《數字信號處理(第三版)》全冊配套課件(二)第五章學習目標理解數字濾波器結構的表示方法掌握IIR濾波器的基本結構掌握FIR濾波器的直接型、級聯型、線性相位結構，理解頻率抽樣型結構本章作業練習

P3115.15.25.35.55.6(1)5.7（a）（d）第五章數字濾波器的基本結構

一、數字濾波器結構的表示方法

數字濾波器的系統函數：常系數線性差分方程:加法器常數乘法器單位延時基本運算單元方框圖流圖例：二階數字濾波器方框圖結構流圖結構流圖結構節點源節點支路阱節點網絡節點分支節點輸入支路相加器節點的值=所有輸入支路的值之和輸出支路支路的值=支路起點處的節點值傳輸系數二、IIR數字濾波器的基本結構1）系統的單位抽樣相應h(n)無限長IIR數字濾波器的特點：3）存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結構2）系統函數H(z)在有限z平面（）上有極點存在IIR數字濾波器的基本結構：直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型）級聯型并聯型1、直接Ⅰ型差分方程:需N+M個延時單元2、直接Ⅱ型（典范型）只需實現N階濾波器所需的最少的N個延時單元，故稱典范型。（）

直接型的共同缺點：系數，對濾波器的性能控制作用不明顯極點對系數的變化過于靈敏，易出現不穩定或較大誤差運算的累積誤差較大3、級聯型將系統函數按零極點因式分解:將共軛成對的復數組合成二階多項式，系數即為實數。為采用相同結構的子網絡，也將兩個實零點/極點組合成二階多項式當零點為奇數時：有一個當極點為奇數時：有一個各二階基本節的排列次序有種當M=N時，二階因子配對方式有種級聯型的特點：調整系數，能單獨調整濾波器的第k對零點，而不影響其它零極點

運算的累積誤差較小具有最少的存儲器便于調整濾波器頻率響應性能調整系數，能單獨調整濾波器的第k對極點，而不影響其它零極點4、并聯型將因式分解的H(z)展成部分分式：當N為奇數時，有一個組合成實系數二階多項式：并聯型的特點：通過調整系數，可單獨調整一對極點位置，但不能單獨調整零點位置各并聯基本節的誤差互相不影響，故運算誤差最小可同時對輸入信號進行運算，故運算速度最高轉置定理：原網絡中所有支路方向倒轉，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統函數H(z)不改變。例：設IIR數字濾波器差分方程為：試用四種基本結構實現此差分方程。解：對差分方程兩邊取z變換，得系統函數：得直接Ⅰ型結構：典范型結構：將H(z)因式分解：得級聯型結構：將H(z)部分分式分解：得并聯型結構：三、FIR數字濾波器的基本結構1）系統的單位抽樣響應h(n)有限長，設N點

FIR數字濾波器的特點：2）系統函數H(z)在處收斂，有限z平面只有零點，全部極點在z=0處（因果系統）3）無輸出到輸入的反饋，一般為非遞歸型結構系統函數：z=0處是N-1階極點有N-1個零點分布于z平面1、橫截型（卷積型、直接型）差分方程:2、級聯型N為偶數時，其中有一個（N-1個零點）將H(z)分解成實系數二階因式的乘積形式:級聯型的特點系數比直接型多，所需的乘法運算多每個基本節控制一對零點，便于控制濾波器的傳輸零點3、頻率抽樣型N個頻率抽樣H(k)恢復H(z)的內插公式：子系統：

是N節延時單元的梳狀濾波器

在單位圓上有N個等間隔角度的零點：頻率響應：單位圓上有一個極點：與第k個零點相抵消，使該頻率處的頻率響應等于H(k)諧振器子系統：

頻率抽樣型結構的優缺點調整H(k)就可以有效地調整頻響特性若h(n)長度相同，則網絡結構完全相同，除了各支路增益H(k)，便于標準化、模塊化有限字長效應可能導致零極點不能完全對消，導致系統不穩定系數多為復數，增加了復數乘法和存儲量

修正頻率抽樣結構將零極點移至半徑為r的圓上：為使系數為實數，將共軛根合并由對稱性：又h(n)為實數，則將第k個和第(N-k)個諧振器合并成一個實系數的二階網絡：當N為偶數時，還有一對實數根k=0,N/2處：N為奇數時只有一個實數根在k=0處：z=r4、快速卷積結構5、線性相位FIR濾波器的結構FIR濾波器單位抽樣響應h(n)為實數，且滿足：偶對稱：或奇對稱：即對稱中心在(N-1)/2處則這種FIR濾波器具有嚴格線性相位。N為奇數時h(n)偶對稱，取“+”h(n)奇對稱，取“

”，且N為偶數時四、數字濾波器的格型結構格型結構的優點：1）模塊化結構便于實現高速并行處理2）m階格型濾波器可以產生1階到m階的m個橫向

濾波器的輸出性能

故廣泛應用于現代譜估計、語音信號處理、自適應濾波等。3）對有限字長的舍入誤差不靈敏1、全零點系統（FIR

系統）的格型結構一個M階的FIR

濾波器的橫向結構的系統函數：

系統表示M階FIR系統的第i個系數2M次乘法，M次延遲

橫向結構：M個參數，或格型結構：M個參數,稱為反射系數M次乘法，M次延遲

定義：、分別是輸入端到第m個基本傳輸單元上、下端所對應的系統函數：1)z變換，得對基本單元 (3)代入(1)得（4）(4)代入(3)得：由(1)、(2)代入(1)、(4)得代入(5)代入(6)2)3)已知，求，(1)(3)重復(2)求出全部(2)由，，，求的系數，，或由(6)得，則2、全極點系統（IIR系統）的格型結構全極點IIR濾波器的系統函數

