考研數學一（無窮級數）模擬試卷1（共6套）（共191題）考研數學一（無窮級數）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、如果級數都發散，則()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由于發散，而｜an｜≤｜an｜+｜bn｜，故必發散，故選D。2、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：若中至少有一個不成立，則級數中至少有一個發散，故選C。3、設有命題以上四個命題中正確的個數為()A、1B、2C、3D、4標準答案：A知識點解析：只有④是正確的，事實上，級數的部分和數列Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1—an)=an+1—a1，數列{an}收斂，則收斂。①不正確。如不收斂。②不正確。正項級數不一定存在，如是收斂的，事實上，不存在。故選A。4、設常數λ＞0，且級數收斂，則級數()A、發散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與λ有關標準答案：C知識點解析：取an=，顯然滿足題設條件。而此時于是由比較判別法知，級數絕對收斂，故選C。5、an和bn符合下列哪一個條件可由發散()A、an≤bnB、｜an｜≤bnC、an≤｜bn｜D、｜an｜≤｜bn｜標準答案：B知識點解析：反證法。假設收斂，由｜an｜≤｜bn｜知，收斂，這與題設矛盾，故選B。6、如果級數收斂，則級數()A、都收斂B、都發散C、斂散性不同D、同時收斂或同時發散標準答案：D知識點解析：由于an=(an+bn)—bn，且必發散，故選D。7、設收斂，則()A、收斂B、發散C、D、當an＞0時，必收斂標準答案：D知識點解析：當an＞0時，級數為正項級數，由于該級數收斂，則其部分和數列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)有上界，從而可知正項級數的部分和數列Sn=a1+a2+…+an有上界，則級數必收斂，故選D。8、設冪級數的收斂半徑分別為，則冪級數的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題設條件可知于是冪級數的收斂半徑為二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、設a1=1，的和為________。標準答案：2020知識點解析：級數的部分和數列為Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1—an)=an+1—a1=an+1—1，則=2021—1=2020。10、冪級數的收斂半徑R=________。標準答案：知識點解析：設an=，則當滿足條件，該冪級數是收斂的。因此，冪級數的收斂半徑是。11、無窮級數的收斂區間為________。標準答案：知識點解析：在原級數中令=t，原級數可化為，只需要討論的收斂半徑和收斂區間即可。對于級數，由于所以的收斂半徑為1，收斂區間為(—1，1)。由于=t，所以x=，即原級數的收斂區間為。12、設冪級數的收斂半徑為3，則冪級數的收斂區間為________。標準答案：(—2，4)知識點解析：根據冪級數的性質：對原冪級數逐項求導后得，收斂半徑不變，因此有其收斂區間為｜x—1｜＜3，即(—2，4)。13、已知冪級數在x=1處條件收斂，則冪級數的收斂半徑為________。標準答案：1知識點解析：冪級數在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級數收斂區間的端點，其收斂半徑為1，因此冪級數收斂半徑也為1。14、冪級數的和函數為________。標準答案：知識點解析：令x2=t，則原級數可化為。由于所以級數的收斂半徑為2，收斂區間為(—2，2)。即級數的收斂半徑為。設級數的和函數為s(x)，即s(x)=，對上式從0到x逐項積分，可得在上式兩端同時對x求導，則有15、級數的和為________。標準答案：知識點解析：令s(x)=，｜x｜＜1，那么有16、將展成x的冪級數為________。標準答案：知識點解析：對從0到x求積分，有對上式兩端求導，得三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)設a1=2，an+1=(n=1，2，…)。證明17、存在。標準答案：顯然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知所以{an}單調遞減且有下界，故極限存在。知識點解析：暫無解析18、級數收斂。標準答案：{an}單調遞減，則，原級數是正項級數。由an≥1得而級數的部分和為Sn==a1—an+1，存在，則級數收斂。由比較判別法知收斂。知識點解析：暫無解析19、設正項數列{an}單調減少，且發散，試問級數是否收斂?并說明理由。標準答案：由于正項數列{an}單調遞減有下界，所以由單調有界原理可知極限存在，將極限記為a，則有an≥a，且a≥0。又因為是發散的，根據萊布尼茨交錯級數判別法可知a＞0(否則級數是收斂的)。已知正項級數{an}單調遞減，所以而收斂，因此根據比較判別法可知，級數也是收斂的。知識點解析：暫無解析設有正項級數是它的部分和。20、證明收斂。標準答案：設Tn為的部分和，則若正項級數。若正項級數。因此收斂。知識點解析：暫無解析21、判斷級數是條件收斂還是絕對收斂，并給予證明。標準答案：對已知級數取絕對值因正項級數的部分和數列{Sn}單調上升，將上式放縮由上小題可知收斂，再由比較原理知收斂，因此原級數絕對收斂。知識點解析：暫無解析22、求冪級數的收斂區間與和函數f(x)。標準答案：設an=，則當x2＜1時，原級數絕對收斂，當x2＞1時，原級數發散，因此原級數的收斂半徑為1，收斂區間為(—1，1)。知識點解析：暫無解析23、求冪級數的收斂域。標準答案：設an=，則所以原級數的收斂區間為(—1，1)。在區間端點處，原級數發散，故收斂域為(—1，1)。