高二年級

數學

宣

囿諄競賽

序言

數學競賽是發現人才的有效手段之一。現代意義上的數學競

賽是從匈牙利開始的。一些重大數學競賽的優勝者，大多在他們

后來的事業中卓有建樹。因此，世界發達國家都十分重視數學競

賽活動。十余年來，我國中學數學競賽活動蓬勃發展，其影響越

來越大，特別是我國中學生在影響最大、水平最高的國際數學奧

林匹克競賽中，多次榮登榜首，成績令世人矚目，充分顯示了中

華民族的聰明才智和數學才能。了解國際賽史，熟悉國內賽況，

認識數賽意義是必要的，也是有益的。

在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下，全國數學競賽

活動方興未艾，特別是連續幾年我國選手在國際數學奧林匹克中

取得了可喜的成績，使廣大中小學師生和數學工作者為之振奮，

熱忱不斷高漲，數學競賽活動進入一個新的階段，為了使我校數

學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應廣大師生的要求，

特編制此書以適應我校的需要。

高中數學與數學競賽

目錄

第一講二次函數與命題............1

第二講數列....................6

第三講復數......................13

第四講三角函數..................19

第五講不等式...................27

第六講立體幾何.................34

第七講整數問題.................42

第八講平面向量.................47

第九講集合與簡易邏輯...........54

第十講組合......................62

第十一講極限與導數【二課時】.....66

主編：

本冊主編:

編寫人員:

第一講二次函數與命題

一、基礎知識

1.二次函數：當。彳0時，ymsd+hx+c或稱為關于x的二次函

hh

數，其對稱軸為直線戶---，另外配方可得兀r）=a（x-xo）2+*xo）,其中xo=-------,

2a2a

下同。

2.二次函數的性質：當a〉0時，/U）的圖象開口向上，在區間（-8,沏］上隨

自變量x增大函數值減小（簡稱遞減），在［次,-8）上隨自變量增大函數值增

大（簡稱遞增）。當。<0時，情況相反。

3.當a>0時，方程式x）=0即加+法+。=0…①和不等式Gt2+^x+c〉。…②及

af+bx+cvO…③與函數*x）的關系如下（記△=Z?2-4ac）。

1）當△〉（）時，方程①有兩個不等實根，設為.（尤142），不等式②和不等式③

的解集分別是｛xk<xi或X>X2｝和｛x|xi<X0；2｝,二次函數圖象與X軸有兩個

不同的交點，“X）還可寫成?x）=a（x-xi）（X-X2）.

2）當△=（）時，方程①有兩個相等的實根汨=X2=X0=-2,不等式②和不等式③

2a

的解集分別是｛x|x#-2｝和空集0,7U）的圖象與x軸有唯一公共點。

2a

3）當△<（）時，方程①無解,不等式②和不等式③的解集分別是R和。?x）

圖象與x軸無公共點。

當。<0時，請讀者自己分析。

4.二次函數的最值：若。>0,當x=xo時，犬犬）取最小值/（xo）=網一/，若。<0,

4a

則當x=x（）=-"2?時，犬x）取最大值凡r（））=4"。°.對于給定區間［m,網上的二次

2a4a

函數/（x）=a『+〃x+c（a>0）,當乂亡［m,川時，於）在［m,〃］上的最小值為危（））；當

xo<m時。段）在［m,〃］上的最小值為/（m）；當xo>n時，於）在［m,〃］上的最小值

為人〃）（以上結論由二次函數圖象即可得出）。

定義1能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命

題。不含邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題

與邏輯聯結詞構成的命題由復合命題。

注1“p或q”復合命題只有當p,q同為假命題時為假，否則為真命題；“p

且/'復合命題只有當P，4同時為真命題時為真，否則為假命題；〃與“非p”

即恰好一真一假。

定義2原命題：若〃則夕（p為條件，q為結論）；逆命題：若夕則p；否命

題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。

注2原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。

注3反證法的理論依據是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。

定義3如果命題“若p則為真，則記為pnq否則記作pwq.在命題“若

1

〃則q”中，如果已知則〃是q的充分條件；如果q=>p,則稱〃是夕

的必要條件；如果pnq但q不np,則稱p是q的充分非必要條件；如果p

不ng但貝Jp稱為夕的必要非充分荼件；若pnq且</np，則〃是g

的充要條件。

二、方法與例題

1.待定系數法。

例1設方程f-x+l=O的兩根是a,8,求滿足/(&)=8<8)=&<1)=1的二

次函數凡r).

