2021年中考數學壓軸題選編

1.(2021?北京市)在平面直角坐標系X。)，中，。。的半徑為1.對于點A和線段8C,給出如下定義：假設將

線段8C繞點A旋轉可以得到。。的弦分別是B,C的對應點)，那么稱線段8C是。。的以

點A為中心的“關聯線段”.

(1)如圖，點A,當，皂,B2,C2,B3,C3的橫、縱坐標都是整數.在線段BiG，B2c2,83c3中，。。的

以點A為中心的“關聯線段”是;

(2)△ABC是邊長為1的等邊三角形，點4(0,t),其中t力0.假設BC是。。的以點A為中心的“關聯

線段”，求/的值；

(3)在△48C中，AB=1,4c=2.假設3c是。0的以點A為中心的“關聯線段”，直接寫出。4的最

小值和最大值，以及相應的BC長.

2.(2021?天津市)拋物線y=a/—2ax+c(a,c為常數，a40)經過點C(0,-1),頂點為D

(1)當。=1時，求該拋物線的頂點坐標；

(口)當(1>0時，點后(0,1+61),假設DE=2&DC,求該拋物線的解析式；

(HI)當a<-l時，點F(O,l-a),過點C作直線/平行于u軸,是x軸上的動點,N(m+3,-l)

是直線/上的動點.當。為何值時，FM+CN的最小值為2同，并求此時點M,N的坐標.

3.(2021.河北省)在一平面內，線段4B=20,線段BC=CD=ZM=10,將這四條線段順次首尾相接.把

A8固定，讓繞點A從A8開始逆時針旋轉角a(a>0。)到某一位置時，BC,CO將會跟隨出現到相

應的位置.

論證：如圖1,當AD//BC時，設AB與交于點O,求證：4。=10；

發現：當旋轉角a=60。時，乙4DC的度數可能是多少？

嘗試：取線段C。的中點M,當點M與點8距離最大時，求點例到A8的距離；

拓展：①如圖2,設點Q與3的距離為d,假設NBCD的平分線所在直線交AB于點尸，直接寫出2P

的長(用含d的式子表示)；

②當點C在AB下方，且與C。垂直時，直接寫出a的余弦值.

B

備用圖2

4.(2021?山西省)如圖，拋物線y=12+2工一6與犬軸交于43兩點(點A在

點B的左側)，與y軸交于點C,連接AC,BC.\|/.

(1)求A、B,C三點的坐標并直接寫出直線4C,BC的函數表達式./

(2)點尸是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點尸作BC的平行線/,交\

線段AC于點。.\/C

①試探究：在直線/上是否存在點E,使得以點。，C,B,E為頂點的四

邊形為菱形，假設存在，求出點E的坐標，假設不存在，請說明理由；

②設拋物線的對稱軸與直線/交于點M,與直線AC交于點N.當SADMN=S-oc時，請直接寫出DM的

長.

5.(2021?遼寧省遼陽市)如圖,拋物線y=-32+以+。與》軸交于點4和點(?(一1,0),與丫軸交于點8(0,3),

連接AB,BC,點尸是拋物線第一象限上的一動點，過點P作PDLx軸于點。，交4B于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,作PF1PZ)于點尸，使PF=IOA,以PE,P尸為鄰邊作矩形PEGF,當矩形PEGF的面積是

△BOC面積的3倍時，求點P的坐標；

(3)如圖2,當點P運動到拋物線的頂點時，點。在直線PO上，假設以點Q、A、B為頂點的三角形

是銳角三角形，請直接寫出點Q縱坐標〃的取值范圍.

6.(2021.吉林省)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+故+。的圖象經過點做0,一令，點8(1,》

(1)求此二次函數的解析式；

(2)當一2<xW2時，求二次函數y=x2+bx+c的最大值和最小值；

(3)點P為此函數圖象上任意一點，其橫坐標為，%過點P作PQ〃；d4，點。的橫坐標為-2巾+1.點P

與點。不重合，且線段PQ的長度隨機的增大而減小.

①求，”的取值范圖；

②當PQ<7時，直接寫出線段PQ與二次函數y=x2+bx+c(-2<x<$的圖象交點個數及對應的

機的取值范圍.

