2024年高考適應性練習

數學

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘。

2.答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上。

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題

區書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求。

1.已知復數z滿足(1-i)z=3+i,則亍在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若隨機變量且尸(4〉4)=0.2,則尸(2<《<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.若拋物線儼=2.(2>0)的焦點到直線x=-2的距離為4,則夕的值為()

A.1B.2C.4D.8

4.已知夕：1<2”<4,夕：，—辦―，若)是q的充分不必要條件，貝1)()

33

A.a>—B.0<tz<—C.a>2D.0<a<2

22

(iy

5.1+X——展開式中/yN的系數為()

Iy)

A.-840B.-420C.420D.840

6.將函數/(x)=sin2x+f的圖象向左平移e(e>0)個單位長度得到函數g(x)的圖象，若x=-

為g(x)圖象的一條對稱軸，則。的最小值為()

715兀7712兀

A.——B.—C.—D.—

1212123

7.在△Z8C中，AB=3,AC=2,ZBAC=60%Zg=3AF￡E=EC,AE,CF交于點。，則函=()

A6B-TTD?百

3

8.歐拉函數乂〃eN*)的函數值等于所有不超過正整數〃，且與〃互質的正整數的個數，例如

0（4）=2.已知〃=,〃eN*,7；是數列也｝的前"項和，若7；恒成立,

9（3"）

則M的最小值為（）

37

A.-B.1C.一D.2

46

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知函數/(x)=sinxjcosx|,則()

A./（x）是奇函數B./（x）的最小正周期為兀

1JT

C./（X）的最小值為—5D./（x）在0,-上單調遞增

22

10.已知雙曲線口鼻―%=1（。>0,6>0）的離心率為e,過其右焦點R的直線/與:T交于點45,下

列結論正確的是（）

A.右a=b,則e=V2

B.|48|的最小值為2a

C.若滿足|48|=2。的直線/恰有一條，則e>J5

D.若滿足|4B|=2a的直線/恰有三條，則l<e（后

11.如圖，在直三棱柱/8C—4801中，AB=2,ABLBC,P,。分別為棱BC,4cl

上的動點，且麗=%數，Q2=2Q4,2e（O,l）,貝I

B.存在丸使得P。〃平面48用其

C.若8片,用G長度為定值，則2=1■時三棱雉8-4尸。體積最大

D.當2=!時，直線PQ與48所成角的余弦值的最小值為￡2

23

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合/=｛0,1,2,3｝,5=｛a,/—1｝,若/U5=Z，則實數a的值為.

13.在△45C中，內角45,C的對邊分別為a,8c,V2+Z)2-c2=absinC,且c=l,則△NBC

面積的最大值為

7T

14.當xe0,—時，eav+asinx-xcosx-1>0,則實數a的取值范圍為

2------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知｛4｝是公差不為0的等差數列，其前4項和為16,且%,4，生成等比數列。

（1）求數列｛4｝的通項公式:

2樂,〃為奇數

（2）設〃=1〃為偶數,求數列也｝的前2,項和七。

16.（15分）ChatGPT是AI技術驅動的自然語言處理工具，引領了人工智能的新一輪創新浪潮。某數學興

趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關系，從某社區使用過該程序的人群中隨機抽

取了200名居民進行調查，并依據年齡樣本數據繪制了如下頻率分布直方圖。

頻率

組距

0.030--------------

0.025k--------

0.020

0.010

0.005

010203040506070年齡

（1）根據頻率分布直方圖，估計年齡樣本數據的75%分位數：

（2）將年齡不超過（1）中75%分位數的居民視為青年居民，否則視為非青年居民。

（i）完成下列2x2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關聯?

青年非青年合計

喜歡20

不喜歡60

合計200

（ii）按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取8名居民。若從選定的這8名居民中隨機抽取4名居民

做進一步調查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率。

n^ad-bc^

參考公式：/二其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:

2

P(X>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

17.（15分）如圖，在三棱錐尸—45。中，AB1BC,PBPC,N為尸C的中點，M為△48C內部

一點且平面48c.

（1）證明："乂〃平面尸45；

（2）若AB=2BC=2PB=4,PM=\,求二面角8-九W—尸的余弦值。

18.（17分）已知函數/（x）=MX-lnr,xe（1,+“）.

（1）討論/（x）的單調性；

（2）若e（'1M?/（》）之――x恒成立，求實數加的取值范圍。

22

19.（17分）已知橢圓［：?+1-=1（。＞0）的右焦點為E（1,O）,過點少且不垂直于坐標軸的直線交「于

45兩點，：T在45兩點處的切線交于點Q.

（1）求證：點。在定直線上，并求出該直線方程;

（2）設點M為直線。。上一點，且求2叫的最小值。

2024年高考適應性練習

數學參考答案及評分標準

一、選擇題

DBCACBCA

二、選擇題

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空題

B]

12.1或213.—14.a>-

42

四、解答題

+%+&+=16

15.解：（1）由題意知412

a?~

4%+6（7=16

即42，

（q+d）=%（6+紜）

因為dwO,所以%=1,d=2,

所以%=2〃一1.

（2）設數列｛"｝的前2〃項中的奇數項之和為/,偶數項之和為8,則

4=20+2%+…+2*

2研—2%.16

—1-16

_2-24/!-3-24_24"+1-2

—1-16—15，

c111

。4°642〃“2〃+2

_J_<J___1_+J____1_++J_____]_、

2d、a?。4。4。6。2"+2>

_j_h____

2d1電。2計2>

"__]_L±__]_

4（34z?+3）1216?+12

24n+1-21124n+111

所以+3=----------+------------------=---------------------------.

