考點15導數的概念、運算及其幾何意義6種常見考法歸類考點一平均變化率和瞬時變化率考點二導數定義的應用考點三導數的運算考點四導數的幾何意義及應用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率（2）求切線的傾斜角（二）求切線方程（1）曲線在某點處的切線問題（2）過某點的曲線的切線問題（三）由曲線的切線（斜率）求參數（四）由曲線的切線條數求參數（五）兩條切線平行、垂直問題（六）兩曲線的公切線問題（七）距離最值問題考點五導數運算的綜合考點六導數幾何意義的綜合應用1.導數的概念及其意義(1)函數的平均變化率：對于函數y＝f(x)，設自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應地，函數值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx).這時，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率.注：①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與無限接近；(2)導數的概念：如果當Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.①導數的幾何意義：函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率.也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0).相應的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).②導數物理意義：函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．(4)導函數的概念：當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數，這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的導函數(簡稱導數).y＝f(x)的導函數有時也記作y′，即f′(x)＝y′=2.導數的運算(1)基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(2)導數的四則運算法則①函數和差求導法則：；②函數積的求導法則：；③函數商的求導法則：，則．(3)簡單復合函數的導數一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x)).它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x.即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.3.導數運算的原則和方法（1）導數計算的原則：先化簡解析式，再求導．（2）導數計算的方法：①連乘積形式：多項式的積的導數，通常先展開再求導更簡便．②分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；③對數形式：先化為和、差的形式，再求導；④根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；⑤三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導.⑥絕對值形式：先化為分段函數，再求導⑦復合函數求導:先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元．4.曲線切線方程的求法：①以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：求出函數f(x)的導數f′(x)；求切線的斜率f′(x0)；寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化簡；②如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0，y0)，進而確定切線方程.求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個.5.已知斜率求切點：已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.6.利用導數的幾何意義求參數的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．7.求解與導數的幾何意義有關問題的注意點(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．8.解決兩曲線的公切線問題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；(2)設公切線l在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2)．注：處理與公切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數，建立方程(組)的依據主要是：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.9.導數的兩條性質(1)奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.(2)可導函數y＝f(x)的導數為f′(x)，若f′(x)為增函數，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數，則f(x)的圖象是上凸的.10.幾類重要切線方程(1)y＝x－1是曲線y＝lnx的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.圖1圖2(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.(3)y＝x是曲線y＝sinx與y＝tanx的切線，如圖3.圖3圖4(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切線，如圖4.由以上切線方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.考點一平均變化率和瞬時變化率1．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上的平均變化率為5，則______．2．（2023春·江西贛州·高三統考期中）向一容器中勻速注水，容器中水面高度h（單位：cm）與注水時間t（單位：min）的函數關系為.記時水面上升的瞬時速度為時水面上升的瞬時速度為，從到t=4min水面上升的平均速度為V，則（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（

）A． B．C． D．4．【多選】（2023·全國·高三專題練習）為滿足人們對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改．設企業的污水排放量與時間的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱．已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示，則下列結論中正確的有（

）A．在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強B．在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強C．在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標D．甲企業在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強5．（2023·全國·高三專題練習）為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論錯誤的是（

）A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；D．在，兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．6．（2023秋·云南楚雄·高三統考期末）已知某容器的高度為20cm，現在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s7．（2023·海南省直轄縣級單位·統考模擬預測）寧啟鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為．假設“綠巨人”開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則出站后“綠巨人”速度首次達到時加速度為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數時，考點二導數定義的應用9．（2023·上海閔行·統考二模）_____________．10．（2023春·江西·高三校聯考期中）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．911．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則的值為（

）A． B． C．10 D．2012．（2023春·吉林長春·高三長春十一高?？茧A段練習）已知函數，則__________.13．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知函數是可導函數，且，則__________.14．（2023春·遼寧阜新·高三校聯考階段練習）已知函數，則______．15．（2023春·山東濟南·高三統考期中）已知函數，若，則（

）A． B． C．1 D．2考點三導數的運算16．（2023·全國·高三專題練習）求下列函數的導數．(1)；(2)；(3)(4)；17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的導函數為，且滿足，則（

）A． B． C． D．18．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上的點向右平移個單位長度后得到點，且點恰好在的導函數的圖象上，則（

）A． B． C． D．考點四導數的幾何意義及應用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率19．（2023·全國·高三專題練習）函數在處的切線的斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．e20．（2023·全國·高三專題練習）函數在處的切線的斜率為（

