第1頁（共1頁）2024年黑龍江省哈爾濱市中考數學試卷一、選擇題（每小題3分，共計30分）1．（3分）﹣的相反數為（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）剪紙是我國最古老的民間藝術之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2020年11月10日，中國萬米載人潛水器“奮斗者號”在馬里亞納海溝成功坐底，下潛深度達10909m．將10909用科學記數法表示為（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×1054．（3分）三個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝16．（3分）二次函數y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（3分）如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD交CD于點F，若AE：BE＝1：2，則FC的長為（）A．6 B．3 C．5 D．99．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，大于AB的長為半徑作弧，N兩點，作直線MN交BC于點D連接AD，則∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°10．（3分）一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始5min內只進水不出水，在隨后的10min內既進水又出水（單位：L）與時間x（單位：min）之間的關系如圖所示，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L二、填空題（每小題3分，共計30分）11．（3分）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是．12．（3分）把多項式2a2﹣18分解因式的結果是．13．（3分）如圖，AB是⊙O的切線，點A為切點，OB，若∠OBA＝40°度．14．（3分）一個不透明的袋子中裝有7個小球，其中6個紅球，1個黑球，則摸出的小球是紅球的概率是．15．（3分）已知蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，則蓄電池的電壓U＝V．16．（3分）不等式組的解集是．17．（3分）若90°圓心角所對的弧長是3πcm，則此弧所在圓的半徑是．18．（3分）定義新運算：a※b＝ab+b2，則（2m）※m的運算結果是．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°．20．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，連接DG，∠CDG＝，點E為DG的中點，連接OE交CD于點F，DE＝，則DF的長為．三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分，25～27題各10分，共計60分）21．（7分）先化簡，再求代數式的值22．（7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中將線段AB先向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到線段CD（點A的對應點為點C，點B的對應點為點D），連接AD，畫出線段CD，AD；（2）在方格紙中，畫出以線段AD為斜邊的等腰直角三角形AED（點E在小正方形的頂點上），且∠BAE為鈍角，BC交于點O，連接OE，直接寫出的值．23．（8分）威杰中學開展以“我最喜歡的研學地點”為主題的調查活動，圍繞“在科技館、規劃館、博物館、航天館四個研學地點中，你最喜歡哪一個地點？（必選且只選一個地點），在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查，將調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調查中，一共抽取了多少名學生？（2）通過計算補全條形統計圖；（3）若威杰中學共有800名學生，請你估計該中學最喜歡科技館的學生共有多少名．24．（8分）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，AB＝BC．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，AB＝AC，CH⊥AD于點H，連接AE，點G在AB上，若∠FEC＝75°，在不添加任何輔助線的情況下（線段CE除外）．25．（10分）春浩中學在校本課程的實施過程中，計劃組織學生編織大、小兩種中國結．若編織2個大號中國結和4個小號中國結需用繩20米；若編織1個大號中國結和3個小號中國結需用繩13米．（1）求編織1個大號中國結和1個小號中國結各需用繩多少米；（2）春浩中學決定編織以上兩種中國結共50個，這兩種中國結所用繩長不超過165米，那么該中學最多編織多少個大號中國結？26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于點E，AE＝CE，BD．（1）如圖1，求證：AC∥BD；（2）如圖2，連接EO并延長交BD于點F，求證：∠BEF＝∠DEF；（3）如圖3，在（2）的條件下，作OM⊥CD于點M，點G在BF上，連接EG，連接BH交AD于點T，交EG于點Q，若DE﹣CM＝OE，＝，FG＝2，AC＝827．（10分）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝x2+bx+c經過點O（0，0），與x軸正半軸交于點A，點A坐標（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如圖1，點P為第二象限內拋物線上一點，連接PA，設點P的橫坐標為t，△AOP的面積為S（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，t＝﹣2，DF⊥OA，交PA于點C，點E在第二象限，連接EC，連接ED，過點E作ED的垂線，連接DG交AC于點M，過點A作x軸的垂線，交DG的延長線于點R，CM＝，連接RE并延長交拋物線于點N，RA＝RN，連接AT，CT，DH⊥AT，交AT的延長線于點H，求直線CT的解析式．

