第1頁（共1頁）2020年中招模擬考試數學試題溫馨提示：1、本試卷共6頁，三大題，23小題，滿分120分。閉卷考試，獨立答題，禁止討論和翻閱資料。請按答題卡上的要求直接在答題卡上作答。2、答題前請認真閱讀答題卡上的注意事項，把答題卡上的相關信息填寫清楚，并粘貼條形碼。3、答題時請認真審題，規范作答，字體工整，卷面整潔。一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．4的絕對值為（）A．±4 B．4 C．﹣4 D．22．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一種新的Sarbecovirus亞屬的β冠狀病毒，它是一類具有囊膜的正鏈單股RNA病毒，其遺傳物質是所有RNA病毒中最大的，也是自然界廣泛存在的一大類病毒．其粒子形狀并不規則，直徑約60~220nm，平均直徑為100nm（納米）．1米＝109納米，100nm可以表示為（）米．A．0.1×10﹣6 B．10×10﹣8 C．1×10﹣7 D．1×10113．如圖，把一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠2＝42°，則∠1＝（）A．48° B．42° C．40° D．45°4．下列計算正確的是（）A． B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a2+a3＝a5 D．（2a2b3）3＝﹣6a6b35．如圖1，該幾何體是由5個棱長為1個單位長度的正方體擺放而成，將正方體A向右平移2個單位長度后（如圖2），所得幾何體的視圖（）A．主視圖改變，俯視圖改變B．主視圖不變，俯視圖不變C．主視圖改變，俯視圖不變D．主視圖不變，俯視圖改變6．若關于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0沒有實數根，則a的取值范圍是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣27．在一次捐款活動中，某班50名同學都拿出自己的零花錢，有捐5元、10元、20元的，還有捐50元和100元的，如圖所示的統計圖反映了不同捐款數的人數比例，那么根據圖中信息，該班同學平均每人捐款（）A．30元 B．33元 C．36元 D．35元8．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，則∠ACB的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．80°9．拋物線y＝mx2+3mx+2（m＜0）經過點A（a，y1）、B（1，y2）兩點，若y1＞y2，則實數a滿足（）A.﹣4＜a＜1 B.a＜﹣4或a＞1C.﹣4＜a≤D.≤a＜110．如圖△ABO的頂點分別是A（3，1），B（0，2），O（0，0），點C，D分別為BO，BA的中點，連AC，OD交于點G，過點A作AP⊥OD交OD的延長線于點P．若△APO繞原點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2020次旋轉結束時，點P的坐標是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（1，2） D．A（1，1）二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．計算：．12．不等式組的解集是．13．一個袋子中有1個紅球，2個黃球，每個球除顏色外都相同，從中摸出2個球，2個球顏色不同的概率為．14．如圖，矩形ABCD的邊AB＝2，BE平分∠ABC，交AD于點E，若點E是AD的中點，以點B為圓心，BE長為半徑畫弧，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E是邊AD上的一個動點，把△BAE沿BE折疊，點A落在A′處，如果A′恰在矩形的對角線上，則AE的長為．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．(8分)先化簡，再求值：（2﹣）÷，其中．17．(9分)如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD＝2∠BAC，過點C作CE⊥DB交DB的延長線于點E，直線AB與CE交于點F．（1）求證：CF為⊙O的切線；（2）填空：①若AB＝4，當OB＝BF時，BE＝；②當∠CAB的度數為時，四邊形ACFD是菱形．18．(9分)鐘南山院士談到防護新型冠狀病毒肺炎時說：“我們需要重視防護，但也不必恐慌，盡量不去人員密集的場所，出門戴口罩，在室內注意通風，勤洗手，多運動，少熬夜．”