7.(2021.吉林省長春市)在平面直角坐標系中，拋物線y=2(x—m)2+2m(7n為常數)的頂點為A.

(1)當巾=［時，點A的坐標是，拋物線與y軸交點的坐標是；

(2)假設點A在第一象限，且。A=㈢，求此拋物線所對應的二次函數的表達式，并寫出函數值y隨x

的增大而減小時x的取值范圍；

(3)當xW2nl時，假設函數y=2(x—m)2+m的最小值為3,求相的值；

(4)分別過點P(4,2)、(2(4,2-26)作〉軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點M、N.當拋物線y=2(x-

m)2+2m與四邊形尸QVM的邊有兩個交點時，將這兩個交點分別記為點2、點C,且點B的縱坐標

大于點C的縱坐標.假設點B到y軸的距離與點C到x軸的距離相等，直接寫出，〃的值.

8.(2021.江蘇省無錫市)四邊形ABC。是邊長為1的正方形，點E是射線8C上的動點，以AE為直角邊在

直線BC的上方作等腰直角三角形AEF,AAEF=90°,設BE=m.

備用圖

(1)如圖，假設點E在線段BC上運動，EF交CD于點、P,AF交CZ)于點Q,連結CF,

①當機=1時，求線段CF的長；

②在APQE中，設邊QE上的高為〃，請用含，”的代數式表示/?,并求力的最大值；

(2)設過BC的中點且垂直于BC的直線被等腰直角三角形4E尸截得的線段長為y,請直接寫出y與機

的關系式.

9.（2021.江蘇省南京市）在幾何體外表上，螞蟻怎樣爬行路徑最短?

（1）如圖①，圓錐的母線長為12c牝，B為母線OC的中點，點A在底面圓周上，元的長為4兀cm.在圖

②所示的圓錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑,并標出它的長（結果保存根號）.

①②

（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.0是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上，

設圓錐的母線長為/,圓柱的高為近

①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為（用含I,h的代數式表示）.

②設檢的長為m點8在母線OC上，0B=b.圓柱的側面展開圖如下圖④，在圖中畫出螞蟻從點A

爬行到點8的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

10.(2021?江蘇省宿遷市)如圖，拋物線y=-梟2+加；+(:與工軸交于4(—1,0),5(4,0),與y軸交于點C.連

接AC,BC,點P在拋物線上運動.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖①，假設點尸在第四象限，點。在PA的延長線上，當/CAQ=NCB4+45。時，求點P的坐

標；

(3)如圖②，假設點P在第一象限，直線AP交BC于點F,過點尸作x軸的垂線交BC于點H,當4PFH

為等腰三角形時，求線段P”的長.

圖①圖②備用圖

11.(2021?江蘇省蘇州市)如圖，在矩形ABCO中，線段EF、GH分別平行于A。、AB,它們相交于點P,

7

點Pi、P2分別在線段刊、PH上,PP[=PG,PP2=PE,連接AH、P2F,PI”與「2/相交于點Q4G：

GD=AE：EB=1：2,設4G=a,AE=b.

(1)四邊形E8HP的面積四邊形GPBD的面積(填“>"、"="或)

(2)求證：&P、FQSAP2HQ；

(3)設四邊形PP1QP2的面積為S「四邊形C/。”的面積為S2,求興的值.

12.(2021?江蘇省連云港市)在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動.

(：1)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且4E=1,小亮以BE為邊作等邊三角形

(2)△ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形8EF,

如圖2.在點E從點C到點A的運動過程中，求點尸所經過的路徑長;

(3)△4BC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以3M為邊作等邊三角形BMN,

如圖3.在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；

cD

圖3圖4

(4)正方形ABC。的邊長為3,E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點8的運動過程中，小亮以

8為頂點作正方形8FG”，其中點尸、G都在直線上，如圖4.當點E到達點8時，點尸、G、H與

點B重合.那么點”所經過的路徑長為，點G所經過的路徑長為.

13.(2021?浙江省衢州市)【推理】

如圖1,在正方形ABCO中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點尸處，連結

BE,CF,延長CF交AO于點G.

(1)求證：ABCESACDG.