知識點解析：暫無解析設冪級數在(一∞，+∞)內收斂，其和函數y(x)滿足y″—2xy′—4y=0，y(0)=0，y′(0)=1。24、證明an+2=，n=0，1，2，…。標準答案：記y(x)=，代入微分方程y″—2xy′—4y=0有知識點解析：暫無解析25、求y(x)的表達式。標準答案：由初始條件y(0)=0，y′(0)=1，知a0=0，a1=1。于是根據遞推關系式an+2=，有a2n=0，a2n+1=。故知識點解析：暫無解析26、求級數的和。標準答案：令S(x)=，則有知識點解析：暫無解析27、將函數f(x)=展開成x的冪級數。標準答案：f(x)=，比較兩邊系數可得知識點解析：暫無解析28、設f(x)=將f(x)展開成x的冪級數，并求級數的和。標準答案：直接將arctanx展開不容易，但(arctanx)′易展開，即積分得因為右端級數在x=±1處均收斂，又arctanx在x=±1處連續，所以展開式在收斂區間端點x=±1處成立。將(1)式兩邊同乘得上式右端當x=0時取值為1，于是令x=1，則知識點解析：暫無解析29、將函數f(x)=x—1(0≤x≤2)展開成周期為4的余弦函數。標準答案：由傅里葉級數展開式，可得知識點解析：暫無解析考研數學一（無窮級數）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、下列級數中屬于條件收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：方法一：由其中收斂，發散，故(A)選項發散；由其中均收斂，故(B)選項絕對收斂；由收斂，故(C)選項絕對收斂。由排除法，故選(D)。方法二：直接證明(D)選項中的級數條件收斂。且發散，從而(D)項條件收斂，故選(D)。2、設a＞0為常數，則A、絕對收斂。B、條件發散。C、發散。D、收斂性與a有關。標準答案：A知識點解析：由于且而收斂，故收斂，根據絕對收斂的定義知絕對收斂，故選(A)。3、若在x=－1處收斂，則此級數在x=2處()A、條件收斂。B、絕對收斂。C、發散。D、收斂性不確定。標準答案：B知識點解析：因x=－1為級數的收斂點，知級數在|x－1|＜|－1－1|=2內收斂，即當－1＜x＜3時絕對收斂，x=2在區間(－1，3)內，故選(B)。4、下列四個級數中發散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：對于選項(A)，因為由比值審斂法知，級數收斂。對于選項(B)，因為而級數發散，由比較審斂法的極限形式知級數發散。對于選項(C)，這是一個交錯級數，而且令則因此當x＞e2時，f’(x)＜0，f(x)單調減少，所以當n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整數)時，由交錯級數的萊布尼茨判別法知，級數收斂。對于選項(D)，因為而收斂，所以絕對收斂。綜上所述，故選(B)。5、若級數收斂，發散，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：方法一：由發散，知一定發散，而收斂，則有一定發散，故選(D)。方法二：取則收斂，發散，但絕對收斂，排除選項(A)；發散，排除選項(B)；收斂，排除選項(C)。故選(D)。6、級數A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發散。D、斂散性與a有關。標準答案：D知識點解析：當a=0時，為交錯級數，且當n≥3時滿足萊布尼茨定理，所以收斂。當a=1時，的一般項不趨于零，發散。所以，斂散性與a有關，故選(D)。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、冪級數的收斂半徑為________。標準答案：知識點解析：該冪級數的收斂半徑8、設函數f(x)=x2，0≤x＜1，而其中bn=則標準答案：知識點解析：正弦級數s(x)是對f(x)在(－1，0)上作奇延拓后函數的傅里葉級數，故9、設f(x)=πx+x2，－π≤x≤π，且f(x)在[－π，π]上的傅里葉級數為則b3=____________。標準答案：知識點解析：根據傅里葉系數的計算公式可得10、設則標準答案：e-1知識點解析：由于函數在x=1處的泰勒級數展開式唯一，所以對照比較已知表達式得則于是有11、冪級數的和函數為_____________。標準答案：ln2－ln(3－x)，x∈[－1，3)知識點解析：令則s(1)=0，對等式兩邊求導得其中即－1＜x＜3。再在等式兩邊從1到戈積分，得所以s(x)=ln2－ln(3－x)，x∈(－1，3)。當x=－1時，s(x)連續，收斂；當x=3時，s(x)無意義，發散，故冪級數的和函數為s(x)=ln2－ln(3－x)，x∈[－1，3)。12、設有以下命題則以上命題正確的序號是___________。標準答案：②③知識點解析：級數加括號收斂，原級數不一定收斂，如則①不正確；是級數去掉了前100項，則由收斂可知收斂，則②正確；由于則有則當n充分大時|un+1|＞|un|＞0，從而故級數發散，③正確。設有收斂，而和均發散，④不正確。13、已知冪級數在x＞0時發散，且在x=0時收斂，則a的取值是___________。標準答案：－1知識點解析：由則該冪級數的收斂半徑為1，從而得其收斂區間為|x－a|＜1，即a－1＜x＜a+1。當x－a=1，即x=a+1時，原函數為收斂；當x－a=－1，即x=a－1時，原級數為發散。因此，原級數的收斂域為a－1＜x≤a+1。由題設，x=0時級數收斂，x＞0時級數發散，可知x=0是其收斂區間的一個端點，且位于收斂域內。因此只有a+1=0，即得a=－1。三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)14、已知fn(x)滿足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n為正整數)且求函數項級數的和。