其中表示M階全極點系統的第i

個系數，討論與格型結構的關系全極點格型結構基本單元：M＝1M＝2

格型結構系數與，；

之間遞推關系同全零點系數與的遞推關系完全一樣。3、零極點系統（IIR系統）的格型結構

在有限z平面上既有極點又有零點的IIR系統(1)當

，為N階FIR系統的橫向結構(2)當

,時，為全極點IIR格型結構上半部分對應全極點系統

下半部分對應全零點系統

按全極點系統的方法求出而上半部分對下半部分有影響，故需求令為由到之間的系統函數整個系統的系統函數由

兩邊同次冪系數相等，得解法一：解法二：二、IIR數字濾波器的基本結構1）系統的單位抽樣相應h(n)無限長IIR數字濾波器的特點：3）存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結構2）系統函數H(z)在有限z平面（）上有極點存在IIR數字濾波器的基本結構：直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型）級聯型并聯型1、直接Ⅰ型差分方程:需N+M個延時單元2、直接Ⅱ型（典范型）只需實現N階濾波器所需的最少的N個延時單元，故稱典范型。（）

直接型的共同缺點：系數，對濾波器的性能控制作用不明顯極點對系數的變化過于靈敏，易出現不穩定或較大誤差運算的累積誤差較大3、級聯型將系統函數按零極點因式分解:將共軛成對的復數組合成二階多項式，系數即為實數。為采用相同結構的子網絡，也將兩個實零點/極點組合成二階多項式當零點為奇數時：有一個當極點為奇數時：有一個各二階基本節的排列次序有種當M=N時，二階因子配對方式有種級聯型的特點：調整系數，能單獨調整濾波器的第k對零點，而不影響其它零極點

運算的累積誤差較小具有最少的存儲器便于調整濾波器頻率響應性能調整系數，能單獨調整濾波器的第k對極點，而不影響其它零極點4、并聯型將因式分解的H(z)展成部分分式：當N為奇數時，有一個組合成實系數二階多項式：并聯型的特點：通過調整系數，可單獨調整一對極點位置，但不能單獨調整零點位置各并聯基本節的誤差互相不影響，故運算誤差最小可同時對輸入信號進行運算，故運算速度最高轉置定理：原網絡中所有支路方向倒轉，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統函數H(z)不改變。例：設IIR數字濾波器差分方程為：試用四種基本結構實現此差分方程。解：對差分方程兩邊取z變換，得系統函數：得直接Ⅰ型結構：典范型結構：將H(z)因式分解：得級聯型結構：將H(z)部分分式分解：得并聯型結構：第五章習題講解1、用直接I型及典范結構實現以下系統函數：解：根據IIR濾波器的系統函數標準式將系統函數整理為：得，，，直接I型結構：典范型結構：解：則2、用級聯型結構實現以下系統函數：試問一共能構成幾種級聯型網絡。考慮分子分母的組合及級聯的次序，共有以下四種級聯型網絡：3、給出以下系統函數的并聯型實現：解：對此函數進行因式分解并展成部分分式，得則則并聯結構：4、用橫截型結構實現以下系統函數：解：則橫截型結構：6、用頻率抽樣結構實現以下系統函數：抽樣點數，修正半徑。解：由N=6，得頻率抽樣型結構：又則得然后求時其中其中時得頻率抽樣結構：7、設某FIR數字濾波器的系統函數為試畫出此濾波器的線性相位結構。解：對系統函數求z反變換，得得即是偶對稱，對稱中心在處，N為奇數。得線性相位結構：8、設濾波器差分方程為試用直接I型、典范型及一階節的級聯型、一階節的并聯型結構實現此差分方程。解：根據得直接I型結構：典范型結構：將因式分解為一階節：得一階節級聯型結構：將分解為一階節部分分式：得一階節并聯結構：第七章、數字濾波器的設計過程用一個因果穩定的離散LSI系統的系統函數H(z)逼近此性能指標按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標利用有限精度算法實現此系統函數：如運算結構、字長的選擇等實際技術實現：軟件法、硬件法或DSP芯片法7.1、數字濾波器的技術要求選頻濾波器的頻率響應：

為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限

：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率7.2、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應

的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內的極點相位響應相位響應：群延遲響應相位對角頻率的導數的負值若濾波器通帶內=常數， 則為線性相位濾波器7.3、IIR數字濾波器的設計方法先設計模擬濾波器，再轉換為數字濾波器用一因果穩定的離散LSI系統逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數：計算機輔助設計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數字濾波器7.4、常用模擬低通濾波器設計將數字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev

濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器1、由幅度平方函數確定模擬濾波器的系統函數h(t)是實函數將左半平面的的極點歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為的零點，虛軸上的零點一半歸由幅度平方函數得象限對稱的s平面函數將因式分解，得到各零極點對比和，確定增益常數由零極點及增益常數，得例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設增益常數為K02、Butterworth低通逼近幅度平方函數：當稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數為通帶截止頻率1）幅度函數特點：

3dB不變性

通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小

過渡帶及阻帶內快速單調減小當（阻帶截止頻率）時，衰減為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2）幅度平方特性的極點分布：

極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上

N為奇數，實軸上有極點，N為偶數，實軸上無極點3）濾波器的系統函數：為歸一化系統的系統函數去歸一化，得4）濾波器的設計步驟：根據技術指標求出濾波器階數N：確定技術指標：由得：同理：令則：求出歸一化系統函數：

或者由N，直接查表得其中技術指標給出或由下式求出：

其中極點：去歸一化阻帶指標有富裕或通帶指標有富裕例：給定濾波器技術指標為通帶內允許起伏：-1dB0

p2104rad/s

阻帶衰減：-15dB

s22104rad/s求巴特沃斯濾波器的有關參數和系統函數。-1dB-3dB0dB-15dB|Ha(j

)|0

p

c

s

解(1)由給定條件和對數幅頻特性寫出特定頻率

p、

s處的方程式，求解N、

c。取整得：N=4(2)求-3dB截止頻率

c。以N=4代入幅頻特性得到：

C=21.304104sad/s(3)按N=4計算得系統函數3、Chebyshev低通逼近N：濾波器的階數幅度平方函數：

：截止頻率，不一定為3dB帶寬

，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大

：N階Chebyshev多項式

1）幅度函數特點：

通帶外：迅速單調下降趨向0N為偶數N為奇數

通帶內：在1和間等波紋起伏

2）Chebyshev濾波器的三個參量：

：通帶截止頻率，給定

：表征通帶內波紋大小N：濾波器階數，等于通帶內最大最小值的總數由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數越高為阻帶截止頻率3）幅度平方特性的極點分布：4）濾波器的系統函數：其中：5）濾波器的設計步驟:

歸一化：確定技術指標：根據技術指標求出濾波器階數N及：其中：或者由N和，直接查表得其中極點由下式求出：求出歸一化系統函數：去歸一化 解:

有

例:導出二階

，已知通帶紋波為

，歸一化截止頻率為：濾波器的系統函數。

。求出

對二階濾波器，

即有:

將

和

代入平方幅度特性有:

令

，即

，有:

有極點:

位于S平面橢圓上，虛軸對稱。左半平面的極點為

，且

為偶數。

(5)切比雪夫I型低通原型濾波器的實現:

相對于截止頻率

c=s/s′

歸一化，有系統函數Ha(s)其具體實現和巴特沃思濾波器的實現相同。按給定條件，在s=0的低通情況下，有7.6、用模擬濾波器設計IIR數字濾波器設計思想：

s平面z平面

模擬系統數字系統H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應，

即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩定的Ha(s)映射到因果穩定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內|z|<1設計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換法一、沖激響應不變法數字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應1、變換原理T—抽樣周期2、混迭失真僅當數字濾波器的頻響在折疊頻率內重現模擬濾波器的頻響而不產生混迭失真：數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為

實際系統不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當濾波器的設計指標以數字域頻率給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現象3、模擬濾波器的數字化方法系數相同：極點：s平面

z平面穩定性不變：s平面z平面當T很小時，數字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應不變法，設計IIR數字濾波器例：設模擬濾波器的系統函數為解：據題意，得數字濾波器的系統函數：設T=1s，則模擬濾波器的頻率響應：數字濾波器的頻率響應：4、優缺點優點：缺點：保持線性關系： 線性相位模擬濾波器轉變為線性相位數字濾波器頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應 時域逼近良好二、階躍響應不變法變換原理數字濾波器的階躍響應 模仿模擬濾波器的階躍響應 T—抽樣周期階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現象但比沖激響應不變法要小。三、雙線性變換法1、變換原理使數字濾波器的頻率響應 與模擬濾波器的頻率響應相似。沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近 缺點是產生頻率響應的混疊失真為使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數c2、變換常數c的選擇2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置3、逼近情況1）

s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內

s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4、優缺點優點：避免了頻率響應的混迭現象s平面與z平面為單值變換缺點：

除了零頻率附近，與之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型，不然會產生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數字濾波器分段常數型模擬濾波器經變換后仍為分段常數型數字濾波器，但臨界頻率點產生畸變預畸變

給定數字濾波器的截止頻率，則按設計模擬濾波器，經雙線性變換后，即可得到為截止頻率的數字濾波器6、模擬濾波器的數字化方法可分解成級聯的低階子系統可分解成并聯的低階子系統例：設計Butterworth數字低通濾波器，要求在頻率低于1Khz的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率不大于1.5Khz的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。采樣頻率為15khz。1、用沖激響應不變法設計得到數字濾波器的技術指標：由模擬濾波器的技術指標：T=1/15Ka）確定參數

用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統函數或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將展成部分分式形式:變換成Butterworth數字濾波器：2、用雙線性變換法設計1）由數字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數

用阻帶技術指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統函數或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將變換成Butterworth數字濾波器：例：用雙線性變換法設計Chebyshev數字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內，衰減大于15dB。1）由數字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數3）設計Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點c)構造系統函數c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）將變換成Chebyshev數字濾波器：將數字濾波器的技術指標轉變成模擬濾波器的技術指標小結：利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器的步驟

通帶截止頻率、通帶衰減

阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率確定數字濾波器的技術指標：沖激響應不變法雙線性變換法按模擬濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器將模擬低通濾波器轉換成數字低通濾波器沖激響應不變法雙線性變換法九、設計IIR濾波器的頻率變換法十、模擬域頻帶變換法歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數字低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻帶變換雙線性變換歸一化：1、模擬低通—模擬低通

當通帶截止頻率時，相當于去歸一化2、模擬低通—模擬帶通變換關系：B為通帶帶寬歸一化變換：其中：例：設計一個數字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內最大衰減為3dB，0.2π

rad以下和0.5π

rad以上為阻帶，阻帶內最小衰減為18dB。采用Butterworth模擬低通濾波器、雙線性變換法。解：1）確定數字帶通濾波器的技術指標：2）轉換為模擬帶通濾波器的技術指標：（選T=1s）

歸一化：3）轉換為歸一化模擬低通濾波器技術指標：

取小者：

又有4）設計歸一化模擬低通濾波器：

查表得：5）將歸一化模擬低通濾波器轉換成模擬帶通濾波器：6）通過雙線性變化法將模擬帶通濾波器轉換成數字帶通濾波器：模擬低通到數字帶通的直接變換：其中：3、模擬低通—模擬帶阻變換關系：B為阻帶帶寬歸一化變換：其中：模擬低通到數字帶阻的直接變換：其中：4、模擬低通—模擬高通變換關系：歸一化變換：其中：模擬低通到數字高通的直接變換：其中：十一、數字域頻帶變換法歸一化模擬低通數字低通數字低通、高通、帶通、帶阻數字域頻帶變換或雙線性變換沖激響應不變法要求：階數：N極點：零點：則：即：為全通函數1、數字低通—數字低通得：由2、數字低通—數字高通低通頻率響應在單位圓上旋轉180o，即得高通頻率響應：由