【運用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長BF交A。于點兒假設黑=：,CE=9,求線段。E的長.

rir5

【拓展】

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊,連結CF,延長CF,BF交直線AO于G,H兩點,假設黑=k,

DC

等=3求普的值(用含上的代數式表示).

nrbcC

14.(2021?浙江省寧波市)如圖1,四邊形ABC。內接于。。，8。為直徑，檢上存在點E,滿足卷=%,

連結BE并延長交C￡)的延長線于點尸，BE與交于點G.

(1)假設NDBC=a,請用含a的代數式表示乙4GB.

(2)如圖2,連結CE,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結CG,AD=2.

①假設tan乙4DB=多求4FGD的周長.

②求CG的最小值.

圖1

15.（2021?浙江省杭州市）如圖，銳角三角形ABC內接于。。，/B4C的平分線

AG交。。于點G,交8c邊于點F,連接2G.

（1）求證：^ABG-^AFC.

（2）48=a,AC=AF=b,求線段尸G的長（用含a,〃的代數式表示）.

（3）點E在線段AF上（不與點A,點尸重合），點。在線段AE上（不與點A,

點E重合），LABD=Z.CBE,求證：BG2=GEGD.

16.（2021?浙江省臺州市）如圖，8。是半徑為3的。。的一條弦，BD=4VI,點A是。。上的一個動點（不

與點、B,。重合），以A,B,。為頂點作。4BCZ）.

(1)如圖2,假設點A是劣弧崩的中點.

①求證：辦8C。是菱形；

②求。ABCQ的面積.

(2)假設點A運動到優弧的上，且QABCQ有一邊與。。相切.

①求的長；

②直接寫出口48s對角線所夾銳角的正切值.

17.(2021.浙江省金華市)在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-/療,0),點B在直線/：y-|x.t,過點

B作A8的垂線，過原點O作直線/的垂線，兩垂線相交于點C.

(1)如圖，點8,C分別在第三、二象限內，BC與4。相交于點。.

①假設B4=B。，求證：CD=CO.

②假設“BO=45。，求四邊形ABOC的面積.

(2)是否存在點2,使得以A,B,C為頂點的三角形與ABCO相似？假設存在，求OB的長；假設不存

備用圖

在，請說明理由.

18.(2021.浙江省溫州市)如圖，在平面直角坐標系中，OM經過原點0,分別交x軸、y軸于點4(2,0),8(0,8),

連結4B.直線CM分別交0M于點￡>,E(點。在左側)，交x軸于點C(17,0),連結AE.

(1)求OM的半徑和直線CM的函數表達式；

(2)求點。，E的坐標；

(3)點P在線段AC上，連結PE.當N2EP與AOBD的一個內角相等時，求所有滿足條件的OP的長.

19.(2021?浙江省嘉興市)小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩形

ABCD繞點A順時針旋轉a(0。<a<90°),得到矩形AB'C'D',連結BD.

［探究1］如圖1,當a=90。時，點C'恰好在延長線上.假設48=1,求BC的長.

［探究2］如圖2,連結4C',過點。'作交80于點M.線段D'M與。M相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線力8分別交AD',AC'于點尸，N(如圖3),發現線段0MMN,尸N存

在一定的數量關系，請寫出這個關系式，并加以證明.

20.(2021?浙江省麗水市)如圖，在菱形A8CO中，乙4BC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A

按逆時針方向旋轉，交直線CD于點E

(1)當4EJ_BC,NE4F=zL4BC時，

①求證：AE=AF；

②連結8￡>,EF,假設霹=：，求戶匚的值；

JBD53菱形ABCD

(2)當NE4F=時，延長BC交射線AF于點M,延長。C交射線AE于點M連結AC,MN,

假設4B=4,AC=2,那么當CE為何值時，AAMN是等腰三角形.

D

21.(2021.浙江省湖州市)在平面直角坐標系xO)，中，點A是反比例函數y=：(x＞0)圖象上的一個動點,

連結A。，A。的延長線交反比例函數y=：(卜＞0,芯＜0)的圖象于點8,過點A作4E_Ly軸于點E.

圖1圖2

(1)如圖1,過點B作BF1x軸，于點F,連接EF.