標準答案：由已知條件可得，fn’(x)－fn(x)=xn－1ex，這是以fn(x)為未知函數的一階線性非齊次微分方程，其中p(x)=－1，q(x)=xn－1ex，代入通解公式得其通解為由已知條件即得C=0，故因此設由于所以知識點解析：暫無解析設數列{an}滿足條件：a0=3，a1=1，an－2－n(n－1)an=0(n≥2)，s(x)是冪級數的和函數，15、證明：s"(x)－s(x)=0；標準答案：設又已知an-2－n(n－1)an=0，即an－2=n(n,－1)an，因此故有s"(x)－s(x)=0。知識點解析：暫無解析16、求s(x)的表達式。標準答案：微分方程s"(x)－s(x)=0的特征方程為λ2－1=0，解得λ1=－1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2為常數。又a0=s(0)=31+c2=3，a1=s’(0)=1c2－c1=1，解得c1=1，c2=2，所以s(x)=e－x+2ex。知識點解析：暫無解析17、求冪級數的和函數。標準答案：由于令|x|2＜1，即|x|＜1，于是有x∈(－1，1)。令x=－1，原級數變為收斂；令x=1，原級數變為收斂。故收斂域為[－1，1]。令其中，故f(x)=(1+x2)arctanx，x∈[－1，1]。知識點解析：暫無解析18、求級數的和。標準答案：其中s2為幾何級數，根據公式其和而s1可看作冪級數處的值。記故從而知識點解析：暫無解析19、求數項級數的和。標準答案：原級數令則s(0)=0，且s(x)收斂域為(－1，1)。則令則有知識點解析：暫無解析20、將函數f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數，并求級數的和。標準答案：f(x)為偶函數，由傅里葉級數的系數公式，得因為f(x)=2+|x|在區間[－1，1]上滿足狄利克雷收斂定理條件，所以即有令x=0，得即又所以知識點解析：暫無解析21、設函數f(x)是以2π為周期的周期函數，且f(x)=eax(0≤x≤2π)，其中a≠0，試將f(x)展開成傅里葉級數，并求級數的和。標準答案：根據傅里葉級數的定義，傅里葉級數表達式中的系數由狄利克雷收斂定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收斂定理知故有知識點解析：暫無解析22、判別級數的斂散性。標準答案：設則而是的p級數，收斂，所以由比較判別法，原級數收斂。知識點解析：暫無解析23、判別下列級數的斂散性：標準答案：利用根值判別法知識點解析：暫無解析24、求級數的和。標準答案：作冪級數故知識點解析：暫無解析25、求常數項級數的和。標準答案：令則知識點解析：暫無解析26、求級數的和函數。標準答案：知識點解析：暫無解析27、求冪級數的收斂域及和函數。標準答案：由于所以級數的收斂半徑R=1，且在x=±1處級數發散，故收斂域為(－1，1)。又設則所以設則積分得又s3(0)=0，得C=0，所以和函數其中0＜|x|＜1，且s(0)=3。知識點解析：暫無解析28、證明級數條件收斂。標準答案：令n=2，3，…，則因為級數發散，所以由比較判別法可知，級數發散，即級數不絕對收斂。注意到原級數雖然是交錯級數，但數列并沒有單調性，所以不能用萊布尼茨判別法判斷其斂散性。轉而考慮其部分和數列{s2n}和{s2n+1}。因為(注意部分和數列從k=2開始)即數列{s2n}單調遞減有下界，所以由單調有界原理可知數列{s2n}收斂。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且可知數列{s2n+1}也收斂，且所以部分和數列{sn}收斂。由級數收斂的定義可知，級數收斂，從而級數條件收斂。知識點解析：暫無解析29、判斷級數的斂散性。標準答案：因為則故所以根據級數收斂的定義知，收斂。知識點解析：暫無解析30、求級數的和。標準答案：原級數考慮冪級數其收斂區間為(－∞，+∞)，并記其和函數則有所以兩邊求導得故知識點解析：暫無解析31、在x=1處將函數展成冪級數。標準答案：于是，知識點解析：暫無解析32、將函數展開成x－1的冪級數，并求數項級數的和。標準答案：由于而故當x∈(－1，3)時，有令上式中x=2，則于是得即知識點解析：暫無解析33、將函數展開為正弦級數和余弦級數。標準答案：將函數展開為正弦級數：先將函數作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，an=0(n=0，1，2，…)。故f(x)的正弦級數展開式為在端點x=0，1，2處級數收斂到零。將函數展開為余弦級數：先將函數作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，bn=0(n=1，2，…)，故f(x)的余弦級數展開式為在點x=1處級數收斂到零。知識點解析：暫無解析34、設函數f(x)=x2，x∈[0，π]，將f(x)展開為以2π為周期的傅里葉級數，并證明標準答案：方法一：將f(x)作奇延拓，展開為正弦級數，令則an=0，n=0，1，2，…，故由狄利克雷定理，可知而當x=π時，該級數收斂于零。方法二：將f(x)作偶延拓，展開為余弦級數，令g2(x)=x2，－π≤x≤π，則bn=0，n=1，2，…，故由收斂定理，可知令x=π得，方法三：將f(x)作零延拓，令且由零延拓與奇、偶延拓的關系，即知因此，利用方法一和方法二的結果，有在x=π處，該級數收斂于因此有知識點解析：暫無解析考研數學一（無窮級數）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設冪級數的收斂半徑分別為則冪級數的收斂半徑為()標準答案：A知識點解析：采用比值判別法，則有已知的收斂半徑分別為故有因此，故冪級數的收斂半徑為5，故選(A)。2、設級數收斂，則必收斂的級數為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：方法一：令sn=u1+u2+…+un，因為收斂，所以且存在。設令sn’=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn－u1+un+1。因為所以級數收斂，故選(D)。方法二：取級數收斂，而發散，(A)項不對；取級數發散，(B)項不對；取級數發散，(C)項不對。故選(D)。