5.1.1任意角

區(qū)課前自主預習

學習目標

1.了解任意角的概念及角的分類.

2.理解象限角的概念.

3.理解終邊相同的角的概念，并能熟練寫出終邊相同的角的集合表示.

要點梳理

i.任意角

(1)角的概念

角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.

(2)角的表示

如圖，射線的端點是圓心。，它從起始位置04按逆嵯t方向旋轉到終止位置冰，形成

一個角a,射線的，8分別是角a的始邊和終邊.

“角。”或“/。”可以簡記成"。.

(3)角的分類

類型定義圖示

一條射線繞其端點按逆

正角

時針方向旋轉形成的角

1----------------A

0_________

按順時針方向旋轉形成

負角

的角

如果一條射線沒有作任

零角何旋轉，就稱它形成了一oA(B)

個零角

(4)相等角與相反角

①設角a由射線處繞端點。旋轉而成，角￡由射線0'/繞端點。旋轉而成.如

果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等,那么就稱a=B.

②我們把射線處繞端點。按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角

a的相反角記為一a.

③設￡是任意兩個角.我們規(guī)定，把角。的終邊旋轉角￡,這時終邊所對應的

角是a+2.

④角的減法可以轉化為角的加法.

2.象限角

把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與度點重合,角的始邊與王軸的非負半軸重合，

那么，角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標軸上,就認為

這個角不屬于任何一個象限.

3.終邊相同的角

所有與角。終邊相同的角，連同角。在內，可構成一個集合S={￡|￡=360°,

ACZ},即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角。與整數個周角的和.

溫馨提示：對終邊相同的角的理解

(1)。為任意角，“AGZ”這一條件不能漏.

(2)A?360°與a中間用“+”連接，如％?360°—。可理解成A?360°+(—a).

1.在坐標系中，將y軸的正半軸繞坐標原點順時針旋轉到x軸的正半軸形成的角為90°,

這種說法是否正確？

［答案］不正確.在坐標系中，將y軸的正半軸繞坐標原點旋轉到x軸的正半軸時，是

按順時針方向旋轉的，故它形成的角為一90°

2.初中我們學過對頂角相等.依據現在的知識試判斷一下圖中角。，￡是否相等?

［答案］不相等.角。為逆時針方向形成的角，。為正角；角力為順時針方向形成

的角，￡為負角

3.判斷正誤(正確的打，錯誤的打“X”)

(1)當角的始邊和終邊確定后，這個角就確定了.()

⑵一30°是第四象限角.()

(3)鈍角是第二象限的角.()

(4)終邊相同的角一定相等.()

(5)第一象限的角是銳角.()

［答案］⑴X(2)V(3)V(4)X(5)X

題型一任意角的概念

【典例1】下列命題正確的是()

A.終邊與始邊重合的角是零角

B.終邊和始邊都相同的兩個角一定相等

C.在90°W￡<180°范圍內的角￡不一定是鈍角

D.小于90。的角是銳角

［思路導引］對角的概念的理解關鍵是弄清角的終邊與始邊及旋轉方向和大小.

［解析］終邊與始邊重合的角還可能是360°,720。，…，故A錯；終邊和始邊都相

同的兩個角可能相差360°的整數倍，如30°與一330°,故B錯；由于在90°W￡<180°

范圍內的角月包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°,也可

以是負角，故D錯誤.

［答案］C

理解與角的概念有關問題的關鍵

關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與

終邊及旋轉方向與大小.另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧：判斷結論正確需要證明,

而判斷結論不正確只需舉一個反例即可.

［針對訓練］

1.若將鐘表撥慢10分鐘，則時針轉了度，分針轉了度.

［解析］由題意可知，時針按逆時針方向轉了10X黑，;=5°,分針按逆時針方向轉

1ZAOU

~360°。

了10X—-=60°.

60

［答案］5°60°

題型二終邊相同的角的表示

【典例2】已知角a=2020°.