①假設k=l,求證：四邊形AEF。是平行四邊形;

②連結3E,假設k=4,求△BOE的面積.

(2)如圖2,過點E作EP〃/18,交反比例函數y=式卜＞0/＜0)的圖象于點「，連結。P.試探究：對

于確定的實數A,動點A在運動過程中，APOE的面積是否會發生變化？請說明理由.

22.(2021.福建省)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點.

(1)假設拋物線過點P(0,l),求a+b的最小值；

(2)點七(一2,1),P2(2,-l),。3(2,1)中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設直線/：y=kx+1與拋物線交于M,N兩點，點A在直線y=—l上，且4M4N=90。，過點A

且與x軸垂直的直線分別交拋物線和/于點B,C.求證：與AMBC的面積相等.

23.(2021?山東省東營市)點O是線段AB的中點，點P是直線/上的任意一點，分別過點A和點8作直線

/的垂線，垂足分別為點C和點。.我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”.

(1)［猜測驗證］如圖1,當點P與點。重合時，請你猜測、驗證后直接寫出“足中距"OC和。。的數

量關系是.

(2)［探究證明］如圖2,當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距"OC和。。的數量關系是否依然

成立，假設成立，請給出證明；假設不成立，請說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當點尸是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距"OC和。。的數量關系

是否依然成立，假設成立，請給出證明；假設不成立，請說明理由；

②假設4。。。=60°,請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數量關系.

D

D.

OB

圖1圖2圖3

24.(2021.山東省棗莊市)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-1x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,

拋物線y=^%2+bx+c經過坐標原點和點A,頂點為點M.

(1)求拋物線的關系式及點M的坐標；

(2)點E是直線AB下方的拋物線上一動點，連接EB,EA,當△E4B的面積等于g時，求E點的坐標：

(3)將直線A3向下平移，得到過點M的直線y=7nx+n,且與x軸負半軸交于點C,取點。(2,0),連

接DM,求證：/.ADM-/.ACM=45°.

25.(2021?山東省荷澤市)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a-+版一4交x軸于4(一1,0)、8(4,0)兩

備用圖

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點P為第四象限內拋物線上一點，連接尸8,過點C作CQ〃BP交x軸于點Q,連接PQ,求△PBQ面

積的最大值及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，將拋物線丫=a/+bx-4向右平移經過點G，0)時，得到新拋物線y=%/+

bix+q,點E在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內是否存在一點F,使得以A、P、E、尸為頂點的

四邊形為矩形，假設存在，請直接寫出點尸的坐標：假設不存在，請說明理由.

參考：假設點Pi(x1,yi)、P2(x2,y2),那么線段「止2的中點％的坐標為(弩，空),

26.(2021.山東省臨沂市)如圖，正方形ABC。，點E是8C邊上一點，將△ABE沿直線AE折疊，點8落在

/處，連接BF并延長，與4。4尸的平分線相交于點H,與AE,CZ)分別相交于點G,M,連接HC.

(1)求證：AG=GH；

(2)假設4B=3,BE=1,求點。到直線的距離；

(3)當點E在8C邊上(端點除外)運動時，N8HC的大小是否變化？為什么？

27.(2021.山東省泰安市)如圖1,。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點，且的=/.連接4C并延長,

與BD的延長線相交于點E.

(1)求證：CD=ED；

(2)4。與OC,BC分別交于點凡H.

①假設CF=CH，如圖2,求證：CF-AF=FOAH-,

②假設圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

E

E

圖1

28.(2021.湖北省黃石市)拋物線y=ax2-2bx+b(a*0)與y軸相交于點C(0,—3),且拋物線的對稱軸為

%=3,。為對稱軸與x軸的交點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、尸兩點，假設ADEF是等腰直角三

角形，求AOEF的面積；

(3)假設P(3,t)是對稱軸上一定點，Q是拋物線上的動點，求尸。的最小值(用含，的代數式表示).

B

29.(2021.湖北省襄陽市)如圖，直線y="+l與x,y軸分別交于點B,A,頂點為P的拋物線曠=aM一

2ax+c過點A.