得：3、數字低通—數字帶通得上式應取負號，即：由其中：由得4、數字低通—數字帶阻得上式應取正號，即：由其中：由得5、數字低通—多通帶全通函數的階數N為[–π,

π]內通帶的數目

時是通帶，全通函數取“+”號

時是阻帶，全通函數取“–”號

第六章幾種特殊濾波器及

簡單一、二階數字濾波器設計

6.1

數字濾波器的基本概念

6.2

全通濾波器

6.4

陷波器

6.6梳狀濾波器

6.7

波形發生器濾波：通過某種運算（變換）得到或者增強所需信號，而濾除不需要的信號、噪聲或者干擾。表示方法：1、線性差分方程2、系統函數3、單位抽樣響應4、線性信號流圖實現：計算機軟件、專用數字濾波器的硬件、專用或通用的數字信號處理器來實現。6.1數字濾波器的基本概念數字濾波器的分類1、按照沖激響應分：IIR和FIR2、按照濾波器的幅度響應分：低通、高通、帶通、帶阻、全通等3、按照相位響應分：線性相位和非線性相位4、按照特殊要求分：梳狀濾波器、陷波器、諧振器、最小相位滯后濾波器、波形發生器等。π2π0π2π0π2π03ππ02ππ2π0低通高通帶通帶阻全通頻率變量是以數字頻率ω來表示，因此數字域的抽樣頻率為2π。根據抽樣定理，頻率特性只能限于|ω|<ωs/2=πH(z)的零極點配置對系統幅度響應的影響：1、零點影響幅度響應的谷值，若零點在單位圓上，此處幅度響應為零；2、極點影響幅度響應的峰值，極點越靠近單位圓，則對峰值的影響越大；3、為保證h(n)為實序列，則系統函數的零極點只能是實數或者以共軛復數出現。4、如果是因果穩定系統，則極點必須在單位圓內。6.2全通系統定義：是指系統頻率響應的幅度在所有頻率ω下均為1或某一常數的系統。滿足簡單一階全通系統函數

a1/a1-1jIm[z]Re[z]

高階有理全通系統由一串一階系統組成，可以包含實零點－實極點系統；還可以包括復數零點－復數極點系統；多個這兩類系統的級聯就組成一個高階全通網絡系統。復數零點－復數極點的全通節的系統函數

a1/a*1-1jIm[z]Re[z]N階數字全通系統的系統函數頻率響應的模都為1。證明：N階全通系統函數為式中當時，滿足所以有全通濾波器的極點要在單位圓內，零點在單位圓外極點的鏡像位置上，零極點成對出現，如果是復數，應以共軛對形式出現。全通系統應用（1）任何一個因果穩定的非最小相位延時系統的H(z)都可以表示為全通系統和最小相位延時系統的級聯。

它們頻率響應的幅度相同，相位不同。即

證明：設一個因果穩定的非最小相位延時系統H(z)為

由于，所以是最小相位延時，是全通級聯。所以可表示為（2）如果設計出的濾波器是非穩定的，則可用級聯全通函數的辦法將它變成一個穩定系統。例：原濾波器有一對極點在單位圓外級聯一個全通系統則可將單位圓外極點抵消，但不改變系統幅度特性。（3）可以作為相位均衡器（群時延均衡器）用，來得到線性相位，但不改變幅度特性。IIR濾波器其相位特性為非線性的，因而群延時不為常數，而在視頻信號的傳輸中希望系統具有線性相位。設全通濾波器為，系統為級聯后H(z)即相位關系按得當通帶中滿足是常數則逼近誤差的平方值利用均方誤差最小的準則就可以求得均衡器有關的參數。6.4陷波器jIm[z]Re[z]ACB1-1r010.7070.5陷波器：將零極點配合構成數字濾波器，以濾除某些單頻或寬帶干擾，它的幅度特性在處為零。零極點配置圖幅度響應二階系統的系統函數為K為常數，由幅度響應的具體要求來確定設,取圓上一點C，其幅角為C點的幅度響應為陷波器幅度響應衰減3dB處的通帶寬度為1、在處，，完全陷波；2、當增加，由于零矢、極矢逐漸近似相等，使得幅度響應很快變成1，達到最大值；3、當極點越靠近單位圓上的零點時，陷波器在3dB處帶寬越窄，陷波效果越好。例：有一個低頻信號占據頻帶寬度0~200Hz，混入了50Hz頻率的市電干擾。試設計一個陷波器濾除掉此50Hz干擾，要求陷波器3dB頻帶寬度為4Hz.解：1、確定抽樣頻率fs,取fs=1000Hz；2、將臨界頻率轉換為數字頻率陷波器中心頻率陷波器3dB頻帶寬度

3、求陷波器系統函數中的r4、利用在處頻率響應的幅度為1來求常數K。5、將r和K代入H(z)中6.6梳狀濾波器梳狀濾波器用來抑制周期性的噪聲或增強周期性信號分量。系統函數FIR濾波器N個零點都在單位圓上，極點則在Z=0處，為N階極點。Re[z]Im[z]1-10N=62缺點：幅度特性過渡帶較為平緩，不夠陡峭，對周期性信號陷波作用不明顯，在其他頻率處產生信號失真。1、梳狀陷波器對周期性的干擾信號加以陷波（抑制）N個零點均勻分布在單位圓上，N個極點均勻分布在|z|=r(r<1)上，。Re[z]Im[z]1r10幅頻響應的最大值在兩個相鄰的零點間的居中點處，即在