(1)把a改寫成衣?360°+￡(4WZ,0°W￡〈360°)的形式，并指出它是第幾象限角；

(2)求。，使。與。終邊相同，且一360°W，〈720°.

［思路導引］解題關鍵是理解與角。終邊相同的角的表示形式.

［解］(1)由2020°除以360°,得商為5,余數為220°.

...取4=5,￡=220°,a=5X360°+220°.

又￡=220°是第三象限角，.。為第三象限角.

(2)與2020°終邊相同的角為

A?360°+2020°(A-eZ).

令一360°WA?360°+2020°<720°(AGZ),

解得一6罟WK—3^(A￡Z).

ioUlo

所以4=—6,—5,—4.

將衣的值代入4?360°+2020°中，得角。的值為一140°,220°,580°.

|名師提醒A

(1)求適合某種條件且與已知角終邊相同的角的方法

先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出衣的值.

(2)求終邊落在直線上的角的集合的步驟

①寫出在0°~360°范圍內相應的角；

②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；

③根據條件能合并的一定要合并，使結果簡潔.

［針對訓練］

［解］終邊落在射線y=/x(x>0)上的角的集合是6={。1。=60°+衣?360°,kJ

Z},終邊落在射線尸/x(xWO)上的角的集合是S={。：。=240°+A-3600,AGZ),

于是終邊落在直線尸4x上的角的集合是S={。|a=60°+公360°,A《Z}U{a|a

=240°+k>360°,4GZ}={a|a=60°+2A-180°,4GZ}U{a|a=60°+(2A+

1)?180°,ASZ}={a|a=60°+/?-180°,n&Z}.

題型三象限角的判斷

【典例3】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各

角，并指出它們是第凡象限角.

(1)-75°；(2)855°；(3)-510°.

［思路導引］作出圖形，根據象限角的定義確定.

［解］作出各角，其對應的終邊如圖所示.

(1)由圖①可知一75°是第四象限角.

(2)由圖②可知855°是第二象限角.

(3)由圖③可知一510°是第三象限角.

|名師提醒A

象限角的判斷方法

(1)根據圖形判定，在直角坐標系中作出角，角的終邊落在第幾象限，此角就是第兒象

限角；

(2)根據終邊相同的角的概念把角轉化到0。?360°范圍內，轉化后的角在第幾象限，

此角就是第幾象限角.

［針對訓練］

3.已知a是第二象限的角，則180°-a是第象限的角.

［解析］由a是第二象限的角可得90°+4?360。<</<180°+4?360°々GZ),則

180°-(180°+k>360°)<180°一。<180°-(90°+k-360°)(AGZ),即一

k-360°<180°-<90°-k-360°(AeZ),所以180°一。是第一象限的角.

［答案］一

a

題型四角了，〃a("WN")所在象限的確定

a

【典例4】若。是第二象限角，則萬是第幾象限的角？

［思路導引］已知角。是第幾象限角，判斷5所在象限，主要方法是解不等式并對4

進行分類討論，考查角的終邊位置.

［解］???0是第二象限角，

A90°+A*360°<4<180°+4?360°(AeZ),

a

A45°+A-180°<y<90°+A*180°UeZ).

解法一：①當A=2〃(〃￡Z)時，

aa

45°4-/7-360°<y<90°+/?-360°(〃GZ),即萬是第一象限角;

aa

②當*=2"+l("GZ)時,225°+〃?360°<y<270°+/??360°(〃GZ),即萬是第三

象限角.

a

故萬是第一或第三象限角.

解法二：：45°+k-1800表示終邊為一、三象限角平分線的角，90°+k-180°(k

WZ)表示終邊為y軸的角，

.?.45°+A-180°<y<90°+A-180°(4GZ)表示如圖中陰影部分圖形.即三?是第一或

第三象限角.

［變式］(1)若本例條件不變，求角2a的終邊的位置.

a

(2)若本例中的。改為第一象限角，則2%萬分別是第幾象限角？

［解］(1)；。是第二象限角，

.”?360°+90°<a<k>360°+180°(AGZ).

：.k-720°+180°<2<z?720°+360°(AeZ).

