第34講隨機變量及其分布列學(xué)校____________姓名____________班級____________知識梳理隨機變量及其分布列的數(shù)字特征1.離散型隨機變量一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應(yīng)有唯一確定的實數(shù)值，就稱X為一個隨機變量.其所有可能的取值都是可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列一般地，若離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}，如果對任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的，離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn3.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；(2)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.4.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差、標準差一般地，如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望).(2)方差D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[xi－E(X)]2pi，能夠刻畫X相對于均值的離散程度(或波動大小)，這稱為離散型隨機變量X的方差.(3)標準差稱eq\r(D（X）)稱為離散型隨機變量X的標準差，它也可以刻畫一個離散型隨機變量的離散程度(或波動大小).5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù)).分布列1.n次獨立試驗與二項分布(1)n次獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.(2)二項分布一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如下表所示X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項展開式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0中對應(yīng)項的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作X～B(n，p).2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超幾何分布一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N)，從所有物品中隨機取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s為M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N－M)時取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，這里的X稱為服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，記作X～H(N，n，M).4.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線φ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個參數(shù)，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝eq\r(D（X）)，即X的標準差.φ(x)也常常記為φμ，σ(x).(2)正態(tài)曲線的一些性質(zhì)①正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點；②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”；σ越大，說明標準差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標準差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.考點和典型例題1、隨機變量及其分布列的數(shù)字特征【典例1-1】設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-2】已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數(shù)為X，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-3】已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))X0123P0.20.30.4a則下列計算結(jié)果正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-4】已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列為下表所示，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【典例1-5】已知隨機變量X的分布列如下：236PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．182、分布列【典例2-1】一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的黃球，編號為7，8，9，10．現(xiàn)從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．X表示取出的最小號碼B．若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼C．取出一個紅球記2分，取一個黃球記1分，X表示取出的4個球的總得分D．若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數(shù)【典例2-2】設(shè)隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【典例2-3】已知隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-4】某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于SKIPIF1<0，則n的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【典例2-5】設(shè)隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、分布列的綜合應(yīng)用【典例3-1】甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問：(1)在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？(2)若采用三局二勝制，求比賽場次SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望．【典例3-2】選手參加電視臺舉辦的“中國詩詞大會”競答比賽．選手對每個問題回答的結(jié)果，只能是正確或錯誤兩種情況，每個問題回答正確的概率為SKIPIF1<0．選手首先依次回答3個問題，一旦出觀2個問題回答錯誤，則被淘汰：如果3個問題回答都正確，則算過關(guān)；如果3個問題中有1個回答錯誤，則進入下一輪附加賽，選手再依次回答2個新問題，一旦出現(xiàn)問題回答錯誤，則也被淘汰；若2個問題回答都正確，則也算過關(guān)．選手回答每個問題正確與否是相互獨立的．(1)求選手過關(guān)的概率；(2)若選手回答一個問題耗時3分鐘，試估計選手平均用11分鐘能否完成這個競答比賽？【典例3-3】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心，據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求SKIPIF1<0的值，并求這200人年齡的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機選出3人進行問卷調(diào)查，記SKIPIF1<0為選出的3人中屬于第1組的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；【典例3-4】W企業(yè)D的產(chǎn)品p正常生產(chǎn)時，產(chǎn)品p尺寸服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，從當前生產(chǎn)線上隨機抽取200件產(chǎn)品進行檢測，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚a(chǎn)品尺寸/mm[76，78.5](78.5，79](79，79.5](79.5，80.5]件數(shù)4272780產(chǎn)品尺寸/mm(80.5，81](81，81.5](81.5，83]件數(shù)36206根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標準和生產(chǎn)線的實際情況，產(chǎn)品尺寸在SKIPIF1<0以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在SKIPIF1<0以內(nèi)為正品，以外為次品．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測費10元/件，次品檢測費15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測費為隨機變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望及方差．【典例3-5】一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分