1.一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌

跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下關系:(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.此時,這個方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.2.求曲線方程的一般步驟(1)建系設點:用有序實數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;(2)列式(限制):找出曲線上的點所滿足的幾何關系式;3.4曲線與方程3.5圓錐曲線的應用曲線的方程與方程的曲線(3)代換:用坐標(x,y)來表示上述幾何關系;(4)化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式;(5)證明:驗證以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.(一般變為確定點

的范圍即可)

1.圓錐曲線的統一定義平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常

數e的點的軌跡.當0<e<1時,它表示橢圓;當e>1時,它表示雙曲線;當e=1時,它表示拋物線.其中e是圓錐曲線的離心率,定點F是圓錐曲線的焦點,定直線l是圓錐曲線的準線.2.橢圓

+

=1(a>b>0)的準線方程為x=±

,橢圓

+

=1(a>b>0)的準線方程為y=±

.雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的準線方程為x=±

,雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的準線方程為y=±

.1.根據方程研究曲線的性質時,若方程比較復雜,則應對方程進行同解變形,并注

意方程的附加條件以及隱含條件,一定要保證其等價性.1根據方程研究曲線的性質2.研究曲線是否經過某個點時,只需驗證該點的坐標是否滿足曲線的方程,若滿

足,則點在曲線上,否則,點不在曲線上.3.研究曲線的對稱性時,可將方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是

否發生變化,以確定其對稱性.4.研究兩曲線是否相交時,可將兩曲線方程聯立,然后判斷方程組是否有實數解,

若有實數解,則有交點,否則,沒有交點.

典例

(多選)已知曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0),F2(1,0)的距離的乘積等于常數m2(m>1)的點的軌跡,則下列結論中正確的是

(

)A.曲線C經過原點B.曲線C關于原點對稱C.若點P在曲線C上,則△PF1F2的面積不大于

m2D.直線y=x與曲線C有兩個交點BCD解析

設動點坐標為(x,y),依題意有

·

=m2,即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即為曲線C的方程.將原點坐標(0,0)代入曲線C的方程,等式不能成立,所以曲線C不經過原點,故A選

項錯誤;以-x代替x,-y代替y,方程不變,所以曲線C關于原點對稱,故B選項正確;若點P在曲線C上,則△PF1F2的面積S=

|PF1||PF2|sin∠F1PF2=

m2·sin∠F1PF2≤

m2,即△PF1F2的面積不大于

m2,故C選項正確;由

消去y,得4x4+1=m4,即x4=

,由于m>1,所以

>0,因此方程x4=

有兩個實數解,即直線y=x與曲線C有兩個交點,故D選項正確.求動點軌跡方程的常用方法(1)直接法:當所求動點滿足的條件簡單明確時,直接按“建系設點、列出條件、

代入坐標、整理化簡、限制說明”的基本步驟求解.(2)定義法:若能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可由該曲線的定義

直接寫出曲線方程,即得動點的軌跡方程.(3)代入法(相關點法):當題目中有多個動點時,將其他動點的坐標用所求動點的坐

標來表示,再代入其他動點滿足的曲線方程或條件中,整理即得所求動點的軌跡

方程.(4)參數法:選取適當的參數,分別用參數表示動點坐標中的x,y,然后消去參數,即得

動點的軌跡方程.2求動點的軌跡方程

典例如圖所示,動圓C1:x2+y2=t2,1<t<3與橢圓C2:

+y2=1相交于A,B,C,D四點,點A1,A2分別為C2的左、右頂點.

(1)當t為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;(2)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.解析

(1)設A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0y0|.由

+

=1得

=1-

,從而

=

=-

+

,∴當

=

,

=

時,Smax=6.從而t2=

+

=5,∴t=

.∴當t=

時,矩形ABCD的面積取得最大值6.(2)由橢圓C2:

+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲線的對稱性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).設點M的坐標為(x,y).易知直線AA1的方程為y=

(x+3)①,直線A2B的方程為y=

(x-3)②,由①②得y2=

·(x2-9)③,又點A(x0,y0)在橢圓C2上,故

=1-

④,將④代入③得

-y2=1(x<-3,y<0),因此點M的軌跡方程為

-y2=1(x<-3,y<0).名師點評

本題(2)的軌跡方程中,求解時要結合幾何性質和幾何直觀細心發掘.