【解】設j{x)=ar+bx+c{a+0),

則由已知人a)=8<B)=a相減并整理得(a-B)[(a+B)a+Hl]=0,

因為方程/-x+1=0中△/(),

所以a#B,所以(a+B)a+/j+l=0.

又a+B=1,所以a+b+}=Q.

又因為/U)=a+8+c=1,

所以c-1=1,所以c=2.

又b=-(a+1),所以於:)=加-5+l)x+2.

再由a)=B得。a2-(a+l)a+2=B,

所以aa2-qa+2=a+B=1,所以aa2_〃a+1=0.

即a(a2-a+l)+l-a=0,即l-a=0)

所以a=l,

所以fix)-^-2x+2.

2.方程的思想。

例2已知/0尸以2-。滿足-4W/U)W-1,-1W_A2)W5,求人3)的取值范圍。

【解】因為-4W>U)=a-cW-l,

所以lW/(l)=c-aW4.

Q5

又-1W/⑵=4a-cW5,犬3)=加)-沙)，

Q525

所以qX(-1)+—W/(3)W—x5+—x4,

所以-1W*3)W20.

3.利用二次函數的性質。

例3已知二次函數式彳)=加+法+以&力,cWR,a#0),若方程/(x)=x無實根，求

證：方程歡x))=x也無實根。

【證明】若a〉0,因為人龍)=%無實根，所以二次函數g(x)書x)-x圖象與光軸無

公共點且開口向上，所以對任意的xWR<x)-x>0即.*x)>x,從而膽x))次x)o

所以用"))"，所以方程膽x))=x無實根。

注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。

4.利用二次函數表達式解題。

2

例4設二次函數加:+c(4>0),方程“T)二X的兩根尢1,X2滿足0<Xl<X2<—,

a

(I)當x￡(0,為)時,求證：x<f(x)<x\；

(II)設函數?r)的圖象關于x=xo對稱，求證：x0<^-.

【證明】因為即,X2是方程.危)-尸0的兩根，所以,凡￥)?廣〃0汨)0X2)，

即fix)=a(x-x\)(x-X2)+x.

(I)當x￡(0,汨)口寸，x-xi<0,x-%2<0,a>0,所以於)>x.

其次火光)?X1=(X-X1)[〃(X-X2)+1]=a(X-X\)[x-X2^--]<0,所以/(x)<xi.

a

綜上，x勺(X)<X1.

(II)J(x)=a(x-x\)(<x-X2)+x=ax2+[1-a(x\+x2)]x+axix2,

所以覆產〃區+%2)T=*1+*2_J_,

2a22。’

所以工

°222a212al

所以與吟.

5.構造二次函數解題。

例5已知關于x的方程(ox+l)2=/(a-f),a>l,求證：方程的正根比1小，負

根比-1大。

【證明】方程化為2a2f+2以+l-a2=0.

構造fix)=2a2x1+2cix+l-a2,

x1)=3+1)2>0,於1)=31)2>0,10)=1-a2<0,即△>0,

所以7U)在區間(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，負根比-1大。

6.定義在區間上的二次函數的最值。

例6當x取何值時，函數產土二匚二取最小值？求出這個最小值。

(—+1)2

【解】------------1-----------------令-----=u,則0<u^lo

X2+1(X2+1)2'X2+1

21Y19、19

V-5u-u+1—5u---H------N—,

”(10J2020

i1。

且當〃=一即九=±3時，y=一.

1020m(n

2

例7設變量x滿足％+勿W-x(b<-l),并且f+bx的最小值是-,求人的值。

2

【解】由/+bxW-xS<-l),得0W九W-S+1).

3

Ah2h21

i)--W-(〃+l),即Z?W-2時，的最小值為---,---=——，所以〃2二2,

2442

所以〃=±五(舍去)。

即力>-2時，/+及在［0,-3+1)］上是減函數，

2

1Q

所以f+Zzx的最小值為〃+1力+1=--.

22

綜上，b=--.

2

7.一元二次不等式問題的解法。

例8已知不等式組［/—x+a-/<°①②的整數解恰好有兩個，求。的

x+2。>1

取值范圍。

【解】因為方程f-x+a-/：。的兩根為無|=“,X2=l-a,

若aW0,則xi<*2.①的解集為a<x<\-a,由②得x>\-2a.

