注冊巖土工程師（基礎考試-上午-高等數學）模擬試卷1（共4套）（共143題）注冊巖土工程師（基礎考試-上午-高等數學）模擬試卷第1套一、單項選擇題(本題共46題，每題1.0分，共46分。)1、設α、β、γ都是非零向量，若α×β=α×γ，則()。A、β=γB、α∥β且α∥γC、α∥(β一γ)D、α⊥(β一γ)標準答案：C知識點解析：根據題意可得，α×β一α×γ=α×(β一γ)=0，故α∥(β一γ)。2、設α=i+2j+3k，β=i一3j一2k，與α、β都垂直的單位向量為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據題意，先將向量表示為點：α=(1，2，3)，β=(1，一3，一2)；設與它們垂直的單位向量為γ=(x，y，z)，則有解得，。表示成單位向量為：3、已知a、b均為非零向量，而｜a+b｜=｜a—b｜，則()。A、a—b=0B、a+b=0C、a.b=0D、a×b=0標準答案：C知識點解析：由a≠0，b≠0及｜a+b｜=｜a—b｜知，(a+b)*(a+b)=(a—b)*(a—b)。即a*b=一a*b，所以a*b=0。4、設三向量a，b，c滿足關系式a*b=a*c，則()。A、必有a=0或b=CB、必有a=b—C=0C、當a≠0時必有b=CD、a與(b—c)均不為0時必有a⊥(b—c)標準答案：D知識點解析：因a*b=a*c且a≠0，b—c≠0，故a*b—a*c=0，即a*(b—C)=0，a⊥(b—c)。5、設a，b，c為非零向量，則與a不垂直的向量是()。A、(a*C)b一(a*b)cB、C、a×bD、a+(a×b)×a標準答案：D知識點解析：由兩向量垂直的充要條件：兩向量的數量積為零，以及由向量的運算法則有A項，a*[(a*C)b一(a*b)C]=0；B項，C項，a(a×b)=0；D項，a[a+(a×b)×a]=｜a｜2≠0。6、設a、b為非零向量，且滿足(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，則a與b的夾角θ=()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由兩向量垂直的充要條件得：7、已知｜a｜=2，｜b｜=，且ab=2，則｜a×b｜=()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：暫無解析8、設向量x垂直于向量a=(2，3，一1)和b=(1，一2，3)，且與c=(2，一1，1)的數量積為一6，則向量x=()。A、(一3，3，3)B、(一3，1，1)C、(0，6，0)D、(0，3，一3)標準答案：A知識點解析：由題意可得，x∥a×b，而a×b=(2，3，-1)×(1，-2，3)=(7，一7，一7)=7(1，一1，一1)，所以x=(x，一x，一x)。再由一6=x*c=(x，一x，一x)*(2，一1，1)=2x得，x=-3，所以x=(一3，3，3)。9、直線L1：之間的關系是()。A、L1∥L2B、L1，L2相交但不垂直C、L1⊥L2但不相交D、L1，L2是異面直線標準答案：A知識點解析：暫無解析10、已知直線方程中所有系數都不等于0，且，則該直線()。A、平行于x軸B、與x軸相交C、通過原點D、與x軸重合標準答案：B知識點解析：因，故在原直線的方程中可消去x及D，故得原直線在yoz平面上的投影直線方程為，在yoz平面上的投影過原點，故原直線必與x軸相交。11、已知直線L1過點M1(0，0，一1)且平行于x軸，L2過點M2(0，0，1)且垂直于xoz平面，則到兩直線等距離點的軌跡方程為()。A、x2+y2=4zB、x2一y2=2zC、x2一y2=zD、x2一y2=4z標準答案：D知識點解析：兩直線的方程為：。設動點為M(x，y，z)，則由點到直線的距離的公式知：(其中li是直線Li的方向向量)，則：。由d1=d2得：d12=d22，故(z+1)2+y2=(z一1)2+x2，即x2一y2=4z。12、在平面x+y+z一2=0和平面x+2y一z一1=0的交線上有一點M，它與平面x+2y+z+1=0和x+2y+z一3=0等距離，則M點的坐標為()。A、(2，0，0)B、(0，0，一1)C、(3，一1，0)D、(0，1，1)標準答案：C知識點解析：A項，點(2，0，0)不在平面x+2y—z—1=0上；B項，點(0，0，一1)不在平面x+y+z一2=0上；D項，點(0，1，1)與兩平面不等距離。13、設平面α平行于兩直線及2x=y=z，且與曲面z=x2+y2+1相切，則α的方程為()。A、4x+2y—z=0B、4x一2y+z+3=0C、16x+8y一16z+11=0D、16x一8y+8z一1=0標準答案：C知識點解析：暫無解析14、三個平面x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay過同一直線的充要條件是()。A、a+b+c+2abc=0B、a+b+c+2abc=1C、a2+b2+c2+2abc=0D、a2+b2+c2+2abc=1標準答案：D知識點解析：由于三個平面過同一直線←→線性齊次方程組15、通過直線的平面方程為()。A、x一z一2=0B、x+z=0C、x一2y+z=0D、x+y+z=1標準答案：A知識點解析：因點(一1，2，一3)不在平面x+z=0上，故可排除B項；因點(3，一1，1)不在x一2y+z=0和x+y+z=1這兩個平面上，故可排除CD兩項，選A項。16、直線L為，平面π為4x一2y+z一2=0，則()。A、L平行于πB、L在π上C、L垂直于πD、L與π斜交標準答案：C知識點解析：直線L的方向向量平面π的法向量n=4i一2j+k，所以s∥n，即直線L垂直于平面π。17、設有直線L1：x=一1+t，y=5—2t，z=一8+t，L2：，則兩線的夾角為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：兩直線的夾角即為兩直線的方向向量的夾角，而L1的方向向量為s1=(1，一2，1)，L2的方向向量為s2=(1，一1，0)×(0，2，1)=(一1，一1，2)。