某社區為了加強社區居民對防護知識的了解，通過微信宣傳防護知識，并鼓勵社區居民在線參與作答《2020年新型冠狀病毒防治全國統一考試（全國卷）》試卷，社區管理員隨機從甲、乙兩個小區各抽取20名人員的答卷成績，并對他們的成績（單位：分）進行統計、分析，過程如下：收集數據：甲小區：858095100909585657585909070901008080909575乙小區：806080956510090858580957580907080957510090整理數據成績x小區60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100甲小區25ab乙小區3755分析數據統計量小區平均數中位數眾數甲小區85.7587.5c乙小區83.5d80應用數據（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）根據以上數據，（填“甲”或“乙”）小區對新型冠狀病毒肺炎防護知識掌握得更好，理由是（一條即可）（3）若甲小區共有800人參加答卷，請估計甲小區成績高于90分的人數．19．（9分）河南省開封鐵塔始建于公元1049年（北宋皇佑元年），是國家重點保護文物之一．在900多年中，歷經了數次地震、大風、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之稱．如圖，小明在鐵塔一側的水平面上一處臺階的底部A處測得塔頂P點的仰角∠1＝45°，走上臺階頂部B處，測得塔頂P點的仰角∠2＝38.7°．已知臺階的高度BC＝3米，點C、A、E在一條直線上，AC＝10米，求鐵塔的高度PE．（結果保留整數，參考數據：sin38.7°≈0.6，cos38.7°≈0.8，tan38.7°≈0.8）20．（9分）某口罩加工廠有A、B兩組工人共150人，A組工人每人每小時可加工口罩70只，B組工人每人每小時可加工口罩50只，A、B兩組工人每小時一共可加工口罩9300只．（1）求A、B兩組工人各多少人；（2）根據疫情發展，A、B兩組工人均提高了工作效率，一名A組工人和一名B組工人每小時共同可生產口罩200只，若A、B兩組工人每小時至少加工15000只口罩，那么A組工人每人每小時至少加工多少只口罩？21．（10分）某學具制作小組在制作直角三角形和矩形學具時，運用數形結合思想探究兩種學具的邊長和面積或周長的數量關系．已知，制作矩形學具一組鄰邊長為x，y，周長為6，由矩形的周長計算公式，可得2（x+y）＝6，從而得到y與x的函數關系是y＝﹣x+3；制作的直角三角形學具的邊長分別為x，y，面積為2，由三角形的面積計算公式，可得xy＝2，從而得到y與x的函數關系是y＝，其反比例函數圖象如圖所示．（1）在圖中的直角坐標系中直接畫出y＝﹣x+3的圖象；（2）把直線y＝﹣x+3的圖象向上平移a（a＞0）個單位長度后與反比例函數y＝的圖象有且只有一個交點，求此時a的值和公共點坐標．22．（10分）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．點P是平面內不與A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，CP．點M是AB的中點，點N是AD的中點．（1）問題發現如圖1，當α＝60°時，的值是，直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數是．（2）類比探究如圖2，當α＝120°時，請寫出的值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題如圖3，當α＝90°時，若點E是CB的中點，點P在直線ME上，請直接寫出點B，P，D在同一條直線上時的值．23．（11分）如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線交y軸于點E（0，2）．（1）求A，B，C三點的坐標及直線BE的解析式．（2）如圖2，過點A作BE的平行線交拋物線于點D，點P是拋物線上位于線段AD下方的一個動點，連接PA，PD，求△APD面積的最大值．（3）若（2）中的點P為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2020年中招模擬考試數學參考答案一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．B．2．C．3．A．4．A．5．D．6．B．7．B．8．C．9．A．10．B．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．﹣1．12．﹣1＜x≤1．13．．14．6﹣π．15．3或．