因為l-2a21-a,所以aWO,所以不等式組無解。

若a>0,i)當0<a<L時，xi<X2,①的解集為a4<l-a

2

因為0<a<x<l-a<l,所以不等式組無整數解。

ii)當時，a=\-a,①無解。

2

iii)當a>L時，a>l-a,由②得x>l-2a,

2

所以不等式組的解集為

又不等式組的整數解恰有2個，

所以且a-(l-a)W3,

所以l<aW2,并且當l<aW2時，不等式組恰有兩個整數解0,1。

綜上，a的取值范圍是l<aW2.

8.充分性與必要性。

例9設定數A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)20①

對一切實數x,y,z都成立，問A,B,C應滿足怎樣的條件？(要求寫出充分必

要條件，而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示條件)

【解】充要條件為A,B,OOKA2+B2+C2^2(AB+BC+CA).

先證必要性，①可改寫為Aa-y)2-(3-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)220②

若A=0,則由②對一切x,y,zGR成立，則只有B=C,再由①知B=C=O,若Aw0,

則因為②恒成立，所以A>0,△NRA-Cyu-zRMCG-zAWO恒成立，所以

(B-A-C)2-4ACW0,即A2+B2+C2^2(AB+BC+CA)

同理有820,C20,所以必要性成立。

4

再證充分性，若A20,820,C20且A2+B2+C2W2(A8+8C+CA),

1)若A=0,則由B2+GW2BC得(B-bwo,所以B=C,所以△=(),所以②成

立，①成立。

2)若A>0,則由③知△W0,所以②成立，所以①成立。

綜上，充分性得證。

9.常用結論。

定理1若a,bGR,|aH〃W|a+b|W|a|+|b|.

【證明】因為-|a|WaW|a|,-|b|W匕W|b|,所以-(|a|+|6|)Wa+bW|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+|b|(注：若m〉0,則-mWxWm等價于(x|Wm).

又同=|a+b-b|W|a+b|+卜臼,

即|“HMW|a+例.綜上定理1得證。

定理2若a,/?eR,則標+/》?。。；若x,ydR+,則％+)22^^.

(證略)

注定理2可以推廣到〃個正數的情況，在不等式證明一章中詳細論證。

三、基礎訓練題

1.下列四個命題中屬于真命題的是，①“若x+產。，則x、y互為相

反數”的逆命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若gWl,

則f+x+q=0有實根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆

否命題。

2.由上列各組命題構成“p或q”，“p且“非p”形式的復合命題中，p

或q為真，。且q為假，非p為真的是.①p；3是偶數，q：4是奇

數；②p:3+2=6,q:③p:aW(a力),q:{a}(Z伍力};④p:2(xR,q\N=Z.

3.當|x-2|<a時，不等式*-4|<l成立，則正數a的取值范圍是.

4.不等式加+(。/?+1)%+比>0的解是l<x<2,貝Ua,b的值是.

5.“1且xw2是x-1工V7=T的條件，而-2<m<0且0<n<l是關于

x的方程x2+nu:+〃=0有兩個小于1的正根的條件.

6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是.

7.若S={x|mf+5x+2=0}的子集至多有2個，則m的取值范圍是_______.

8.R為全集，A={x|3-x24},+>lj,則(CRA)CW=.

9.設a,b是整數,集合4={(x,y)|(x-a)2+3bW6y},點(2,1)94,但點(1,

0)史A,(3,2)則。力的值是.

10.設集合A={X||X|<4},B={X*_4X+3>0},則集合{小WA且

x^AQB}=.

11.求使不等式加+4/12-2*2一。對任意實數尸恒成立的。的取值范圍。

12.對任意xG[0,l],有1,①②成立，求人的取值范圍。

x2-kx-k+3>0

5

第二講數列

一、基礎知識

定義1數列，按順序給出的一列數，例如1,2,3,…，〃，數列分有窮

數列和無窮數列兩種，數列｛斯｝的一般形式通常記作m,。2,“3,…，小或。，。2,

的,…，如…。其中0叫做數列的首項，如是關于〃的具體表達式，稱為數列

的通項。

定理1若S”表示｛斯｝的前〃項和，則Si=ai,當〃>1時，a?=Sn-Sn-i.