(1)求出點4,8的坐標及c的值；

(2)假設函數y=ax2-2ax+c在3<%<4時有最大值為a+2,求a的值；

(3)連接AP,過點A作AP的垂線交x軸于點時.設4BMP的面積為5.

①直接寫出S關于a的函數關系式及a的取值范圍；

②結合S與a的函數圖象，直接寫出S>E時a的取值范圍.

30.(2021?湖北省)如圖1,ARPQ=45°,ZkABC中，AACB=90°,動點尸從點A出發，以2西cm/s的速

度在線段AC上向點C運動，PQ,PR分別與射線AB交于E,尸兩點，且PE14B,當點P與點C重

合時停止運動，如圖2,設點P的運動時間為％s,4RPQ與△4BC的重疊局部面積為ycm2,y與工的

函數關系由Ci(0<%<5)和C2(5<%<九)兩段不同的圖象組成.

(1)填空：①當％=5s時，EF=cm,

@sinA=；

(2)求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍;

(3)當y236cm2時，請直接寫出x的取值范圍.

31.(2021.湖北省鄂州市)如圖，直線y=-|尤+6與x軸交于點與y軸交于點A,點尸為線段AB的中

點，點。是線段。4上一動點(不與點。、4重合).

(1)請直接寫出點A、點反點尸的坐標；

(2)連接PQ,在第一象限內將4OPQ沿PQ翻折得到^EPQ,點、O的對應點為點E.假設4QE=90°,

求線段A。的長；

(3)在(2)的條件下，設拋物線y=ax2-2a2x+a3+a+l(a*0)的頂點為點C.

①假設點C在APQE內部(不包括邊)，求a的取值范圍；

②在平面直角坐標系內是否存在點C,使|CQ-CE|最大？假設存在，請直接寫出點C的坐標；假設

不存在，請說明理由.

32.(2021?湖北省恩施土家族苗族自治州)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABC。為正方形，點A,B

在x軸上，拋物線y=/+bx+c經過點8,。(一4,5)兩點，且與直線。C交于另一點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q,F,E,8為頂點的四

邊形是以BE為邊的菱形,假設存在，請求出點尸的坐標；假設不存在，請說明理由；

(3)P為)，軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為例，連接用E,BP,探究EM+MP+PB是

否存在最小值.假設存在，請求出這個最小值及點M的坐標；假設不存在，請說明理由.

備用圖

33.(2021?湖北省十堰市)拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于點4(一1,0)和8(-5,0),與y軸交于點C,頂點

為P,點N在拋物線對稱軸上且位于x軸下方，連4V交拋物線于仞，連AC、CM.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當tan乙4cM=2時，求"點的橫坐標；

(3)如圖2,過點P作x軸的平行線/,過M作MC_U于。，假設MD=bMN,求N點的坐標.

34.(2021?湖北省隨州市)在平面直角坐標系中，拋物線、=￡1/+族+。與》軸交于點4(-1,0)和點8,與

y軸交于點C,頂點。的坐標為(1,一4).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,假設點P在拋物線上且滿足4PCB=NCBD,求點P的坐標；

(3)如圖2,M是直線BC上一個動點，過點M作MN1x軸交拋物線于點N,。是直線AC上一個動點，

當^QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應點。的坐標.

35.(2021?湖北省宜昌市)在平面直角坐標系中，拋物線％=—(X+4)(%-71)與x軸交于點A和點

B(n,0)(n>一4),頂點坐標記為(h1，上1),拋物線”=一(％+2n)2-n2+2n+9的頂點坐標記為(無2，12>

(1)寫出A點坐標；

(2)求七，七的值(用含"的代數式表示)

(3)當一4<n<4時，探究心與心的大小關系；

(4)經過點M(2n+9,-5n2)和點N(2n,9-5n2)的直線與拋物線y1=-(%+4)(x-n),y2=-(x+

2n)2-n2+2n+9的公共點恰好為3個不同點時，求n的值.

