5.1 導數的概念及其意義5.1.1 變化率問題（第2課時）一、內容和內容解析1.內容變化率的兩個典型實例.一是高臺跳水運動員的速度，二是拋物線的切線的斜率.本小節計劃用2課時，第一課時：高臺跳水運動員的速度；第二課時：拋物線的切線的斜率.2.內容解析本小節是2019年人教A版選擇性必修第二冊第五章第1節.變化率是本章內容學習的核心概念，是導數概念建立的核心.變化率問題（共2課時）的主要內容是高臺跳水運動員的速度，拋物線的切線的斜率.通過實例分析，總結歸納出一般問題的平均變化率和瞬時變化率的概念，在此基礎上，要求學生掌握平均變化率和瞬時變化率問題解法的一般步驟.第一課時（問題1），由于學生在學習導數之前沒有學習極限，因此就不能用極限理論建立導數概念.導數的本質是函數的瞬時變化率，即函數平均變化率的極限.通過高臺跳水運動員的速度這個特殊實例，使學生經歷由平均速度過渡到瞬時速度的過程，以直觀的方式由平均變化率的極限引出瞬時變化率.由于導數是一種特殊的極限，其中自然蘊含著極限思想，所以導數的學習對于發展學生的數學抽象素養和正確的世界觀有著重要的作用.從瞬時速度這個特殊的瞬時變化率出發，再抽象出導數概念，蘊含了數形結合、從特殊到一般的數學思想方法.第二課時（問題2），以學生熟知的特殊曲線（拋物線f(x)=x2）為對象，研究其在特殊p0(1,1)處的切線及其斜率.與解決問題1的過程與方法類似，問題2再次讓學生在“運動變化的觀點”“極限思想與方法”的引導下，經歷由割線斜率過渡到切線斜率的完整過程，進一步體會其中蘊含的導數的內涵和思想，進一步體會極限思想.基于上述分析，確定本節的教學重點：（1）理解瞬時速度和極限思想；（2）理解函數在某點處的切線和以直代曲思想.二、目標和目標解析1.目標課程目標素養目標11.通過兩個實例，經歷由平均變化率過渡到瞬時變1.數學抽象：函數的變化率化率的過程.2.經歷用平均速度“逼近”瞬時速度的過程，認識 2.邏輯推理：平均變化率與瞬時變化率的關瞬時速度的本質是平均速度的極限，初步體會極限 系，割線斜率與切線斜率的關系.思想.3.經歷由割線斜率過渡到切線斜率的完整過程，進3.數學運算：求瞬時速度，求拋物線f(x)=x2一步體會其中蘊含的導數的內涵和思想，進一步體在點p0(1,1)處的切線方程.會極限思想.4.直觀想象：割線的變化趨勢.2.目標解析達成上述目標的標志是：（1）通過高臺跳水運動員的速度（問題1），學生能借助計算工具計算運動員的平均速度，并通過觀察平均速度在自變量間隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出瞬時速度；結合拋物線的切線的斜率（問題2），觀察從割線過渡到切線的過程中，割線斜率在兩交點的橫坐標間隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出切線的斜率.從而了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想.（2）通過研究從曲線的割線過渡到切線、從割線斜率過渡到切線斜率的過程，能求函數在某點處的切線斜率，進而求出切線的方程.（3）通過兩個實例研究，能從平均速度的數值變化和圖像過某點處的割線斜率的變化趨勢直觀感知瞬時速度是平均速度的極限，切線斜率是割線斜率的極限.三、教學問題診斷分析由于學生在學習導數之前沒有學習極限，所以學習導數的過程實際上是學生體會極限思想的過程.因此，如何用平均速度的極限理解瞬時速度，用割線斜率的極限理解切線的斜率，并由此體會極限思想，這是一個教學難點，要突破這個難得，需要在“高臺跳水運動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”這兩個案例中，讓學生充分經歷由“平均變化率”過渡到“瞬時變化率”的過程，通過觀察平均速度的數值變化和圖像過某點處的割線的變化趨勢，正確理解平均速度的極限就是瞬時速度，以及割線的極限位置就是切線，割線斜率的極限就是切線斜率.在此過程中，幫助學生正確理解“極限”的含義是建立導數概念的關鍵.基于以上分析，本節的教學難點是：（1）用平均速度的極限理解瞬時速度；（2）用2割線斜率的極限理解切線的斜率.四、教學支持條件分析學生之前沒有學過極限的概念，而導數的本質便是極限，同時導數的表示要借助極限符號，這些都增加了學生抽象概括出導數概念的難度.因此，教學中要借助信息技術工具，使學生通過列表觀察平均變化率的變化趨勢，通過圖像直觀觀察割線變化到切線的過程，感受“逼近”過程，以此降低學生對導數就是極限的認知難度.