2025屆廣東省肇慶聯盟校高三3月質檢數學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設、，數列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數，使得恒成立B．對于任意，都存在實數，使得恒成立C．對于任意，都存在實數，使得恒成立D．對于任意，都存在實數，使得恒成立2．下列四個結論中正確的個數是（1）對于命題使得，則都有；（2）已知，則（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．43．設復數滿足，在復平面內對應的點為，則不可能為（）A． B． C． D．4．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．5．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知隨機變量服從正態分布，，（）A． B． C． D．7．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．8．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．9．已知函數，為圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個極值點，滿足，則下列區間中存在極值點的是（）A． B． C． D．10．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．1511．為實現國民經濟新“三步走”的發展戰略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數占當年貧困戶總數的比）為．2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加該項目戶數占2019年貧困戶總數的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業養殖業工廠就業服務業參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍12．已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.14．已知向量，，若向量與向量平行，則實數___________．15．設函數，，其中．若存在唯一的整數使得，則實數的取值范圍是_____．16．假設10公里長跑，甲跑出優秀的概率為，乙跑出優秀的概率為，丙跑出優秀的概率為，則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優秀的概率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，函數，（是自然對數的底數）.（Ⅰ）討論函數極值點的個數；（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實數的取值范圍.18．（12分）記為數列的前項和，已知，等比數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.19．（12分）已知函數，其中.（1）當時，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.21．（12分）已知函數有兩個極值點，.（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.22．（10分）已知函數.（1）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；（2）若，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當時，數列單調遞增，則；當時，數列單調遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．2．C【解析】

由題意，（1）中，根據全稱命題與存在性命題的關系，即可判定是正確的；（2）中，根據正態分布曲線的性質，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定．【詳解】由題意，（1）中，根據全稱命題與存在性命題的關系，可知命題使得，則都有，是錯誤的；（2）中，已知，正態分布曲線的性質，可知其對稱軸的方程為，所以是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當時，可得成立，當時，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件．本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態分布曲線的性質、回歸直線方程的性質，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．3．D【解析】

依題意，設，由，得，再一一驗證.【詳解】設，因為，所以，經驗證不滿足，故選：D.本題主要考查了復數的概念、復數的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.4．C【解析】

根據橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎題.5．D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據二次函數的性質，求得，由取得最小值為，求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設，圓，圓心為，半徑為1，則，當時，取得最小值，最小值為，故選D.該題考查的是有關距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數的最小值，屬于中檔題目.6．B【解析】

利用正態分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.本題考查利用正態分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.7．B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．8．D【解析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數對數，再比較大小．【詳解】，，又，∴，即，∴．故選：D.本題考查冪和對數的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數冪比較，或化為同底數對數比較，若是不同類型的數，可借助中間值如0，1等比較．9．A【解析】

結合已知可知，可求，進而可求，代入，結合，可求，即可判斷．【詳解】圖象上相鄰兩個極值點，滿足，即，，，且，，，，，，當時，為函數的一個極小值點，而．故選：．本題主要考查了正弦函數的圖象及性質的簡單應用，解題的關鍵是性質的靈活應用．10．A【解析】

根據題意可知最后計算的結果為的最大公約數.【詳解】輸入的a，b分別為,,根據流程圖可知最后計算的結果為的最大公約數，按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數為16，故選:A.本題考查的是利用更相減損術求兩個數的最大公約數,難度較易.11．B【解析】

設貧困戶總數為，利用表中數據可得脫貧率，進而可求解.【詳解】設貧困戶總數為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B本題考查了概率與統計，考查了學生的數據處理能力，屬于基礎題.12．B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查直線與圓的位置關系，考查數形結合思想與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．7【解析】

畫出不等式組表示的平面區域，數形結合，即可容易求得目標函數的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當直線過點時，有最大值，.故答案為：.本題考查二次不等式組與平面區域、線性規劃，主要考查推理論證能力以及數形結合思想，屬基礎題.14．【解析】

由題可得，因為向量與向量平行，所以，解得．15．【解析】

根據分段函數的解析式畫出圖像,再根據存在唯一的整數使得數形結合列出臨界條件滿足的關系式求解即可.【詳解】解：函數,且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數使得,故與在時無交點,,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數使得時,所以,存在唯一的整數使得所以.根據圖像可知,當時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數使得,此時故答案為：本題主要考查了數形結合分析參數范圍的問題,需要根據題意分別分析定點右邊的整數點中為滿足條件的唯一整數,再數形結合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.16．【解析】

分跑出優秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優秀的概率為；其二是只有甲、丙兩人跑出優秀的概率為；其三是只有乙、丙兩人跑出優秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優秀的概率為.故答案為：本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）【解析】試題分析：（1），分，討論，當時，對，，當時，解得，在上是減函數，在上是增函數。所以，當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區間內有解。設，所以，設，則，且是增函數，所以。所以分和k>1討論。試題解析：（Ⅰ）因為，所以，當時，對，，所以在是減函數，此時函數不存在極值，所以函數沒有極值點；當時，，令，解得，若，則，所以在上是減函數，若，則，所以在上是增函數，當時，取得極小值為，函數有且僅有一個極小值點，所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（Ⅱ）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區間內有解.若，則設，所以，設，則，且是增函數，所以當時，，所以在上是增函數，，即，所以在上是增函數，所以，即在上恒成立.當時，因為在是增函數，因為，，所以在上存在唯一零點，當時，，在上單調遞減，從而，即，所以在上單調遞減，所以當時，，即.所以不等式在區間內有解綜上所述，實數的取值范圍為.18．（1）（2）當時，；當時，.【解析】

（1）利用數列與的關系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比數列的前項和公式求出.【詳解】（1）當時，，當時，，因為適合上式，所以.（2）由（1）得，，設等比數列的公比為，則，解得，當時，，當時，.本題主要考查數列與的關系、等比數列的通項公式、前項和公式等基礎知識，考查運算求解能力..19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，代入，求出在處的導數值及函數值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當時，，，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，①當時，恒成立，此時函數在上單調遞減，∴函數無極值；②當時，令，解得，令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，∴；③當時，令，解得，令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，∴，綜上，函數的極大值恒大于0.本小題主要考查利用導數求切線方程，考查利用導數研究函數的極值，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.20．（1），；（2）或【解析】

（1）根據曲線的參數方程消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯立得，，設，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.此題考查參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題.21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導函數，根據兩個極值點可知有兩個不等實根，構造函數，求得；討論和兩種情況，即可確定零點的情況，即可由零點的情況確定的取值范圍；（2）根據極值點定義可知，，代入不等式化簡變形后可知只需證明；構造函數，并求得，進而判斷的單調區間，由題意可知，并設，構造函數，并求得，即可判斷在內的單調性和最值，進而可得，即可由函數性質得，進而由單調性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設，所以.①當時，，所以在上單調遞增，至多有一個零點