二角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

(2)因為a是第一象限角，

所以A?360°<a<90°+k>360°,%GZ.

所以2A?360°<2a<180°+24?360°,k^Z.

所以2a是第一或第二象限角，或是終邊落在y軸的正半軸上的角.

a

同理，k>180°<y<45°+4780°,k^Z.

當女為偶數時，券為第一象限角，

a

當在為奇數時，萬為第三象限角.

|名師提醒A

分角、倍角所在象限的判定思路

(1)已知角。終邊所在的象限，確定?終邊所在的象限用分類討論法，要對4的取值分

以下幾種情況進行討論：女被"整除；衣被〃除余1;4被〃除余2,…，A被〃除余〃一1.

然后方可下結論.

(2)已知角。終邊所在的象限，確定〃。終邊所在的象限，可依據角。的范圍求出

的范圍，再直接轉化為終邊相同的角即可.注意不要漏掉〃。的終邊在坐標軸上的情況.

［針對訓練］

a

4.已知a是第一象限角，則角彳的終邊可能落在_______.(填寫所有正確的序號)

①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限

［解析］???。是第一象限角，

：.k>360°<。<人360°+90°,AGZ,

?3600<y<^?360°+30°,AcZ.

當k=3in,zzz￡Z時，in<360°?360°+30°,

???角。的終邊落在第一象限.

當％=30+1,勿GZ時，/??360°+120°<-^-</n?360°+150°,

a

???角k的終邊落在第二象限.

當"=3/力+2,時，360°+240°?360。+270°,

???角。的終邊落在第三象限，故選①②③.

U

［答案］①②③

課堂歸納小結

1.對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定

義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕

對值大小”.

2.把任意角化為360°々GZ,且0°<。<360°）的形

式，關鍵是確定〃，可以用觀察法（。的絕對值較小），也可以用除法.

3.已知角的終邊范圍，求角的集合時，先寫出邊界對應的一個角，再寫出0°?360°

內符合條件的角的范圍，最后都加上幺?360。，得到所求.

?隨堂鞏固驗收

1.下列說法正確的是（）

A.三角形的內角一定是第一、二象限角

B.鈍角不一定是第二象限角

C.終邊與始邊重合的角是零角

D.鐘表的時針旋轉而成的角是負角

［解析］A錯，若一內角為90。，則不屬于任何象限；B錯，鈍角一定是第二象限角：

C錯，若角的終邊作了旋轉，則不是零角；D對.

［答案］D

2.-215°是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角，故一215°也是第二

象限角，選B.

［答案］B

a

3.已知。為第三象限角，則萬所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

［解析］由于八360°+180°<a<k-360°+270°,k6Z,

得T,360。

+90°?360°+135°,AGZ.

當衣為偶數時，］為第二象限角;

當在為奇數時，萬為第四象限角.

［答案］D

4.將一885°化為。十八360°(0°W。〈360°,AeZ)的形式是.

［解析］因為一885°4-360°=-3-195°,且0°Wa<360°,所以在=-3,a=

195°,故一885°=195°+(—3)?360°.

［答案］195°+(-3)?360°

5.在角的集合｛。|。=公90°+45°,AGZ｝中，

(1)有幾種終邊不相同的角？

(2)若一360°<。<360°,則集合中的。共有多少個？

［解］(1)在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種，分別是與45。、135。、-

135°、-45°終邊相同的角.

97

(2)令一360°<??90°+45°<360°,得一手卜手

又■:kGZ,k——4,一3,—2,—1,0,1,2,3?

滿足條件的角共有8個.

課后作業(yè)(三十七)

復習鞏固

一、選擇題

1.下列是第三象限角的是()

A.-110°B.-210°

C.80°D.-13°

［解析］一110°是第三象限角，一210°是第二象限角，80°是第一象限角，一13°是

第四象限角.故選A.

