第2講圖形的初步認識（二）（精講）

目錄

第一部分：知識點精準記憶

第二部分：課前自我評估測試

第三部分：典型例題剖析

題型一：角的概念

題型二：鐘面角

題型三：方向角

題型四：角的單位與角度制

題型五：角的大小比較

題型六：角的運算

題型七：角平分線問題

題型八：余角和補角

題型九：相交線

題型十：垂線

題型十一：垂線段最短

題型十二：點到直線的距離

題型十三：對頂角

題型十四：鄰補角

題型十五：平行線及其判斷

角度1：平行線

角度2：平行公理及其推論

角度3：平行線的判斷

題型十六：平行線的性質

角度1：平行線的性質

角度2：平行線的性質的應用

角度3：平行線直接的距離

第四部分：中考真題感悟

第一部分：知識點精準記憶

知識點一：角的概念

(1)角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，

這兩條射線是角的兩條邊.

(2)角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點

字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，

否則分不清這個字母究竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母(如m//、…)

表示，或用阿拉伯數字(Nl，Z2-)表示.

(3)平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉而形成的圖形，當始邊與終

邊成一條直線時形成平角，當始邊與終邊旋轉重合時，形成周角.

(4)角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位.1度=60分，即1=60'，1分=60秒,

即1'=60".

(5)比較角的大小有兩種方法:

①測量法，即用量角器量角的度數，角的度數越大，角越大.

②疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置.

知識點二：角的計算

8

(1)角的和差倍分/0

0A

①NAOB是Z4OC和NBOC的和，記作：ZAOB=ZAOC+ABOC.ZAOC是ZAOB

和N8OC的差，記作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射線。。是NAOB的三等分線,

則ZAOB=3ZBOC或NBOC=-ZAOB.

3

(2)度、分、秒的加減運算.在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加

減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60.

(3)度、分、秒的乘除運算.①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位.②除法:

度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除.

知識點三：余角與補角

（1）定義：

若Nl+N2=90，則N1與N2互為余角.其中N1是N2的余角，N2是N1的余角.

若Nl+N2=180，則N1與N2互為補角.其中N1是N2的補角，N2是N1的補角.

（2）性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等.

知識要點

①余角（或補角）是兩個角的關系，是成對出現的，單獨一個角不能稱其為余角（或補角）.

②一個角的余角（或補角）可以不止一個，但是它們的度數是相同的.

③只考慮數量關系，與位置無關.

④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.

知識點四：對頂角與鄰補角

（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，

具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.

（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，

互為鄰補角.

（3）對頂角的性質：對頂角相等.

（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°.

（5）鄰補角、對頂角成對出現，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個.鄰補角、對頂角

都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系.它們都是在兩直線相交的前提下形

成的.

知識點五：平行：

（1）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

（2）平行公理中要準確理解“有且只有”的含義.從作圖的角度說，它是“能但只能畫出

一條”的意思.

（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

（4）平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結論在證明直

線平行時應用.

知識點六：垂直：

（1）垂線的定義

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條

直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

（2）垂線的性質

在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

（4）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

第二部分：課前自我評估測試

1.（2023秋?山東德州?七年級校考期末）如圖，已知直線A3、C力相交于點O,平分NEOC,

ZEOC=110°,則的度數是（）

【答案】D

【詳解】解：平分/EOC,ZEOC=110°,

ZAOC=-ZEOC=55°,

2

NBOD=ZAOC=55°,

故選D.

2.（2023?四川?九年級專題練習）如圖，在。ABCD中，已知AB=12,AD=8,ZABC的平

分線BM交CD邊于點M,則DM的長為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【詳解】解：.??四邊形ABCO是平行四邊形，

CD^AB=12,BC=AD=8,AB//CD,

：.ZCMB,

?：BM是NA8C的平分線，

ZA8M=NCBM,

ZCBM=NCMB,

：.MC=BC=8,

DM=CD-MC=12-8=4,

故選:B.

3.（2023春?江蘇?七年級專題練習）如圖所示，直線OE〃尸G,射線AB分別交直線。E,FG

于點B,C,AOJ.AC于點A,若408=20。則NACG的度數為（）

【答案】C

【詳解】解：A￡>J>AC,

ZA=90°,

ZADB=20°,

ZDBC=ZA+ZD=900+20°=]\0°,

DE〃FG,

ZACG=ZD3C=110。.

故選：C.