3、若級數收斂，則級數()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：方法一：令sn=a1+a2+…+an，因為收斂，所以且存在。設令故極限存在，所以收斂，故選(D)。方法二：令則級數為萊布尼茨級數，故收斂。而由此可知，級數和均發散，故選(D)。4、設有兩個數列{an}，{bn}，若則()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：方法一：因為所以存在一實數M＞0，對一切的n有|an|≤M。同理，若收斂，則取M0=1，存在正整數N，當n＞N時，|bn|＜1，于是bn2≤|bn|，由正項級數的比較審斂法得收斂。由an2bn2≤M2bn2及收斂，得收斂，故選(C)。方法二：取顯然收斂，但發散，(A)項不對；取顯然且發散，但收斂，(B)項不對；取顯然且發散，但收斂，(D)項不對。故選(C)。5、設an＞0(n=1，2，3，…)且收斂，常數則級數A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發散。D、斂散性與λ有關。標準答案：A知識點解析：由于為正項級數且收斂，則級數收斂，而且則由比較判別法知收斂，故絕對收斂，故選(A)。6、設為正項級數，下列結論中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：方法一：取則有但級數發散，(A)項不對；取級數收斂，但(C)項不對；取級數發散，但(D)項不對。故選(B)。方法二：設取因為所以存在正整數N，當n＞N時，于是有即而發散，由正項級數的比較審斂法得發散，故選(B)。7、級數的斂散性()A、僅與β取值有關。B、僅與α取值有關。C、與α和β的取值有關。D、與α和β的取值無關標準答案：C知識點解析：由于(1)當0＜β＜1時，級數發散。(2)當β＞1時，級數收斂。(3)當β=1時，原級數為此時，當α＞1時收斂，當α≤1時發散，故選(C)。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設級數收斂，則級數的和等于___________。標準答案：級數可以寫成其部分和所以，級數的和因為級數收斂，由級數收斂的必要條件知所以知識點解析：暫無解析9、冪級數的收斂區間為____________。標準答案：(－2，4)。知識點解析：則收斂半徑R=3，故收斂區間為(－2，4)。10、冪級數的收斂域為__________。標準答案：令x－2=t，則轉為判別級數的收斂域。因為所以收斂半徑為當t=±2時，發散，所以的收斂域為(－2，2)，于是原級數的收斂域為(0，4)。知識點解析：暫無解析11、已知冪級數在x=0處收斂，在x=－4處發散，則冪級數的收斂域為________________。標準答案：冪級數的收斂區間以x=－2為中心，因為該級數在x=0處收斂，在x=－4處發散，所以其收斂半徑為2，收斂域為(－4，0]，即－2＜x+2≤2時級數收斂，亦即的收斂半徑為2，收斂域為(－2，2]。則的收斂半徑也為2，且由－2＜x－3≤2得，1＜x≤5，即冪級數的收斂域為(1，5]。知識點解析：暫無解析12、設f(x)是周期為2的周期函數，它在區間(－1，1]上定義為則f(x)的傅里葉級數在x=1處收斂于_________。標準答案：知識點解析：根據收斂定理f(x)的傅里葉級數在x=1處收斂于13、若級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…發散，則級數標準答案：發散知識點解析：如果收斂，由級數性質知，收斂級數加括號仍收斂，則級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…收斂，與題設矛盾。故發散。14、級數標準答案：e2－1知識點解析：由于則時，故15、設則其以2π為周期的傅里葉級數在點x=π處收斂于_______。標準答案：知識點解析：由狄利克雷收斂定理知，f(x)在x=π處收斂于三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)判別下列級數的斂散性16、標準答案：由于為正項級數，又而為幾何級數且收斂，由比較判別法的極限形式知原級數收斂。知識點解析：暫無解析17、其中{xn}是單調遞增且有界的正數列。標準答案：由于{xn}是單調遞增且有界的正項數列，由單調有界準則，存在。對于級數其前n項部分和由于極限存在，所以收斂，由比較判別法知原級數收斂。知識點解析：暫無解析18、設是絕對收斂的級數，證明由的一切正項組成的級數是收斂的；由的一切負項組成的級數也是收斂的。標準答案：令則是的一切正項組成的級數；是的一切負項組成的級數，且|an|=pn+qn。故有|an|≥pn=|pn|，|an|≥qn=|qn|，由正項級數的比較判別法知，均收斂，命題得證。知識點解析：暫無解析判別下列級數的斂散性19、標準答案：令則故發散。知識點解析：暫無解析20、標準答案：令則故收斂。知識點解析：暫無解析21、判斷級數的斂散性。標準答案：利用比值判別法，由于所以，當p＜e，即ρ＜1時，該級數收斂；當p＞e，即ρ＞1時，該級數發散。當p=e時，比值判別法失效，但是數列是單調遞增且趨于e的，故當p=e時，即{un}單調遞增但不是無窮小量，所以該級數是發散的。綜上，級數在p＜e時收斂，p≥e時發散。知識點解析：暫無解析22、判斷級數的斂散性。標準答案：當0＜a≤1時，故此時原級數發散。當a＞1時，從而由夾逼準則知由根值判別法可知原級數收斂。知識點解析：暫無解析23、判斷級數的斂散性。標準答案：根據正項級數通項特點，可用根值判別法判定。因故級數收斂。知識點解析：暫無解析24、設an＞0(n=1，2，…)且數列{an}是單調減少數列，又級數發散，判斷的斂散性。標準答案：因為數列{an}單調減少且an>0(n=1，2，…)，根據單調遞減數列有下界，所以存在，令由發散，并結合萊布尼茨判別法可得A＞0。根據正項級數的根值判別法，由故級數收斂。知識點解析：暫無解析25、判別級數的斂散性。標準答案：直接利用定義進行判別。由于該級數的部分和而所以原級數收斂，且其和為4e-1。知識點解析：暫無解析26、設為兩個正項級數。