［答案］A

2.與600°角終邊相同的角可表示為()

A.360°+220°(AGZ)

B.A--360°+240°(AeZ)

C.k?360°+60°UeZ)

D.A-360°+260°(AeZ)

［解析］與600°終邊相同的角。=〃?360°+600°=n?360°+360°+240°=｛n

+1)?360°+240°=4?360°+240°,n&l,AeZ.

［答案］B

3.設/=｛小于90°的角｝,8=｛銳角｝,仁｛第一象限角｝,〃=｛小于90°而不小于0°

的角｝,那么有()

K.BCAB.BAC

C.D（40。D.CCD^B

［解析］顯然第一象限角不是都小于90°,且小于90°的角不都在第一象限，故A,B

錯；0°不屬于任何象限，故C錯；銳角為小于90°而大于0。的角，.?.CD片8,選D.

［答案］D

4.終邊在直線y=—x上的所有角的集合是（）

A.{a|0=4?360°+135°,AeZ}

B.{a|a=A?360°-45°,k&Z}

C.{<z|a^k>180°+225°,〃GZ}

D.{a|a=k-180°-45°,k&l}

［解析］因為直線尸一x為二、四象限角平分線，所以角終邊落到第四象限可表示為

k-360°-45°=2k-180°-45°,AGZ；終邊落到第二象限可表示為k-360°-180°

—45°=（2/-1）?180°-45°,AeZ,綜上可得終邊在直線y=-x上的所有角的集合為

{aa=k-1800-45°,k&Z}.

［答案］D

5.給出下列四個命題：①一75°角是第四象限角；②225。角是第三象限角；③475°

角是第二象限角：④一315°角是第一象限角，其中真命題有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［解析］①正確；②正確；③中475°=360。+115°,因為115°為第二象限角，所

以475°也為第二象限角，正確；④中一315°=-360°+45°,因為45°為第一象限角，

所以一315°也為第一象限角，正確.

［答案］D

二、填空題

6.50。角的始邊與x軸的非負半軸重合，把其終邊按順時針方向旋轉3周，所得的角

是.

［解析］順時針方向旋轉3周轉了一（3X360°）=-1080°,

又50°+（-1080°）=-1030°,故所得的角為一1030°.

［答案］一1030°

7.已知角a=-3000°,則與角。終邊相同的最小正角是一

［解析］設與角。終邊相同的角為￡,

則￡=一3000°+A-360°,AGZ,

又因為B為最小正角，故取4=9,

貝IJ￡=-3000°+360°X9=240".

［答案］240°

8.若角a與8的終邊在一條直線上，則a與8的關系是.

［解析］因為。與￡的終邊在一條直線上，所以a與￡相差180°的整數倍.

［答案］。=尸+八180°,AeZ

三、解答題

9.在0。?360。范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角.

(1)-120°；(2)660°；(3)-950°08'.

［解］⑴；-120°=240°-360°,

在0°?360°范圍內，與一120°角終邊相同的角是240°角，它是第三象限的角.

(2)7660°=300°+360°,

.?.在0°?360。范圍內，與660°角終邊相同的角是300。角，它是第四象限的角.

(3)V-950°08(=129°52'-3X360°,

...在0°?360°范圍內，與一950°08'終邊相同的角是129°52',它是第二象限的

10.如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：

(1)終邊落在射線應上；

(2)終邊落在直線勿上；

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(含邊界).

［解］(1)終邊落在射線加上的角的集合為

S={a|a=60°+k-360°,AGZ}.

(2)終邊落在直線如上的角的集合為

S={。|a=30°+k-180°,AGZ}.

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(含邊界)的角的集合為

$={。！30°+/?180°WaW60°+A-180°,AGZ}.

綜合運用

11.若角。，萬的終邊相同，則。一￡的終邊在()

A.x軸的非負半軸B.y軸的非負半軸

C.X軸的非正半軸D.y軸的非正半軸

［解析］二?角。，尸終邊相同，；.。=〃?360°+￡(ACZ),。一￡=A?360°(k

eZ),故。一月的終邊在x軸的非負半軸上.

［答案］A

12.已知角2a的終邊在x軸的上方，那么。是()