2022-2023學年陜西省西安市碑林區西北工大附中八年級（下）期中數學試卷一、選擇題．（共10小題，每小題3分，計30分，每小題只有一個選項是符合題意的）1.下列代數式中，是分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據分式定義，逐項判斷即可．【詳解】解：A.該代數式是整式，故此選項不符合題意；B.該代數式是整式，故此選項不符合題意；C.該代數式是分式，故此選項符合題意；D.該代數式是整式，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義：一般地，如果表示兩個式子，并且中含有字母，那么式子叫做分式，是解題的關鍵．2.下面的圖形是用數學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行解答即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．3.關于x的一元一次不等式組的解集如圖所示，則它的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據實心圓表示有等號，結合解集確定的口訣，小大大小中間找，確定．【詳解】根據實心圓表示有等號，結合解集確定的口訣，小大大小中間找，故表示的解集是，故選B．【點睛】本題考查了數軸表示不等式解集，熟練掌握解集確定的法則是解題的關鍵．4.如圖，在中，，，將繞點A按順時針方向旋轉到的位置，使得點C，A，在同一條直線上，那么旋轉角的度數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據直角三角形的性質可得，再根據旋轉的性質可得為旋轉角、，然后根據鄰補角的定義即可得．【詳解】解：在中，，，，由旋轉的性質得：為旋轉角，，點C、A、在同一條直線上，，即旋轉角等于，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質、直角三角形的性質等知識點，掌握理解旋轉的性質是解題關鍵．5.下列變形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據因式分解的定義即把一個多項式寫成幾個單項式的積解答即可．【詳解】A、，不是多項式，本選項不符合題意；B、，右邊不是整式積的形式，本選項不符合題意；C、，本選項符合題意；D、，右邊不是整式積的形式，本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．6.如圖，射線平分，點D、Q分別在射線、上，若，的面積為10，過點D作于點P，則的長為（）A.10 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】過點D作于點M，利用角的平分線的性質，三角形的面積公式即可解答．【詳解】過點D作于點M，∵射線平分，，∴；∵，的面積為10，∴；∴；解得，故

故選B．【點睛】本題考查了角的平分線的性質，三角形的面積公式，熟練掌握角的平分線的性質是解題的關鍵．7.在平面直角坐標系中，將線段平移后得到線段，若點的對應點的坐標為，那么點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據點到確定出平移規律，再根據平移規律列式計算即可得到點的坐標．【詳解】解：線段平移后，點的對應點的坐標為，將線段向右平移4個單位，向下平移6個單位得到線段，點的對應點的坐標為，即．故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減，先確定出平移規律是解題的關鍵．8.如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據和諧分式的定義去判斷即可．【詳解】A.，不符合要求；B.，無法因式分解，不符合要求；C.，符合題意；D.，不符合要求；故選C．【點睛】本題考查了分式的新定義問題，熟練掌握定義是解題的關鍵．9.已知a、b、c是的三邊長，且滿足，那么據此判斷的形狀是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式，實數的非負性，等邊三角形的判定計算選擇即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，故是等邊三角形，故選A．【點睛】本題考查了完全平方公式，實數的非負性，等邊三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．10.如圖，在中，，，點P是底邊上的高上一點，若的最小值為，那么為（）A B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】作關于直線的對稱線段，根據垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理計算即可．【詳解】如圖，作關于直線的對稱線段，∵，，點P是底邊上的高上一點，∴，∴，∴，過點P作于點D，則，∴,過點B作于點E，交于點F，∵，∴當P與點F重合，點D與點E重合時，取得最小值，且最小值為，故，∵∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查了軸對稱思想，等腰三角形的三線合一性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，垂線段最短，直角三角形的特征，熟練掌握垂線段最短，軸對稱思想，直角三角形的特征和勾股定理是解題的關鍵．二、填空題．（共5小題，每小題3分，計15分）11.若分式的值為0，則x的值為__________．【答案】3【解析】【分析】根據分式的值為0時分母≠0，且分子＝0兩個條件求出x的值即可．【詳解】由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案為3．【點睛】本題考查了分式值為0時求字母的值．分式值為0時分子=0，分母≠0，兩個條件缺一不可，掌握以上知識是解題的關鍵．12.如圖，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=_______°．【答案】87．【解析】【詳解】試題分析：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案為87．考點：線段垂直平分線的性質．13.計算：______．【答案】【解析】【詳解】解：===，故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式的應用，掌握平方差公式是解題的關鍵．