）A．2 B．-2 C．0 D．121．（2023·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線斜率為______.（2）求切線的傾斜角22．（2023·全國·模擬預測）已知函數，曲線在點處的切線的傾斜角為，則______．23．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學?？茧A段練習）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預測）已知函數，且其圖象在點處的切線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．25．（2023·全國·高三專題練習）設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知曲線：在處的切線為，曲線：在處的切線為，若存在實數t使得與的傾斜角互補，則實數a的取值范圍為______．27．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知點在函數的圖象上，過點作曲線的兩條切線，，若的傾斜角互補，則___________.28．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知函數的圖象在原點處的切線與在點處的切線的交點為P，則（

）A．2 B． C． D．（二）求切線方程（1）曲線在某點處的切線問題29．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）牛頓最早研究過函數的圖像與性質，其圖像類似于三叉戟，因此這類曲線被稱為牛頓三叉戟曲線.牛頓三叉戟曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．30．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎瘮档膱D像關于直線對稱，且時，，則曲線在點處的切線方程為___________.31．（2023·青海西寧·統考一模）若是偶函數，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．32．（2023·全國·模擬預測）曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高三專題練習）已知是曲線在處的切線，若點到的距離為1，則實數（

）A． B． C． D．34．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知函數為奇函數，則在處的切線方程為（）A． B．C． D．（2）過某點的曲線的切線問題35．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？奸_學考試）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.36．（2023·全國·模擬預測）若曲線在點處的切線經過坐標原點，則（

）A． B． C．或 D．或37．（2023·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.38．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在點處的切線過點，則的最小值為__________.39．（2023·全國·高三專題練習）過坐標原點作曲線的切線，則切線有（

）條A． B． C． D．40．（2023春·山東濱州·高三校考階段練習）過點作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為______.41．（2023·陜西西安·西安一中校聯考模擬預測）已知曲線在處的切線為m，則過點且與切線m垂直的直線方程為__________．（三）由曲線的切線（斜率）求參數42．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線在處的切線的斜率為，則______.43．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象的一條切線為，則a＝______44．（2023·寧夏吳忠·高三統考階段練習）已知直線與曲線相切，則k=___________.45．（2023·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．146．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．47．（2023·陜西·統考二模）已知曲線在處的切線方程為，則_________，_________．48．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知為實數，函數在處的切線方程為，則的值為___________．（四）由曲線的切線條數求參數49．（2023·河南開封·開封高中校考一模）已知函數，無論a取何值，曲線均存在一條固定的切線，則該切線方程為________．50．（2023·海南?？凇ばＢ摽寄M預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為_________．51．（2023春·湖北·高三安陸第一高中校聯考階段練習）已知函數，若曲線過點的切線有兩條，則實數的取值范圍為______.52．（2023·全國·高三專題練習）若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（

）A． B． C． D．53．（2023·廣東·統考二模）已知，若過點恰能作兩條直線與曲線相切，且這兩條切線關于直線對稱，則的一個可能值為______．54．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學?？茧A段練習）若過點有3條直線與函數的圖象相切，則的取值范圍是__________.55．（2023·全國·高三專題練習）若曲線有三條過點的切線，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．（五）兩條切線平行、垂直問題56．（2023·全國·高三專題練習）曲線在處的切線平行于直線，則點的坐標為（

）A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(-1,-4) D．(2,8)和(-1,-4)57．（2023·全國·高三專題練習）若曲線在點處的切線與直線平行，則實數（

）A． B．1 C． D．258．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知函數（且），曲線在處的切線與直線垂直，則___．59．（2023春·內蒙古呼和浩特·高三統考階段練習）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數等于（

）A． B． C． D．60．（2023秋·山東日照·高三校聯考期末）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線垂直，則點的坐標為（

）A． B． C． D．61．（2023·浙江·統考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．（六）兩曲線的公切線問題62．（2023·全國·高三專題練習）若直線與曲線和都相切，則的斜率為______．63．（2023·全國·高三專題練習）已知的圖象在處的切線與與函數的圖象也相切，則該切線的斜率__________.64．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線與曲線有相同的切線，則這條切線的斜率為___________.65．（2023·山西·統考模擬預測）已知函數，，若存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．66．（2023·江西上饒·統考二模）若曲線與曲線有公切線，則實數a的取值范圍（

）A． B．C． D．67．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍為__________．68．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）若直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點為，則的值為（

）A． B． C．0 D．1（七）距離最值問題69．（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．70．（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．71．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學校聯考二模）已知函數，直線，若直線與的圖象交于A點，與直線l交于B點，則A，B之間的最短距離是（

）A． B．4 C． D．872．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．1673．（2023·河南開封·統考二模）已知函數，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．74．（2023·全國·高三專題練習）若點，，則、兩點間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．275．（2023·全國·高三專題練習）設函數，其中，．若存在正數，使得成立，則實數的值是（