定義2等差數列，如果對任意的正整數〃，都有。m-斯=（1（常數），則｛斯｝

稱為等差數列，d叫做公差。若三個數a,九c成等差數列，EP2b=a+c,則稱｝

為a和c的等差中項，若公差為d,則a=A-d,c=A+d.

定理2等差數列的性質：1）通項公式a.=a+（〃-l）d；2）前〃項和公式：

7a+a

S?=-^'—=na]+——J；3）an-am-（n-m）d,其中〃,m為正整數；4）

22

若〃+m=p+q,則0"+%=。?+。,/；5）對任意正整數p,q,恒有劭-他=（/?-4）（。2-。1）；

6）若A,8至少有一個不為零，則｛a“｝是等差數列的充要條件是S〃=A〃2+B〃.

定義3等比數列，若對任意的正整數〃，都有也=q,則｛圓｝稱為等比數

列，q叫做公比。

定理3等比數列的性質：1）2）前〃項和S”，當行1時，

Sn=^-■――；當g=l時,Sn=na\i3）如果a,8c成等比數列,即lr=ac（b^0）,

i-q

則b叫做a,c的等比中項；4）若m+n-p+q,則aman-apaqo

定義4極限，給定數列｛如｝和實數A,若對任意的￡>0,存在M,對任意的

〃>M（〃WN）,都有|a"|<￡，則稱A為7L+8時數列｛斯｝的極限，記作liman=A.

定義5無窮遞縮等比數列，若等比數列｛斯｝的公比q滿足⑷<1,則稱之為無

窮遞增等比數列，其前〃項和S”的極限（即其所有項的和）為上」（由極限

i—q

的定義可得）。

定理3第一數學歸納法：給定命題p（〃），若：（1）〃（〃（））成立；（2）當p（〃）

時〃=4成立時能推出p（〃）對“=攵+1成立，則由（1）,（2）可得命題p（〃）對一

切自然數如成立。

競賽常用定理

定理4第二數學歸納法：給定命題p（〃），若：（1）p（加）成立；（2）當p（〃）

對一切〃W女的自然數”都成立時（女2處）可推出p伙+1）成立，則由（1）,（2）

可得命題.（〃）對一切自然數〃2〃o成立。

6

定理5對于齊次二階線性遞歸數列X"=OX"」+云*2,設它的特征方程

n

的兩個根為a,B:⑴若aH,則xn=c\a''+C2B"」，其中ci,C2由初始條件無i,

XI的值確定；（2）若a=B,則Xn=（cm+C2）a,其中C\,Cl的值由Xl,X2的值

確定。

二、方法與例題

1.不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發去總結更一般的規律，當然結論未必都是正

確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊f猜想

f數學歸納法證明。

例1試給出以下幾個數列的通項（不要求證明）；1）0,3,8,15,24,35,…；

2）1,5,19,65,-；3）-1,0,3,8,15,…。

nn

【解】1）an=n2-l;2）an=3-2；3）a,,=n^-2n.

例2已知數列｛小｝滿足ai=；,ai+a2+…+m=〃2斯,求通項a”.

【解】因為ai=L，又ai+z=22?a2,

2

11

所以。2=市,猜想％(〃21).

3^2n(n+1)

證明；1）當皿時，叩擊猜想正確。2）假設當』時猜想成立。

當〃=攵+1時，由歸納假設及題設，ai+ai+…+0=［（左+1）2-1］為+i,,

11

所以++--?+-~~-~~-=%伏+2)詼+1,

2713^2后x(4+1)

BP1--+--—+???+------=k(k+2)ak+\,

223kk+l

k1

所以=k(k+2)ak+1,所以以+1=

7+T(A+1)(左+2)

由數學歸納法可得猜想成立，所以凡=——

n｛n+1）

例3設0<a<l,數列｛an｝滿足q=1+4,a”-i=a+',求證:對任意〃WN+,有

an>\.

【證明】證明更強的結論：1<小〈1+。

1）當〃=1時，l<ai=l+a,①式成立；

2）假設片攵時，①式成立，即l<a”Wl+a,則當片好1時，有

11l+a+a~1+a

1+a>%+i=1-a之----\-ci---------->-----1.

ak1+a1+。1+a

由數學歸納法可得①式成立，所以原命題得證。

7

2.迭代法。

數列的通項為或前〃項和S”中的n通常是對任意〃右N成立，因此可將

其中的〃換成〃+1或"-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。

例4數歹（］］&｝滿足為+。斯-1+效"-2=0,心3,qwO,求證：存在常數c,使得

n

+P%?an+qa；+cq=0.