s1，s2夾角α的余弦為：18、過點(一1，2，3)垂直于直線且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直線是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：直線的方向向量為s=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量為n=(7，8，9)。顯然A、B、C中的直線均過點(一1，2，3)。對于A中直線的方向向量為s1=(1，一2，1)，有s1⊥s，s1⊥n，可見A中直線與已知直線垂直，與平面7x+8y+9z+10=0平行。19、若直線相交，則必有()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：如果兩直線相交，則這兩條直線的方向向量與這兩條直線上兩點連線構成的向量應在同一平面上，由此來確定入。點A(1，一1，1)，B(一1，1，0)分別為兩條直線上的一點，則AB=(一2，2，一1)，兩條直線的方向向量分別為s1=(1，2，λ)，s2=(1，1，1)，這三個向量應在同一個平面上，即：。20、過點P(1，0，1)且與兩條直線都相交的直線的方向向量可取為()。A、(一1，1，2)B、(一1，1，一2)C、(1，1，一2)D、(1，1，2)標準答案：D知識點解析：設過點P(1，0，1)的直線L分別與直線L1與L2交于點A和點B，由L1和L2的方程知，存在常數λ使點A的坐標為(λ，λ一1，一1)，存在常數μ使點B的坐標為(1+μ，2，3+μ)，由此可求得λ=0，μ=2，即點A為(0，一1，一1)，點B為(3，2，5)。從而，直線L的方向向量可取任一平行于AB=(3，3，6)的非零向量。21、下列方程中代表錐面的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：錐面方程的標準形式為：22、已知曲面z=4一x2一y2上點P處的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，則點P的坐標是()。A、(1，一1，2)B、(一1，1，2)C、(1，l，2)D、(一1，一1，2)標準答案：C知識點解析：即求曲面S：F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=z+x2+y2一4上點P使S在該點處的法向量n與平面π：2x+2y+z-1=0的法向量，n0=(2，2，1)平行。S在P(x，y，z)處的法向量，n==(2x，2y，1)。n∥n0←→n=λn0，λ為常數，即2x=2λ，2y=2λ，1=λA。即x=l，y=1，又點P(x，y，z)∈S→z=4一x2一y2｜(x，y)=2，求得P(1，1，2)(P不在給定的平面上)。23、母線平行于ax軸且通過曲線的柱面方程為()。A、3x2+2z2=16B、x2+2y2=16C、3y2一z2=16D、3y2一z=16標準答案：C知識點解析：因柱面的母線平行于x軸，故其準線在yoz平面上，且為曲線在yoz平面上的投影，在方程組中消去x得：，此即為柱面的準線，故柱面的方程為：3y2一z2=16。24、曲線L：在xoy面上的投影柱面方程是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：投影柱面方程是一個二元方程，C、D表示的是曲線。而B中的方程中含z，不可能是L在xoy面上的投影柱面方程。25、方程是一旋轉曲面方程，它的旋轉軸是()。A、x軸B、y軸C、z軸D、直線x=y=z標準答案：C知識點解析：故曲面是由直線繞z軸旋轉而成。26、在曲線x=t，y=-t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()。A、只有1條B、只有2條C、至少有3條D、不存在標準答案：B知識點解析：求曲線上的點，使該點處的切向量τ與平面x+2y+z=4的法向量n=(1，2，1)垂直。曲線在切點處的切向量τ=(x’(t))，y’(t)，z’(t))=(1，一2t，3t2)。又n⊥τ←→n.τ=0，即1-4t+3t2=0，解得：t=1，。(對應于曲線上的點均不在給定的平面上)因此，只有兩條這種切線。27、螺旋線p：(a，b為正常數)上任一點處的切線()。A、與z軸成定角B、與x軸成定角C、與yoz平面成定角D、與zox平面成定角標準答案：A知識點解析：設M(x，y，z)為曲線p上任一點，則點M處的切向量為：l=(一asint，acost，b)，而z軸的方向向量為k=(0，0，1)，于是l與k的夾角為：故該曲線上任一點處的切線與z軸成定角θ。28、求極限時，下列各種解法中正確的是()。A、用洛必達法則后，求得極限為0B、因為不存在，所以上述極限不存在C、原式D、因為不能用洛必達法則，故極限不存在標準答案：C知識點解析：A項，因為不存在，故不能用洛比達法則求極限。29、設f(x)=2x+3x一2，則當x→0時()。A、f(x)是x等價無窮小B、f(x)與x是同階但非等價無窮小C、f(x)是比x高階的無窮小D、f(x)是比x低階的無窮小標準答案：B知識點解析：利用等價無窮小代換與極限四則運算法則求解。再由極限的四則運算法則，得。根據無窮小的階的定義，可知B正確。30、設f(x)滿足，當x→0時，lncosx2是比xnf(x)高階的無窮小，而xnf(x)是比esin2x一1高階的無窮小，則正整數n等于()。A、1B、2C、3D、4標準答案：A知識點解析：由知，當x→0時，f(x)～一x2，于是xnf(x)～一xn+2。又當x→0時，lncosx2=In[1+(cosx2—1)]～cosx2-1～。esin2x一1～sin2x～x2。再根據題設有2＜n+2＜4，可見n=1。31、設函數可導，則必有()。A、a=1，b=2B、a=一1，b=2C、a=1，b=0D、a=一1，b=0標準答案：B知識點解析：若函數f(x)在x=1處可導，則f(x)在x=1處連續，從而且32、下列命題正確的是()。