）A． B． C． D．176．（2023·全國·高三專題練習）曲線與的公共切線的條數為________．77．（2023·山東日照·統考二模）已知曲線與的兩條公切線的夾角余弦值為，則_________．考點五導數運算的綜合78．（2023·安徽亳州·高三?？茧A段練習）二項展開式，則___________.79．（2023·江西·統考模擬預測）已知，則等于___________.80．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有兩個零點，數列滿足，若，且，則數列的前2023項的和為__________.考點六導數幾何意義的綜合應用81．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，若該拋物線上任意一點P處的切線斜率與直線PF的斜率之積為1，則這條切線的傾斜角為______82．【多選】（2023·全國·校聯考二模）過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作拋物線的切線交于點，則下列說法正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則 B．點在直線上C． D．的最小值為83．（2023春·河南鄭州·高三鄭州四中?？茧A段練習）已知函數滿足函數恰有5個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．84．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，，若方程恰有三個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點15導數的概念、運算及其幾何意義6種常見考法歸類考點一平均變化率和瞬時變化率考點二導數定義的應用考點三導數的運算考點四導數的幾何意義及應用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率（2）求切線的傾斜角（二）求切線方程（1）曲線在某點處的切線問題（2）過某點的曲線的切線問題（三）由曲線的切線（斜率）求參數（四）由曲線的切線條數求參數（五）兩條切線平行、垂直問題（六）兩曲線的公切線問題（七）距離最值問題考點五導數運算的綜合考點六導數幾何意義的綜合應用1.導數的概念及其意義(1)函數的平均變化率：對于函數y＝f(x)，設自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應地，函數值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx).這時，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率.注：①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與無限接近；(2)導數的概念：如果當Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.①導數的幾何意義：函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率.也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0).相應的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).②導數物理意義：函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．(4)導函數的概念：當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數，這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的導函數(簡稱導數).y＝f(x)的導函數有時也記作y′，即f′(x)＝y′=2.導數的運算(1)基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(2)導數的四則運算法則①函數和差求導法則：；②函數積的求導法則：；③函數商的求導法則：，則．(3)簡單復合函數的導數一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x)).它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x.即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.3.導數運算的原則和方法（1）導數計算的原則：先化簡解析式，再求導．（2）導數計算的方法：①連乘積形式：多項式的積的導數，通常先展開再求導更簡便．②分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；③對數形式：先化為和、差的形式，再求導；④根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；⑤三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導.⑥絕對值形式：先化為分段函數，再求導⑦復合函數求導:先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元．4.曲線切線方程的求法：①以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：求出函數f(x)的導數f′(x)；求切線的斜率f′(x0)；寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)，并化簡；②如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0，y0)，進而確定切線方程.求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個.5.已知斜率求切點：已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.6.利用導數的幾何意義求參數的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．7.求解與導數的幾何意義有關問題的注意點(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．8.解決兩曲線的公切線問題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；(2)設公切線l在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2)．注：處理與公切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數，建立方程(組)的依據主要是：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.9.導數的兩條性質(1)奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.(2)可導函數y＝f(x)的導數為f′(x)，若f′(x)為增函數，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數，則f(x)的圖象是上凸的.10.幾類重要切線方程(1)y＝x－1是曲線y＝lnx的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.圖1圖2(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.(3)y＝x是曲線y＝sinx與y＝tanx的切線，如圖3.圖3圖4(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切線，如圖4.由以上切線方程又可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等.考點一平均變化率和瞬時變化率1．（2023·全國·高三專題練習）若函數在區間上的平均變化率為5，則______．【答案】3【分析】利用函數平均變化率的計算公式計算.【詳解】解：函數在區間上的平均變化率為，解得.故答案為：3.2．（2023春·江西贛州·高三統考期中）向一容器中勻速注水，容器中水面高度h（單位：cm）與注水時間t（單位：min）的函數關系為.記時水面上升的瞬時速度為時水面上升的瞬時速度為，從到t=4min水面上升的平均速度為V，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據瞬時速度與導數的關系結合導數運算公式求，，根據平均速度的定義求，再比較它們的大小即可.【詳解】由得，因為，，所以，，又，所以，，C正確.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結合圖象以及導數的知識求得正確答案.【詳解】由圖象可知，即.故選：D4．【多選】（2023·全國·高三專題練習）為滿足人們對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改．設企業的污水排放量與時間的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱．已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示，則下列結論中正確的有（

）A．在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強B．在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強C．在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標D．甲企業在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強【答案】ABC【分析】結合甲乙企業污水排放量與時間關系圖象，利用曲線在區間的變化率判斷企業的治污能力，進而判斷各選項的正誤即可．【詳解】由題圖可知甲企業的污水排放量在時刻高于乙企業，而在時刻甲、乙兩企業的污水排放量相同，故在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強，故A正確；由題圖知在時刻，甲企業在該點的切線斜率的絕對值大于乙企業的，故B正確；在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都低于污水達標排放量，故都已達標，故C正確；由題意可知，甲企業在，，這三段時間中，在時的污水治理能力明顯低于時的，故D錯誤．故選：ABC．5．（2023·全國·高三專題練習）為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論錯誤的是（