【證明】+pan+l?an+i+qa^+l=an+2（pan+i+an+2）+qa^+l=an+2?（邵力二始=

q（a；+「a“a”+2）=仇+%。4"+|+期"）］=虱。,"+pan+ia?+?；）.

若a；++4。；=°，則對任意〃，a^l+i+pan+lan+qa^=0,取c=0即可.

若a；+「％勾+的；r0,則｛+”“+1%+網；｝是首項為+；+.a2al+qa；,

公式為q的等比數列。

n

所以a；+i+pan+lan+qa；=（a；+pa2al+qa；）?q.

取c=一（a；+p%a2+qa；）,上即可.

q

綜上，結論成立。______

例5已知ai=0,aa+i=5斯+J24a；+1,求證：斯都是整數，〃GN+.

【證明】因為41=0,42=1,所以由題設知當〃21時跖什1>。".

又由斯+i=5a“+J24a；+1移項、平方得

*-10aM用+a；T=（）.①

當〃22時，把①式中的“換成”-1得a；-10a/,i+a3T=°，即

始-10%%+%-1=0.②

因為an.\<an+\,所以①式和②式說明a?-i,m+i是方程f-10%x+a〉l=0的兩個

不等根。由韋達定理得tfn+l+m-1=10斯（〃22）.

再由0=0,42=1及③式可知，當〃6N+時，斯都是整數。

3.數列求和法。

數列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。

例6已知小不*（〃=1'2,…）,求$99=。1+。2+…+。99.

【解】因為

112x2"1°+4"+產"1

-------+-----------------------------------=----

4〃+z1004,00-n+21004100x2+2100(4w+4100~w)2100

附”、19999

所以S99-+?ioo-?)=2X2^=2^

例7求和：S=---------------1-----------------1------F--------------------

n1x2x32x3x4〃(/?+1)(〃+2)

8

1_k+2-k

【解】一般地,

k(k+1)(%+2)-2k(k+1)(%+2)

1O____________]

51%(左+1)伏+1)也+2)

H1

所以sn=t----------

念左伏+1)伏+2)

1「111111

-....-----------------------------1-----------------------------F???H---------------------------------------------------

21x22x32x33x4n(n+1)(幾+1)(〃+2)

1

-

2-

25+1)(〃+2)

」_______]

42(〃+1)(〃+2)

例8已知數列｛斯｝滿足ai=a2=l,a2=a+\+a,S?為數列,—>的前n項和,

ll+ltn2"

求證：S/(<2o

【證明】由遞推公式可知，數列｛斯｝前幾項為1,1,2,3,5,8,13。

o112358a公

因m為Sc"=2+FWW+"，+Fn,①

所以gs,,=*+最+錄+/+…+券。②

由①-②得為“=工+41+4+…+三】一4，

222?(2222"~2)2,,+1

所以_LS“=_L+_LS“2_4。

2242n+1

又因為S,；-2<S?且券>0,

所以gs“<；+；s”，所以;S“

所以S“<2,得證。

4.特征方程法。

例9已知數列｛a”｝滿足0=3,?2=6,斯+2=4”+1-4斯，求知.

【解】由特征方程X2=4X-4得x?=*2=2.

故設斯=(a+B〃)?2"L其中尸="+夕，

6=(?+2/?)x2

所以a=3,B=0,

9

所以a?=3?2"4.

例10已知數列｛小｝滿足ai=3,s=6,。“+2=2。"+1+3小，求通項a”.

【解】由特征方程f=2x+3得XI=3,*2=-1,

所以如=a?3"+B?(/)",其中「=3a—4,

6=9a+/?

解得a=3,B=—3,

44

所以勺n+ln+,

=l[3+(-l)-3]o

5.構造等差或等比數列。___________

例正數列…滿足。，吃且

11ao,a1,a”,an_2-J=2%-1(〃22)ao=ai=1,

求通項。

注：f[G=。?C2........Cn

i=l

r2+?