之處，令i=0,得到r越接近1，幅度響應在兩個零點之間越平坦，從而陷波的效果越好。r=0時，信號失真最大，就是梳狀濾波器的系統函數。

6.7波形發生器若要產生正弦波、余弦波、周期性方波或一般周期序列的常用序列，通常將單位抽樣函數輸入到一個“濾波器”上來產生，此時濾波器器不是起到濾波的作用，而是產生“振蕩”，此時系統函數的極點一定要在單位圓上。6.7.1正弦波及余弦波發生器當輸入為,網絡輸出為單頻的正弦、余弦序列。例雙音多頻(DTMF)的數字電話系統的發生器與接收器中，DTMF信號是用于電話與程控交換機之間的一種用戶指令，用它來完成自動長途呼叫。電話的撥號鍵盤是4×3矩陣，矩陣的每一行有一個低頻正弦信號，分別為697Hz，770Hz，852Hz，941Hz；

每一列有一個高頻正弦信號，分別為1209Hz，1336Hz，1477Hz。故稱之為“多頻”每按動一個鍵就發送一個高頻信號和一個低頻信號的組合，

故稱為“雙音”。1209Hz1336Hz1477Hz697Hz770Hz852Hz941Hz123456789＊0﹟Z-1Z-1Z-1Z-1-1-1低通(LP)濾波器高通(HP)濾波器帶通(BP)697Hz濾波器帶通(BP)770Hz濾波器帶通(BP)852Hz濾波器帶通(BP)941Hz濾波器帶通(BP)697Hz濾波器帶通(BP)770Hz濾波器帶通(BP)852Hz濾波器0010001數字鍵盤信號“9”6.7.2周期性方波發生器周期性方波如圖所示……n0102030z-1z-N/2-1若此系統的輸入為單位抽樣序列，則輸入一定是占空比為1：1，周期為N的的周期序列。周期性方波的幅度大小可以任意設定。6.7.3任意周期序列的發生器設任意一個周期為N的周期性序列，其主值序列為x(n)用單位抽樣序列作為輸入信號，可以在某一系統的輸出

端得到周期序列系統函數為z-1z-1z-1z-1a0a1a2aN-2aN-1第六章習題講解解：沖激響應不變法：1．用沖激響應不變法將以下變換為抽樣周期為T。，（1）將部分分式分解：經沖激響應不變法變換后得：3．設有一模擬濾波器抽樣周期，試用雙線性變換法將它轉變為數字系統函數解：由變換公式及，，可得4．要求從二階巴特沃思模擬濾波器用雙線性變換導出一低通數字濾波器，已知3dB截止頻率為100Hz，系統抽樣頻率為1kHz。解：歸一化的二階巴特沃思濾波器的系統函數為：則將代入，得出截止頻率為的模擬原型為經雙線性變換得數字濾波器的系統函數：5．試導出二階巴特沃思低通濾波器的系統函數。設解：由幅度平方函數：令，則有各極點滿足下式則時，所得的即為的極點由以上兩個極點構成的系統函數為代入時

，可得，所以6．試導出二階切貝雪夫低通濾波器的系統函數。已知通帶波紋為2dB，截止頻率為（試用不同于書本的解法解答）。解：由，得則因為截止頻率為，則則，其中，因為是偶數，故時，有可求得17．圖P6-17表示一個數字濾波器的頻率響應。1）用沖激響應不變法，求原型模擬濾波器頻率響應。2）用雙線性變換法，求原型模擬濾波器頻率響應。解：由圖可得又由，則有（1） 沖激響應不變法因為大于折疊頻率時為零，故用此法無失真。（2） 雙線性變換法根據雙線性變換公式：得：第七章學習目標掌握線性相位FIR數字濾波器的特點掌握窗函數設計法理解IIR與FIR數字濾波器的比較本章作業練習

P560:

8.18.5(1)8.7第七章FIR數字濾波器的設計方法IIR數字濾波器：

可以利用模擬濾波器設計

但相位非線性FIR數字濾波器：

可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性

因果穩定系統

可用FFT計算

但階次比IIR濾波器要高得多一、線性相位FIR濾波器的特點FIR濾波器的單位沖激響應：系統函數：在z平面有N–1個零點在z=0處是N–1階極點

h(n)為實序列時，其頻率響應：1、線性相位條件即群延時是常數

第二類線性相位：

第一類線性相位：線性相位是指

是

的線性函數

第一類線性相位：第一類線性相位的充要條件：

n=(N–1)/2為h(n)的偶對稱中心第二類線性相位的充要條件：

n=(N–1)/2為h(n)的奇對稱中心2、線性相位FIR濾波器頻率響應的特點系統函數：由頻率響應：1）h(n)偶對稱

為第一類線性相位相位函數：頻率響應：2）h(n)奇對稱相位函數：為第二類線性相位3、幅度函數的特點1）h(n)偶對稱，N為奇數幅度函數：

其中：

其中：適合設計各種選頻濾波器2）h(n)偶對稱，N為偶數幅度函數：

其中：

其中：

故不能設計成高通、帶阻濾波器

3）h(n)奇對稱，N為奇數幅度函數：其中：其中：

不能設計4）h(n)奇對稱，N為偶數幅度函數：

其中：

其中：

h(n)為奇對稱時，有900相移，適用于微分器和900移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對稱時4、零點位置得：由1）若z=zi是H(z)的零點，則z=zi-1也是零點2）h(n)為實數，則零點共軛成對

線性相位濾波器的零點是互為倒數的共軛對即共軛成對且鏡像成對1）零點：2），即零點在單位圓上零點：3），即零點在實軸上零點：4） 即零點既在實軸上，又在單位圓上零點：二、窗函數設計法1、設計方法w(n)：窗函數序列要選擇合適的形狀和長度以低通濾波器為例討論：線性相位理想低通濾波器的頻率響應：其理想單位抽樣響應：中心點為α的偶對稱無限長非因果序列