）A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；D．在，兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．【答案】D【分析】根據圖象以及導數的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，根據圖象可知，在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，A選項結論正確.B選項，根據圖象以及導數的知識可知，在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同，B選項結論正確.C選項，根據圖象可知，在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，C選項結論正確.D選項，根據圖象可知，在這個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率為大于在這個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率D選項結論錯誤.故選：D6．（2023秋·云南楚雄·高三統考期末）已知某容器的高度為20cm，現在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【分析】利用導數的定義直接求得.【詳解】由，求導得：.當時，，解得（舍去）.故當時，液體上升高度的瞬時變化率為.故選：C7．（2023·海南省直轄縣級單位·統考模擬預測）寧啟鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為．假設“綠巨人”開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則出站后“綠巨人”速度首次達到時加速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，利用導數的運算、瞬時變化率進行求解.【詳解】因為，所以；令，得，解得或（舍去)；則當時，，即速度首次達到時加速度為．故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數時，【答案】0.52【分析】由題可得GDP增長的速度為，進而即得.【詳解】由題可知，所以，所以,即GDP增長的速度大約是.故答案為：.考點二導數定義的應用9．（2023·上海閔行·統考二模）_____________．【答案】/【分析】利用導數的定義及求導公式可得答案.【詳解】設函數，則；.故答案為：.10．（2023春·江西·高三校聯考期中）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】利用導數的定義式以及極限的性質可求答案.【詳解】.故選：D.11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則的值為（

）A． B． C．10 D．20【答案】D【分析】根據導數的定義可得，再用求導公式可得，代入即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故選：D12．（2023春·吉林長春·高三長春十一高?？茧A段練習）已知函數，則__________.【答案】/【分析】求出函數的導數，再利用導數的定義求解作答.【詳解】函數，求導得：，所以.故答案為：13．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知函數是可導函數，且，則__________.【答案】/【詳解】因為函數是可導函數，且，根據導數的定義，有.故答案為：.14．（2023春·遼寧阜新·高三校聯考階段練習）已知函數，則______．【答案】【分析】求出導函數，建立與的方程，求出，利用極限的運算及導數的定義求解即可.【詳解】當時，，所以，又，則，解得，由定義可知，.故答案為：15．（2023春·山東濟南·高三統考期中）已知函數，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用導數的運算法則和定義求解即可．【詳解】，，，，，故選：D．考點三導數的運算16．（2023·全國·高三專題練習）求下列函數的導數．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用基本函數的導數和求導法則，逐一對各個求導即可求出結果.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，所以.（3）因為，所以（4）因為，所以17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的導函數為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在等式求導，再令，可得出關于的等式，解之即可.【詳解】在等式兩邊求導得，所以，，解得.故選：C.18．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上的點向右平移個單位長度后得到點，且點恰好在的導函數的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數的導函數，再由求解.【詳解】解：因為，所以，由題意得，即，得，即，所以．故選：B．考點四導數的幾何意義及應用（一）切線的斜率與傾斜角（1）求切線的斜率19．（2023·全國·高三專題練習）函數在處的切線的斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．e【答案】A【分析】將函數求導，由導數的幾何意義即可得到結果.【詳解】函數的導數，由導數的幾何意義，可知:在處的切線的斜率為.故選:A.20．（2023·全國·高三專題練習）函數在處的切線的斜率為（