【詳解】解：在選項B、D中，N1與N2的兩邊都不互為反向延長線，A選項沒有公共點,

所以不是對頂角，是對頂角的只有選項C.

故選：C.

5.（2023春?七年級單元測試）下列各圖中，N1與N2是同位角的是（）

【詳解】解：A.選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現的角，不符合題意;

B.選項中的兩個角符合同位角的意義，符合題意；

C.選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現的角，不符合題意；

D.選項中的兩個角不是兩條直線被一條直線所截出現的角，不符合題意；

故選：B.選項

6.（2023春?江蘇?七年級專題練習）如圖，ABCD,2A8Z）和NB0C的角平分線交于點

E,延長3E交C。于點尸，/2=32。，則/3=.

【答案】58°##58度

【詳解】解：?「AB|；CO,

ZABD+^BDC=\8Q0,NABF=/3,

■：BE、DE平濟/ABD、ZBDC

：.—1=ZABF=工NABD,N2=NFDE=gNBDC,

22

/ABF+NFDE=；(/ABD+NBDC)=鞏)。,

：.N3+/2=90°,

N2=32°,

23=90°--2=58°.

故答案為：58°.

7.（2023秋?重慶渝中?七年級重慶巴蜀中學校考期末）請把下面證明過程補充完整.

如圖，ADBE,Zl=Z3,Z2=ZB,求證：DE//AC.

證明：?：ADBE（已知）

■-Z2+=180°()

??Z2=ZB(已知)

?,ZB+NDCB=]80。()

-.AB()

?.Z3=()

,?Z1=Z3(已知)

Zl=(等量代換)

?.DE//AC（內錯角相等，兩直線平行）

E

【答案】NDCB；兩自線平行，同旁內角互補：等量代換；CD-同旁內角互補，兩宜.線平

行；Z4；兩直線平行，內錯角相等；Z4

【詳解】證明：A。BE（己知）

Z2+ZZX?B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

Z2=ZB（已知）

ZB+ZDCB=\80°（等量代換）

CD//AB（同旁內角互補，兩直線平行）

/3=/4（兩直線平行，內錯角相等）

Z1=Z3（已知）

Z1=Z4（等量代換）

DE//AC（內錯角相等，兩直線平行）

第三部分：典型例題剖析

題型一：角的概念

典型例題

例題1.（2022秋?河北?七年級校聯考期末）下列說法中正確的是（）

A.在所有連接兩點的線中，直線最短B.NA08與N84。表示的是同一個角

C.同角（或等角）的余角相等D.若AB=BC,則點8是線段AC的中點

【答案】C

【詳解】解：A、在所有連接兩點的線中，線段最短，故原說法錯誤，故本選項不合題意；

B、與NBAO表示的不是同一個角，故原說法錯誤，故本選項不合題意；

C、同角（或等角）的余角相等，說法正確，故本選項符合題意；

D、若AB=BC,點A、B、C不一定在同?自線匕所以點B不一定是線段AC的中點，

故本選項不合題意；

故選：C.

例題2.（2023秋?吉林長春?七年級長春市實驗中學校考期末）如圖所示，下列關于角

的說法錯誤的是（）

c

/J^B

o

A.N1與NAO3表示同一個角

B.表示的是N6OC

C.圖中共有三個角：ZAOB,ZAOC,NBOC

D.N4OC也可用NO來表示

【答案】D

【詳解】解：A、N1與NAOB表示同一個角，本選項說法正確；

B、NB表示的是NBOC,本選項說法正確；

C、圖中共有三個角：ZAOB,ZAOC,ZBOC,本選項說法正確；

D、NAOC不可用N0來表示，本選項說法錯誤；

故選：D.

例題3.(2022秋?浙江?七年級專題練習)如圖，寫出全部符合條件的角.

(1)能用一個大寫字母表示的角；

(2)能用一個數字表示的角，并將這些角用字母表示出來；

(3)以D為頂點且小于平角的角；

(4)以A為頂點且小于平角的角.

【答案】(1)能用一個大寫字母表示的角是N8

(2)能用一個數字表示的角是N1可用—ABD(/ABC，NABE,2B)表示；N2可用

表示

⑶以D為頂點且小于平角的角是ZAIX：和NADB

⑷以A為頂點且小于平角的角有/BAD,ZDAC(Z2)和/A4c

【詳解】(1)能用一個大寫字母表示的角是/8；

(2)能用一個數字表示的角是N1可用ZABC,4BE,NB)表示；N2可用NCW

表示；

(3)以￡)為頂點旦小于平角的角是，ADC和NAQB；

(4)以A為頂點且小于平角的角有Z5W,NDAC(Z2)和ZB4C.