36.(2021?湖北省黃岡市)拋物線y=a/+"-3與x軸相交于4(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,

點N(n,0)是x軸上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,假設幾<3,過點N作x軸的垂線交拋物線于點P,交直線BC于點G.過點P作PD1BC于

點￡>,當〃為何值時、4PDGABNG；

(3)如圖2,將直線BC繞點8順時針旋轉，它恰好經過線段。C的中點，然后將它向上平移|個單位長

度，得到直線

①tanz_80Bi=；

②當點N關于直線。當的對稱點M落在拋物線上時，求點N的坐標.

37.(2021?湖北省武漢市)拋物線y=/-l交x軸于A,8兩點(4在2的左邊).

(1)〃1CZ)E的頂點C在y軸的正半軸上，頂點E在)，軸右側的拋物線上；

①如圖(1),假設點C的坐標是(0,3),點E的橫坐標是|,直接寫出點A,。的坐標.

②如圖(2),假設點D在拋物線上，且。4C￡>E的面積是12,求點E的坐標.

(2)如圖(3),F是原點O關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線/分別交線段AF,BF(不含端

點)于G,H兩點.假設直線/與拋物線只有一個公共點，求證：FG+FH的值是定值.

38.(2021.湖南省張家界市)如圖，二次函數丫=。/+"+。的圖象經過點(?(2,—3),且與x軸交于原點及

點B(8,0).

(1)求二次函數的表達式；

(2)求頂點A的坐標及直線AB的表達式；

(3)判斷△AB。的形狀，試說明理由；

(4)假設點P為。。上的動點，且。。的半徑為2VL一動點E從點A出發，以每秒2個單位長度的速

度沿線段AP勻速運動到點P,再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運動到點B后停止運動,

求點E的運動時間r的最小值.

39.(2021?湖南省株洲市)二次函數y=ax2+b%+c(a＞0).

(1)假設a=T，b=c=-2,求方程a/+bx+c=0的根的判別式的值；

(2)如下圖，該二次函數的圖象與x軸交于點4(%,0)、0)，且不＜0＜型，與y軸的負半軸交于

點點。在線段上，連接、BD,滿足乙

C,OCAC4c0=N4BD,--a+C=X1.

①求證：4AOC任DOB；

②連接BC,過點。作DE1BC于點E,點尸(0,匕一&)在y軸的負半軸上，連接AF,且〃C。=^.CAF+

乙CBD,求F的值.

X1

40.（2021.湖南省長沙市）如圖，點。為以AB為直徑的半圓的圓心，點M,N

在直徑A8上，點P,。在檢上，四邊形MNP。為正方形，點C在彼上

運動（點C與點P,Q不重合），連接BC并延長交"Q的延長線于點，

連接AC交于點E,連接OQ.

（1）求sin乙40Q的值；

（2）求熬的值；

（3）令ME=x,QD=y,直徑4B=2R（R>0/是常數），求），關于x的函數解析式，并指明自變量x

的取值范圍.

41.(2021?廣東省梅州市)二次函數曠=a/+bx+c的圖象過點(-1,0),且對任意實數x,都有4x-12W

ax2+bx+c<2x2—8x+6.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)假設(1)中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A,與)，軸交點為C；點M是(1)中二次函數圖象上

的動點.問在x軸上是否存在點M使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形.假設存在，求

出所有滿足條件的點N的坐標；假設不存在，請說明理由.

42.(2021.重慶市)在△ZBC中，AB=AC,。是邊8C上一動點，連接4,將繞點A逆時針旋轉至4E

的位置，使得ND4E+ABAC=180°.

(1)如圖1,當NB4C=90。時，連接BE,交AC于點F.假設8E平分44BC,BD=2,求AF的長；

(2)如圖2,連接BE,取BE的中點G,連接4G.猜測AG與C￡?存在的數量關系，并證明你的猜測；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。G,CE,假設4BAC=120。，當BD>CD,乙4EC=150。時，請直

接寫出安會的值.

CE

DD

圖1圖3

43.(2021?重慶市)在等邊△ABC中，AB=6,BD1AC,垂足為。，點E為AB邊上一點，點F為直線

上一點，連接EF.

(1)將線段EF繞點E逆時針旋轉60。得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當點E與點8重合，且G尸的延長線過點C時，連接￡>G,求線段OG的長;

②如圖2,點E不與點A,B重合，GF的延長線交BC邊于點”，連接EH,求證：BE+BH=V3BF;

(2)如圖3,當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且DN=2NC,點F從BD中點

Q沿射線QO運動，將線段EF繞點E順時針旋轉60。得到線段EP,連接FP,當NP+^MP最小時,

直接寫出ADPN的面積.