151216?+12152016?+12

16.解：(1)由頻率分布直方圖可知，

年齡在40歲以下的居民所占比例為10x(0.01+0.025+0.03)=0.65,

年齡在50歲以下的居民所占比例為0.65+10x0.02=0.85,

所以75%分位數位于［40,50)內，

0.75-0.65

由40+10x=45,

0.85-0.65

所以，樣本數據的75%分位數為45.

(2)(i)由題知,2x2列聯表為:

青年非青年合計

喜歡9020110

不喜歡603090

合計15050200

根據列聯表中的數據，可得:

小K篙.。…84L

所以，有95%的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關聯。

3

(ii)按照分層抽樣，青年居民應抽取8x3=6人，非青年居民應地取2人.

4

設從中隨機抽取的4名居民中為青年居民的人數為X,

4

尸(萬=3)=中=

C87

4

尸(X=4)=VC=上3,

'7Cl14

所以尸(X23)=尸(X=3)+尸(X=4)=3,

所以，這4名居民中至少有3人為青年居民的概率為

14

17.解：(1)連接CM,取3c中點。，連接DM,DN.

因為N為尸。的中點，所以DN〃PB。

因為P8u平面尸48,￡(N(Z平面尸45,所以￡)N〃平面尸48.

又因為「初，平面8/u平面48C,所以

所以，在直角中，BM2^PB2-PM2.

同理CA/2=尸。2—92,

因為必=PC,所以w=cw.

因為。為8c中點，所以。

因為48L8C,所以48〃。/。

又因為45u平面尸45,平面尸45,

所以DW〃平面P45.

又因為DMcDN=D,所以平面。MN〃平面P4B.

因為"Nu平面。〃乂，所以小W〃平面尸48.

（2）以3為坐標原點，分別以B4BC以及與545。垂直向上的方向為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標系8-孫z.

在直角中，因為必=2,9=1,所以BM=6.

在直角中，DM=^BM2-BD2=V2.所以M(/l,0b

又5(O,O,O),P("l,l),C(O,2,O),N

/V21P

所以痂;=("1,0)赤=(0,0,1)應巾=-

7

Cx[+必=0

n-BM=0

設面的一個法向量〃=（再，%，4）,則＜即＜V211.

n-MN=0-三再+消+尹=0

取則弘=一2,Z]=4,所以〃=（一2,4）.

z=0

mMP=02

設面PAW的一個法向量加=(x2,y2,z2),貝卜叫后11n

m-MN=0―-TX2+2y2+2Z2=°

取》2=、/5，則必=2,所以加=（J5,2,0卜

\n-m\_2_V33

設二面角8—尸為，則cos。=

\n\\m\~722x76~33

所以二面角3—MV—尸的余弦值為‘一.

33

18.解：(1)由題可知/'(X)=加---,

x

當加V0時，/'(X)=加一0恒成立，此時/(x)在(1,+8)上單調遞減.

X

當0(加<1時，/'(x)=M—工=竺二1,令/'(x)=o,則x=L

xxm

當時，/(x)<0,此時/(x)單調遞減，

當+時，f'(x)>0,此時/(x)單調遞增.

當加21,即0<工<1時，

m

此時/'(x)〉0在(1,+8)恒成立，/(%)單調遞增.

綜上，當加<0時，/(x)在(1,+動上單調遞減；當0(加<1時，/(x)在(1,工］上單調遞減,在+“

mJ\m

上單調遞增；當加21時，/(X)在(1,+”)上單調遞增.

(2)因為xe(l,+”)，所以V—x>0,又e("T)W?/(x)Nx2—x,所以/(x)〉0.

由/(x)=Mx-lnx〉0,可得加令9(x)=@%,則夕'(x)=^~登,當xe(l,e)時'

N(x)>0,9(x)為增函數；當x￡(e,+e)時，"(x)<0,e(x)為減函數。

所以0(x)max=°(e)=—，從而加〉一.

將一一詢?/(%)>V—1兩邊同時取以?為底的對數可得

(m-l)x+l+ln(mx-lnx)>lnx+ln(x-l),

整理可得(加x—lnx'+ln(加x—lnx)2(x_l)+ln(%_l).

令g⑺=/+1皿，則g(mx—lnx)2g(x—l),且g⑺在(0,+。)上單調遞增,

因為加x-lnx>0且所以加x-lnx2x-l在(1,+勿)上恒成立，

E、I、x+Inx-11lnx-lLA-

所以冽>---------=1+--------怛成H,

XX

令/?(x)=WH,則竺，當xe(l,e2)時，〃(x)〉0,/z(x)單調遞增，

XX

當工￡卜2,+“）時，/（X）＜O,單調遞減，所以〃（x）max=力（。2）=4~，

e

所以冽＞1+^-，

e

又因為一＜1H—5、所以加21H--.

eee

19.解：（1）由題意可知，/_3=1,

所以/=4,所以橢圓方程為三+匕=1,

43

設立線4s方程為y=左（%—口（左#0），幺（3，%）,3（孫必）,

（22

土+匕=1

聯立（43一，消y可得，（3+4公卜2—&左2工+4左2—12=0,

y=k[x-X）

8k24k2-12

所以X1+x2=

3+4左2123+442

因為過點Z的切線為堊+型=1,過點8的切線為至+況=1,

4343

由對稱性可得，點Q處于與x軸垂直的直線上。

二+至=1

43消去y得，和=4（%-"）

（法一）：聯立4

這+絲=1不%一%必

、43

將必=人（否T），出=后（》2T）代入上式得

4A;(X2-xj4k(x2-x1)4

Q

kx{(x2-1)-fcr2(%1-1)-kxx+kx2

所以。點在直線x=4