同類題型歸類練

1.（2022秋?七年級課時練習）下列四個圖中，能用Nl、N。、NMON三種方法表示同一

個角的是（）

【詳解】A、圖中的NMON不能用N。表示，故本選項錯誤；

B、圖中的N1和NO不是表示同一個角，故本選項錯誤；

C、圖中的Nl、NO、NMON表示同?個角，故本選項正確；

D、圖中Nl、NMON、N。不表示同一個角，故本選項錯誤；

故選：C.

2.（2022秋?浙江?七年級專題練習）如圖，圖中角的頂點是,邊是.用三種不

同的表示方法表示這個角為.

A

【答案】。點和08/AOB,Na,NO

【詳解】解：圖中角的頂點是。點，邊是。4和。B.用三種不同的表示方法表示這個角為

ZAOB,Na,NO.

故答案為：。點，OA^ttOB,NA（）B,/a,NO.

題型二：鐘面角

典型例題

例題1.（2022秋?重慶江北?七年級字水中學校考期末）8點30分，時針與分針所夾的

小于平角的角為（）

A.55°B.75°C.60°D.80°

【答案】B

【詳解】???時鐘上一大格是30。,

2x30°+-x30°=75°,

2

,8點30分，時針與分針所夾的小于平角的角為：75°,

故選：B.

例題2.（2022秋?廣東惠州?九年級校考期末）如圖，時鐘的時針從上午的8時轉動到

上午10時，時針旋轉的旋轉角為（）

A.30°B.60°C.80°D.100°

【答案】B

【詳解】解：由題意可得，

360°+12x2=60°，

故選B.

例題3.（2022秋?全國?七年級專題練習）如圖2是從圖1的時鐘抽象出來的圖形，已

知三角形A3C是等邊三角形，ZA=60°,當時針OP正對點A時恰好是12:00.若時針。戶

與三角形A8C一邊平行時，時針所指的時間不可能是（）

A.1：00B.3；00C.5：00D.8：00

【答案】D

【詳解】解：根據題意可知，需要分三種情況，如下圖所示:

當。尸AC時，如圖2(2),此時對應的時間為5:00或11:00；

當OP〃BC時，如圖2(3),此時對應的時間為3:00或9:00；

故選：D.

例題4.(2022秋?全國?七年級專題練習)你們知道時鐘里面的數學知識嗎？我們一起

來研究一下吧.

(1)分針走5分鐘，旋轉一度，那么分針的旋轉速度是度/分鐘；

(2)時針走1小時，旋轉一度，那么時針的旋轉速度是一度/小時；

(3)當時間是1點整的時刻，時針和分針的夾角是一度，你知道此時要經過多少分鐘,

時針和分針將第一次重合？請你算算好嗎？

(4)如果是10點整的時刻，那么要經過一分鐘，時針和分針將第一次重合.

【答案】⑴30,6(2)30.30⑶30,經過號分鐘⑷544

【詳解】(1)根據圓周角是360度，分針旋轉一圈需要60分鐘，

???分針的旋轉速度是360+60=6(度/分鐘)

分針走5分鐘,旋轉6x5=30度

故答案為：30,6

(2)根據圓周角是360度，時針旋轉一圈需要12小時，

，時針的旋轉速度是360+12=30(度/時)

.??時針走1小時，旋轉30度，

故答案為：30.30

（3）當時間是1點整的時刻，時針在1的位置，分針在12的位置，

時針和分針的夾角是30度，

設1點x分時，分針與時針重合，則

0.5xx+30=6x,

解得X喈,

??.經過號分鐘，時針和分針將第一次重合.

故答案為：30,經過號分鐘

（4）假設10點y分時，分針與時針重合，則

0.5xy+300=6y,

解得y=54《.

經過54白分鐘，時針和分針將第一次重合.

故答案為：54—

同類題型歸類練

1.（2022秋?重慶?七年級重慶一中校考階段練習）圖①鐘面的角與圖②鐘面的角分別是（）

度

1:002:15

①②

A.20；15B.30；25C.3622.5D.22.5:15

【答案】C

【詳解】解：圖①鐘面的角的度數為：m=30。；

2:00的時針與2:15時針之間間隔度數為30。、㈢=7.5。，

60

2:15時的時針與分針之間間隔度數為30。-7.5。=22.5。，

二圖②鐘面的角的度數為：22.5°.