2024年黑龍江省哈爾濱市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共計30分）1．（3分）﹣的相反數為（）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：﹣的相反數是．故選：B．2．（3分）剪紙是我國最古老的民間藝術之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．圖形既不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．圖形是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．圖形是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形形，故選：D．3．（3分）2020年11月10日，中國萬米載人潛水器“奮斗者號”在馬里亞納海溝成功坐底，下潛深度達10909m．將10909用科學記數法表示為（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×105【解答】解：10909用科學記數法可以表示：1.0909×104．故選：A．4．（3分）三個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從左邊看，是一列兩個相鄰的正方形．故選：D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1【解答】解：原方程去分母得：x+2＝3（x﹣7），整理得：x+2＝3x﹣12，解得：x＝5，檢驗：當x＝7時，（x+2）（x﹣6）≠0，故原方程的解為x＝7，故選：C．6．（3分）二次函數y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由題意，∵y＝2（x+1）7+3，∴當x＝﹣1時，y取最小值為6．故選：D．7．（3分）如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚【解答】解：第1個圖棋子個數為4；第7個圖棋子個數為2×4＝2；第3個圖棋子個數為3×2＝12；因此：第四個圖的棋子個數為4×4＝16；第五個圖棋子個數為5×4＝20．故選：B．8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD交CD于點F，若AE：BE＝1：2，則FC的長為（）A．6 B．3 C．5 D．9【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴，即，解得FC＝6，故選：A．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，大于AB的長為半徑作弧，N兩點，作直線MN交BC于點D連接AD，則∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵分別以點A和點B為圓心，大于，兩弧相交于M，作直線MN交BC于點D連接AD，∴DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣50°＝30°．故選：C．10．（3分）一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始5min內只進水不出水，在隨后的10min內既進水又出水（單位：L）與時間x（單位：min）之間的關系如圖所示，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L【解答】解：設當5≤x≤15時的直線方程為：y＝kx+b（k≠0）．∵圖象過（8，30），50），∴．∴．∴y＝8x+20．令x＝9，∴y＝2×2+20＝38．故選：B．二、填空題（每小題3分，共計30分）11．（3分）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是x≠5．【解答】解：∵y＝，∴x﹣5≠6，故答案為：x≠5．12．（3分）把多項式2a2﹣18分解因式的結果是2（a+3）（a﹣3）．【解答】解：原式＝2（a2﹣8）＝2（a+3）（a﹣4），故答案為：2（a+3）（a﹣4）．13．（3分）如圖，AB是⊙O的切線，點A為切點，OB，若∠OBA＝40°50度．【解答】解：∵直線l是圓O的切線，切點是點A，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．14．（3分）一個不透明的袋子中裝有7個小球，其中6個紅球，1個黑球，則摸出的小球是紅球的概率是．【解答】解：∵從袋中任意摸出一個球，共有7種等可能結果，∴從袋中任意摸出一個球，是紅球的概率為，故答案為：．15．（3分）已知蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，則蓄電池的電壓U＝36V．【解答】解：∵電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，∴I＝．由圖象可知，當R＝9時，∴U＝I?R＝4×4＝36（v）．答：蓄電池的電壓是36v．故答案為：36．16．（3分）不等式組的解集是1＜x＜3．【解答】解：，由①得，x＞3，由②得，x＜3，∴原不等式組的解集為：1＜x＜7．故答案為：1＜x＜3．17．（3分）若90°圓心角所對的弧長是3πcm，則此弧所在圓的半徑是6cm．【解答】解：∵l＝，∴r＝＝＝6（cm），故答案為：7cm．18．（3分）定義新運算：a※b＝ab+b2，則（2m）※m的運算結果是3m2．【解答】解：∵a※b＝ab+b2，∴（2m）※m＝8m?m+m2＝2m3+m2＝3m5．