五、教學設計過程第二課時（一）復習引入回顧舊知：上一節課我們研究了高臺跳水運動員的速度，探究了某個時間段內的平均速度和某個時刻的瞬時速度，我們一起來回顧一下.在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h(t)=?4.9t2+4.8t+11.那么（1）在[t0，t0+?t]（或[t0+?t，t0]）這段時間里的平均速度v=??=?(t0+?t)??(t0)=?4.9?t-9.8t0+4.8?t ?t（2）令?t→0，則在t=t0時的瞬時速度v(t0)=limv=lim(?4.9?t?9.8t0+4.8)=?9.8t0+4.8?t→0 ?t→0思考：你能描述一下從平均速度到瞬時速度的研究過程嗎？能否總結一下對其研究的思想方法。師生活動：給出問題后，教師引導學生描述出：首先，求出在[t0，t0+?t]（或[t0+?t，t0]）??=?(t0+?t)??(t0)這段時間里的平均速度v=，接著，令?t→0，則在t=t0時的瞬時速度?t?tv(t0)=limv.歸納出：經歷了用平均速度“逼近”瞬時速度的過程，理解瞬時速度就是平?t→0均速度的極限，回顧并體會極限思想方法.引入新課：類比上節課的研究過程、思想和方法，這節課我們來研究拋物線的切線的斜率.設計意圖：通過對從平均速度到瞬時速度的研究過程、思想方法的回顧，啟發學生運用類比3的思想方法研究拋物線的切線的斜率問題.培養學生語言表達能力，發展學生數學抽象、邏輯推理等核心素養.（二）探究新知探究：拋物線的切線的斜率我們知道，如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？下面我們以拋物線f(x)=x2為例進行研究.問題1：你認為應該如何定義拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線？師生活動：（1）給出問題后，教師啟發學生用研究瞬時速度的方法類比研究拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線.（2）在點P0（1,1）的附件任取一點p(x,x2)，考查拋物線f(x)=x2的割線P0P的變化情況.觀察思考：如圖1，當點p(x,x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點P0（1,1）時，割線P0P有什么變化趨勢？師生活動：引導學生觀察發現，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線.利用信息技術工具演示圖1中P0P的動態變化趨勢，讓學生經歷由割線過渡到切線的逼近過程，進一步體會極限思想.進而引出拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線的定義.設計意圖：讓學生經歷由割線過渡到切線的逼近的完整過程，進一步體會極限思想.進而引出拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線的定義.通過具體問題的觀察和思考，歸納總結，4抽象出曲線在某點處切線的概念.發展學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養.問題2：我們知道，斜率是確定直線的一個要素.割線的斜率與切線的斜率有什么關系呢？你能否利用這種關系求拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線P0T的斜率k0呢？師生活動：首先引導學生回顧上述切線的定義發現，拋物線f(x)=x2在點P0（1,1）處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內在聯系.記?x=x?1(?x可以是正值，也可以是負值，但不為零)，則點P的坐標是（1+?x，（1+?x）2）.于是，割線P0P的斜率k=f(x)?f(1)=x?1（1+?x）2?1=?x+2.(1+?x)?1其次引導學生想象，如果不斷縮短橫坐標間隔|?x|，那么割線P0P的斜率k就越來越趨近于切線P0T的斜率k0.然后讓學生嘗試利用這種關系求切線P0T的斜率k0.（1）教師利用信息技術工具演示割線的斜率逼近切線的斜率的計算過程.（2）學生利用計算工具演示（計算）割線的斜率逼近切線的斜率的計算過程.