）A．2 B．-2 C．0 D．1【答案】A【分析】求出函數的導數后可得切線的斜率.【詳解】，故，故曲線在處的切線的斜率為2，故選：A.21．（2023·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線斜率為______.【答案】0【分析】求出點的導數,即該點處切線斜率.【詳解】解:由題知,所以,所以,故在點處的切線斜率為0.故答案為:0（2）求切線的傾斜角22．（2023·全國·模擬預測）已知函數，曲線在點處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【分析】根據導數的幾何意義可得，從而可得的值.【詳解】由，得則，解得．故答案為：.23．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學?？茧A段練習）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據給定函數，利用導數的幾何意義求出，再利用齊次式法計算作答.【詳解】因為，則，因此，所以.故選：C24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預測）已知函數，且其圖象在點處的切線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據基本初等函數的導數公式及導數的運算法則，利用導數的幾何意義及三角函數的誘導公式，結合三角函數的齊次式的解決方法及同角三角函數的商數關系即可求解.【詳解】因為，所以所以，解得，所以由題意可知，，所以.故選：B.25．（2023·全國·高三專題練習）設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，令后可求，再根據導數的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故選：B.26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知曲線：在處的切線為，曲線：在處的切線為，若存在實數t使得與的傾斜角互補，則實數a的取值范圍為______．【答案】【分析】由導數的幾何意義結合題意可得，即存在正根，由二次函數根的分布問題求解即可.【詳解】由曲線可得，由曲線可得，由導數的幾何意義可得：直線的斜率為，直線的斜率為，若存在實數t使得與的傾斜角互補，則方程，即存在正根，所以解得．故答案為：.27．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知點在函數的圖象上，過點作曲線的兩條切線，，若的傾斜角互補，則___________.【答案】/【分析】設分別與函數相切于兩點，根據導數的幾何意義可得，解方程即可得的值.【詳解】對于函數，則，則可設分別與函數相切于兩點，所以，即，解得.故答案為：.28．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知函數的圖象在原點處的切線與在點處的切線的交點為P，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】先由函數的導函數求得函數原點處的切線與在點處的切線的傾斜角的正切值，再由與兩傾斜角的關系結合兩角差的正切公式可得.【詳解】由，可得，，則曲線在點O處的切線的傾斜角為，設曲線在點A處的切線的傾斜角為，則．由圖可知，．故選：A（二）求切線方程（1）曲線在某點處的切線問題29．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）牛頓最早研究過函數的圖像與性質，其圖像類似于三叉戟，因此這類曲線被稱為牛頓三叉戟曲線.牛頓三叉戟曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義計算即可.【詳解】由題意可得：.所以在處的切線方程為：，即.故選：A30．（2023·江蘇常州·校考二模）已知函數的圖像關于直線對稱，且時，，則曲線在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】先求出當時，，利用導數的幾何意義求出切線斜率，寫出切線方程.【詳解】設分別為函數的圖像上關于直線對稱的兩點，不妨設，則.所以，所以所以.所以當時，.所以.而，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.31．（2023·青海西寧·統考一模）若是偶函數，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據偶函數定義可求得，利用導數幾何意義可求得切線斜率，結合可得切線方程.【詳解】為偶函數，，即，，解得：，，則，，，在點處的切線方程為，即.故選：A.32．（2023·全國·模擬預測）曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導數幾何意義可求得切線方程，由此確定與坐標軸的交點坐標，進而得到圍成的三角形面積.【詳解】記，則，，又，曲線在處的切線方程為：，即，令，解得：；令，解得：；該切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故選：A.33．（2023·全國·高三專題練習）已知是曲線在處的切線，若點到的距離為1，則實數（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義求出直線的斜率，再根據點斜式寫出直線的方程，最后由點到直線的距離公式即可求出.【詳解】由題知，所以，因為是曲線在處的切線，所以當時，，且，所以，因為點到的距離為1，所以，解得：.故選：A34．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知函數為奇函數，則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的奇偶性確定的解析式，再利用導數的幾何意義求得切線方程.【詳解】函數為奇函數，當時，，所以，，即，則，，，所以切線斜率，切線方程為，即，故選：C.（2）過某點的曲線的切線問題35．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？奸_學考試）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.【答案】【分析】設切點坐標為，根據切線所過的點得到的方程，解出后可得所求的切線方程.【詳解】設切點坐標為，,則切線的斜率，故切線方程為，又因為點在切線上，所以，整理得到，解得，所以切線方程為．故答案為:.36．（2023·全國·模擬預測）若曲線在點處的切線經過坐標原點，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】設出切點，根據導數的幾何意義及切線過原點先寫出切線方程，由切線過切點可列方程計算.【詳解】由題意，，設切點的坐標為，故切線的斜率.由于切線過原點，故切線方程為.又切線經過切點，即.整理可得：，即.即，故或.故選：C37．（2023·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.【答案】或【分析】設切點為，利用導數的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.【詳解】由可得，設切點坐標為，所以切線斜率，又因為，則切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或38．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在點處的切線過點，則的最小值為__________.【答案】12【分析】根據導數的幾何意義求得函數在點處的切線方程，可推出，將化為，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】由函數可得，則，故函數在點處的切線方程為，即，則由題意可得，故，當且僅當，即取等號，即的最小值為12，故答案為：1239．（2023·全國·高三專題練習）過坐標原點作曲線的切線，則切線有（