44.(2021.貴州省貴陽市)(1)閱讀理解

我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數學著作凋髀算經少中.漢代數學家趙

爽為了證明勾股定理，創制了一幅如下圖①的“弦圖"，后人稱之為“趙爽弦圖”.

根據“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；

(2)問題解決

勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心0,作FG1HP,

將它分成4份，所分成的四局部和以BC為邊的正方形恰好能拼成以A8為邊的正方形.假設4c=12,

BC=5,求EF的值；

(3)拓展探究

如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,

重復這一過程就可以得到“勾股樹”的局部圖形.設大正方形N的邊長為定值〃，小正方形A,B,C,

。的邊長分別為a,b,c,d.

Z1=Z2=Z3=a,當角a((T<a<90。)變化時，探究h與c的關系式，并寫出該關系式及解答過程

3與c的關系式用含〃的式子表示).

45.(2021?云南省)拋物線y=—2/+"+c經過點當久<一4時，y隨x的增大而增大，當x>-4

時，V隨x的增大而減小.設r是拋物線y=-2x2+bx+c與x軸的交點(交點也稱公共點)的橫坐標，

r9+r7-2rs+r3+r-l

m=---------------?

r9+60r5-l

(1)求從C的值；

(2)求證：r4—2r2+1=60r2；

(3)以下結論：m<1,m=1,m>1,你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論.

46.(2021?甘肅省慶陽市)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=12+汝+吟坐標軸交于4(0,-2),

B(4,0)兩點，直線BC：y=-2x+8交y軸于點C.點。為直線A8下方拋物線上一動點，過點。作x

軸的垂線，垂足為G,OG分別交直線BC,A8于點E,F.

(1)求拋物線y=jx2+bx+c的表達式；

(2)當GF=3時，連接80,求ABDF的面積；

(3)①”是y軸上一點，當四邊形8E/7F是矩形時，求點H的坐標；

②在①的條件下，第一象限有一動點P,滿足PH=PC+2,求APHB周長的最小值.

47.(2021?黑龍江省)如圖，在平面直角坐標系中，A/lOB的邊OA在x軸上，。4=48,且線段04的長是

方程產一4%-5=0的根，過點8作BEJ.X軸，垂足為E,tan/BAE=+動點M以每秒1個單位長

度的速度，從點A出發，沿線段A8向點8運動，到達點8停止.過點M作x軸的垂線，垂足為￡>,以

MO為邊作正方形MOC凡點C在線段0A上，設正方形MOCF與AZOB重疊局部的面積為S,點M

的運動時間為t(t>0)秒.

(1)求點B的坐標；

(2)求S關于，的函數關系式，并寫出自變量/的取值范圍；

(3)當點尸落在線段0B上時，坐標平面內是否存在一點P,使以M、A、。、P為頂點的四邊形是平行

四邊形？假設存在，直接寫出點P的坐標；假設不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B2c2

【解析】解：(1)由旋轉的旋轉可知:AB=AB',AC=AC,

乙BAB'=^CAC,

由圖可知點A到圓上一點的距離”的范圍為&-l<d<V2+

vACr=3>d,

???點Cl'不可能在圓上，

不是。。的以A為中心的“關聯線段”，

???AC2=1,也=近，

???B2c2是。。的以4為中心的"關聯線段"，

???AC3=2,AB3=V5,

當在圓上時，B3’(l,0)或

由圖可知此時C3'不在圓上，

???B3c3不是。。的以4為中心的“關聯線段”.

故答案為；B2c2.

(2)???△48C是邊長為1的等邊三角形，

根據旋轉的性質可知△AB'C'也是邊長為1的等邊三角形,

4(0"),

二B'C'_Ly軸，且B'C'=1,

4。為B'C'邊上的高，且此高的長為V5,

???t-或—0.