A、分段函數必存在間斷點B、單調有界函數無第二類間斷點C、在開區間內連續，則在該區間必取得最大值和最小值D、在閉區間上有間斷點的函數一定有界標準答案：B知識點解析：A項，例如分段函數在定義域內沒有間斷點；C項，函數f(x)=x，0＜x＜1，在開區間(0，1)內單調連續，沒有最大值和最小值；D項，若函數在閉區間內有第二類間斷點，則函數在該區間內不一定有界；B項，若函數單調有界，則一定沒有第二類間斷點。33、下列函數中，在點(0，0)處連續的函數是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A項，因A中函數在點(0，0)處沒定義，故函數在點(0，0)處不連續。B項，因。C項，令y=kx(k≠1)，有不存在。D項，當x≠0，于是，取δ=ε，當0＜因此，D項中函數在點(0，0)處連續。34、設函數f(x)在x=x0的某鄰域內連續，在x=0處可導，則函數f(x)｜f(x)｜在x=x0處()。A、可導，且導數為2f(x0)f’(x0)B、可導，且導數為2f(x0)｜f’(x0)｜C、可導，且導數為2｜f(x0)｜f’(x0)D、不可導標準答案：C知識點解析：令g(x)=f(x)｜f(x)｜。當f(x0)=0時，當f(x0)＞0時，因為f(x)在x=x0的某鄰域內連續，所以，存在x0的一個鄰域，當x在該鄰域內時，f(x)＞0，有同理可得，當f(x0)＜0時，所以，函數f(x)｜f(x)｜在x=x0處可導，且導數為2｜f(x0)｜f’(x0)。35、設函數f(t)連續，t∈[-a，a]，f(t)＞0，且g(x)=，則在[一a，a]內必有()。A、g’(x)=C(常數)B、g’(x)是單調增加的C、g’(x)是單調減少的D、g’(x)是函數，但不單調標準答案：B知識點解析：當一a＜x＜a時，有36、設函數y=f(x)在(0，+∞)內有界且可導，則()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：37、函數在x處的導數是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：將函數y看作一個復合函數，求導如下：38、已知f(x)是二階可導的函數，為()。A、e2f(x)B、e2f(x)f"(x)C、e2f(x)(2f’(x))D、2e2f(x)[2(f’(x))2+f"(x)]標準答案：D知識點解析：將y看作一個復合函數，利用復合函數的求導法則可得：39、設α是實數，f(x)=，f(x)在x=1處可導，則α的取值為()。A、α＜一1B、一1≤α＜0C、0≤α＜1D、α≥1標準答案：A知識點解析：由導數定義顯然f’(1)=0，因此α+1＜0，即α＜一1時，f’(1)=0，即可導。40、設函數y=f(x)有，則當△x→0時，該函數在x=x0處的微分dy是()。A、與△x等價的無窮小B、與△x同階的無窮小，但不等價C、比△x低階的無窮小D、比△x高階的無窮小標準答案：B知識點解析：根據微分概念及同階無窮小的定義，因，故。即dy與△x為同階無窮小，但不等價。41、已知xy=kz(k為正常數)，則等于()。A、1B、一1C、kD、標準答案：B知識點解析：將方程整理為F(x，y，z)=0的形式，即xy一kz=0，則有42、二元函數，在點(0，0)處()。A、連續，偏導數存在B、連續，偏導數不存在C、不連續，偏導數存在D、不連續，偏導數不存在標準答案：C知識點解析：偏導數可按定義計算，而是否連續，要求先確定其極限，若極限不存在，則必定不連續。由偏導數的定義知，。同理，fy’(0，0)=0。可見在點(0，0)處f(x，y)的偏導數存在。而當y=kx時，有。當k不同時，不同，故不存在，因而f(x，y)在點(0，0)處不連續。43、已知為某函數的全微分，則a等于()。A、一1B、0C、1D、2標準答案：D知識點解析：P(x，y)dx+Q(x，y)dy為某函數u(x，y)的全微分du(x，y)，即：du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy的充要條件是：。由題設為某函數的全微分的充要條件是：即(a—2)x—ay=一2y，(a-2)(x一y)=0。當且僅當a=2時上式恒成立。44、設y=f(x)是滿足微分方程y”+y’一esinx=0的解，且f’(x0)=0，則f(x)在()。A、x0的某個鄰域內單調增加B、x0的某個鄰域內單調減少C、x0處取得極小值D、x0處取得極大值標準答案：C知識點解析：將f’(x0)=0代入方程得f"(x0)的符號，從而由極值的充分條件得正確選項。f(x)滿足方程f"(x)+f’(x)一esinx=0，所以有f"(x0)=esinx0一f’(x0)=esinx0＞0。即f’(x0)=0，f"(x0)＞0。故f(x)在x0處取得極小值。45、在區間(一∞，+∞)內，方程()。A、無實根B、有且僅有一個實根C、有且僅有兩個實根D、有無窮多個實根標準答案：C知識點解析：將方程根的討論先轉化為函數零點的討論，零點的存在性用介值定理，個數或惟一性利用單調性或極值加以說明。令f(x)=，由于f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數，因此只需考慮f(x)=0在(0，+∞)內的實根情況。當x≥0時，。可見，當x∈時，f’(x)＞0，f(x)在內單調增加，f(0)=-1，＞1，因此f(x)=0在上有惟一實根；當時，f(x)＞0，故在(0，+∞)上f(x)僅存在惟一實根。根據f(x)關于y軸對稱的性質，f(x)=0在(一∞，+∞)上有且僅有兩個實根。46、已知函數f(x，y)在點（0，0)的某個鄰域內連續，且，則()。A、點(0，0)不是f(x，y)的極值點B、點(0，0)是f(x，y)的極大值點C、點(0，0)是f(x，y)的極小值點D、根據所給條件無法判斷點(0，0)是否為f(x，y)的極值點標準答案：A知識點解析：由題設，容易推知f(0，0)=0，因此點(0，0)是否為f(x，y)的極值點，關鍵看在點(0，0)的充分小的鄰域內f(x，y)是恒大于零、恒小于零還是變號。由知，分子的極限必為零，從而有f(0，0)=0，且f(x，y)一xy≈(x2+y2)2(｜x｜，｜y｜充分小時)，于是f(x，y)一f(0，0)≈xy+(x2+y2)2。