）條A． B． C． D．【答案】B【分析】設切點為，利用導數的幾何意義表示出切線方程，將代入方程，即可求得答案.【詳解】由可得，過坐標原點作曲線的切線，設切點為，則切線斜率為，切線方程為，又，所以，即，所以，即切線有1條.故選：B.40．（2023春·山東濱州·高三?？茧A段練習）過點作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為______.【答案】【分析】考慮與時，設出切點坐標，求出相應的切線方程，將代入，得到相應的斜率，相加得到答案.【詳解】時，，設切點，則，切線過，，，時，，切點，，切線過，，，故.故答案為：.41．（2023·陜西西安·西安一中校聯考模擬預測）已知曲線在處的切線為m，則過點且與切線m垂直的直線方程為__________．【答案】．【分析】求得，得到切線的斜率，進而求得所求直線的斜率，結合點斜式方程，即可求解.【詳解】由函數，可得，則，即切線m的斜率為，所以所求直線的斜率為1，其方程為，即．故答案為：.（三）由曲線的切線（斜率）求參數42．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線在處的切線的斜率為，則______.【答案】【分析】利用導數的幾何意義求解.【詳解】因為，所以，當時，，因為曲線在點處的切線的斜率為，所以，解得，故答案為：43．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的圖象的一條切線為，則a＝______【答案】1【分析】根據導數的幾何意義，由題目中的切線方程，設出切點，求導，建立方程，可得答案.【詳解】求導函數得，設直線與曲線切于點，則，，解得.故答案為：.44．（2023·寧夏吳忠·高三統考階段練習）已知直線與曲線相切，則k=___________.【答案】1【分析】設切點為，，根據導數的幾何意義推得.由可推得.構造函數，根據導函數可推得有唯一解，求出，即可得出答案.【詳解】設切點為，，則.根據導數的幾何意義，可知.又，即.令，則，所以當時，；當時，，所以，在處取得極小值，也是最小值.又，所以有唯一解，所以，即切點為，所以.故答案為：1.45．（2023·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】依據題意列出關于的方程組，即可求得的值【詳解】由切點在曲線上，得①；由切點在切線上，得②；對曲線求導得，∴，即③，聯立①②③，解之得故選：A.46．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設切點，根據導數的幾何意義可得表示出切線的斜率，進而求出，即可求解.【詳解】設切點坐標為，因為，所以，所以切線的斜率，解得，又，即，所以.故選：A.47．（2023·陜西·統考二模）已知曲線在處的切線方程為，則_________，_________．【答案】【分析】直接利用導數的幾何意義求切線方程待定系數即可.【詳解】易知由題意可得當時，，所以.故答案為：1；48．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知為實數，函數在處的切線方程為，則的值為___________．【答案】/【分析】求解導函數，計算處的導數值，再由切線方程得切線的斜率，由導數的幾何意義列式求解出的值，再根據函數解析式求解切點坐標并代入切線方程即可求解出的值，從而計算出的值.【詳解】因為，所以，則，由處的切線方程為，得切線的斜率為，所以，得，所以，當時，，所以切點為，將代入切線方程得：，解得，所以.故答案為：（四）由曲線的切線條數求參數49．（2023·河南開封·開封高中校考一模）已知函數，無論a取何值，曲線均存在一條固定的切線，則該切線方程為________．【答案】【分析】由題意得，，，此時這兩個值均與無關，可得切點為即可得出答案．【詳解】，則，，，此時這兩個值均與無關，∴無論取何值，曲線均存在一條固定的切線，此時切點為，切線斜率為1，故切線方程為，即.故答案為∶50．（2023·海南?？凇ばＢ摽寄M預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為_________．【答案】，，，只需寫出一個答案即可【分析】設切點為，利用導數求切線方程，代入一點，關于的方程沒有實數解，由判別式解不等式求整數的值.【詳解】設切點為，因為，所以切線方程為．因為切線經過點，所以，由題意關于的方程沒有實數解，則，解得．因為為整數，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個答案即可51．