求解中充分運用橢圓與圓的對稱性以及方程④的整體代入,避免了煩瑣運算,優

化了解題過程.解應用題時涉及兩個基本步驟,即將實際問題抽象成數學問題和解決這個數

學問題,為此要注意以下四點:(1)閱讀理解:讀懂題意,理解實際背景,領悟其數學實質.(2)數學建模:將應用題的材料陳述轉化成數學問題,這就要抽象、歸納其中的數

量關系,并把這種關系用數學式子表示出來.(3)數學求解:根據所建立數學關系的知識系統,得出結果.(4)實際還原:將數學結論還原為實際問題.3圓錐曲線的實際應用?

典例神舟九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區域安排了三個救援中心(記為A,B,C),A在B的正東

方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某時刻,A

接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時

接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發現P的方向角.解析

如圖所示,

以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則A(3,0),B(-3,

0),C(-5,2

).設P(x,y),BC的中點為D.∵|PB|=|PC|,∴點P在線段BC的垂直平分線上.易知kBC=-

,D(-4,

),∴直線PD的方程為y-

=

(x+4).①易得|PB|-|PA|=4<6=|AB|,∴點P在以A,B為焦點的雙曲線的右支上,且a=2,c=3,∴雙曲線方程為

-

=1(x≥2).②聯立①②,得P點坐標為(8,5

),∴kPA=

=

,因此P在A的北偏東30°方向上.

通過圓錐曲線的應用發展邏輯推理和數學建模的核心素養圓錐曲線在數學、天文、光學、建筑以及實際生活中有廣泛的應用,求解此

類問題時要善于抓住問題的實質,建立適合的數學模型(橢圓、雙曲線、拋物線),從而發展數學建模的核心素養,然后利用圓錐曲線的相關定義、標準方程、性質

等知識求解,在求解過程中發展邏輯推理的核心素養.素養解讀

例題某同學觀看了2019年春節檔非常熱門的電影《流浪地球》后引發了他的思考:假定地球(設為質點P,半徑忽略不計)借助原子發動機開始“流浪”的軌

道是以木星(看作球體,其半徑R約為7萬千米)的中心F為右焦點的橢圓C.已知地

球的近木星點A(軌道上離木星表面最近的點)到木星表面的距離為1萬千米,遠木

星點B(軌道上離木星表面最遠的點)到木星表面的距離為25萬千米.(1)求橢圓C的標準方程;(2)若地球在“流浪”的過程中,由A第一次逆時針“流浪”到與軌道中心O的距

離為

(a,b分別為橢圓的長半軸長、短半軸長)萬千米時,由于木星引力,部分原子發動機突然失去了動力,此時地球向著木星方向開始變軌(如圖所示),假定地球變軌后的軌道為一條直線L,稱該直線的斜率k為“變軌系數”.當“變軌系數”k

的取值為-2或1時,地球與木星會不會發生碰撞?典例呈現解題思路

(1)設出橢圓的標準方程,再根據題意求出a,b,c的值即可.設橢圓C的標準方程為

+

=1(a>b>0).由條件得

解得

故b2=256,因此橢圓C的標準方程為

+

=1.(2)由P與軌道中點O的距離和橢圓的方程聯立得到的方程組的解得P的坐標,再由

點到直線的距離與R的大小關系列出不等式進行判斷.設地球由近木星點A第一次逆時針“流浪”到與軌道中心O的距離為

萬千米時所在位置為P(x0,y0),設x0>0,y0>0.信息提取

以地球“流浪”的軌道為背景建立橢圓模型,受木星引力,地球“流

浪”的軌道變軌,為一條直線,從而建立直線模型,最后利用相關知識解決問題.則

?

∴P

,則直線L的方程為y-

=k

,即kx-y+

-

k=0,設木星的中心F到地球的距離為d萬千米.由d>R得

>7,化簡得425k2+128

k-839<0,當k=-2時,不等式左邊=86