故選：C.

2.（2022?安徽安慶,統考二模）如圖表示一個時鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上，其中分針

上有一點4且當鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10厘米,

如圖①.若此鐘面顯示3點45分時，A點距桌面的高度為18厘米，如圖②.則鐘面顯

示3點50分時，A點距桌面的高度為（）厘米

圖①圖②

A.22-3百B.16+萬C.22D.18+4百

【答案】C

【詳解】解：如圖，

???當鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10厘米.

40=10厘米，

???鐘面顯示3點45分時，A點距桌面的高度為18厘米，

?A'C=18厘米，

4O=A，O=8厘米，

則鐘面顯示3點50分時，則有N|04=30。，

FA"=4,

.A點距桌面的高度為:18+4=22厘米.

故選：C.

3.（2023秋?新疆?九年級統考期中）時鐘上的時針不停地旋轉，從上午8時到上午11時,

時針旋轉的旋轉角是.

【答案】90"

【詳解】解:???時針從上午的8時到11時共旋轉了3個格,每相鄰兩個格之間的夾角是30。，

???時針旋轉的旋轉角=3033=90。.

4.（2022秋?山東煙臺?九年級統考期中）圖1是一種矩形時鐘，圖2是時鐘示意圖，時鐘

數字2的刻度在矩形A8CD的對角線8。上，時鐘中心在矩形ABC。對角線的交點。上，

若BC=30乖）cm,則AB長為cm.

圖1圖2

【答案】30

【詳解】如圖：過。點作。ONVCD,垂足分別為M,N,

由題意知=2N7VOD,

VZMOD+ZNOD=90°,

：.2NOD=30。,

四邊形ABCD是矩形，

ADBC,ZA=9O°,AD=BC,

：.ZADB=ZNOD=30°,

■BC=AD=30A/3,

A8n

tan300=—,B|JAB=fiOi30°24O>=—x/=,

AD3

故答案為：30.

題型三：方向角

典型例題

例題1.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在“慶國慶，手拉手”活動中，某小組從

營地A出發，沿北偏東53。方向走了1200m到達8點，然后再沿北偏西37。方向走了500nl

到達目的地C點，此時A,C兩點之間的距離為（）

B.1100mC.1200mD.1300m

【答案】D

【詳解】解：如圖,

由題意得：AB=1200m,BC=500m,/CBD=37°,/BAf=53°,DE//AF<

：.ZABE=ZBAF=53°,

■.ZABC=180°-Z.CBD-ZABE=180°-37°-53°=90°,

AC=yjAB'+BC-=V12002+5002=1300（m）,

即A,C兩點之間的距離為1300m,

故選：D.

例題2.（2023秋?重慶渝中?七年級重慶巴蜀中學校考期末）如圖，小明從A處沿南偏

西653（/方向行走至點8處，又從點8處沿北偏西7230,方向行走至點E處，則乙4BE=

（）

北

A.11430,B.108C.137D.138

【答案】D

【詳解】解：如圖：

1?小明從A處沿南偏西6530'方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西7230,方向行走至點

E處

...Z2=N3=6530'，Z1=7230'

ZABE=41+Z2=138°.

故答案為D.

北

例題3.（2023春?全國?七年級專題練習）如圖，快艇從尸處向正北航行到A處時，向

右轉60。航行到B處，再向左轉90。繼續航行，此時的航行方向為北偏西°.

4、

【答案】30

【詳解】解：如圖,

ZEBF=60°,

?DBE90?60?30?,

此時的航行方向為：北偏西30。；

故答案為：30.

例題4.（2023?浙江?九年級專題練習）如圖，海岸線上有兩座燈塔A,B,燈塔A位于

燈塔B的正東方向，與燈塔8相距8km.海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔8的北偏東

30°方向，與燈塔8相距的8km的C處；乙船位于燈塔A的北偏東15。方向，與燈塔A相

距6>/2km的D處.求：

(1)甲船與燈塔A之間的距離;

(2)兩艘貨船之間的距離.

【答案】(1)8km

(2)27iOkm

【詳解】(1)解：如圖，連接AC.

甲船位于燈塔B的北偏東30。方向

ZABC=60°

.AB=AC=S,ZABC=60°,

ABC為正三角形，

AC=A8=8km,

即甲船與燈塔A之間的距離為8km.