（2023春·湖北·高三安陸第一高中校聯考階段練習）已知函數，若曲線過點的切線有兩條，則實數的取值范圍為______.【答案】【分析】設切點為，根據導數的幾何意義求出切線方程，再根據切線過點的切線有兩條，從而可得關于的方程有兩個不同的根，由此即可得解.【詳解】設切點為，直線的斜率為，又，則，所以切線方程為，將代入化簡得，所以方程有兩個不同的實數解，所以，且，所以或，即實數的取值范圍為.故答案為：.52．（2023·全國·高三專題練習）若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設切點坐標為，利用導數寫出切線方程，將點的坐標代入切線方程，可得出關于的二次方程有兩個不等的實根，可得出，可得出，然后逐項檢驗可得出合適的選項.【詳解】設切點坐標為，對函數求導可得，所以，切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，即，將點的坐標代入切線方程可得，即，因為過點可作曲線的兩條切線，則關于的方程有兩個不等的實數解，所以，，即，即，對于點，，A不滿足；對于點，，B不滿足；對于點，，C滿足；對于點，，D不滿足.故選：C.53．（2023·廣東·統考二模）已知，若過點恰能作兩條直線與曲線相切，且這兩條切線關于直線對稱，則的一個可能值為______．【答案】（或或或）【分析】設切點坐標為，利用導數求出切線方程，將點的方程代入切線方程，可得出，設過點且與曲線相切的切線的切點的橫坐標分別為、，易知、關于的方程的兩個根，且，利用三次方程根與系數的關系可求得實數的值.【詳解】設切點坐標為，因為，則，切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為將點的坐標代入切線方程可得，設過點且與曲線相切的切線的切點的橫坐標分別為、，且，因為這兩條切線關于直線對稱，則，所以，，易知、關于的方程的兩個根，設該方程的第三個根為，則，則，所以，，因為過點恰能作兩條直線與曲線相切，則關于的方程只有兩個不等的實根，不妨設，則，若，則，可得，解得；若，則，所以，，可得，，所以，，解得.綜上所述，或.故答案為：（或或或）.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用過曲線外一點作曲線的切線求參數的值，解題的關鍵在于寫出切線方程后，將切點坐標轉化為三次方程的根，結合三次方程根與系數的關系求解.54．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學校考階段練習）若過點有3條直線與函數的圖象相切，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】設切點坐標為，利用導數的幾何意義求得切線方程，進而將有3條切線轉化為方程有三個不等實數根，再轉化為函數的圖像有三個交點問題，利用導數作出的圖象，數形結合，即可求得答案.【詳解】由題意可得，設切點坐標為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得.因為存在三條切線，即方程有三個不等實數根，則方程有三個不等實數根等價于函數的圖像有三個交點，設，則，當時，單調遞增；在和上，單調遞減，，當或時，，畫出的圖象如圖，要使函數的圖像有三個交點，需，即，即的取值范圍是，故答案為：【點睛】方法點睛：利用導數的幾何意義表示出切線方程，根據切線條數可得有三個不等實數根，解答此類問題常用方法是轉化為函數圖象的交點問題，利用導數判斷函數單調性或求得極值，進而作出圖像，數形結合，解決問題.55．（2023·全國·高三專題練習）若曲線有三條過點的切線，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據導數的幾何意義求出過點的切線方程為，利用方程的解個數與函數圖象交點個數的關系將問題轉化為圖象與直線在R上有3個交點，結合導數求出函數的極值，根據數形結合的思想即可求解.【詳解】設該切線的切點為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點，則，整理得.要使過點的切線有3條，需方程有3個不同的解，即函數圖象與直線在R上有3個交點，設，則，令，令或，所以函數在上單調遞增，在和上單調遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當時，函數圖象與直線在R上有3個交點，即過點的切線有3條.所以實數a的取值范圍為.故選：B.（五）兩條切線平行、垂直問題56．（2023·全國·高三專題練習）曲線在處的切線平行于直線，則點的坐標為（

