第19講等比數列及其求和學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.等比數列的概念(1)定義：如果數列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一個常數q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數列，其中q稱為等比數列的公比.數學語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數).(2)等比中項：如果x，G，y是等比數列，則稱G為x與y的等比中項，且G2＝xy.2.等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數列的性質已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.(1)若正整數s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.考點和典型例題1、等比數列基本量的運算【典例1-1】（2022·江西·上饒市第一中學模擬預測（文））在正項等比數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1024 B．960 C．768 D．512【典例1-2】（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成公比為3的等比數列，則SKIPIF1<0（

）A．14 B．34 C．41 D．86【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））等比數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，則SKIPIF1<0的公比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強軍的偉大成就以及維護世界和平的堅定決心，在閱兵活動的訓練工作中，不僅使用了北斗導航、電子沙盤、仿真系統、激光測距機、邁速表和高清攝像頭等新技術裝備，還通過管理中心對每天產生的大數據進行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進行，假如訓練過程中第一天產生的數據量為a，其后每天產生的數據量都是前一天的SKIPIF1<0倍，那么訓練n天產生的總數據量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中學模擬預測（文））已知正項等比數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．16 B．24 C．32 D．8【典例1-6】（2022·北京·人大附中模擬預測）如圖是標準對數遠視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標準對數視力記錄，這組數據從上至下為等差數列，公差為SKIPIF1<0；最右邊一列“小數記錄”為國際標準視力記錄的近似值，這組數據從上至下為等比數列，公比為SKIPIF1<0．已知標準對數視力SKIPIF1<0對應的國際標準視力準確值為SKIPIF1<0，則標準對數視力SKIPIF1<0對應的國際標準視力精確到小數點后兩位約為（

）（參考數據：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、等比數列的判定與證明【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）（多選）已知SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之和，且滿足SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0為等差數列 B．若SKIPIF1<0為等差數列，則公差為2C．SKIPIF1<0可能為等比數列 D．SKIPIF1<0的最小值為0，最大值為20【典例2-2】（2022·湖南·雅禮中學二模）（多選）著名的“河內塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設將n個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-3】（2022·江蘇泰州·模擬預測）（多選）若正整數m．n只有1為公約數，則稱m，n互質，對于正整數k，SKIPIF1<0（k）是不大于k的正整數中與k互質的數的個數，函數SKIPIF1<0（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知歐拉函數是積性函數，即如果m，n互質，那么SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．數列SKIPIF1<0是等比數列C．數列SKIPIF1<0不是遞增數列D．數列SKIPIF1<0的前n項和小于SKIPIF1<0【典例2-4】（2022·浙江·鎮海中學模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：數列SKIPIF1<0為等比數列，并求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求證：SKIPIF1<0．【典例2-5】（2022·廣東·深圳市光明區高級中學模擬預測）已知各項都為正數的數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0是等比數列；(2)求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.3、等比數列的性質及應用【典例3-1】（2022·湖南·邵陽市第二中學模擬預測）已知正項等比數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-2】（2022·湖南·長郡中學模擬預測）設等比數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【典例3-3】（2022·河南省浚縣第一中學模擬預測（理））已知正項等比數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則公比q＝（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知數列SKIPIF1<0的各項均為正整數且互不相等，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列SKIPIF1<0是等比數列；②數列SKIPIF1<0是等比數列；③SKIPIF1<0．注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中學模擬預測