(2)解：過C作C//LAD于點”.

ZB4C=60°,

ZCAH=30°+\5°=45°,

-AC"為等腰直角三角形.

AC=8,

AH=CH=4正，

又；AD=6>f2,

DH=6近-4近=26，

CD=\ICH2+DH2=J(4何+(2&丫=2M.

兩艘貨船之間的距禽為2715km.

同類題型歸類練

1.（2023?河北?九年級專題練習）如圖，快艇從P處向正北航行到4處時，向左轉50。航行

到B處，再向右轉80。繼續航行，此時的航行方向為（）

y北

'、物!_Lz-

p

A.北偏東30°B.北偏東80°C.北偏西30°D.北偏西50°

【答案】A

【詳解】解：如圖，

!c

1

1

"2f個/t4北東

1八

!P

APWBC,

：.Z2=Z1=50°,

「ZEBF=80°=Z2+Z3,

/.Z3=ZEBF-Z2=80°-50°=30°,

「?此時的航行方向為北偏東30°,

故選A.

2.（2023秋?吉林長春?七年級長春市實驗中學校考期末）如圖,OA的方向是北偏東15°,

OB的方向是北偏西40。，若NAOC=/AO3,則OC的方向是

【詳解】解：如圖，由題意可知

???ZBOD=40°,ZAOD=15°,

ZAOC=ZAOB=ZAOD+BOD=55°,

ZCOD=ZAOC+ZAOD=15+55=70°,

故答案為：北偏東70。.

3.（2023春?全國?七年級專題練習）如圖是AB,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°

方向，在8島的北偏西30。方向，則=.

【詳解】如圖，作CE〃A￡）,

DA//FB,

：.CE//BF.

ZDAC=ZACE=50°.

-：CE//BF,

/CBF=NBCE=30。.

ZACB=ZACE+ZBCE=50°+30°=80°.

故答案為:80°.

4.（2023?全國,九年級專題練習）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70。方向上，輪

船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50。方向勻速航行,1小時后到達碼頭B處,此時，

觀測燈塔C位于北偏西25。方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是多少海里？（結果精確到個

位，參考數據：應=1,4，6=1.7,n=2.4）

【答案】24海里.

【詳解】解：過點8作如圖所示

由圖可知，ZDAB=60°ZCBA=75°

：.ZC=180°-75°-60o=45"

Z。54=90°-60°=30°

在RtAABD和RtABCD中

BD=^-AB,BC=yl2BD

又45=20x1=20（海里）

BD=106

，8C=&X1OG=1O#=24（海里）

答：燈塔C與碼頭B的距離約24海里.

題型四：角的單位與角度制

典型例題

例題1.（2022秋?七年級單元測試）如圖所示，已知NAOC=NCO￡）=N3O￡>,若

ZCOD=14°34',則NAO3的度數是（）

幺-----B

A.28°68'B.42°102（C.43°2'D.43°42'

【答案】D

【詳解】解：..ZAOC=NCO￡>=N3OD,ZCO￡>=14°34r,

ZA0B=32coD=14。34'x3=42。102'=43。42'.

故選：D.

例題2.（2022秋?河北邯鄲?七年級統考期末）用度、分、秒表示21.24。為（）

A.21°24'I4"B.2I034C.21°20'24"D.21°1424,

【答案】D

【詳解】解：21.24°=21°+0.24x60,

=21°+14.4,

=21°+14+0.4x60'

=21°+14'+24"

=21°14'24"

故選：D.

例題3.（2022秋?七年級課時練習）將25.2°用度、分表示為.

【答案】25°12'

【詳解】解：25.洋=25°12'.

故答案為:25°12,.

例題4.（2022秋?山東棗莊?七年級統考期末）計算：108。42'36"=°,

【答案】108.71

【詳解】解:108°42'36"

=108°+42,+（36:60）'

=108。+（42.6+60）。

=108.71°.

故答案為：108.71.

同類題型歸類練

1.（2022秋?北京懷柔?七年級統考期末）已知—A與—3互余，ZA=76。15',則NB=（）

A.14°45fB.103°45'C.104°45'D.13°45'

【答案】D

o,,

【詳解】解：由題意,得：ZB=90-76°15=13045;

故選：D.