）A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(-1,-4) D．(2,8)和(-1,-4)【答案】C【分析】求函數的導數，令導數等于4解方程，求得點的橫坐標，進而求得點的坐標.【詳解】依題意,令，解得故點的坐標為(1,0)和(-1,-4)，故選：C【點睛】本題考查導數的幾何意義，直線斜率與平行的關系，屬于基礎題57．（2023·全國·高三專題練習）若曲線在點處的切線與直線平行，則實數（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】求出原函數的導函數，可得函數在處的導數值，再由兩條直線平行與斜率的關系列式求解.【詳解】由，得，，曲線在點處的切線與直線平行，，即.故選：D.58．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學?？茧A段練習）已知函數（且），曲線在處的切線與直線垂直，則___．【答案】【分析】求出，分析可得，即可求得的值.【詳解】因為（且），則，因為直線的斜率為，又因為曲線在處的切線與直線垂直，所以，，解得.故答案為：.59．（2023春·內蒙古呼和浩特·高三統考階段練習）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導數的幾何意義求解即可.【詳解】∵，∴，∴曲線在點處的切線的斜率，∵切線與直線垂直，∴直線的斜率為，∴.故選：C.60．（2023秋·山東日照·高三校聯考期末）若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線垂直，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出曲線在點處的切線的斜率為，利用斜率成積等于-1，求出曲線y=lnx在點P處的切線的斜率，利用導數即可求出切點的橫坐標，代入可解.【詳解】的導數為，所以曲線在點處的切線的斜率為.因為曲線在點處的切線與曲線y=lnx在點P處的切線垂直，所以曲線y=lnx在點P處的切線的斜率.而y=lnx的導數，所以切點的橫坐標為，所以切點.故選：D61．（2023·浙江·統考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】先求導函數，由題可得，分類討論和時，是否存在符合的值即可判斷.【詳解】由題知，令，則．若函數曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當時，，，與題目矛盾；當時，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．（六）兩曲線的公切線問題62．（2023·全國·高三專題練習）若直線與曲線和都相切，則的斜率為______．【答案】【分析】設出的切點坐標，求導，利用導數幾何意義表達出切線斜率，寫出切線方程，根據圓心到半徑距離為半徑列出方程，求出，從而求出斜率.【詳解】設的切點為，，故，則切線方程為：，即圓心到圓的距離為，即，解得：或（舍去）所以，則的斜率為故答案為：63．（2023·全國·高三專題練習）已知的圖象在處的切線與與函數的圖象也相切，則該切線的斜率__________.【答案】【分析】分別求兩條曲線的切線方程，比較系數得a的值.【詳解】函數的圖象在處的切線的切點為，因為，所以切線斜率為，切線方程為，即，設的圖象的切線的切點為，因為，所以切線斜率為，切線方程為，即，由題，解得，，斜率為.故答案為：.64．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線與曲線有相同的切線，則這條切線的斜率為___________.【答案】/0.5【分析】由題可設兩曲線的切點，然后根據導數的幾何意義可得切線方程，進而即得.【詳解】設曲線與曲線的切點分別為，，又，，所以，，所以切線為，即，，即，所以，所以，，即這條切線的斜率為.故答案為：.65．（2023·山西·統考模擬預測）已知函數，，若存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別設出直線與兩曲線的切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，根據題意得到，記且，利用導數與函數的單調性即可求解.【詳解】設直線為曲線在點處的切線，，所以，即；設直線為曲線在點處的切線，，所以，即，由題意知，因為，由可得，將其代入可得：，顯然，整理得.記且，則，當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，則，即，化簡得，解得，故選：.【點睛】求曲線的切線問題主要分兩大類：一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數與導函數中求出切點和斜率即可；另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標，再考慮利用條件解出核心要素，進而轉化成第一類問題.66．（2023·江西上饒·統考二模）若曲線與曲線有公切線，則實數a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別求出兩曲線的切線方程，則兩切線方程相同，據此求出a關于切點x的解析式，根據解析式的值域確定a的范圍.【詳解】設是曲線的切點，設是曲線的切點，對于曲線，其導數為，對于曲線，其導數為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當時，，是減函數，當時，，是增函數，∴且當x趨于時，，趨于；當趨于時，趨于；∴，∴；故選：D．67．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍為__________．【答案】【分析】設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，根據導數的幾何意義寫出切線方程，可得到，由此構造函數，將問題轉化為方程有兩解問題即可.【詳解】由題意得，設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，則切線方程為，即，，即，由于兩切線為同一直線，所以，得．令，則，當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增．即有處取得極小值，也為最小值，且為．又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，結合當時，趨近于0，趨于負無窮小，故趨近于正無窮大，當時，趨近于正無窮大，且增加幅度遠大于的增加幅度，故趨近于正無窮大，由此結合圖像可得a的范圍是，故答案為：68．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）若直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點為，則的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據導數求出切線的斜率，得到切線方程，根據兩切線方程即可得解.【詳解】因為直線與曲線相切，切點為，可知直線的方程為，又直線與曲線也相切，切點為，可知直線的方程為，所以，兩式相除，可得，所以.故選：B（七）距離最值問題69．（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷出與關于直線對稱，然后說明與無交點，再求出曲線上的點到直線的最小距離，則的最小值為，即可得出答案．【詳解】解：與互為反函數，所以與的圖像關于直線對稱，設，則，令得，則當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，所以與無交點，則與也無交點，下面求出曲線上的點到直線的最小距離，設與直線平行且與曲線相切的切點，，，，解得，，得到切點，到直線的距離，的最小值為，故選：D．70．（2023·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】考慮到兩曲線關于直線對稱，求的最小值可轉化為求P到直線的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線對應的切點坐標，從而得此距離【詳解】解：與互為反函數，其圖像關于直線對稱先求出曲線上的點到直線的最小距離．設與直線平行且與曲線相切的切點，．，，解得．．得到切點，點P到直線的距離．最小值為．故選：B．71．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學校聯考二模）已知函數，直線，若直線與的圖象交于A點，與直線l交于B點，則A，B之間的最短距離是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根據平行切線法，求函數圖象上的點A到直線l的最短距離，即為A，B之間的最短距離.【詳解】因為函數，直線，若直線與的圖象交于A點，與直線l交于B點，直線的斜率為1，直線的斜率為，所以兩直線垂直，所以函數圖象上的點A到直線的最短距離，即為A，B之間的最短距離由題意可得，．令，解得(舍去)．因為，取點A，所以點A到直線的距離，則A，B之間的最短距離是．故選：A.72．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【分析】利用絕對值的性質及兩點間的距離公式，結合導數的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，不妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設切點為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是將問題轉化為求曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，進而再轉化為求曲線上的點到直線上點的距離的平方，利用導數的幾何意義及點到直線的距離公