例12已知數列｛x〃｝滿足即=2,%+產」---,"GN+,求通項。

2七，

士^的不動點，由立^得

【解】考慮函數人尤尸=4A

2x2x

%2+2

因為汨=2,從+1=%士，可知｛m｝的每項均為正數。

2x“

又旺+222缶“，所以招+|2痣(〃21)。又

X?+l-V2=-V2=J-一揚2,①

2x“2x,

10

…必要+反三,②

由①+②得也o③

及|_Z+行」

又土二半＞o,

玉+J2

上口且「也W

由③可知對任意n￡N+,

X“+J2]x“+i+J2

2-V2

是首項為lg公比為2的等比數列。

2+V2

所以1g上W=2"i?1g2-V2所以流

x.+及2+V2'

Q+近)*+(2—行)2"'

解得招=痣

(2+V2)2""-(2-V2)2'"

注：本例解法是借助于不動點，具有普遍意義。

三、基礎訓練題

1.數列｛為｝滿足為=2,%+尸S”+(〃+l),其中S”為｛%｝前〃項和，當〃22時,

12元

2.數列｛x〃｝滿足xi=—,x,1+i=-——々,則｛九/的通項九"=.

3.數列｛X〃｝滿足乃=1,X"=；x“_i+2〃-l(〃22),則｛%｝的通項X”=.

4.等差數列｛斯｝滿足3a8=5a”，且0>0,S”為前n項之和，則當S”最大時,

〃=.

5.等比數列｛斯｝前〃項之和記為S“,若Sio=lO,S3O=7O,貝”40=.

6.數列｛4｝滿足X"+i=x”-X"-i(〃22),xi=a，九2=。,S"=xi+x2+…+乩，則

S1oo~?

7.數列｛斯｝中,Sn=ai+a2+…+斯=〃2-4〃+1則|。1|+|汲|+…+|aio|=：________.

8.若」!一=*-=*--..=一4一，并且沏+及+…+x“=8,則

%j+1x2+3$+5+2〃-1

X\=.

9.等差數列｛斯｝，｛5｝的前〃項和分別為S〃和T〃，若」L則

T3n+1

11

a

lrim—n=________.

”一>8

n

M072,

10.若”!…2?1,則2（-l）M"------=_________.