證明：若且收斂，則收斂。標準答案：取ε0=1，由根據極限的定義，存在N＞0，當n＞N時，即0nn，由收斂知收斂(收斂級數去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得收斂，從而收斂(收斂級數添加有限項不改變斂散性)。知識點解析：暫無解析27、設an＞0，數列{a0}單調減小且趨于零，證明：級數收斂。標準答案：因為an＞0，且{an}單調減小，所以也單調減小。又因為且所以由夾逼準則，由萊布尼茨定理可知，級數收斂。知識點解析：暫無解析28、判別級數的斂散性。標準答案：由泰勒公式則令于是有由于由比較判別法可知級數發散；級數是交錯級數，且由萊布尼茨判別法知是收斂的。因為收斂級數與發散級數的代數和是發散級數，故原級數發散。知識點解析：暫無解析設冪級數在(－∞，+∞)內收斂，其和函數s(x)滿足s"－2xs'－4s=0，s(0)=0，s'(0)=1。29、證明：標準答案：對冪級數的和函數求一、二階導數，得分別將其代入已知方程，整理得由于上式對任意的x均成立，則有2a2－4a0=0及(n+1)(n+2)an+2－2(n+2)an=0，于是得知識點解析：暫無解析30、求s(x)的表達式。標準答案：根據上題的結論n=0，1，2，…，且根據題中條件有a0=s(0)=0，a1=s’(0)=1。所以a2n=0，n=1,2，…。從而知識點解析：暫無解析31、求函數在指定點x=2處的泰勒展開式。標準答案：因為所以知識點解析：暫無解析設32、將f(x)展開為x的冪級數；標準答案：把f(x)作變形，并利用幾何級數得f(x)展開成x的冪級數為知識點解析：暫無解析33、分別判斷級數和的斂散性。標準答案：根據冪級數展開式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導數設則所需判別的級數都為正項級數。取易知收斂，因故由比較判別法的極限形式得級數收斂，且由知級數發散。知識點解析：暫無解析34、將函數展開成x的冪級數。標準答案：由已知，則其中|x|＜1。所以，故知識點解析：暫無解析35、求冪級數的和函數。標準答案：冪級數的收斂半徑絕對收斂，故該冪級數收斂域為[－1，1]。令x∈[－1，1]，則s(0)=0，s(1)=1。當－1≤x＜1且x≠0時，故知識點解析：暫無解析考研數學一（無窮級數）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設冪級數bnxn的收斂半徑分別為的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：采用比值判別法，則有。已知bnxn的收斂半徑分別為=3。因此，的收斂半徑為5。因此選A。2、設級數un收斂，則必收斂的級數為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：令sn=u1，u2，…，un，因為sn存在。設sn=s，令s’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn一u1+un+1。因為(un+un+1)收斂，應選D。3、若級數an收斂，則級數()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：令sn=a1，a2，…，an，因為sn存在。4、設有兩個數列{an}，{bn}，若an=0，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為an=0，所以存在一實數M＞0，對一切的n有｜an｜≤M。同理，若｜bn｜=0，取M0=1，存在正整數N，當n＞N時，｜bn｜＜1，于是bn2≤｜bn｜，由正項級數的比較審斂法得bn2收斂。由an2bn2≤M2bn2及M2bn2收斂，得an2bn2收斂，應選(c)。二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、冪級數(x一1)n的收斂區間為___________。標準答案：(一2，4)知識點解析：則收斂半徑R=3，故收斂區間為(一2，4)。6、冪級數的收斂域為___________。標準答案：2知識點解析：令x一2=t，則轉為判別級數所以收斂半徑為R==2。當t=±2時，的收斂域為(—2，2)，于是原級數的收斂域為(0，4)。7、已知冪級數an(x+2)n在x=0處收斂，在x=一4處發散，則冪級數an(x一3)n的收斂域為___________。標準答案：(1，5]知識點解析：冪級數an(x+2)n的收斂區間以x=一2為中心，因為該級數在x=0處收斂，在x=一4處發散，所以其收斂半徑為2，收斂域為(一4，0]，即一2＜x+2≤2時級數收斂，亦即antn的收斂半徑為2，收斂域為(一2，2]。則an(x一3)n的收斂半徑也為2，且由一2＜x一3≤2得，1＜x≤5，即冪級數an(x一3)n的收斂域為(1，5]。8、設f(x)是周期為2的周期函數，它在區間(一1，1]上定義為則f(x)的傅里葉級數在x=1處收斂于___________。標準答案：知識點解析：根據收斂定理，f(x)的傅里葉級數在x=1處收斂于三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)9、判別下列級數的斂散性(Ⅰ)；(Ⅱ)，其中{xn}是單調遞增且有界的正數列。標準答案：(Ⅰ)由于為幾何級數且收斂，由比較判別法的極限形式知原級數收斂。(Ⅱ)由于{xn}是單調遞增且有界的正項數列，由單調有界準則，xn存在。由于極限vn收斂，由比較判別法知原級數收斂。知識點解析：暫無解析10、設an是絕對收斂的級數，證明由an的一切正項組成的級數pn是收斂的；由an的一切負項組成的級數(一qn)也是收斂的。標準答案：令pn=an的一切正項組成的級數；an的一切負項組成的級數，且｜an｜=pn+qn。故有｜an｜≥pn=｜pn｜，｜an｜≥qn=｜qn｜，由正項級數的比較判別法知，(一qn)均收斂，命題得證。知識點解析：暫無解析11、判別下列級數的斂散性標準答案：知識點解析：暫無解析12、判斷級數(p＞0為常數)的斂散性。