取矩形窗：則FIR濾波器的單位抽樣響應：按第一類線性相位條件，得

加窗處理后對頻率響應的影響：時域乘積相當于頻域卷積而矩形窗的頻率響應：理想濾波器的頻率響應：其幅度函數：則FIR濾波器的頻率響應：

幅度函數：加窗函數的影響：不連續點處邊沿加寬形成過渡帶，其寬度（兩肩峰之間的寬度）等于窗函數頻率響應的主瓣寬度。在處出現肩峰值，兩側形成起伏振蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。其相對比例由窗函數形狀決定，稱為Gibbs效應2、各種窗函數窗函數的要求：窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度 以減小肩峰和波紋矩形窗主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大窗譜：幅度函數：三角形（Bartlett）窗主瓣寬度寬：旁瓣幅度較小窗譜：幅度函數：漢寧（Hanning）窗 （升余弦窗）主瓣寬度寬：旁瓣幅度小幅度函數：海明（Hamming）窗 （改進的升余弦窗）主瓣寬度寬：旁瓣幅度更小幅度函數：布萊克曼（Blackman）窗 （二階升余弦窗）主瓣寬度最寬：旁瓣幅度最小幅度函數：凱澤（Kaiser）窗

：第一類變形零階 貝塞爾函數窗函數窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值/dB主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻帶最小衰減只由窗形狀決定過渡帶寬則與窗形狀和窗寬N都有關3、窗函數法的設計步驟給定理想的頻率響應函數 及技術指標求出理想的單位抽樣響應根據阻帶衰減選擇窗函數計算頻率響應，驗算指標是否滿足要求根據過渡帶寬度確定N值求所設計的FIR濾波器的單位抽樣響應公式法：IFFT法：計算其IFFT，得：

對M點等間隔抽樣：4、線性相位FIR低通濾波器的設計解：1）求數字頻率例：設計一個線性相位FIR低通濾波器， 給定抽樣頻率為，

通帶截止頻率為，

阻帶起始頻率為，

阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示2）求hd(n)4）確定N值3）選擇窗函數：由確定海明窗（-53dB）5）確定FIR濾波器的h(n)6）求，驗證若不滿足，則改變N或窗形狀重新設計5、線性相位FIR高通濾波器的設計其單位抽樣響應：理想高通的頻響：6、線性相位FIR帶通濾波器的設計其單位抽樣響應：理想帶通的頻響：7、線性相位FIR帶阻濾波器的設計其單位抽樣響應：理想帶阻的頻響：三、頻率抽樣設計法1、設計方法

對理想頻率響應等間隔抽樣 作為實際FIR數字濾波器的頻率特性的抽樣值窗函數設計法：內插公式：抽樣點上，頻率響應嚴格相等抽樣點之間，加權內插函數的延伸疊加

變化越平緩，內插越接近理想值，逼近誤差較小1、線性相位的約束1）h(n)偶對稱，N為奇數幅度偶對稱：相位函數：2）h(n)偶對稱，N為偶數幅度奇對稱：相位函數：2、頻率抽樣的兩種方法1）第一種頻率抽樣系統函數：頻率響應：2）第二種頻率抽樣系統函數：頻率響應：3、線性相位第一種頻率抽樣h(n)為實數序列時，H(k)圓周共軛對稱又線性相位：即：對稱中心：

當N為奇數時：

當N為偶數時：

當N為奇數時：

當N為偶數時：頻率響應：

當N為奇數時：

當N為偶數時：4、線性相位第二種頻率抽樣h(n)為實數序列時，H(k)圓周共軛對稱又線性相位：即：對稱中心：

當N為奇數時：

當N為偶數時：

當N為奇數時：

當N為偶數時：頻率響應：

當N為奇數時：當N為偶數時：增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減5、過渡帶抽樣的優化設計不加過渡抽樣點：加一點：加兩點：加三點：增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，但導致過渡帶變寬增加N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量優點：頻域直接設計缺點：抽樣頻率只能是或的整數倍， 截止頻率不能任意取值例：利用頻率抽樣法設計一個頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為0.5π，抽樣點數為N=33，要求濾波器具有線性相位。解：按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點得線性相位FIR濾波器的頻率響應：過渡帶寬：阻帶衰減：-20dB增加一點過渡帶抽樣點

令H(9)=0.5

過渡帶寬：

阻帶衰減：-40dB增加兩點過渡帶抽樣點 且增加抽樣點數為N=65

令H(17)=0.5886

H(18)=0.1065

過渡帶寬：

阻帶衰減：-60dB四、設計FIR濾波器的最優化方法1、均方誤差最小準則頻率響應誤差：實際頻響理想頻響均方誤差：當時即相當于矩形窗∴矩形窗設計結果必滿足最小均方誤差準則2、最大誤差最小化準則

（加權chebyshev等波紋逼近）

當

為偶/奇對稱，N為奇/偶數的四種情況其頻響

為偶對稱時

N為奇數：

N為偶數：

N為奇數：利用三角恒等式將表示成兩項相乘形式

為奇對稱時

N為偶數：N為奇數

N為偶數

1N為奇數

奇對稱

N為偶數

偶對稱

其中：

由下而上由求加權chebyshev等波紋逼近：求一組系數使各頻帶上的最大絕對值最小

加權逼近誤差函數：逼近函數

加權函數A—各通帶和阻帶交錯定理：若是r個余弦函數的線性組合。即A是內的一個閉區間(包括各通帶、阻帶，但不包括過渡帶)，是A上的一個連續函數,則是的唯一地和最佳的加權chebyshev逼近的充分必要條件是：加權逼近誤差函數在A中至少有個極值點，即A中至少有個點，且使得且