可見當y=x且｜x｜充分小時，f(x，y)一f(0，0)≈x2+4x4＞0；而當y=一x且｜x｜充分小時，f(x，y)一f(0，0)≈一x2+4x4＜0。故點(0，0)不是f(x，y)的極值點。注冊巖土工程師（基礎考試-上午-高等數學）模擬試卷第2套一、單項選擇題(本題共43題，每題1.0分，共43分。)1、等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：分部積分法：。2、若f(x)的導函數是sinx，則f(x)有一個原函數為()。A、1+sinxB、1一sinxC、1+cosxD、1一cosx標準答案：B知識點解析：由題設f’(x)=sinx,于是f(x)=∫f’(x)dx=一cosx+C1。從而f(x)的原函數為：F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2。令C1=0，C2=1，即得f(x)的一個原函數為1一sinx。3、若f(x)的一個原函數是，則∫xf’(x)dx=()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：。4、若∫f(x)dx=x2+C,則∫xf(1一x2)dx=()。A、2(1-x2)2+CB、C、一2(1一x2)+CD、標準答案：B知識點解析：。5、設函數f(x)在[0，+∞)上連續，且滿足，則f(x)是()。A、xe-xB、xe-x一ex-1C、ex-1D、(x一1)e-x標準答案：B知識點解析：對左右兩邊從0到1對x積分可得：6、已知，設F(x)=，則F(x)為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析7、設，則極限等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：先用第一類換元積分法計算積分得an，再利用求極限。8、廣義積分，則c等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：根據題意：9、設，則有()。A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標準答案：D知識點解析：三個均為對稱區間上的積分，自然想到奇偶函數在對稱區間上的積分性質。根據被積函數的奇偶性知，。因此有P＜M＜N。10、設，則F(x)()。A、為正常數B、為負常數C、恒為零D、不為常數標準答案：A知識點解析：被積函數以2π為周期，利用周期函數的積分性質進行計算。首先決定F(x)是否為常數，有兩種方法：①F’(x)=0，則F(x)≡C。②顯然被積函數esintsint以2π為周期，由周期函數的性質可知：F(x)≡C。由于esintsint是以2π為周期的，因此。11、設，則()。A、I1＞I2＞1B、1＞I1＞I2C、I2＞I1＞1D、1＞I2＞I1標準答案：B知識點解析：直接計算I1，I2困難，可應用不等式tanx＞x(x＞0)和定積分的性質判斷。12、下列廣義積分中發散的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：13、設D是xoy平面上以(1，1)、(一1，1)和(一1，一1)為頂點的三角形區域，D1是D在第一象限的部分，則等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：三角形D可進一步分割為兩個分別關于x軸和y軸對稱的三角形，從而根據被積函數關于x或y的奇偶性即可得出結論。設D’是xoy平面上以(0，0)，(1，1)，(一1，1)為頂點的三角形區域，D"是xoy平面上以(0，0)，(一1，1)，(一1，一1)為頂點的三角形區域，則D’關于y軸對稱，D"關于x軸對稱。14、設函數f(u)連續，區域等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：先畫出積分區域的示意圖，再選擇直角坐標系和極坐標系，并在兩種坐標系下化為累次積分，即得正確選項。積分區域(見圖1—3一1)，在直角坐標系下，15、設，則a為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：16、設，其中Ω是由所圍成的，則I=()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：設圓錐側面，球面上側所圍區域為Ω1，球面與平面Z=1，圓錐面所圍區域為Ω2(見圖1—3—2)，則17、在區間[0，2π]上，曲線y=sinx與y=cosx之間所圍圖形的面積是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：y=sinx與y=cosx的交點分別在處，只有B項符合。18、設f(x，y，z)是連續函數，I(R)=，則R→0時，下面說法正確的是()。A、I(R)是R的一階無窮小B、I(R)是R的二階無窮小C、I(R)是R的三階無窮小D、I(R)至少是R的三階無窮小標準答案：D知識點解析：f(x，y，z)為常數M時，。對任意連續函數f(x，y，z)，則由積分中值定理得：，其中ξ2+η2+ζ2≤R2。當R→0時，(ξ，η，ζ)→(0，0，0)，則：。當f(0，0，0)≠0時，I(R)是R的三階無窮小；當f(0，0，0)=0時，I(R)是比R3高階的無窮小。19、設Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0，則三重積分等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：如果Ω關于x，y輪換對稱即把Ω表達式中的x，y換為y，x，Ω不變，則而本題的Ω關于x、y輪換對稱，關于x、z(或y、z)不輪換對稱，故20、設f(x)、g(x)在區間[a，b]上連續，且g(x)＜f(x)＜m(m為常數)，由曲線y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所圍平面圖形繞直線y=m旋轉而成的旋轉體體積為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為dV={π[m—g(x)]2一π[m一f(x)]2}dx，則：21、設曲線積分∫t[f(x)一ex]sinydx一f(x)cosydy與路徑無關，其中f(x)具有一階連續導數，且f(0)=0，則f(x)等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：22、設，則R→0時，下面說法正確的是()。