標準答案：利用比值判別法，由于所以，當p＜e，即ρ＜1時，該級數收斂；當p＞e，即ρ＞1時，該級數發散。當p=e時，比值判別法失效，但是數列{an}={(1+)n}是單調遞增且趨于e的，故p=e時，＞1，即{un}單調遞增但不是無窮小量，所以該級數是發散的。綜上，級數在p＜e時收斂，p≥e時發散。知識點解析：暫無解析13、判斷級數(a＞0)的斂散性。標準答案：當0＜a≤1時，≠0，故此時原級數發散。當a＞1時，，從而由夾逼準則知＜1。由根值判別法可知原級數收斂。知識點解析：暫無解析14、判斷級數的斂散性。標準答案：根據正項級數通項特點，可用根值判別法判定。知識點解析：暫無解析15、設an＞0(n=1，2，…)且數列{an}是單調減少數列，又級數(一1)nan發散，判斷的斂散性。標準答案：因為數列{an}單調減少且an＞0(n=1，2，…)，根據單調遞減數列有下界，所以(一1)nan發散，并結合萊布尼茨判別法可得A＞0。根據正項級數的根值判別法，由收斂。知識點解析：暫無解析16、判別級數的斂散性。標準答案：直接利用定義進行判別。由于該級數的部分和=一2∫1+∞tde-t=一2te-t｜1+∞+2∫1+∞e-tdt=2e-1+2e-1=4e-1，所以原級數收斂，且其和為4e-1。知識點解析：暫無解析17、設bn為兩個正項級數。證明：若an收斂。標準答案：取ε0=1，由=0，根據極限的定義，存在N＞0，當n＞N時，bn收斂(收斂級數去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得an收斂(收斂級數添加有限項不改變斂散性)。知識點解析：暫無解析18、設an＞0，數列{an}單調減小且趨于零，證明：級數收斂。標準答案：因為an＞0，且{an}單調減小，所以也單調減小。又因為0＜=0。由萊布尼茨定理可知，級數收斂。知識點解析：暫無解析19、判別級數的斂散性。標準答案：由于，由比較判別法可知級數是交錯級數，且由萊布尼茨判別法知是收斂的。因為收斂級數與發散級數的代數和是發散級數，故原級數發散。知識點解析：暫無解析20、設級數(un+1一2un+un—1)的和等于___________。標準答案：級數(un+1一2un+un—1)可以寫成[(un+1一un)一(un一un—1)]，其部分和sn=[(ui+1一ui)一(ui—ui—1)]=(un+1一un)一(u1—u0)=un+1一un一u1+u0，所以，級數∑(un+1一2un+un—1)的和s=(un+1—un—u1+u0)。因為級數un收斂，由級數收斂的必要條件知un=0，所以s=(un+1—un)+u0—u1=u0一u1。知識點解析：暫無解析21、設冪級數anxn在(一∞，+∞)內收斂，其和函數s(x)滿足s"一2xs’一4s=0，s(0)=0，s’(0)=1。(Ⅰ)證明：an+2=an，n=1，2，…；(Ⅱ)求s(x)的表達式。標準答案：(Ⅰ)對冪級數的和函數s(x)=∑anxn求一、二階導數，得s’=n(n一1)anxn—2，分別將其代入已知方程，整理得(n+1)(n+2)anxn一4anxn=0，即(2a2—4a0)x0+[(n+1)(n+2)an+2一2nan一4an]xn=0。由于上式對任意的x均成立，則有2a2—4a0=0及(n+1)(n+2)an+2一2(n+2)an=0，于是得an+2=an，n=1，2，…。(Ⅱ)根據(Ⅰ)的結論an+2=an，n=0，1，2，…，且根據題中條件有a0=s(0)=0．a1=s’(0)=1。知識點解析：暫無解析22、求函數f(x)=在指定點x=2處的泰勒展開式。標準答案：知識點解析：暫無解析23、設f(x)=。(Ⅰ)將f(x)展開為x的冪級數；(Ⅱ)分別判斷級數的斂散性。標準答案：(Ⅰ)把f(x)作變形，并利用幾何級數，｜x｜＜1，得f(x)展開成x的冪級數為(Ⅱ)根據冪級數展開式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導數故由比較判別法的極限形式得級數發散。知識點解析：暫無解析24、將函數f(x)=arctanx一x展開成x的冪級數。標準答案：知識點解析：暫無解析25、求冪級數的和函數。標準答案：冪級數絕對收斂，故該冪級數收斂域為[一1，1]。令s(x)=，x∈[一1，1]，則s(0)=0，s(1)=1。當一1≤x＜1且x≠0時，知識點解析：暫無解析26、已知fn(x)滿足f’n(x)=fn(x)+xn—1ex(n為正整數)且fn(1)=fn(x)的和。標準答案：由已知條件可得，f’n(x)一fn(x)=xn—1ex，這是以fn(x)為未知函數的一階線性非齊次微分方程，其中p(x)=一1，q(x)=xn—1ex，代入通解公式f(x)=e<-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)，得其通解為f(x)=e∫dx(∫xn—1exe-∫dxdx+C)=ex(+C)，知識點解析：暫無解析27、設數列{an}滿足條件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，s(x)是冪級數anx的和函數，(Ⅰ)證明：s"(x)一s(x)=0；(Ⅱ)求s(x)的表達式。標準答案：(Ⅰ)設s(x)=ann(n一1)x。又已知an—2一n(n一1)an=0，即an—2=n(n一1)an，因此s"(x)=anx=s(x)。故有s"(x)一s(x)=0。(Ⅱ)微分方程s"(x)一s(x)=0的特征方程為λ2一1=0，解得λ1=一1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2為常數。又a0=s(0)=3→c1+c2=3，a1=s’(0)=1→c2一c1=1，解得c1=1，C2=2，所以s(x)=e-x+2ex。知識點解析：暫無解析28、求冪級數x+x2n+1的和函數。標準答案：由于=｜x｜2，令｜x｜n＜1，即｜x｜＜1，于是有x∈(—1，1)。令x=一1，原級數變為一1+，收斂；令x=1，原級數變為1+，收斂。故收斂域為[一1，1]。令故f(x)=(1+x2)arctanx，x∈[一1，1]。知識點解析：暫無解析29、求級數的和。