運算（1課時）1．教學要求（1）要求學生理解向量平行（共線）概念和平行向量基本定理，并能像例1那樣，證明幾何中簡單的平行問題；（2）理解軸和軸上向量的概念。理解軸上向量的坐標，建立軸上向量與實數的一一對應關系。（3）學生能用向量的觀點理解數軸，能用軸上向量運算證明解析幾何基本公式AB+BC=AC，AB=x2-x1，|AB|=|x2-x1|，能用向量確定直線上點的位置。2．內容分析（1）平行（共線）向量：如果向量的基線平行或重合，則稱這些向量共線或平行。（2）平行向量的基本定理：若，則∥，反之，若∥，則且，則一定存在唯一一個實數，使得。（3）軸上向量的坐標及運算①軸：規定了方向和長度單位的直線；②給定單位向量，它能生成與它平行的所有向量的集合為；③A、B是軸上兩點，坐示分別為，則AB=，（4）向量的單位向量：與向量同方向，且長度為1的向量。4．教學建議（1）平行向量基本定理是建立直線坐標系的理論基礎。一定要讓學生扎實的掌握，這樣能使數形結合思想在學生頭腦中牢牢地扎根。（2）本節知識看似簡單，其實極為重要，一定要重視。這一小節涉及到解析幾何一些基礎知識：向量的共線（平行）、向量共線的條件、軸、向量在軸上的坐標及加法運算、數軸以及如何用位置向量確定軸上點的位置、基本公式等。這些知識看似簡單，但極為重要。這一節的學習，可為不同層次的學生搭建學習數學的基礎平臺。（3）向量的平行，是用向量的基線平行定義的。并規定零向量可以與任意一個向量平行。從這里可以看出引入向量基線的作用。引入基線，主要是邏輯上的考慮。我們把向量平行建立在直線平行的基礎上。這樣，向量與幾何緊密相連，又可避開直接用方向來定義向量的平行。（4）平行向量基本定理是由向量平行的定義直接推知，沒有作形式化的證明。教學時，沒有必要補充證明。（5）軸上向量的坐標及其運算，完全可啟發學生自己導出。一定要讓學生區分軸與數軸這兩個不同的概念。理解軸上向量與其實數（坐標）的一一對應關系。書中沒有提軸上向量的減法運算，它應包含在加法運算之中。（6）軸上向量的基本公式，在數學2中已學習過，這里用向量再重新推導，目的是提高學生對這些基本公式的理解和記憶。直接學習必修4的學生，更應該認真學習，提高學生對這些公式的理性認識。（7）練習和習題都比較簡單，要求學生全做。5．例題分析（課本例題）（二）2．2向量的分解與向量的坐標運算（2課時）2．2．1平面向量基本定理（1課）1．教學要求（1）理解平面向量的基本定理；（2）理解平面向量與數偶的一一對應關系和向量的坐標表示；（3）通過例2掌握直線的向量表達式和中點公式；（4）解題時能合理地選擇基底表示向量，并進行向量運算。2．內容分析（1）平面向量基本定理：如果，是一平面內的兩個不平行向量，那么對該平面內的任一向量，存在唯一一對實數，使得；（2）直線的向量表達式：設A、B是同一直線上三點，O是直線外一點，則對直線上任一點P，存在實數，使=；（3）線段中點的向量表達式：上式中，若M為AB的中點，則。3．本節重點、難點（1）重點：平面向量的基本定理及應用。（2）難點：平面向量的基本定理及應用。4．教學建議（1）教科書中，先用實例歸納出基本定理，然后做形式化的證明。（2）實際教學時，形式化證明可以省略。特別是唯一性證明，可能多數學生難以理解。但一定要對“唯一性”加以說明，以便應用唯一性解題。（3）由基本定理，分析向量與數偶的一一對應關系和向量的坐標概念。一個數偶對應平面內一個向量，即對應一個平行且相等的有向線段的集合。（4）建議引導學生推導直線的向量表達式和中點公式。應注意，直線的向量表達式和中點公式應讓學生記憶。（5）建議增加思考與討論：假設O、A、B是平面上三個定點，而且，思考點P在直線AB上的條件。（6）練習A，B的設置，全是為了學生熟練地掌握基本定理，要求學生全做。不需要增加技巧題。5．例題分析（課本例題）2．2．2向量的正交分解與各量的直角坐標運算，2．2．3用平面向量坐標表示向量共線性運算，1．教學要求（1）熟練地掌握向量的坐標運算。(2)理解正交分解的概念，用向量的觀點重新認識直角坐標系，區分向量坐標與點的坐標的異同；(3)

