四川省平昌中學高2023級第三學期入學考試試題數學考試時間：120分鐘總分：150分注意事項：1．答題前在答題卡上填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3、回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1．設集合則（）A． B． C． D．2．復數，若為實數，為純虛數，則（）A．6 B． C．2 D．3．命題“”的否定是（）A． B．C． D．4．已知平面α，β，直線，直線m不在平面α內，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則． D．若，則5．已知一個樣本容量為7的樣本的平均數為6，方差為2，現在樣本中插入三個新的數據5，6，7，若新樣本的平均數為，方差為，則（）A． B． C． D．6．函數的部分圖像大致是（）A． B．C． D．7．已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，點D為AC的中點，交AB于E，且，則的面積為（）A． B． C． D．8．在棱長為1的正方體中，E、F分別為AB、BC的中點，則下列說法中不正確的是（）A．當三棱錐的所有頂點都在球O的表面上時，球O的表面積為B．異面直線與所成的角的余弦值為C．點P為正方形內一點，當平面時，DP的最小值為D．過點，E，F的平面截正方體所截得的截面周長為二、多選題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是必然事件B．事件發生的可能性越大，它的概率越接近1C．某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票一定會中獎D．任意投擲兩枚質地均勻的骰子，則點數和是3的倍數的概率是10．的內角A，B，C的對邊為a，b，c則下列說法正確的是（）A．，則是銳角三角形B．若，則是直角三角形C．若，則D．若，則11．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，，且點P在以AD中點O為圓心，OA為半徑的圓上，，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡上．12．已知與平行，則實數___________．13．函數滿足對任意實數都有成立，則實數a的取值范圍為___________．14．已知為方程的兩個實數根，且，則的最大值為___________．四、解答題：本題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．15．（13分）為了落實習主席提出的“綠水青山就是金山銀山”的環境治理要求，平昌縣政府積極鼓勵居民節約用水．計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照分成9組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）直方圖中a的值；（2）由頻率分布直方圖估計平昌縣居民月用水量的平均數是多少；（3）若平昌縣政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），求x的估計值．16．（15分）如圖所示，在三棱錐中，．（1）求證：；（2）若點D為AP的中點，且，求二面角的大小．17．（15分）如圖所示，在中，，點D，E分別在AB，AC上且滿足，P為線段DE上一動點．（1）若，求的值；（2）求的最小值．18．（17分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且．（1）求角C的值；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．19．（17分）已知函數；（1）判斷函數奇偶性，并說明理由；（2）求函數的反函數；（3）若函數的定義域為，值域為，并且在上為減函數．求a的取值范圍；

四川省平昌中學高2023級第三學期入學考試答案（數學）一、單選題1．【答案】D【解析】由題意得：，所以2．【答案】B【解析】因為為實數，所以；又因為為虛數，所以，所以，故選B．3．【答案】A【解析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則命題“”的否定為“”，故選A．4．【答案】D【解析】因為，對于A，若，則有可能在內，故A錯誤；對于B，若，則有可能在內，故B錯誤．對于C，若，則的情形比較多，不一定垂直，故C錯誤；對于D，若，則，又，則，故D正確；5．【答案】A【解析】設原樣本的7個數據分別為，插入的三個新數據分別為．由題意得，，所以，6．【答案】D【解析】因為，，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，由此排除AC選項．當時，，排除B選項，所以D選項正確．7．【答案】C【解析】因為，所以由正弦定理得：，所以，由余弦定理得：，又因為，所以．又因為點為的中點且，所以，在中，由正弦定理得：，得，在中，由正弦定理得：，化簡得：，所以，所以，所以，所以8．【答案】D【解析】對于A：三棱錐的外接球為以為鄰邊的長方體的外接球．因為，可得外接球的半徑，所以外接球的表面積，故A正確；對于B：因為，則異面直線與所成角為，且，可得，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C：取的中點，連接，由題意可得：，則四邊形為平行四邊形，所以．因為四邊形為正方形，分別為的中點，則，所以四邊形為平行四邊形，所以．又因為，可得，則四邊形為平行四邊形，所以，可得．因為平面平面，則平面．因為，則四邊形為平行四邊形，則．因為分別為的中點，則，同理可得，則，可得．因為平面平面，則平面．因為平面，所以平面平面，則點在線段上，可得．故當點為線段的中點時，取到最小值，此時最小值為，故C正確；對于D：連接．因為為的中點，則，又因為，則四邊形為平行四邊形，可得，則．過作，設，則．可得．連接，設，連接．可得過點的平面截正方體所得的截面為五邊形，因為，則，可得，所以截面周長為，故D錯誤；二、多選題9．【答案】BD【分析】根據事件發生的隨機性可以判斷A，C選項，根據頻率與概率的關系可以判斷B選項，應用古典概型判斷D選項．【詳解】隨機事件的不確定性可以確定A，C選項錯誤，事件發生的可能性越大，它的概率越接近1，B選項正確；任意投擲兩枚質地均勻的骰子基本事件有36種情況，點數和是3的倍數的情況有個基本事件，概率是，故D選項正確．10．【答案】BCD【解析】選項A：因為，所以為鈍角，故A錯誤；選項B：因為，所以，化簡得：，由正弦定理得：，所以為直角三角形，故B正確；選項C：因為，所以，可得：，又因為在上單增，所以，所以，故C正確；選項D：因為，所以為銳角，又因為，所以為銳角，所以，可得，所以同理可得：．所以，所以，故D正確．11．【答案】BCD【解析】對A：過作直線的平行線交于點，則，所以當與重合時，取得最小值，最小值為；當與半圓相切時，取得最大值，此時，所以A錯誤；對B：因為，且點在以的中點為圓心，為半徑的半圓上，所以，則，故B正確；對C：過作交于，則，則當與重合時，取得最小值，最小值為；當與半圓相切時，取得最大值，最大值為3，所以，C正確；對D：用等和線知識可得，當位于與平行且與半圓相切的直線上時，最大．設此線與交于點，則，所以的最大值為，即D正確．或者建系：對C，D：如圖，以點為原點建立平面直角坐標系，則．因為點在以的中點為圓心，為半徑的半圓上，所以由三角函數的定義，可設，則，所以．因為，所以，所以，故C正確；因為，所以，即，所以，所以．因為，所以當時，取得最大值，故D正確．三、填空題12．【答案】6【解析】因為，則，又因與平行，于是得，解得．13．【答案】【解析】由題意，函數在和上分別單調遞增，且在上的最高點不高于其在上的最低點，即解得14．【答案】【解析】因為為方程的兩個實數根，且，所以，解得，或．記，所以，即，而此方程有解需滿足．因為，所以，當時取到等號．故答案為．四、解答題15．【解析】（1）由，解得：．（2）長壽區居民月用水量的平均數（噸）．（3）因的頻率為的頻率，由題意得，得噸．所以有的居民每月的用水量不超過標準5.8（噸）．16．【解析】（1）取的中點，連接．因為為中點，所以．又因為為中點，所以．又因為，所以面．又因為面，所以．（2）由（1）知：，又因為且，所以面．又因為面，所以面面．又因為且，所以面，所以．所以二面角的平面角為．又因為且，所以，所以為等腰直角三角形．又因為點為的中點，所以，所以二面角的大小為．17．【解析】（1）因為，且，所以．又因為三點共線，所以，所以．（2）由（1）知：，得到，因為，，所以．又因為，所以，所以．又