二次函數的圖象和性質（第7課時）教學目標1．通過對用待定系數法求二次函數解析式的探究，掌握求解析式的方法．2．能靈活地根據條件恰當地選取方法求二次函數的解析式，體會二次函數解析式之間的轉化．3．通過觀察、思考、歸納等探究活動，從多角度看問題，豐富解決問題的策略，為進一步學習函數，體會函數思想積累經驗．教學重點用待定系數法求二次函數的解析式．教學難點靈活地根據條件恰當選取方法求二次函數的解析式．教學過程知識回顧1．先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而得到函數解析式的方法，叫做待定系數法．2．用待定系數法求一次函數解析式的步驟：（1）設：設出函數解析式；（2）代：將坐標代入解析式；（3）解：解方程組；（4）寫：寫出解析式．3．二次函數常用的解析式形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．（2）頂點式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．【設計意圖】通過復習已經學過的函數知識，為引出新課“用待定系數法求二次函數的解析式”作鋪墊．新課導入【思考】我們知道，由兩點（兩點的連線不與坐標軸平行）的坐標可以確定一次函數，即可以求出這個一次函數的解析式．對于二次函數，由幾個點的坐標可以確定二次函數？這幾個點應滿足什么條件？【師生活動】教師提出問題，學生小組交流，并派代表發言，教師總結．【設計意圖】通過問題的形式，引出本節課要講解的知識，激發學生的求知欲．新知探究一、探究新知【問題】下面是我們用描點法畫二次函數的圖象所列表格的一部分，根據表格信息，恰當選擇條件求出這個二次函數的解析式．x－3－2－1012y010－3－8－15【師生活動】教師提示：可以結合已學過的求一次函數解析式的方法來思考．學生組內討論，教師提問：可以設二次函數的解析式為y＝ax2＋bx＋c嗎？學生思考并回答：可以設二次函數的解析式為y＝ax2＋bx＋c，此時解析式中有a，b，c三個待定系數，因此需要選擇三個不同點的坐標代入y＝ax2＋bx＋c中，列出關于a，b，c的三元一次方程組來解答．方法一：選取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)．設這個二次函數的解析式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴所求的二次函數的解析式是y＝－x2－4x－3．教師歸納：已知三個點，可以設二次函數的一般式，利用待定系數法求出解析式，其步驟是：（1）設函數解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（2）代入后得到一個三元一次方程組；（3）解方程組得到a，b，c的值；（4）把待定系數用數值換掉，寫出函數解析式．這三個點應滿足的條件：（1）不在同一直線上；（2）任意兩點的連線不與y軸平行．教師提問：還有其他方法求這個二次函數的解析式嗎？學生組內交流，思考并回答：也可以設二次函數的解析式為y＝a(x－h)2＋k，此時解析式中有a，h，k三個待定系數，如果題目中已知二次函數的頂點坐標，則可求出h，k的值，再代入二次函數圖象上一點的坐標，列出關于a的一元一次方程求出a的值，便可以得到所求的二次函數的解析式．方法二：選取頂點(－2，1)和點(1，－8)．設這個二次函數的解析式是y＝a(x－h)2＋k，把頂點(－2，1)代入y＝a(x－h)2＋k，得y＝a(x＋2)2＋1．再把點(1，－8)代入上式，得a(1＋2)2＋1＝－8．解得a＝－1．∴所求的二次函數的解析式是y＝－(x＋2)2＋1或y＝－x2－4x－3．教師歸納：已知拋物線的頂點坐標，可設二次函數的頂點式，利用待定系數法求出解析式，其步驟是：（1）設函數解析式為y＝a(x－h)2＋k；（2）先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；（3）將另一點的坐標代入原方程求出a值；（3）將a用數值換掉，寫出函數解析式．【設計意圖】通過問題串的形式，激發學生的求知欲，引導學生用已學過的待定系數法來解決求二次函數的解析式問題，通過觀察、思考、歸納等探究活動，讓學生體會二次函數解析式之間的轉化，從而能靈活地根據條件恰當地選取解決方法，豐富學生解決問題的策略，鍛煉學生舉一反三的能力．二、典例精講【例1】一個二次函數的圖象經過(－1，10)，(1，4)，(2，7)三點，求出這個二次函數的解析式．【師生活動】教師提出問題，學生思考并獨立作答．【答案】解：設所求二次函數為y＝ax2＋bx＋c．由已知，函數圖象經過(－1，10)，(1，4)，(2，7)三點，將這三點的坐標代入二次函數解析式，得關于a，b，c的三元一次方程組解這個方程組，得a＝2，b＝－3，c＝5．所求二次函數是y＝2x2－3x＋5．【例2】一個二次函數圖象的頂點坐標為(1，－1)，圖象過點(2，2)，求這個二次函數的解析式．【師生活動】教師提出問題，學生思考并獨立作答．【答案】解：設所求二次函數的解析式為y＝a(x－h)2＋k．∵圖象的頂點坐標為(1，－1)，∴h＝1，k＝－1．∴y＝a(x－1)2－1．∵函數圖象經過點(2，2)，∴a(2－1)2－1＝2．解得a＝3．∴這個二次函數的解析式為y＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．【例3】已知二次函數的圖象與x軸交于(－2，0)，(2，0)，并經過點M(0，1)，求二次函數的解析式．【師生活動】教師提示：當已知二次函數的圖象與x軸的兩個交點(x1，0)，(x2，0)時，可以設二次函數的解析式為y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入二次函數圖象上另一點的坐標，列出關于a的一元一次方程，求出a的值，進而得出二次函數的解析式．【答案】解：設二次函數的解析式為y＝a(x＋2)(x－2)．由已知，圖象過點M(0，1)，得1＝a(0＋2)(0－2)．解得．所求二次函數是或．【歸納】已知拋物線與x軸兩個交點的坐標(x1，0)，(x2，0)，可設二次函數的交點式，利用待定系數法求出解析式，其步驟是：（1）設函數解析式為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；（2）將另一點的坐標代入求出a的值；（3）將a用數值換掉，寫出函數解析式．【設計意圖】通過例題1和例題2的講解與練習，鞏固學生對所學知識的理解及應用；