已知向量的長度和方向轉角，會求向量的坐標，知道向量始點和終點的坐標，會求向量的坐標；(4)

掌握線段的中點公式的坐標表示，會根據已知條件，確定直線上點的位置。(5)

會推導兩向量平行的坐標表示；(6)

掌握判斷兩個向量平行（或共線）的條件。2．內容分析（1）向量垂直：若兩向量的基線垂直，則稱兩向量垂直。（2）正交基底：若基底的兩個向量，互相垂直，則稱這個基底為正交基底。（3）正交分解：在正交基底下分解向量，叫正交分解。（4）向量的直角坐標表示：設，，則①②③④設點A，點B，則向量（4）線段中點坐標公式：已知A，B，則線段AB中點M的坐標為，（5）用平面向量坐標表示兩向量平行的條件：設，，∥4．教學建議(1)

復習基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念。讓學生用基本定理重新認識平面直角坐標系。用三角函數的定義，初步建立向量與長度、角度之間的聯系a1=|a|cosθ，a2=|a|sinθ。（2）教師應引導學生自己推導運算法則。(3)

認真向學生分析，向量的坐標與點坐標之間的關系。(4)做完前6個例題，總結用向量確定點位置的計算方法。（5）注意滲透數形結合思想。（6）下一章我們要證明，a1b2-a2b1為向量a、b張成的平行四邊形的面積。它是解析幾何中一個重要的不變量。顯然，面積為零，兩向量共線。5．例題分析（課本例題）（三）2．3平面向量的數量積（2課時）向量的數量積與距離、角度緊密相聯，它是度量幾何學的基礎。如何度量距離和角度是幾何學發展兩個強大的動力。從直接度量到相似和勾股計算，從解直角三角形，到正弦和余弦定理，人們已可解決各種各樣的有關角度和距離的度量。向量的數量積使度量幾何上升到一個嶄新的層面，使人們能更有效地用代數方法研究幾何，向量的數量積已成為研究幾何度量的強有力的工具。2．3．1向量數量積的物理背景與定義（1課時）1．教學要求(1)

理解投影公式al=|a|cosθ的意義和作用。(2)

掌握數量積的定義、幾何意義和5條基本性質。2．內容分析（1）力做功的計算：，其中是力在物體位移方向上的分量的數量，也是力在物體位移方向上正射影的數量。（2）兩個向量的夾角：①讓兩向量共起點后，兩向量正方向所成的最小正角；②兩向量夾角的表示：③范圍：（3）向量在軸上的正射影：向量在軸上的正射影記作，向量的方向與軸所正向所成的角為，則=。（4）向量的數量積（內積）①定義：②內積的五個性質：若是單位向量，則；若，則，且若，則；，即；=；3．本節重點、難點（1）重點：向量數量積的定義與性質（2）難點：對向理數量積的定義的理解與應用。4．教學建議(1)

通過對物理中做功計算的分析，引入向量的在軸上的投影計算公式。(2)

先回到力做功的計算，定義W=|s|(|f|cosθ)=s·f，再引入向量的數量積定義。(3)

學生對運算的意義，通過集合運算、向量的加法、數乘向量，已突破算術運算的框框，學生在形式上會接受定義，但還是向學生說明，之所以定義這種運算，是因為它具有一套優良的算律。為下一節講算律埋下伏筆。（4）對數量積，應向學生強調以下幾點。①兩個向量的和，數乘向量的積都仍是一個向量；②兩個向量的數量積，就不在是一個向量，而是一個實數；③在向量集合中，任取兩個向量，它們的數量積對應實數集中一個唯一的實數。(5)