(3)由旋轉的性質和“關聯線段”的定義，

可知4B'=4B=OB'=OC'=1,AC=AC=2,如圖1,

c

o

B'

圖1

利用四邊形的不穩定性可知,

當A,O,C'在同一直線上時，最小，最小值為1,如圖2,

圖2

止匕時。4=OB'=0C,

：.乙AB'C=90°,

B'C=>JAC'2-AB'2=V22-I2=V3.

OA最大，如圖3,

此時04=2,過點A作AE10C'于E,過點C'作C'F104于F.

?：AO=AC=2,AE1OC,

：.0E=EC=I，

：.AE=yjAO2-0E2=22-(|)2=苧

■■S^AOCI=\-AO-CF=1-OC'-AE,

C'F=-

4

：?OF=y/OC'2-C'F2=12_(塢2-1,

k474

FB'=OB'-OF=-,

4

B'C=7FB'2+FC'2=2+(嗎2=匹

I4，2

綜上OA的最小值為1時，此時BC的長為V5,OA的最大值為2,此時BC的長為當.

(1)利用旋轉的性質以及點A到圓上一點距離的范圍，結合圖形判斷，即可求出答案.

(2)利用旋轉的性質，“關聯線段”的定義以及等邊三角形的性質，求出B'C'的位置，從而求出，的值.

(3)利用旋轉的性質以及“關聯線段”的定義，可知四邊形AB'OC'的各邊長，利用四邊形的不穩定性，畫

出OA最小和最大時的圖形，利用等腰三角形的性質以及勾股定理求出答案.

此題屬于圓綜合題，考查了旋轉有關的新定義題，利用旋轉的性質，等腰三角形，等邊三角形，勾股定理

等知識點，此題的關鍵畫出最小和最大時的圖形，屬于中考壓軸題.

2.【答案】解：拋物線y=ax?-2ax+c(a,c為常數，aH0)經過點那么c=-1,

(I)當。=1時，拋物線的表達式為y=x2-2%-1=(x-I)2-2,

故拋物線的頂點坐標為(1,-2)；

(II),?,y=ax2—2ax-1=a(x—l)2—a—1,

故點。(1,—a-1),

由DE=2V2DCW：DE2=8CD2,

即(1-0)2+(a+1+a+l)2=8[(1-0)2+(-a-1+l)2],

解得a=q或I，

故拋物線的表達式為y=|x2-x-1或y=|x2-3x-1；

(HI)將點D向左平移3個單位，向上平移1個單位得到點D'(-2,-a),

作點尸關于x軸的對稱點尸'，那么點F'的坐標為(0,a-1),

當滿足條件的點M落在尸'。上時，由圖象的平移知DN=D'M,故此時FM+ND最小，理由:

vFM+ND=F'M+D'M=F'。'為最小，即尸。=2V10.

那么D'F'=J(—2—0)2+(—a—2+1)2=2V10,

解得a="舍去)或一條

那么點。‘、F'的坐標分別為(一2,|)、(0,-今,

由點D'、F’的坐標得，直線。'尸'的表達式為y=-3x-%

77

當y=0時，y--3%--=0,解得x=-z=m,

26

那么m+3=?,

6

即點M的坐標為(一：,0)、點N的坐標為(2,—1).

OO

【解析】(I)由y=x2-2x-l=(x—l)2-2,即可求解；

(n)由DE=2&DC得:DE2=8CD2,那么(1-0)2+(a+1+a+I)2=8[(1-0)2+(-a-1+l)2],

即可求解；

(皿)當滿足條件的點"落在F'D'上時，由圖象的平移知DN=D'M,故此時FM+ND最小，進而求解.

主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的思想把代

數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

3.【答案】論證：

證明：

-Z-A=乙B,Z.C=乙D,

在△4。。和ABOC中，

(Z-A=乙B

{AD=BC,

(乙。=Z.C

???△4。。幺8。。(的1),

???4。=B0,

vAO+BO=AB=20,

???4。=10；

發現：設AB的中點為。，如圖：

D

當AD從初始位置40繞A順時針旋轉60。時，BC也從初始位置BC'繞點B順時針旋轉60。，

而B。=BC=10,

???△BC'。是等邊三角形，

???8c旋轉到BO的位置，即C以O重合，

???AO=AD