故答案為：3m2．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°2或．【解答】解：若∠B＝90°，則AC＝；若∠C＝90°，則AC＝．20．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，連接DG，∠CDG＝，點E為DG的中點，連接OE交CD于點F，DE＝，則DF的長為．【解答】解：連接CE，設EF＝x，在矩形ABCD中，OA＝OC＝OD＝OB，則∠OBC＝∠OCB，∠AOB＝∠COD＝∠OBC+∠OCB＝2∠DBC，∵E是DG中點，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC＝，EF＝，∵∠DCG＝90°，∴DE＝CE＝EG，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CEG＝∠EDC+∠ECD，∵∠CDG＝∠AOB，∴，∴∠CEG＝∠DOE，∴△DOE∽△CEG，∴，∵AO＝3EF＝OD，DE＝，∴，∴EF＝8，∴．三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分，25～27題各10分，共計60分）21．（7分）先化簡，再求代數式的值【解答】解：由題意，原式＝?﹣?＝﹣＝＝＝．又x＝3cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣7，∴原式＝＝．22．（7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中將線段AB先向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到線段CD（點A的對應點為點C，點B的對應點為點D），連接AD，畫出線段CD，AD；（2）在方格紙中，畫出以線段AD為斜邊的等腰直角三角形AED（點E在小正方形的頂點上），且∠BAE為鈍角，BC交于點O，連接OE，直接寫出的值．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：得到．∵每個小正方形的邊長均為2個單位長度，∴等腰直角三角形EAD中，AD＝＝，∵O是平行四邊形ABDC對角線的交點，∴DO＝，在Rt△EOD中，ED＝＝，∴EO＝＝＝＝，∴．23．（8分）威杰中學開展以“我最喜歡的研學地點”為主題的調查活動，圍繞“在科技館、規劃館、博物館、航天館四個研學地點中，你最喜歡哪一個地點？（必選且只選一個地點），在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查，將調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調查中，一共抽取了多少名學生？（2）通過計算補全條形統計圖；（3）若威杰中學共有800名學生，請你估計該中學最喜歡科技館的學生共有多少名．【解答】解：（1）8÷20%＝40（名），答：在這次調查中，一共抽取了40名學生；（2）喜歡規劃館的人數為：40﹣14﹣10﹣8＝5（名），補全條形統計圖如下：（3）800×＝280（名），答：估計該中學最喜歡科技館的學生共有280名．24．（8分）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，AB＝BC．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，AB＝AC，CH⊥AD于點H，連接AE，點G在AB上，若∠FEC＝75°，在不添加任何輔助線的情況下（線段CE除外）．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：與線段CE相等的線段有：AE，DE，CF由（1）知：四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC和△ADC為等邊三角形，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，即CH為AD的垂直平分線，∴AE＝DE．同理：CE＝AE，∴AE＝DE＝EC．∵△ADC為等邊三角形，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠ACD＝30°，∵∠FEC＝75°，∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，∴∠EFC＝∠FEC，∴CF＝CE．∵△ABC和△ADC為等邊三角形，∴∠BAC＝CAD＝60°，∵CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120，∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，∴△AGE為等腰直角三角形，AE＝AG，∴AG＝EC．25．（10分）春浩中學在校本課程的實施過程中，計劃組織學生編織大、小兩種中國結．若編織2個大號中國結和4個小號中國結需用繩20米；若編織1個大號中國結和3個小號中國結需用繩13米．（1）求編織1個大號中國結和1個小號中國結各需用繩多少米；（2）春浩中學決定編織以上兩種中國結共50個，這兩種中國結所用繩長不超過165米，那么該中學最多編織多少個大號中國結？【解答】解：（1）設編織1個大號中國結需用繩x米，編織1個小號中國結需用繩y米，由題意得：，解得：，答：編織1個大號中國結需用繩8米，編織1個小號中國結需用繩3米；（2）該中學編織m個大號中國結，則編織（50﹣m）個小號中國結，由題意得：2m+3（50﹣m）≤165，解得：m≤15，答：該中學最多編織15個大號中國結．26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于點E，AE＝CE，BD．