2.（2022秋?天津和平?七年級校考期末）下列各數中，正確的角度互化是（）

A.72.5°=72°50,B.24.25°=24°15'

C.18°18'18〃=18.33°D.23。12'36"=23.48°

【答案】B

【詳解】解：A、72.5。=72。30',選項錯誤，不符合題意；

B、24.25。=24。15',選項正確，符合題意；

C、18°18'18"=18.305。,選項錯誤,不符合題意;

D、23。12'36"=23.21°,選項錯誤,不符合題意;

故選B.

3.（2022秋?全國?七年級專題練習）用度、分、秒表示31.21。為（）

A.31°12'36"B.31°2rC.31°12'23"D.31°20'1”

【答案】A

【詳解】解；31.21。=31。12,36”

故選：A

4.（2022秋?遼寧大連?七年級統考期末）比較大小：60°25（60.25°（填

或.

【答案】＞

【詳解】解：60.25。=60。+0.25。=60。15',

.?.60°25'＞60.25°,

故答案為：＞

題型五：角的大小比較

典型例題

例題1.（2022秋?山東棗莊?七年級校考期末）已知夕=36。18。4=36.18。，？=36.3°,

下面結論正確的是（）

A.?</</?B.y>a=pC.a-y>PD.y<a</3

【答案】C

【詳解】由0=36018'=36。+（18+60）。=36°+0.3°=36.3°,

又因為￡=36.18°,7=36.3。,

所以a=y>/.

故選：C.

例題2.（2022秋?七年級課時練習）若/1=25。15',/2=25。13'30",N3=25.35。，則

（）

A.Z3>Z1>Z2B.Z2>Z1>Z3C.Z1>Z3>Z2D.Z1>Z2>Z3

【答案】A

【詳解】Nl=25°15',Z2=25°13,30\N3=25.35°=25°21',

Z3>Z1>Z2.

故選A.

例題3.（2022秋?北京朝陽?七年級統考期末）比較大小：38°15'38.15°（選

填“>”，，<，，，，="）.

【答案】>

【詳解】；0.15°=0.15x60,=9,,

38.15°=38°9',

/.38°15'>38°9',

即38°15'>38.：15°,

故答案為：>.

例題4.（2022?河北滄州?統考一模）量角器如圖放置，點0、P、"在一條直線上，

點"在0。處，點N在60。處.

（1）NMPN60°（填“>”“<”或“=”）；

（2）已知量角器（看作半圓）的半徑為4cm,點P到量角器中心。的距離為0.5cm,則

tanZMPN=.

【答案】>—##^V3

33

【詳解】解：（1）如圖，連接ON,

,點。、P、”在一條直線上，點M在0。處，點N在60。處,

/.NMON=60。，

■//MPN是..OPN的一個外角,且與內角NMON不相鄰，

丁.4MpN>ZMON,

即/MPN>60。

故答案為：>

(2)如圖，連接ON,過點N作N5_LQM交。”于點3,

「?AOBN和；PBN是直角三角形,

.NMON=60。，ON=4,OP=0.5,

八〃八"BN八,八、OB

smZMON=-----,cos乙MON=------,

ONON

即BN=ON.sin/MON=4xsin60°=4x—=26

2

OB=ON?cos/MON=4xcos60。=4xL2,

2

?.BP=BO-OP=2-().5=1.5,

?f/A/DZBN2百4百

??tanNMPN=----=------=------.

BP1.53

故答案為：殍

同類題型歸類練

1.（2022秋?重慶合川?七年級重慶市合川中學校考期末）比較大小：30。10'30」。.（用

"="填空）

【答案】>

［詳解］解：30.1°=30°6',且30。10'>30°6',

30。10'>30.1°,

故答案為：>,

2.（2022秋?陜西榆林?七年級統考期末）比較大小：52。15'52.15°.（填"或

"="）

【答案】>

【詳解】5225°=52°+005x60'=52°99

52°15'>52°9',

52。15'>52.15。

故答案為>.

3.（2022秋?江蘇七年級專題練習）比較大小，用">"或"V"填空：38°15f38.15°.

【答案】>

【詳解】解:1?-38.15°=389',

38°15,>38.15°.

故答案為：〉.

4.（2022秋?七年級課時練習）若/4=20.25。，/8=20。18、則NANB.（填"

或"="）

【答案】<

【詳解】解：；18'+60'=0.3°,

Z8=20°18'=20.3°>20.25°,

ZA<ZB,

故答案為：V.