設要求濾波器頻率響應：

尋找一個 使其在通帶和阻帶內最佳地一致逼近參數：

，，，，N若

最佳一致逼近則

在通、阻帶內具等波紋性故又稱等波紋逼近

根據交錯定理：最大極值點數

的極值點數＋

單有極點根據

知

的極值點數為：

偶對稱

N為奇數

N為偶數

奇對稱

N為奇數

N為偶數

單有的極值點是除

外的頻帶端點處如低通有2個，帶通有4個

極值點數目最優線性相位FIR濾波器的設計步驟6）用Remez算法，求逼近問解的解7）計算濾波器的單位抽樣響應

2）根據類型和的長度N，確定的個數r4）計算各格點頻率上的和函數值1）輸入數據，濾波器性能要求，濾波器類型加權逼近誤差：

將，表示成，5）用公式表示逼近問題3）在頻率區間，用密集的格點表示離散頻率設誤差函數值為δ，則Remez算法1）按等間隔設定個極值點頻率的初始值其中：

，，未知數：和δ，但求解困難可求2）用解析法求其中：3）求值其中：利用重心形式的拉格朗日內插公式得4）求5）判斷是否所有頻率上皆有若是，結束計算若否，作為新的一組交錯點組頻率，返回步驟2）重新計算值，，誤差曲線每個格點頻率上(r+1)個極值點頻率處，且正負交錯。為最佳逼近，誤差曲線的個局部極值頻率點求前后兩次迭代的值相等，終止條件：即收斂于其上限、已知N、，求最佳，通、阻帶加權誤差相同若、已知，則可規定加權函數則經Remez解法迭代得若、已知，則固定，改變值，重復迭代使、滿足要求加權函數及其它參數的確定：計算濾波器的單位抽樣響應由求的L點IDFT即得對頻域抽樣得P(k)，L點時不混疊）（偶對稱，N為奇數時如由可求得h(n)偶對稱，N為偶數時如五、IIR和FIR數字濾波器的比較IIR濾波器FIR濾波器h(n)無限長h(n)有限長極點位于z平面任意位置濾波器階次低非線性相位遞歸結構不能用FFT計算可用模擬濾波器設計用于設計規格化的選頻濾波器極點固定在原點濾波器階次高得多可嚴格的線性相位一般采用非遞歸結構可用FFT計算設計借助于計算機可設計各種幅頻特性和相頻特性的濾波器第七章習題講解解：線性相位理想低通濾波器1．用矩形窗設計一個FIR線性相位低通數字濾波器。已知，。求出并畫出曲線。其單位抽樣響應：其中用矩形窗截斷得FIR濾波器：其中是窗函數。低通濾波器的幅頻響應曲線：則FIR濾波器的頻率響應：7．試用頻率抽樣法設計一個FIR線性相位數字低通濾波器，已知。，解：根據題意有按第一種頻率抽樣，得則FIR濾波器的頻率響應：按第二種頻率抽樣，得是偶對稱序列9．已知圖P7-9-1中的，圓周移位（移位）圖P7-9-2中的是后的序列。設成立否？與有（1） 問什么關系？（2） ，各構成一個低通濾波器，試問它們是否是線性相位的？延時是多少？解：（1）根據題意可知則由上式可以看出（2）各構成低通濾波器時，，由于都滿足偶對稱，因此都是線性相位的。延時為10．請選擇合適的窗函數及N來設計一個線性相位低通濾波器要求其最小阻帶減為－45dB，過渡帶寬為求出并畫出曲線（設）解：根據低通濾波器的最小阻減為－45dB，查表，應選擇海明窗：得過渡帶寬應滿足：又求得理想低通濾波器的單位抽樣響應為：其中：線性相位FIR低通濾波器：用海明窗設計得到FIR濾波器的幅頻響應：第八章學習目標掌握線性相位FIR數字濾波器的特點掌握窗函數設計法理解IIR與FIR數字濾波器的比較本章作業練習

P370:

110(1)第八章FIR數字濾波器的設計方法IIR數字濾波器：

可以利用模擬濾波器設計

但相位非線性FIR數字濾波器：

可以嚴格線性相位，又可任意幅度特性

因果穩定系統

可用FFT計算

但階次比IIR濾波器要高得多一、線性相位FIR濾波器的特點FIR濾波器的單位沖激響應：系統函數：在z平面有N–1個零點在z=0處是N–1階極點

h(n)為實序列時，其頻率響應：1、線性相位條件即群延時是常數

第二類線性相位：

第一類線性相位：線性相位是指

是

的線性函數

第一類線性相位：第一類線性相位的充要條件：

n=(N–1)/2為h(n)的偶對稱中心第二類線性相位的充要條件：

n=(N–1)/2為h(n)的奇對稱中心2、線性相位FIR濾波器頻率響應的特點系統函數：由頻率響應：1）h(n)偶對稱

為第一類線性相位相位函數：頻率響應：2）h(n)奇對稱相位函數：為第二類線性相位3、幅度函數的特點1）h(n)偶對稱，N為奇數幅度函數：

其中：

其中：適合設計各種選頻濾波器2）h(n)偶對稱，N為偶數幅度函數：

其中：

其中：

故不能設計成高通、帶阻濾波器

3）h(n)奇對稱，N為奇數幅度函數：其中：其中：

不能設計4）h(n)奇對稱，N為偶數幅度函數：

其中：

其中：

h(n)為奇對稱時，有900相移，適用于微分器和900移相器，而選頻濾波器采用h(n)為偶對稱時4、零點位置得：由1）若z=zi是H(z)的零點，則z=zi-1也是零點2）h(n)為實數，則零點共軛成對

線性相位濾波器的零點是互為倒數的共軛對即共軛成對且鏡像成對1）零點：2），即零點在單位圓上零點：3），即零點在實軸上零點：4） 即零點既在實軸上，又在單位圓上零點：二、窗函數設計法1、設計方法w(n)：窗函數序列要選擇合適的形狀和長度以低通濾波器為例討論：線性相位理想低通濾波器的頻率響應：其理想單位抽樣響應：中心點為α的偶對稱無限長非因果序列