n=l〃！

11.若｛%｝是無窮等比數列，斯為正整數，且滿足火+。6=48,/og2a270g2a3+

log2a2,log2a5+log2a2,log2a6+log2as,/og2a6=36,求<L>的通項。

lan\

12.已知數列｛斯｝是公差不為零的等差數列，數列｛q｝是公比為4的等比數

列，且>1=1,歷=5,8二17,求：（1）夕的值;（2）數列｛仇｝的前〃項和S”。

12

第三講：復數

一、基礎知識

1.復數的定義：設i為方程X?=-l的根，i稱為虛數單位，由i與實數進行

加、減、乘、除等運算。便產生形如a+bi(a,b￡R)的數，稱為復數。所有

復數構成的集合稱復數集。通常用C來表示。

2.復數的幾種形式。對任意復數z=a+bi(a,b￡R),a稱實部記作Re(z),b

稱虛部記作Im(z)。z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將

(a,b)作為坐標平面內點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而

可以建立復數集與坐標平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復

數可以用點來表示，表示復數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原

點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數z

又對應唯一一個向量。因此坐標平面內的向量也是復數的一種表示形式，稱

為向量形式。

3.共甄與模，若2=@+公，(a,beR)，則I=a-bi稱為z的共胡復數。模與

2

共輾的性質有:(1)zx+z2=z1±z2；(2)-z2-z1-z2；(3)z-z=\z\；

(4)(豆］=皂；(5)|z,,z2KZi|-|z2I；(6)|且上⑷；(7)||Z1|-|z2||

zZ

k2；z2I2I

2222

W|zi±Zz|WlzJ+OI；(8)|zi+z21+1z-z21=21Zi|+21z21；(9)若|z|=l,

則z=L

z

4.復數的運算法則：(1)按代數形式運算加、減、乘、除運算法則與實數范

圍內一致，運算結果可以通過乘以共軻復數將分母分為實數；(2)按向量形

式，力口、減法滿足平行四邊形和三角形法則。

5.單位根：若w"=l,則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記

=cos—+zsin—,則全部單位根可表示為1,4，Z：,…,Z：T。單位根的基

Z1nn

13

本性質有(這里記Z*=Z：,k=l,2,…,n-l)：(1)對任意整數k,若卜二的+匕口

wZ,OWrWn-l,有Z?q.r=Zr；(2)對任意整數m,當n22時，有

1+Z；"+Z；"+…+=特別I+Z1+Z2+…+Zi=O；(3)x"'+x"2+-

當〃|m,

-1

+x+l=(x-Z,)(x-Z2)???(x-Z?-,)=(x-Zj(x-Z；)…(x-Z)')o

6.復數相等的充要條件：(1)兩個復數實部和虛部分別對應相等；(2)兩個

復數的模和輻角主值分別相等。

7.復數z是實數的充要條件是z=5；z是純虛數的充要條件是：z+z=0(且

zWO)。

8.代數基本定理：在復數范圍內，一元n次方程至少有一個根。

9.實系數方程虛根成對定理：實系數一元n次方程的虛根成對出現，即若

z=a+bi(bWO)是方程的一個根，則乞=a-bi也是一個根。

10.若a,b,cWR,aWO,則關于x的方程ax,+bx+c=0,當△=b2-4ac<0時方程

的根為屆2=士三哥―。

2a

二、例題分析與方法：

1.模的應用。

例1:求證：當nGN,時，方程(Z+1)2(ZT)2n=0只有純虛根。

證明：若Z是方程的根，則(Z+D叱-(Z-1)*,所以|(z+l)*|=|-(z-l)2n|,

即|z+l2=|z-l|2,即(z+1)(z+l)=(z-l)(z-1),化簡得z+z=O,

又z=0不是方程的根，所以z是純虛數。

2.復數相等。

例2：設AGR,若二次方程(l-i)x?+(入+i)x+l+Ai=O有兩個虛根，求人滿

足的充要條件。

14

解：若方程有實根，則方程組，一有實根，由方程組得

X2-x-2=0

(入+l)x+入+1=0.若入=T,則方程x2-x+l=0中△<0無實根，所以入W

-1。所以x=T,入=2.所以當入W2時，方程無實根。所以方程有兩個虛根的

充要條件為人#2。

3.單位根的應用。

例3：證明：自。。上任意一點p到正多邊形A3…A,、各個頂點的距離的平方

和為定值。

證明：取此圓為單位圓，0為原點，射線0A.為實軸正半軸，建立復平面，

頂點Ai對應復數設為￡=e凈，則頂點A2A3…A”對應復數分別為小，屋，…，

E"o

設點p對應復數Z,則z|=l,

且又=2n-￡|p&『=￡|z--r=2(Z-￡*)(Z")=X(2-￡*Z-￡"Z)

A=1k=\k=]k=\

=2n_z^'ek—=2n—z^￡k—z^￡k=2〃.命題得證。

*=i*=i*=i*=i

4.復數與幾何。

例4：平面上給定△A|A2A3及點Po,定義As=As-3,S24,構造點列p<),pi,p?,…,

使得Pk+i為繞中心Ak+1順時針旋轉120°時Pk所到達的位置，k=0,1,2,…,若

P1986=p0o

求證：AAiAA為等邊三角形。

證明：令u=e號，由題設，約定用點同時表示它們對應的復數，取給定平面

為復平面，則pi=(]+u)A|_up(),p2=(]+u)A2_upi,①p3=(l+u)A3-up2②

2

由①X/+②義(-u)得p3=(l+u)(A3-uA2+uAi)+po=w+pl)>W為與p(,無關的常數。

同理得p6=w+p3=2w+p0,--?,pi986=662w+po=po,所以\v=0,從而Aa-uAs+u-A^O.

