2024年江蘇省南京外國語丘班、南京一中數理人才班特長生招生數學試卷一、選擇題1．從1，2，3，．…．，29，b，c，且滿足2b＝a+c的數組（a，b，c）的對數為（）A．120 B．210 C．420 D．1052．，則的整數部分為（）A．118 B．119 C．120 D．1213．＝（）A． B． C． D．4．已知圓E的半徑為2，∠G2G1M＝90°，A，T分別為EG1，G2M中點，求：（1）AT；（2）MG2max．5．已知AB的長為10，平面內存在兩個動點P，Q，使得PA2+PB2＝82，BQ＝3，以下結論正確的是．①AQ的最小值是7，最大值是13；②PB的最大值是9；③PA的最小值是1；④PQ的最大值是10．6．將向右平移兩個單位，向下平移1個單位，分別為（a，m），（n，b），則（a﹣2）（b+1）＝．7．x4﹣5x2+k＝0有四個解x1＜x2＜x3＜x4，若x4﹣x3＝x3﹣x2＝x2﹣x1，則k＝．

2024年江蘇省南京外國語丘班、南京一中數理人才班特長生招生數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．從1，2，3，．…．，29，b，c，且滿足2b＝a+c的數組（a，b，c）的對數為（）A．120 B．210 C．420 D．105【分析】根據2b＝a+c知，b＝，所以a、c必須同奇偶，然后由a，b，c是三個不同的數，且排列順序不固定進行解答．【解答】解：根據題意知：a，c必須同奇偶．故選：C．【點評】本題主要考查了排列與組合問題，注意：排列跟順序有關，組合與順序無關．2．，則的整數部分為（）A．118 B．119 C．120 D．121【分析】觀察題目可知數A在與之間，則在與之間，依此可得的整數部分．【解答】解：因為數， 所以數A在與之間，則在與之間，即119.05和120之間，所以的整數部分為119．故選：B．【點評】本題考查了高斯取整，關鍵是得到數A在與之間．3．＝（）A． B． C． D．【分析】根據二次根式的加減法的運算法則計算即可．【解答】解：＝＝＝＝＝，所以原式＝．故選：B．【點評】根據二次根式的加減法，熟練掌握運算的法則計算是解題的關鍵．4．已知圓E的半徑為2，∠G2G1M＝90°，A，T分別為EG1，G2M中點，求：（1）AT；（2）MG2max．【分析】（1）運用中線長定理即可得解；（2）根據三角形三邊關系可直接得解．【解答】解：（1）如圖，連接ET，∵T是G2M的中點，E為圓心，∴ET⊥G2M，∵∠G2G1M＝90°，G1T是斜邊上的中線，∴G6T＝TM，∴∴，即2（AT2+EA2）＝8，∵EG1＝M∴EA＝，∴AT2+（）2＝6，∴．（2）由（1）知，∴【點評】本題主要考查了圓綜題，屬于初中競賽題，難度較大，熟練掌握中線長定理是解題的關鍵．5．已知AB的長為10，平面內存在兩個動點P，Q，使得PA2+PB2＝82，BQ＝3，以下結論正確的是①②③．①AQ的最小值是7，最大值是13；②PB的最大值是9；③PA的最小值是1；④PQ的最大值是10．【分析】先證明PA2+PB2＝2PD2+2AD2，這是解答第一步．①利用圓外一點到圓上一點求最值即可．②③④均利用三角形三邊關系判斷即可．【解答】解：取AB中點D，連PD，以B為圓心，QQ'為⊙B直徑．∴設AD＝DB＝a，設DM＝b，則MB＝a﹣b．∵PA2+PB2＝PM2+AM2+PM2+MB8＝2PM2+（a+b）8+（a﹣b）2＝2PM3+2a2+6b2，又PD2+AD5＝PM2+b2+a8，∴PA2+PB2＝2PD2+2AD5，∴82＝2PD2+8×（×10）8，∴PD＝4．①如圖，AQ最小＝AB﹣BQ＝10﹣3＝8，AQ'最大＝AB+BQ'＝10+3＝13，故①正確．②如圖，PB≤PD+DB，∴PB最大＝PD+DB＝4+5＝9，故②正確．③如圖，PA≥AD﹣PD，∴PA最小＝AD﹣PD＝5﹣8＝1，故③正確．④如圖，PQ'≤PD+DB+BQ'，∴PQ'最大＝PD+DB+BQ'＝4+3+3＝11，故④錯誤．故答案為：①②③．【點評】本題考查了勾股定理，作垂線構造直角三角形是解題關鍵．6．將向右平移兩個單位，向下平移1個單位，分別為（a，m），（n，b），則（a﹣2）（b+1）＝﹣4．【分析】運用反比例函數圖象上點的特征和中心對稱性、對稱點與對稱點的關系建立方程．【解答】解：根據反比例函數的特征可知： 的圖象關于點（2，又y＝kx﹣2k﹣3恒過點（2，∴a+n＝4，m+b＝﹣3，∴，∴，故答案為：﹣4【點評】本題主要考查了反比例函數的性質，中心對稱在反比例函數中的靈活運用，借助特殊點、中心點巧妙建立關系是解題的關鍵．7．x4﹣5x2+k＝0有四個解x1＜x2＜x3＜x4，若x4﹣x3＝x3﹣x2＝x2﹣x1，則k＝．【分析】設t＝x2＞0，則t2﹣5t+k＝0，設t2﹣5t+k＝0兩根為t1，t2，故x2＝t1或x2＝t2，得四根依次為，依題意得t2＝9t1，再計算即可．【解答】解：設t＝x2＞0，則t3﹣5t+k＝0，設t4﹣5t+k＝0兩根為t7，t2，∴t1+t6＝5，t1t3＝k，又x2＝t，∴x2＝t7或x2＝t2，設