A、IR是R的一階無窮小B、IR是R的二階無窮小C、IR是R的三階無窮小D、IR至少是R的三階無窮小標準答案：B知識點解析：23、設平面曲線，y≥0，其所圍成的區域分別記為D和D1，則有()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：24、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：利用極坐標方程表示曲線的弧長公式，有：25、雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的區域面積可用定積分表示為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的圖形是關于y軸對稱的，因此所求面積S為x≥0部分圖形面積S1的兩倍。對于x≥0部分雙紐線的極坐標方程是：26、設拋物線y2=2x分圓盤x2+y2≤8為兩部分，則這兩部分面積的比為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：27、設函數f(x)連續，由曲線y=f(x)在x軸圍成的三塊面積為S1、S2、S3(S1、S2、S3均大于0)如圖1—3—4所示，已知S2+S3=p，S1=2S2一q，且p≠q，則等于()。A、P—qB、q—PC、P+qD、2(P—q)標準答案：B知識點解析：由定積分幾何意義得：=-S1+S2一S3=一(S1—S2+S3)。又S2+S3=p，S1=2S2一q，則S1一S2+S3=p—q，即=q—P。28、設f(x)=，則方程f(x)=1在(1，+∞)內的實根個數必為()。A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：故x充分大后f(x)會大于任何數，因此方程f(x)=1必有一個實根。29、設F(x)=可導，且f’(x)＞0，則()。A、F(0)是極大值B、F(0)是極小值C、F(0)不是極值，但(0，F(0))是曲線F(x)的拐點坐標D、F(0)不是極值，(0，F(0))也不是曲線F(x)的拐點坐標標準答案：C知識點解析：F(x)=；F’(x)=；F"(x)=f(x)+xf’(x)一f(x)=xf’(x)。F"(0)=0。又由f’(x)＞0，當x＜0時，F"(x)＜0；當x＞0時，F"(x)＞0；因此(0，F(0))是曲線的拐點。由F"(x)的符號可得：當x＜0時F’(x)單調遞減，因此F’(x)＞F’(0)=0；當x＞0時F’(x)單調遞增，因此F’(x)＞F’(0)=0，從而推得F(x)在(一∞，+∞)單調增加，F(0)不是極值點。30、已知級數，則級數等于()。A、3B、7C、8D、9標準答案：C知識點解析：31、級數(常數α＞0)()。A、發散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與α有關標準答案：C知識點解析：32、設常數λ＞0，且級數收斂，則級數()。A、發散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與λ有關標準答案：C知識點解析：33、設，則下列級數中肯定收斂的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：34、已知級數均收斂，則p的取值范圍是()。A、P＞2B、P＜2C、P＞0D、0＜p＜2標準答案：D知識點解析：若均收斂，則同時有P一2＜0且P＞0，綜合得0＜P＜2。35、函數ex展開成為x一1的冪級數是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：ex在實數范圍內有直到n+1階的導數，利用泰勒公式展開如下：36、函數展開成(x一2)的冪級數是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：37、若的收斂域是(一8，8]，則的收斂半徑及的收斂域分別是()。A、8，(一2，2]B、8，[一2，2]C、不定，(一2，2]D、8，[一2，2)標準答案：A知識點解析：38、已知的收斂半徑R=1，則的收斂域為()。A、(一1，1)B、[一1，1)C、(一1，1]D、(一∞，+∞)標準答案：D知識點解析：39、若級數在x＞0時發散，在x=0時收斂，則常數a=()。A、1B、一1C、2D、一2標準答案：B知識點解析：由已知，若x=0時收斂，則必有｜a｜≤1。又a=1且x=0時，原級數發散；僅當a=一1且x=0時，原級數收斂，故選B項。40、設，則f(x)在x=0時的6階導數f(6)(0)是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：41、設α為常數，則級數()。A、絕對收斂B、條件收斂C、發散D、收斂性與α的取值有關標準答案：C知識點解析：42、設，其中an=等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：由題設知，應先將f(x)從[0，1)作偶延拓，使之成為區間[一1，1]上的偶函數，然后再作周期(周期為2)延拓，進一步展開為傅里葉級數，根據收斂定理有：43、設，要使級數絕對收斂，常數p應當()。A、P＞一1B、P＞0C、P＞10D、P≥-1標準答案：B知識點解析：注冊巖土工程師（基礎考試-上午-高等數學）模擬試卷第3套一、單項選擇題(本題共32題，每題1.0分，共32分。)1、微分方程(3+2y)xdx+(1+x2)dy=0的通解為()。