提示：∵矩形ABCD，∴∠A＝90°，BD＝＝＝10，當A′在BD上時，如圖1所示：設AE＝x，由翻折的性質得：EA′＝AE＝x，BA′＝AB＝6，∴ED＝8﹣x，∠EFD＝∠A＝90°，∴A′D＝10﹣6＝4，在Rt△EA′D中，x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AE＝3；當點A′在AC上時，如圖2所示：由翻折的性質得：BE垂直平分AA′，AC＝10，由射影定理得：AB2＝AG?AC，∴AG＝，∵∠AGE＝∠D＝90°，∠EAG＝∠CAD，∴△AEG∽△ACD，＝，即＝，∴AG＝AE＝，∴AE＝．∴AE的長為3或．三．解答題（共11小題，滿分75分）16．解：原式＝×＝，把x＝﹣3代入得：原式＝＝＝1﹣2．17．證明：（1）連結OC，如圖，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠OAC，∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝∠BOC，∴OC∥BD，∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF為⊙O的切線；（2）①∵AB＝4，∴OB＝BF＝OC＝2，∴OF＝4，∵BE∥OC，∴，∴BE＝1，故答案為：1；②當∠CAB的度數為30°時，四邊形ACFD是菱形，理由：∵∠CAB＝30°，∴∠COF＝60°，∴∠F＝30°，∴∠CAB＝∠F，∴AC＝CF，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BD，∴AD∥CF，∴∠DAF＝∠F＝30°，在△ACB與△ADB中，，∴△ACB≌△ADB（AAS），∴AD＝AC，∴AD＝CF，∵AD∥CF，∴四邊形ACFD是菱形．故答案為：30°．18．解：（1）a＝8，b＝5，甲小區的出現次數最多的是90，因此眾數是90，即c＝90．中位數是從小到大排列后處在第10、11位兩個數的平均數，由乙小區中的數據可得處在第10、11位的兩個數的平均數為（80+85）÷2＝82.5，因此d＝82.5．（2）根據以上數據，甲小區對新型冠狀病毒肺炎防護知識掌握得更好，理由是甲小區的平均數、中位數、眾數都比乙小區的大．（3）800×＝200（人）．答：估計甲小區成績高于90分的人數是200人．故答案為：8，5，90，82.5；甲，甲小區的平均數、中位數、眾數都比乙小區的大．19．解：設塔高PE＝x米，且EF＝BC＝3米，則PF＝PE－EF＝（x－3）米．∵在Rt△PBF中，∠2＝38.7°，tan38.7°＝＝≈0.8．∴BF＝（x－3）．∴CE＝BF＝（x－3）．∵在Rt△PEA中，∠1＝45°，∴AE＝PE＝x．∵AE＋AC＝CE，且AC＝10米，∴x＋10＝（x－3）．解得x＝55．答：鐵塔的高度約為55米．20．解：（1）設A組工人有x人、B組工人有（150﹣x）人，根據題意得，70x+50（150﹣x）＝9300，解得：x＝90，150﹣x＝60，答：A組工人有90人、B組工人有60人；（2）設A組工人每人每小時加工a只口罩，則B組工人每人每小時加工（200﹣a）只口罩；根據題意得，90a+60（200﹣a）≥15000，解得：a≥100，答：A組工人每人每小時至少加工100只口罩．21．解：（1）函數y＝﹣x+3的圖象如圖所示；（2）把直線y＝﹣x+3的圖象向上平移a（a＞0）個單位長度后得y＝﹣x+3+a，解得，x2﹣（3+a）x+4＝0，∵把直線y＝﹣x+3的圖象向上平移a（a＞0）個單位長度后與反比例函數y＝的圖象有且只有一個交點，∴△＝a2+6a﹣7＝0，∴a＝﹣6或a＝1，∵a＞0，∴a＝1，∴x2﹣（3+1）x+4＝0，∴x＝2，∴y＝2，∴公共點坐標為（2，2）．22．解：（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB，∴∠PAC＝∠DAB，∵AP＝AD，∴△PAC≌△DAB（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵AN＝ND，AM＝BM，∴BD＝2MN，∴＝．∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA，∴∠CKG＝∠BAG＝60°，∴BK與PC的較小的夾角為60°，∵MN∥BK，∴MN與PC較小的夾角為60°．故答案為，60°．（2）如圖設MN交AC于F，延長MN交PC于E．∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°，∴△PAD∽△CAB，∴＝，∵AM＝MB，AN＝ND，∴＝，∴△ACP∽△AMN，∴∠ACP＝∠AMN，＝＝，∵∠CFE＝∠AFM，∴∠FEC＝∠FAM＝30°．（3）設MN＝a，∵＝＝，∴PC＝a，∵ME是△ABC的中位線，∠ACB＝90°，∴ME是線段BC的中垂線，∴PB＝PC＝a，∵MN是△ADB的中位線，∴DB＝2MN＝2a，如圖3﹣1中，當點P在線段BD上