得出表1.1（3）讓學生觀察上面表1，給出發現的結論，教師點評后總結出結論：隨著橫坐標間隔|?x|的不斷變小，割線P0P的斜率k越來越接近于常數2.追問1：給出?x更多的值，利用信息技術工具計算更多的割線P0P的斜率k值，當?x無限趨近于0時，割線P0P的斜率k有什么變化趨勢？師生活動：教師引導學生計算（操作）—觀察，進而得出結論：當?x無限趨近于0時，即5無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線P0P的斜率k都無限趨近于2.追問2：你認為通過上述列表計算切線斜率的過程可靠嗎？師生活動：教師提出問題后讓學生討論，若干學生發言后，教師點評學生的發言，啟發學生認識到，通過前面計算的割線斜率的值，盡管我們發現“隨著橫坐標間隔|?x|的不斷變小，割線P0P的斜率k越來越接近于常數2”.但這種計算是有限的，不能斷定割線斜率是否永遠具有這種特征.因此需要從理性的角度加以“說明”.具體如下：因為拋物線f(x)=x2，所以割線P0P的斜率k=f(1+?x)?f(1)=?x+2?x可以直接看出，當?x無限趨近于0時，?x+2無限趨近于2，即割線P0P的斜率k無限趨近于2.這與前面得到的結論是一致的.我們把2叫做“當?x無限趨近于0時，k=f(1+?x)?f(1)的極限”.記為?xlimf(1+?x)?f(1)=2?x→0 ?x從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|?x|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T.這時，割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜k0.因此，切線P0T的斜率k0=2.設計意圖：讓學生經歷用割線斜率“逼近”切線斜率的過程，了解切線斜率就是割線斜率的極限，由此體會極限思想.發展學生的運算素養、邏輯推理素養.追問3：你能用上述研究的方法，定義拋物線f(x)=x2在點（x0,x02）處的切線嗎？試求拋物f(x)=x2在點（x0,x02）處切線的斜率.師生活動：學生討論后，引導學生用語言描述：在點P0(x0，x02)的附近任取點P（x，x2），當橫坐標間隔|?x|=|x?x0|無限變小，即點P無限趨近于點P0時，割線P0P就無限趨近于一個確定的位置，這個位置的直線就是拋物線f(x)=x2在點（x0,x02）處的切線.然后讓學生思考計算拋物線f(x)=x2在點（x0,x02）處切線的斜率.教師通過信息技術平臺展示學生的解答過程并點評，強調切線斜率的極限表示，教師給出規范解答：6拋物線f(x)=x2過點（x0,x02）的割線斜率k=f(x0+?x)?f(x0)，令?x→0，則k=2x0+?x→2?xx0所以，拋物線f(x)=x2在點（x0,x02）處切線的斜率k0= limf(x0+?x)?f(x0)=2x0?x→0 ?x設計意圖：將求切線斜率的方法推廣到一般情形，引導學生進一步體會極限思想及從特殊到一般的數學思想方法，從算法的角度體會求切線斜率的過程，提升數學運算素養.問題3：觀察高臺跳水運動員的速度問題中的函數h(t)=?4.9t2+4.8t+11的圖像（圖2）圖2思考：平均速度v=?(1+?t)??(1)的幾何意義是什么？瞬時速度v(1)呢？(1+?t)?1師生活動：學生討論后，引導學生回答：平均速度v=?(1+?t)??(1)的幾何意義為割線AB(1+?t)?1的斜率，瞬時速度v(1)的幾何意義為函數h(t)在點A處的切線的斜率.設計意圖：研究割線、切線的幾何意義，一方面從形數結合的角度，讓學生理解切線斜率是割線斜率的極限，培養學生數形結合的思想方法；另一方面為下一節導數的概念及其幾何意義作鋪墊.（三）學以致用71.求拋物線f(x)=x2在點（-1,1）處切線的斜率.（教科書P64練習1）2.求拋物線f(x)=x2+1在點（0,1）處的切線方程.（教科書P64練習2）（四）盤點收獲基礎知識：曲線過某點處割線的斜率，在某點處的切線的斜率；某點處的切線是過該點的割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率的極限.基本技能：會求曲線在某點處的切線的斜率.數學思想：一是極限思想，經歷用割線斜率“逼近”切線斜率的過程，并由此體會極限思想；二是從特殊到一般和數形結合的數學思想方法，這是研究數學的基本策略，也是數學學科一般觀念