A、1+x2=CyB、(1+x2)(3+2y)=CC、D、(1+x2)2(3+2y)=0標準答案：B知識點解析：2、微分方程cosydx+(1+e-x)sinydy=0滿足初始條件的特解是()。A、B、cosy=1+exC、cosy=4(1+ex)D、cos2y=1+ex標準答案：A知識點解析：原方程可整理為：，兩邊取不定積分得：其中C為任意常數。將初始條件代入，可知C=1／4。3、方程y’sinx=ylny，滿足定值條件的特解是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：4、微分方程y"=y’2的通解是()。A、1nx+CB、In(x+C)C、C2+In｜x+C1｜D、C2一In｜x+C1｜標準答案：D知識點解析：5、微分方程y"=x+sinx的通解是()。(C1，C2為任意常數)A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：6、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設為()。A、y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)B、y*=x(Ax2+Bx+C+Asinx+Bcosx)C、y*=Ax2+Bx+C+AsinxD、y*=Ax2+Bx+C+Acosx標準答案：A知識點解析：對應齊次方程y"+y=0的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ=±i，對y"+y=x2+1=e0(x2+1)而言，因0不是特征根，從而其特解形式可設為：y1*=Ax2+Bx+C。y"+y=sinx，因i為特征根，從而其特解形式可設為：y2*=x(Asinx+Bcosx)。從而y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設為：y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)。7、函數y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個微分方程是()。A、y"一y’一2y=3xexB、y"一y’一2y=3exC、y"+y’一2y=3xexD、y"+y’一2y=3ex標準答案：D知識點解析：y=C1ex+C2e-2x+xex是某二階線性常系數非齊次方程的通解，相應的齊次方程的特征根λ1=1，λ2=一2，特征方程應是(λ一1)(λ+2)=0，于是相應的齊次方程是y"+y’一2y=0。CD兩項中，方程y"+y’一2y=3ex，有形如y*=Axex的特解(此處eax中a=1是單特征根)。8、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3階常系數齊次線性微分方程是()。A、y"’-y"一y’+y=0B、y"’+y"一y’—y=0C、y"’-6y"+11y’—6y=0D、y"’-2y"一y’+2y=0標準答案：B知識點解析：由特解知，對應特征方程的根為：λ1=λ2=一1，λ3=1。于是特征方程為：(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1=0。故所求線性微分方程為：y"’+y"一y’一y=0。9、設y=y(x)是二階常系數微分方程y"+py’+qy=e3x滿足初始條件y(0)=y’(0)=0的特解，則當x→0時，函數的極限()。A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3標準答案：C知識點解析：由y"+py’+qY=e3x及y(0)=y’(0)=0，知)y"(0)=1，則：10、要使得二次型f(x1，x2，x3)=x12+2tx1x2+x22一2x1x3+2x2x3+2x32為正定的，則t的取值條件是()。[2012年真題]A、一1＜t＜1B、一1＜t＜0C、t＞0D、t＜一1標準答案：B知識點解析：該方程對應的二次型的矩陣為：。若二次型為正定，其各階順序主子式均大于零，由二階主子式大于零，有1-t2＞O，求得一1＜t＜1。三階主子式也大于零，得-1＜t＜0。11、已知的值為()。A、2B、一2C、0D、4標準答案：D知識點解析：令，觀察矩陣B，容易發現B正是A的伴隨矩陣，即B=A*，故由AA*=｜A｜E，得：｜A*｜=｜A｜n-1=23-1=4。12、f(x)=是x的多項式，其可能的最高方次是()。A、1次B、2次C、3次D、4次標準答案：A知識點解析：第二行、第三行都減去第一行后，再按第一行展開，知f(x)的可能的最高方次是一次。13、設A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則下列選項中成立的是()。A、B的第1行的-2倍加到第2行得AB、B的第1列的一2倍加到第2列得AC、B的第2行的一2倍加到第1行得AD、B的第2列的一2倍加到第1列得A標準答案：A知識點解析：設矩陣，則：14、設A，B為n階矩陣，A*，B*分別為A，B對應的伴隨矩陣，分塊矩陣，則C的伴隨矩陣C*=()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：若A、B可逆，則C可逆，且C*=｜C｜.C-1，可求得C*。若A、B不全可逆，則對四個選項驗證：C.C*=｜C｜E。若A、B均可逆，則A*=｜A｜A-1，B*=｜B｜B-1，對比四個選項知，只有D項成立。當A或B不可逆時，利用定義可證D項仍成立。15、設n階矩陣A非奇異(n≥2)，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()。A、(A*)*=｜A｜n-1AB、(A*)*=｜A｜n+1AC、(A*)*=｜A｜n-2AD、(A*)*=｜A｜n+2A標準答案：C知識點解析：涉及伴隨矩陣A*，聯想到公式AA*=A*A=｜A｜E。A*=｜A｜A-1，于是16、設向量組α1，α2，α3線性無關，則下列向量組中，線性無關的是()。