引導學生推導數量積的5條性質。這5條性質是度量幾何最基本的5個關系式，它的重要作用顯現在它們的坐標表達式之中。這里，主要是通過定義，講清楚它們的幾何意義。(6)

設置的練習題，主要是鞏固學生對數量積的定義的理解，并掌握其性質。

5．例題分析（課本例題）2．3．2向量數量積的運算律與2．3．3向量數量積的坐標運算與度量公式（1課時）1．教學要求(1)

掌握向量數量積的運算律及其幾何意義，特別是分配律的幾何意義：兩個向量和的投影等于各向量投影的和；(2)

能用運算律證明簡單的幾何問題；（3）掌握推導數量積坐標表達式的過程，熟練掌握向量垂直的條件、距離公式和夾角公式；（4）體會數量積與長度、角度間的聯系。2．內容分析（1）數量積的運算律：①②③（2）向量數量積的坐標表示與度量公式：設，，則①向量內積的坐標表示：②兩向量垂直的條件：③向量的長度：④向量的夾角：=⑤設點A，B，則3．本節重點、難點（1）重點：①對向量數量積運算律的理解和運用；②向量數量積的坐標表示與度量分式。（2）難點：①對向量數量積運算律的理解和運用；②靈活運用公式解決實際問題。4．教學建議(1)

由恒等變形|a|(|b|cosθ)=|b|(|a|cosθ)，得出ab=ba。(2)

認真證明分配律，揭示分配律的幾何意義。為用分配律運算解幾何問題打下堅實的基礎。(3)

例1中的（1）、（2）、（3），主要是讓學生熟悉算律的應用。但這三個向量表達式，有深刻的幾何意義。如果在△ABC中令，則，，，且。則（1）和（3）都是余弦定理的向量表達式。也就是說，（1）和（3）已證明了余弦定理。顯然，這時接著學習正、余弦定理是順理成章的事。但教材依據課標，把這一內容放到必修5中，以便那個時候再返回到低的層面上循環。其教育價值，值得研究。建議講解（1）和（3）時，順便畫圖，說一下其幾何意義，為以后學習埋下伏筆。例1中的（2），作出圖來，顯示的是平行四邊形的性質。當等式右邊等于0，也就證明了菱形的對角線互相垂直。這也是例2要求證明的。(4)

2．3．3

這一節，主要是把數量積運算，完全坐標化。實際上，a1b1+a2b2表示兩個向量的數量積，只與長度和角度有關，與坐標系的選擇無關，它是解析幾何中一個重要的不變量。在度量幾何中有著重要應用。這樣，遇到幾何中的度量問題，就可通過建立坐標系，用代數方法來處理。教學時引導學生自己推導數量積的坐標表達式。(5)

引導學生自己推導兩個向量垂直的條件a1b1+a2b2=0。有了這個條件，就可通過計算數量積處理相關的垂直問題。引導學生寫出與向量（a1，a2）垂直的向量的坐標形式為：k(-a2，a1)。特別與它垂直的兩個單位向量，以及，。記住與(a1，a2)垂直的兩個向量是有益的。(6)

引導學生自己推導向量長度、距離和夾角公式。(7)

引導學有余力的學生進行思考與討論，用兩個向量垂直的條件證明90°的誘導公式。(8)

講解2．3．3

例4時，已知（a，b），要求學生會寫出關于直線y=x的軸對稱點的坐標（b，a）。(9)

練習A、B的練習都是度量公式基本應用，學生應能熟練地做出。

（10）學生基礎好的學校也可安排一個例題：已知點A（2，5），B（1，2），而且C（4，3），求點A到直線BC的距離。引導學生通過向量運算求解。求出向量BC垂直的單位向量h0，則點A到直線BC的距離。5．例題分析（課本例題）（四）2.4向量的應用這一節的重點是，向量在解析幾何中的應用。

2．4．1向量在幾何中的應用1．教學要求(1)

通過書中例子，了解向量在平面幾何中的應用，但不引導學生用向量去解平面幾何問題；(2)

理解向量與直線平行、向量與直線垂直的概念、直線斜率與直線方向向量間的關系；(3)

會求通過一點且與已知向量