14.直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于x的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據圖象，找直線在上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知：兩條直線的交點坐標為，∵，∴，∴，即直線在直線的上方，∵當時，直線在直線的上方，∴解集為，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數與一元一次不等式的關系，根據不等式的問題轉化為比較函數值大小的問題是解答本題的關鍵．15.如圖，在長方形中，，，E，F分別為，上的兩個動點，且，連接、，那么的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】過點Ｃ作，，二線交于點Ｇ，根據三角形不等式確定最小值，構造直角三角形，結合特殊角的特征，運用勾股定理計算即可．【詳解】過點Ｃ作，，二線交于點Ｇ，則四邊形是平行四邊形，∴，連接，∵，故當A，F，G三點共線時，取得最小值，連接，交于點M，則的最小值為，當F與M重合，E與H重合時，最小，過點H作于點Q，過點G作于點P，∵，，∴,∴解得∵四邊形是平行四邊形，∴,∴,,∴,過點G作，交的延長線于點N，則四邊形是矩形，∴,∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，三角形不等式，特殊角的特征，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關鍵．三、解答題．（共8小題，計55分．解答要寫出過程）16.因式分解：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)運用提取公因式法分解即可．(2)運用平方差公式和完全平方公式分解即可．【小問1詳解】．【小問2詳解】．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和公式法分解因式是解題的關鍵．17.解不等式（組）；（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據解不等式的基本步驟求解即可．(2)根據解不等式組的基本步驟求解即可．【小問1詳解】，去分母，得，去括號，得，移項，合并同類項，得．【小問2詳解】解不等式得解集為；解不等式得解集為；故不等式組的解集為．【點睛】本題考查了不等式和不等式組的解法，熟練掌握求解的基本步驟是解題的關鍵．18.先化簡：，再從的范圍內選擇一個合適的整數作為a的值代入求值．【答案】，2【解析】【分析】先化簡，后選擇適當的數值計算．【詳解】，∵，，且a為整數，∴，故原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握化簡的步驟，分式有意義的條件是解題的關鍵．19.如圖，已知，請用尺規作圖的方法在上求作一點P，使得點P到A的距離最短．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【解析】【分析】根據垂線段最短，只須過點A作于點P，則點P即為所求．【詳解】如圖，根據垂線段最短，只須過點A作于點P，則點P即為所求．【點睛】本題考查了垂線段最短，垂線的尺規作圖，熟練掌握尺規作圖是解題的關鍵．20.如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，的頂點均在格點上，點A的坐標是（1）將平移，使點B平移到，畫出平移后的，此時線段的長度為；（2）畫出繞坐標原點O逆時針旋轉后的，那么在旋轉過程中點C走過的路徑長為．【答案】（1）見解析,（2）【解析】【分析】(1)根據平移坐標為，得到向左平移1個單位長度，向上平移6個單位長度，確定A，C平移后坐標，畫圖形即可，利用兩點間的距離公式計算即可．(2)根據勾股定理計算半徑，根據旋轉得到圓心角，利用弧長公式計算即可．【小問1詳解】∵平移坐標為，∴向左平移1個單位長度，向上平移6個單位長度，∵，，∴，，畫圖如下，則即為所求；∵，，∴，故答案為：．【小問2詳解】根據勾股定理計算半徑，根據旋轉得到圓心角，故運動路徑長為，故答案為：．【點睛】本題考查了平移規律，旋轉的性質，勾股定理，弧長公式，熟練掌握平移規律是解題的關鍵．21.如圖，在四邊形中，平分，，交的延長線于點M，于點N．（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據角的平分線性質，運用直角三角形全等的判定定理證明即可．（2）根據角的平分線性質，證明，得到，結合得到計算即可．【小問1詳解】∵平分，，，∴，∵，∴．【小問2詳解】∵，∴；∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵平分，，，∴，，，∴．【點睛】本題考查了角的平分線的性質，直角三角形全等的判斷和性質，直角三角形的特征，勾股定理，熟練掌握性質和勾股定理是解題的關鍵．22.為響應國家“電商助農”的號召，某電商平臺準備將本地農戶合作社手工制作的具有本地文化特色的襯衣和T恤進行線上銷售，它們的進價和售價如下表．已知購進一件襯衣比一件T恤的進價貴元，用元恰好可購進襯衣件和T恤5件．種類襯衣T恤進價（元/件）ab售價（元/件）（1）分別求出表中a、b的值；（2）若該電商計劃購進襯衣和T恤兩種服飾共件，據市場銷售分析，T恤進貨件數不少于襯衣件數的2倍，如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）a、b的值分別為，（2）購進襯衣件，T恤件時，利潤最大，為元【解析】【分析】（1）由題意得，，計算求解即可；（2）設購進襯衣件，T恤件，利潤為元，則由題意得，，解得，，根據一次函數的性質進行求解作答即可．【小問1詳解】解：由題意得，，解得，∴a、b的值分別為260，80；【小問2詳解】解：設購進襯衣件，T恤件，利潤為元，則由題意得，，解得，，∵，∴隨的增大而增大，∴當時，利潤最大，最大利潤（元），∴（件），∴購進襯衣件，T恤件時，利潤最大，為元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．23.閱讀下面的材料：小華遇到這樣一個問題：如圖①，在中，，點D，E在邊上，．若，求的長．小華發現，將繞點A逆時針旋轉，得到，連接（如圖②），由圖形旋轉的性質和等腰直角三角形的性質以及，可證，得．（1）請回答