標準答案：其中s2為幾何級數，根據公式其和s2=；而s1可看作冪級數知識點解析：暫無解析30、求數項級數的和。標準答案：知識點解析：暫無解析31、將函數f(x)=2+｜x｜(一1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數，并求級數的和。標準答案：f(x)為偶函數，由傅里葉級數的系數公式，得a0=2∫01(2+x)dx=5，an=2∫01(2+x)cos(nπx)dx=(n=1，2，3’…)，bn=0(n=1，2，3，…)。因為f(x)=2+｜x｜在區間[一1，1]上滿足狄利克雷收斂定理條件，所以知識點解析：暫無解析32、設函數f(x)是以2π為周期的周期函數，且f(x)=eax(0≤x≤2π)，其中a≠0，試將f(x)展開成傅里葉級數，并求級數的和。標準答案：根據傅里葉級數的定義，傅里葉級數表達式中的系數由狄利克雷收斂定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收斂定理知知識點解析：暫無解析考研數學一（無窮級數）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設an＞0(n=1，2，3，…)且a2n()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發散。D、斂散性與A有關。標準答案：A知識點解析：由于an為正項級數且收斂，則級數a2n收斂，而則由比較判別法知a2n絕對收斂。故選A。2、設an為正項級數，下列結論中正確的是()A、若an收斂。B、若存在非零常數λ，使得an發散。C、若級數n2an=0。D、若級數an發散，則存在非零常數λ，使nan=λ。標準答案：B知識點解析：取an=發散，(A)不對；取an==+∞，(c)不對；取an=nan=+∞，(D)不對。故應選B。3、級數(α＞0，β＞0)的斂散性()A、僅與β取值有關。B、僅與α取值有關。C、與α和β的取值有關。D、與α和β的取值無關標準答案：C知識點解析：由于。(1)當0＜β＜1時，級數發散。(2)當β＞1時，級數收斂。(3)當＞=1時，原級數為，此時，當α＞1時收斂，當α≤1時發散，故應選C。4、下列級數中屬于條件收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由排除法，因此應選D。5、設a＞0為常數，則()A、絕對收斂。B、條件發散。C、發散。D、收斂性與a有關。標準答案：A知識點解析：由于1一cos收斂，根據絕對收斂的定義知絕對收斂。因此應選A。6、若an(x一1)n在x=一1處收斂，則此級數在x=2處()A、條件收斂。B、絕對收斂。C、發散。D、收斂性不確定。標準答案：B知識點解析：因x=一1為級數的收斂點，知級數在｜x一1｜＜｜一1—1｜=2內收斂，即當一1＜x＜3時絕對收斂，x=2在區間(一1，3)內，故應選B。7、下列四個級數中發散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：對于(A)，因為而級數發散，由比較審斂法的極限形式知級數發散。應選B。對于(C)，這是一個交錯級數，而且令f(x)=，因此當x＞e2時，f’(x)＜0，f(x)單調減少，所以當n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整數)時，，由交錯級數的萊布尼茨判別法知，級數收斂。對于(D)，因為8、若級數bn發散，則()A、anbn必發散。B、an必收斂。C、bn必發散。D、(an+｜bn｜)必發散。標準答案：D知識點解析：由(an+｜bn｜)一定發散，故應選D。9、級數(a為常數)()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發散。D、斂散性與a有關。標準答案：D知識點解析：當a=0時，為交錯級數，且當n≥3時滿足萊布尼茨定理，所以收斂。當a=1時，不趨于零，發散。所以，斂散性與a有關。故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)10、若級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)+…發散，則級數an=___________。標準答案：發散知識點解析：如果an收斂，由級數性質知，收斂級數加括號仍收斂，則級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1一a2n)+…收斂，與題設矛盾。11、級數=___________。標準答案：e2一1知識點解析：由于ex==e2一1。12、設f(x)=則其以2π為周期的傅里葉級數在點x=π處收斂于___________。標準答案：知識點解析：由狄利克雷收斂定理知，f(x)在x=π處收斂于。13、冪級數的收斂半徑為___________。標準答案：知識點解析：該冪級數的收斂半徑14、設函數f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，則s(一)=___________。標準答案：知識點解析：正弦級數s(x)是對f(x)在(一1，0)上作奇延拓后函數的傅里葉級數，故15、設f(x)=πx+x2，一π≤x≤π，且f(x)在[一π，π]上的傅里葉級數為(ancosnx+bnsinnx)，bn=___________。標準答案：知識點解析：根據傅里葉系數的計算公式可得16、設f(x)=f(n)(1)=___________。標準答案：e-1知識點解析：由于函數在x=1處的泰勒級數展開式唯一，所以f(x)=(x一1)n，對照比較已知表達式得=e-1。17、冪級數的和函數為___________。標準答案：ln2一ln(3一x)，x∈[一1，3)知識點解析：令s(x)=，則s(1)=0，對等式兩邊求導得再在等式兩邊從1到x積分，得s(x)一s(1)==ln2一ln(3一x)，x∈(一1，3)，所以s(x)=ln2一ln(3一x)，x∈(一1，3)。當x=一1時，s(x)連續，收斂；當x=3時，s(x)無意義，的和函數為s(x)=ln2一ln(3一x)，x∈[一1．