取矩形窗：則FIR濾波器的單位抽樣響應：按第一類線性相位條件，得

加窗處理后對頻率響應的影響：時域乘積相當于頻域卷積而矩形窗的頻率響應：理想濾波器的頻率響應：其幅度函數：則FIR濾波器的頻率響應：

幅度函數：加窗函數的影響：不連續點處邊沿加寬形成過渡帶，其寬度（兩肩峰之間的寬度）等于窗函數頻率響應的主瓣寬度。在處出現肩峰值，兩側形成起伏振蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。其相對比例由窗函數形狀決定，稱為Gibbs效應2、各種窗函數窗函數的要求：窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度 以減小肩峰和波紋矩形窗主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大窗譜：幅度函數：三角形（Bartlett）窗主瓣寬度寬：旁瓣幅度較小窗譜：幅度函數：漢寧（Hanning）窗 （升余弦窗）主瓣寬度寬：旁瓣幅度小幅度函數：海明（Hamming）窗 （改進的升余弦窗）主瓣寬度寬：旁瓣幅度更小幅度函數：布萊克曼（Blackman）窗 （二階升余弦窗）主瓣寬度最寬：旁瓣幅度最小幅度函數：凱澤（Kaiser）窗

：第一類變形零階 貝塞爾函數窗函數窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值/dB主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻帶最小衰減只由窗形狀決定過渡帶寬則與窗形狀和窗寬N都有關3、窗函數法的設計步驟給定理想的頻率響應函數 及技術指標求出理想的單位抽樣響應根據阻帶衰減選擇窗函數計算頻率響應，驗算指標是否滿足要求根據過渡帶寬度確定N值求所設計的FIR濾波器的單位抽樣響應公式法：IFFT法：計算其IFFT，得：

對M點等間隔抽樣：4、線性相位FIR低通濾波器的設計解：1）求數字頻率例：設計一個線性相位FIR低通濾波器， 給定抽樣頻率為，

通帶截止頻率為，

阻帶起始頻率為，

阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示2）求hd(n)4）確定N值3）選擇窗函數：由確定海明窗（-53dB）5）確定FIR濾波器的h(n)6）求，驗證若不滿足，則改變N或窗形狀重新設計5、線性相位FIR高通濾波器的設計其單位抽樣響應：理想高通的頻響：6、線性相位FIR帶通濾波器的設計其單位抽樣響應：理想帶通的頻響：7、線性相位FIR帶阻濾波器的設計其單位抽樣響應：理想帶阻的頻響：三、頻率抽樣設計法1、設計方法

對理想頻率響應等間隔抽樣 作為實際FIR數字濾波器的頻率特性的抽樣值窗函數設計法：內插公式：抽樣點上，頻率響應嚴格相等抽樣點之間，加權內插函數的延伸疊加

變化越平緩，內插越接近理想值，逼近誤差較小1、線性相位的約束1）h(n)偶對稱，N為奇數幅度偶對稱：相位函數：2）h(n)偶對稱，N為偶數幅度奇對稱：相位函數：2、頻率抽樣的兩種方法1）第一種頻率抽樣系統函數：頻率響應：2）第二種頻率抽樣系統函數：頻率響應：3、線性相位第一種頻率抽樣h(n)為實數序列時，H(k)圓周共軛對稱又線性相位：即：對稱中心：

當N為奇數時：

當N為偶數時：

當N為奇數時：

當N為偶數時：頻率響應：

當N為奇數時：

當N為偶數時：4、線性相位第二種頻率抽樣h(n)為實數序列時，H(k)圓周共軛對稱又線性相位：即：對稱中心：

當N為奇數時：

當N為偶數時：

當N為奇數時：

當N為偶數時：頻率響應：

當N為奇數時：當N為偶數時：增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減5、過渡帶抽樣的優化設計不加過渡抽樣點：加一點：加兩點：加三點：增加過渡帶抽樣點，可加大阻帶衰減，但導致過渡帶變寬增加N，使抽樣點變密，減小過渡帶寬度，但增加了計算量優點：頻域直接設計缺點：抽樣頻率只能是或的整數倍， 截止頻率不能任意取值例：利用頻率抽樣法設計一個頻率特性為矩形的理想低通濾波器，截止頻率為0.5π，抽樣點數為N=33，要求濾波器具有線性相位。解：按第一種頻率抽樣方式，N=33，得抽樣點得線性相位FIR濾波器的頻率響應：過渡帶寬：阻帶衰減：-20dB增加一點過渡帶抽樣點

令H(9)=0.5

過渡帶寬：

阻帶衰減：-40dB增加兩點過渡帶抽樣點 且增加抽樣點數為N=65

令H(17)=0.5886

H(18)=0.1065

過渡帶寬：

阻帶衰減：-60dB四、設計FIR濾波器的最優化方法1、均方誤差最小準則頻率響應誤差：實際頻響理想頻響均方誤差：當時即相當于矩形窗∴矩形窗設計結果必滿足最小均方誤差準則2、最大誤差最小化準則

（加權chebyshev等波紋逼近）

當

為偶/奇對稱，N為奇/偶數的四種情況其頻響

為偶對稱時

N為奇數：

N為偶數：

N為奇數：利用三角恒等式將表示成兩項相乘形式

為奇對稱時

N為偶數：N為奇數

N為偶數

1N為奇數

奇對稱

N為偶數

偶對稱

其中：

由下而上由求加權chebyshev等波紋逼近：求一組系數使各頻帶上的最大絕對值最小

加權逼近誤差函數：逼近函數

加權函數A—各通帶和阻帶交錯定理：若是r個余弦函數的線性組合。即A是內的一個閉區間(包括各通帶、阻帶，但不包括過渡帶)，是A上的一個連續函數,則是的唯一地和最佳的加權chebyshev逼近的充分必要條件是：加權逼近誤差函數在A中至少有個極值點，即A中至少有個點，且使得且

設要求濾波器頻率響應：

尋找一個 使其在通帶和阻帶內最佳地一致逼近參數：

，，，，N若

最佳一致逼近則

在通、阻帶內具等波紋性故又稱等波紋逼近

根據交錯定理：最大極值點數

的極值點數＋

單有極點根據

知

的極值點數為：

偶對稱

N為奇數

N為偶數

奇對稱

N為奇數

N為偶數

單有的極值點是除

外的頻帶端點處如低通有2個，帶通有4