（1）如圖1，求證：AC∥BD；（2）如圖2，連接EO并延長交BD于點F，求證：∠BEF＝∠DEF；（3）如圖3，在（2）的條件下，作OM⊥CD于點M，點G在BF上，連接EG，連接BH交AD于點T，交EG于點Q，若DE﹣CM＝OE，＝，FG＝2，AC＝8【解答】（1）證明：∵AE＝CE，∴∠A＝∠C，∵，∴∠C＝∠B，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）證明：如圖1，連接OD，OB，由（1）知，AC∥BD，∠C＝∠EBD，∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，∴DE＝BE，∵OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠BEF＝∠DEF；（3）解：如圖2，作AD的垂直平分線，交AB于W，作BV⊥CD于V，∴AW＝DW，∴∠BAD＝∠ADW，∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝8∠BAD，∵∠DGE＝2∠BAD，∴∠DWB＝∠DGE，∵OM⊥CD，∴DM＝CM，∵DE﹣CM＝OE，∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EM＝OE，∴∠DEF＝30°，由（2）知，∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，∴∠DEB＝60°，∴△BED是等邊三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△BDW≌△BEG（AAS），∴DW＝EG，BW＝DG，∴EW＝BG，同理可得，△ACE是等邊三角形，∴AE＝AC＝2，設EW＝BG＝a，則AW＝a+8，∴BE＝BD＝2BF＝5a+4，∴EF＝BE＝，∴DW2＝EG4＝EF2+FG2＝7（a+2）2+4，由DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）4，∴a1＝6，a7＝﹣4（舍去），∴BD＝2a+7＝16，∵，∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，∴點E、T、D、B共圓，∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠ATE＝∠EBD＝60°，∵，∴∠ADB＝∠AHB，∴∠AHB＝∠AET，∵∠ATH＝∠BTD＝60°，∴∠ATH＝∠ATE，∵AT＝AT，∴△AHT≌△AET（AAS），∴∠HAT＝∠EAT，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADE（ASA），∴DH＝DE＝BD＝16，在Rt△BDV中，BD＝16，∴DV＝16?cos60°＝8，BV＝16?sin60°＝8，∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，∴tan∠BCD＝＝，∴sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，在Rt△EFG中，tan∠EGF＝，設QS＝4m，SG＝m，QG＝，在Rt△QBS中，tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD＝，∴，∴m＝，∴QG＝7m＝6，∴BG＝QG＝6，∴∠DBH＝∠BQG，∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠EQT，∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，∴△ATE≌△QTE（ASA），∴AT＝QT，在Rt△AEN中，EN＝AE?sin∠BAD＝7×＝，AN＝AE?cos∠BAD＝8×＝，在Rt△ETN中，EN＝，∴NT＝＝，∴QT＝AT＝AN+NT＝．27．（10分）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝x2+bx+c經過點O（0，0），與x軸正半軸交于點A，點A坐標（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如圖1，點P為第二象限內拋物線上一點，連接PA，設點P的橫坐標為t，△AOP的面積為S（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，t＝﹣2，DF⊥OA，交PA于點C，點E在第二象限，連接EC，連接ED，過點E作ED的垂線，連接DG交AC于點M，過點A作x軸的垂線，交DG的延長線于點R，CM＝，連接RE并延長交拋物線于點N，RA＝RN，連接AT，CT，DH⊥AT，交AT的延長線于點H，求直線CT的解析式．【解答】解：（1）將點O（0，0）和點A（6x6+bx+c得，，∴，∴；（2）S＝yP＝＝；（3）如圖1，作PJ⊥x軸于J，連接BF，作MW⊥BE于W，作NS⊥x軸于S，交SN于Q，則∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，把t＝﹣2代入y＝得，y＝，∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，∴AJ＝PJ，∴∠PAJ＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，∴∠PAJ＝∠ACD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴可得四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，∵CF＝CD＝BC，∴∠CFB＝∠CBF＝45°，∵FG∥AC，∴∠CFG＝∠ACD＝45°，∴點F、G、B共線，∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，∴∠FBD+∠DEG＝180°，∴點G、E、D、B共圓，∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，∴∠EGD＝∠EDG，∴EG＝ED，∵∠EVG＝∠DCE＝90°，∴∠EGV+∠VEG＝90°，∵∠DEG＝90°，∴∠DCE+∠VEG＝90°，∴∠DEC＝∠EGV，∴△EGV≌△DEG（AAS），