3)。18、設有以下命題則以上命題正確的序號是___________。標準答案：②③知識點解析：級數加括號(u2n—1+u2n)收斂，原級數(一1)n—1，則①不正確；un去掉了前100項，則由un+100收斂，則②正確；則當n充分大時｜un+1｜＞｜un｜＞0，從而19、已知冪級數(x一a)n在x＞0時發散，且在x=0時收斂，則a的取值是___________。標準答案：一1知識點解析：由=1，則該冪級數的收斂半徑為1，從而得其收斂區間為｜x一a｜＜1，即a一1＜x＜a+1。當x一a=1，即x=a+1時，原函數為收斂；當x一a=一1，即x=a一1時，原級數為，發散。因此，原級數的收斂域為a一1＜x≤a+1。由題設，x=0時級數收斂，x＞0時級數發散，可知x=0是其收斂區間的一個端點，且位于收斂域內。因此只有a+1=0．即得a=一1。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)20、判別級數的斂散性。標準答案：設un=＞1的p級數，收斂，所以由比較判別法，原級數收斂。知識點解析：暫無解析21、判別下列級數的斂散性：標準答案：利用根值判別法知識點解析：暫無解析22、求級數的和。標準答案：知識點解析：暫無解析23、求常數項級數的和。標準答案：知識點解析：暫無解析24、求級數的和函數。標準答案：知識點解析：暫無解析25、求冪級數的收斂域及和函數。標準答案：由于=1，所以級數的收斂半徑R=1，且在x=±1處級數發散，故收斂域為(一1，1)。其中0＜｜x｜＜1，且s(0)=3。知識點解析：暫無解析26、證明級數條件收斂。標準答案：令an=發散，所以由比較判別法可知，級數an不絕對收斂。注意到原級數并沒有單調性，所以不能用萊布尼茨判別法判斷其斂散性。轉而考慮其部分和數列{s2n}和{s2n+1}。因為(注意部分和數列從k=2開始)即數列{s2n}單調遞減有下界，所以由單調有界原理司知數列{s2n}收斂。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且=0，可知數列{s2n+1}也收斂，且s2n+1。所以部分和數列{sn}收斂。由級數收斂的定義可知，級數條件收斂。知識點解析：暫無解析27、判斷級數的斂散性。標準答案：知識點解析：暫無解析28、求級數的和。標準答案：原級數nx2n—1，其收斂區間為(一∞，+∞)，并記其和函數s(x)=，則有知識點解析：暫無解析29、在x=1處將函數f(x)=展成冪級數。標準答案：知識點解析：暫無解析30、將函數f(x)=展開成x一1的冪級數，并求數項級數的和。標準答案：知識點解析：暫無解析31、將函數f(x)=展開為正弦級數和余弦級數。標準答案：將函數展開為正弦級數：先將函數作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，an=0(n=0，1，2，…)。故f(x)的正弦級數展開式為在端點x=0，1，2處級數收斂到零。將函數展開為余弦級數：先將函數作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，bn=0(n=1，2，…)，故f(x)的余弦級數展開式為f(x)=(0≤x≤2且x≠1)，在點x=1處級數收斂到零。知識點解析：暫無解析32、設函數f(x)=x2，x∈[0，π]，將f(x)展開為以2π為周期的傅里葉級數，并證明。標準答案：將f(x)作奇延拓，展開為正弦級數，令g1(x)=則an=0，n=0，1，2，…，而當x=π時，該級數收斂于零。知識點解析：暫無解析考研數學一（無窮級數）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設級數收斂，則下列必收斂的級數為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為級數收斂，再由收斂級數的和仍收斂可知，級數收斂，故選D。2、設正項級數收斂，常數λ∈，則級數()A、絕對收斂B、條件收斂C、發散D、斂散性與λ有關標準答案：A知識點解析：因為而由正項級數收斂，再由比較審斂法極限形式知，原級數絕對收斂，故選A。3、設(n=1，2，…)，則下列級數中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由收斂及正項級數的比較判別法知，級數收斂，從而絕對收斂，故選D。4、設un=，則級數()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：是一個交錯級數，而單調遞減趨于零，由萊布尼茨定理知，級數收斂。發散，則發散，故選C。5、設pn=，n=1，2，…，則下列命題正確的是()A、若條件收斂，則都收斂。B、若絕對收斂，則都收斂。C、若條件收斂，則斂散性都不定。D、若絕對收斂，則斂散性都不定。標準答案：B知識點解析：若絕對收斂，即收斂，則由級數絕對收斂的性質知收斂。而pn=，再由收斂級數的運算性質知，都收斂，故選B。6、若級數發散，則()A、必發散。B、必收斂。C、必發散。D、必發散。標準答案：D知識點解析：由必發散，故選D。7、設a是常數，則級數()A、絕對收斂B、條件收斂C、發散D、斂散性與a有關標準答案：C知識點解析：8、已知等于()A、3B、7C、8D、9標準答案：C知識點解析：=2×5—2=8，故選C。9、設函數f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=，—∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，則等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為s(x)是正弦級數，所以此傅里葉級數是對f(x)在(—1，0)內作奇延拓后展開的，于是和函數s(x)在一個周期內的表達式為二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、冪級數的收斂半徑R=________。標準答案：知識點解析：首先設an=，則當滿足條件，該冪級數是收斂的。因此，此