A、α1+α2，α2+α3，α3一α1B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D、α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2一5α3標準答案：C知識點解析：A項，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α1)=0；B項，(α1+α2)+(α2+α3)一(α1+2α2+α3)=0；可見AB兩項中向量組線性相關。CD兩項不能直接觀察出，C項，令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，即(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0。由于α1，α2，α3線性無關，故。因上述齊次線性方程組的系數行列式，故方程組有惟一零解，即k1=k2=k3=0，故C項中向量組線性無關。17、設有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無關組是()。A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α1，α2，α5D、α1，α2，α4，α5標準答案：B知識點解析：對以α1，α2，α3，α4，α5為列向量的矩陣施以初等行變換：由于不同階梯上對應向量組均線性無關，而含有同一個階梯上的兩個以上的向量必線性相關，對比四個選項知，B項成立。18、設n維行向量，矩陣A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB等于()。A、0B、一EC、ED、E+αTα標準答案：C知識點解析：注意利用ααT為一個數來簡化計算。AB=(E—αTα)(E+2αTα)=E+2αTα一αTα一2αTααTα=19、設齊次線性方程組，當方程組有非零解時，后值為()。A、一2或3B、2或3C、2或一3D、一2或一3標準答案：A知識點解析：當方程組有非零解時，系數矩陣的行列式為0，即，k2一k一6=0，所以k=3或k=一2。20、設β1，β2是線性方程組Ax=b的兩個不同的解，α1，α2是導出組Ax=0的基礎解系，k1、kα2是任意常數，則Ax=b的通解是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：非齊次線性方程組Ax=b的通解由導出組Ax=0的基礎解系與某一特解構成。A項，、α1-α2都是導出組Ax=0的一個解，該選項中不包含特解；B項，β1-β2是導出組Ax=0的一個解，該選項也不包含特解；C項，是Ax=b的特解，α1-α2與α1線性無關，可作為導出組Ax=0的基礎解系；D項，包含特解，但β1-β2與α1未必線性無關，不能作為導出組Ax=0的基礎解系。21、設A是m×n階矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應的齊次線性方程組，則下列結論正確的是()。A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有惟一解B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個解C、若Ax=b有無窮多個解，則Ax=0僅有零解D、若Ax=b有無窮多個解，則Ax=0有非零解標準答案：D知識點解析：由解的判定定理知，對Ax=b，若有r(A)==r，則Ax=b一定有解。進一步，若r=n，則Ax=b有惟一解；若r＜n，則Ax=b有無窮多解。而對Ax=0一定有解，且設r(A)=r，則若r=n，Ax=0僅有零解；若r＜n，Ax=0有非零解。因此，若Ax=b有無窮多解，則必有r(A)==r＜n，Ax=0有非零解，所以D項成立。但反過來，若r(A)=r=n(或＜n)，并不能推導出r(A)=，所以Ax=b可能無解，更談不上有惟一解或無窮多解。22、齊次線性方程組的系數矩陣記為A。若存在三階矩陣B≠0使得AB=0，則()。A、λ=一2且｜B｜=0B、λ=一2且｜B｜≠0C、λ=1且｜B｜=0D、λ=1且｜B｜≠0標準答案：C知識點解析：因為AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r(A)＜3，1≤r(B)＜3，故｜B｜=0。又因為λ=一2時，，即此時r(A)=3。事實上，當λ=1時，。23、已知3維列向量α，β滿足αTβ=3，設3階矩陣A=βαT，則()。A、β是A的屬于特征值0的特征向量B、α是A的屬于特征值0的特征向量C、β是A的屬于特征值3的特征向量D、α是A的屬于特征值3的特征向量標準答案：C知識點解析：由題意可得Aβ=βαTβ=3β，所以β是A的屬于特征值3的特征向量。24、設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，ξ，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則以下選項中正確的是()。A、對任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量B、存在常數k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量C、對任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量D、僅當k1=k2=0時，k1ξ+k2η是A的特征向量標準答案：C知識點解析：ξ，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則：Aξ=λ1ξ，Aη=λ2η，A(k1ξ+k2η)=k1Aξ+k2Aη=k1λ1ξ+k2λ2η，當λ1≠λ2時，k1ξ+k2η就不是矩陣A的特征向量。25、下列矩陣中不能對角化的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：26、設A是n階矩陣，且Ak=0(k為正整數)，則()。