15

由i?=uT得A：；-A尸(A2-AI)U,這說明△AIA2A3為正三角形。

5.復數乘法的幾何意義。

例5：設A,B,C,D為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?AD2AC?BD。

證明：用A,B,C,D表示它們對應的復數，

則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),

因為IA-B||C-D|+1B-C|?|A-D|》(A-B)(C-D)+(BY)(AT)。

所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|Z|A-C|?|B-D|,當"="成立時當且僅當

Arg(—_—)=Arg(―——)>BPArg(~~~—)+Arg{—~~—)=n,即A,B,C,D

D-AC-DB-AD-C

共圓時成立。不等式得證。

6.復數與軌跡。

例6：△ABC的頂點A表示的復數為3i,底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2,

求AABC的外心軌跡。

解:設外心M對應的復數為z=x+yi(x,yGR),B,C兩點對應的復數分別

是b、b+2。因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為

|z-b|=|z-3i|,BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|,所以點M對應的復

數z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2],消去b解得/=6(y所以△ABC的外心

軌跡是軌物線。

7.二項式定理的應用。

例7：計算：(1)臉一臉+6^一…+璃：⑵C：0G+G5no——C篇

解：(1+i)嗎[(l+i)2『o=(2i)5o=-25°,由二項式定理(1+i)嗎

2100

+C^i+C^i+-+C^i"+C^i=(%+*-.?.+C黑)+(

Coo_Goo+^iooG/)i，

比較實部和虛部可得G%-c盆+￡%-???+嚙=-250,

16

8.復數與多項式。

例8：已知f(z)=c()z"+ciz"'+…+(\一億+心是n次復系數多項式(coWO)□

求證：一定存在一個復數zo,|zoWl,并且|f(Zo定21coi+|c』。

nH

證明：記c()z+C|Z"+---+cn,z=g(z),令夕=Arg(c)-Arg(Zo),則方程g(Z)-coe'

"=0為n次方程，其必有n個根，不妨設為z”Z2,…，z“

從而g(z)-coe,"=(z-zi)(z-z2).......(z-zjco，令z=0得-c()e'"=(T)"ziZ2…z/o,

取模得|z&…Zn|=l。所以Zi,Z2,…,Zn中必有一個Zi使得

i，

從而f(zI)=g(zi)+cB=Coe=cn,所以|f(z)I=|coe"+Cn|=|c』超/殿

三、課堂訓練：

1.復數Z滿足|z|=5,且(3+4i)?z是純虛數，則1=o

2.已知z=——”,貝Ul+z+z?+…+z^2=________。

1+V3/

3.若則________o

(1-012

Z2

4.已知zee,則命題“z是純虛數”是命題“二weR”的________條件。

1-Z

5.已知關于x的實系數方程X2-2X+2=0和x2+2mx+l=0的四個不同的根在復平

面上對應的點共圓，則m取值的集合是o

22

6.已知點P為橢圓二+二=1上任意一點，以0P為邊逆時針作正方形OPQR,

95

則動點R的軌跡方程為o

7.二次方程ax2+x+l=0的兩根的模都小于2,求實數a的取值范圍。

8.復平面上定點Z。，動點4對應的復數分別為z°,z”其中ZoNO,且滿足方

程|z「Zo|=|z』，①另一個動點Z對應的復數z滿足ZJZ=T,②。

求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。

9.N個復數Z|,Z2,…,z?成等比數列，其中公比為q,|q|=l且qW±

17

1,復數Wi,W2,…，Wn滿足條件：Wk=Zk+1~+h,其中k=l,2,…，n,h為已知實數。

Zk

求證：復平面內表示W1,W2,…,W”的點Pl,P2,…，Pn都在一個焦距為4的橢圓上。

10.設復數Zi,Z2滿足zl?z2+Az,+AZ2=0,其中AWO,ARC。

2

證明：（1）|Z,+A|?|Z2+A|=|A|；（2）幺土4=亙土4.

z2+Az2+4

18

第四講：三角函數

一、基礎知識

1、角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針

方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為

零角。角的大小是任意的。

2、角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的

圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2兀弧度。若圓心角的弧長為L,則其

弧度數的絕對值Ia|=2,其中r是圓的半徑。

r

3、三角函數，在直角坐標平面內，把角a的頂點放在原點，始邊與x軸的正

半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P,設它的坐標為(x,y),

到原點的距離為r,則正弦函數sina=2,余弦函數cosa=±，正切函數tana

rr

=—,余切函數cota=—,正割函數seca余割函數esca.

xyxy

4、同角三角函數的基本關系式，倒數關系：tana二一--,sina=—J—,cos

cotacsca

a=—5—；商數關系：tana,cota=COS6g.乘積關系：tanaXcosa

secacosasina

=sina,cotaXsina=cosa；平方關系：sin2a+cos2a=1,tan2a+l=sec2a,cot2

a+1=CSC2a.

5、誘導公式(1)sin(a+TT)—sina,cos(兀+a)—cosa,tan(兀+a)=tana,cot(兀+

a)=cota;(