A、A一定是零矩陣B、A有不為0的特征值C、A的特征值全為0D、A有n個線性無關的特征向量標準答案：C知識點解析：設λ是A的特征值，對應的特征向量為α，則有Aα=λαAkα=λkα=0由α≠0，有λk=0，即λ=0，故A的特征值全為0。令，則A2=0。若A有n個線性無關的特征向量，則A可對角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=0，則必有A=0，與題意矛盾。27、已知二階實對稱矩陣A的一個特征向量為(2，一5)T，并且｜A｜＜0，則以下選項中為A的特征向量的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：設A的特征值為λ1，λ2，因為｜A｜＜0，所以λ1λ2＜0，即A有兩個不同的特征值。又，且在D項中，k1與k2不同時為零。c項，k1與k2都可以等于0，如當k1=0，k2≠0時，k2(5，2)T也是A的特征向量，所以排除。28、二次型Q(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32的標準形為()。A、y12一y22B、y12+y22+y32C、y12+y22一y32D、y12+y22標準答案：D知識點解析：用配方法，有：Q(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2｜X=PY=y12+y22。29、n元二次型XTAX是正定的充分必要條件是()。A、｜A｜＞0B、存在n維非零向量X，使得XTAX＞0C、f的正慣性指數p=nD、f的負慣性指數q=0標準答案：C知識點解析：｜A｜＞0是A正定的必要條件，不是充分條件，必須保證A的所有順序主子式全大于0，才能推出XTAX是正定的，排除A。二次型XTAX正定的充分必要條件是對任意的n維非零向量X，均有XTAX＞0，而并非僅僅是存在，排除B。在D中，f的負慣性指數等于0，可保證XTAX為非負定二次型，但不能確保是正定二次型。30、已知A為奇數階實矩陣，設階數為n，且對于任一n維列向量X，均有XTAX=0，則有()。A、｜A｜＞0B、｜A｜=0C、｜A｜＜0D、以上三種都有可能標準答案：B知識點解析：由于對任一n維列向量均有XTAX=0，兩邊轉置，有XTATX=0，從而XT(A+AT)X=0。顯然有(A+AT)T=A+AT，即A+AT為對稱矩陣。從而對任一n維列向量均有：XT(A+AT)X=0，且A+AT為實對稱矩陣，從而有A+AT=0。即AT=一A，從而A為實反對稱矩陣，且A為奇數階，故｜A｜=0。31、二次型f(x1，x2，x3)=的秩為()。A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：令，則二次型矩陣。故二次型的秩為1。32、已知矩陣，那么與A既相似又合同的矩陣是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：兩個實對稱矩陣如果相似必然合同，因為兩個實對稱矩陣相似，則它們有相同的特征值，從而有相同的正、負慣性指數，因此它們必然合同。但合同不能推出相似，故本題只要找出與A相似的矩陣即可，也就是求A的特征值。注冊巖土工程師（基礎考試-上午-高等數學）模擬試卷第4套一、單項選擇題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)1、設事件A與B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結論正確的是()。A、P(A｜B)=P(A)B、P(A｜B)=0C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(B｜A)＞0標準答案：B知識點解析：因為事件A與B互不相容，所以P(AB)=0，又因為P(A)＞0，P(B)＞0，所以P(AB)=P(B)P(A｜B)，由P(AB)=0，P(B)＞0易得P(A｜B)=0。2、將3個球隨機地放入4個杯子中，則杯中球的最大個數為2的概率為()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：把3個球放到4個杯子，每個球都有4種方法，共43種放法。杯中球的最大個數為2的放法為：從3個球中取2球放入其中的一個杯子，剩下的一個球放入到另外的一個杯子中，共有種放法。由古典型概率可得：杯中球的最大個數為2的概率。3、離散型隨機變量X的分布為P(X=k)=cλk(k=0，1，2，…)，則不成立的是()。A、c＞0B、0＜λ＜1C、c=1-λD、標準答案：D知識點解析：A項，已知概率值P必須大于0，故cλk＞0，從而c＞0，λ＞0；B項，由概率分布函數的性質可得：收斂，已知等比級數只有當｜λ｜＜1時收斂，又λ＞0，故0＜λ＜1；C項，4、設X～P(λ)，且P{X=3}=P{X=4}，則λ為()。A、3B、2C、1D、4標準答案：D知識點解析：因為X～P(λ)，則P{X=3}=P{X=4}，即，也即λ=4。5、已知隨機變量X服從二項分布，且EX=2．4，DX=1．44，則二項分布的參數n，P的值為()。A、n=4；P=0．6B、n=6；P=0．4C、n=8；p=0．3D、n=24；p=0．1標準答案：B知識點解析：依題意得X～B(n，P)，于是EX=np，DX=np(1一P)，于是可得方程組：6、設隨機變量X的概率密度為，則P(0≤X≤3)等于()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：7、設隨機變量(X，Y)服從二維正態分布，其概率密度為f(x，y)=，則E(X2+Y2)等于()。A、2B、1C、D、標準答案：A知識點解析：從密度函數可以看出X、Y是獨立的標準正態分布，所以X2+Y2是服從自由度為2的χ2分布，χ2分布的期望值為自由度，故E(X2+Y2)=2。8、設隨機變量X的密度函數為f(x)，且f(一x)=f(x)，F(x)是X的分布函數，則對任意實數a有()。