題型六：角的運算

典型例題

例題1.（2023春?江蘇?七年級專題練習）如圖，直角三角板的直角頂點放在直線〃上,

且。〃"Nl=55。，則N2的度數為（）

【答案】A

【詳解】解："4=55。，

Z3=Z1=55°,

N2=90°—N3=90°—55°=35°.

例題2.（2023春?七年級單元測試）如圖，AB//CD,一副三角尺按如圖所示放置,

ZAEG=2O°,則/印力的度數為（）

A.40°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【詳解】解：AGE尸和是一幅三角尺，

NGEF=NGFE=45°,NE切=30°,

vZA￡G=20°,

ZAEF=ZAEG+ZGEF=65°,

.AB//CD.

：.ZEFD=ZAEF=65°,

..ZHFD=ZEFD-ZEFH=35°,故B正確.

故選：B.

例題3.（2023春?全國?七年級專題練習）如圖，。〃6,把三角板的直角頂點放在直線

b上,若Nl=55。，則N2的度數為。

/3=90°-/1=35°,

a//b,

：.Z2=Z3=35°,

故答案為35.

例題4.（2023春?七年級單元測試）探究題

（2）若將NCOE繞點。旋轉至圖2的位置，射線。尸仍然平分NAOE,請寫出/COf"與

NOOE之間的數量關系，并說明理由；

⑶若將NCOE繞點。旋轉至圖3的位置，射線。尸仍然平分/AOE,求2NCOR+4WE的

度數.

【答案】⑴36。，27°

(2)ZC0F=^ZD0E

(3)360°

【詳解】(1)解：ZCOE=90°,/DOE=54。,

ZAOC=180°-90°-54°=36°

ZAOE=900+36°=126°

又射線。F平分ZAOE,

??.ZFOE=-ZAOE=63°

2

ZCOF=90°-ZFOE=27°,

故答案為：36。，27°.

(2)解：0"平分NAOE,

:.ZAOF=-ZAOE

2f

/COE=90。,

.\ZAOC=90°-ZAOE,

??.ZCOF=NAOC+NAOF=90°-ZAOE+-/AOE=90°--NAOE,

22

.ZAOE=180°-ZDOEr

ZCOF=90。一g(180。一/DOE)=；ZDOE

即/COF=；/DOE；

(3)解：ZCOE=90°,

ZAOE+/COD=180。—90。=90。，

OF平分NAOE,

??.ZAOE=2ZEOF,

:.2/COF+/DOE

=2(NCOE+NEOF)+NCOE+Z.COD

=2/COE+2/EOF+ZCOE+ZCOD

=34coE+2/EOF+/COD

=3/COE+ZAOE+/COD

=3x90°+90°

=360°.

同類題型歸類練

1.（2023春?七年級單元測試）將一副直角三角尺如圖所示放置，已知AE〃3C,則NAfD

的度數是（）

【答案】B

【詳解】解：由三角板的性質可知NEAO=45o,NC=3()o,N54C=NAr>E=90。.

AE//BC,

：.NE4C=NC=30。，

ZDAF=^EAD-ZEAC=45°-30°=15°.

.ZAFD=180°-ZADEADAF=180°-90°—15°=75°.

故選：B.

2.(2023春?七年級單元測試)如圖，Zl=30°,』AOC=90。，點8,O,。在同一條直線

上，N2=()

【答案】A

【詳解】解：N1=30。，ZAOC=9QP,

ZBOC=ZAOC-Z1=60°.

:點B,O,。在同一條直線上，

N2=180°—ZBOC=120°.

故選：A.

3.（2023春?全國?七年級專題練習）如圖，已知直線a〃b,將一塊三角板的直角頂點放在

直線a上，如果4=42。，那么N2=度.

a1

b

【答案】48

【詳解】解：:a//b,

：.N2=N3、

-：/l+/3=90。，Zl=42°,

Z3=90°-42°=48°

故答案為48.

b

4.（2023春?七年級單元測試）如圖，AO1BO,CO1DO,ZAOD-4ZBOC,則NAOZ）=

【答案】144。##144度

【詳解】解：「AOLBO,COLDO,

：.ZAQB=NCO￡>=90°,

?，-ZAOD=4ZBOC,

設N3OC為x,則NAO￡>=4x,

可得：90°+90°+x+4x=360°,

解得：x=36。，

ZAOD=144°.

故答案為：144。.

5.（2023春?七年級單元測試）如圖，/AOC與—80C互為補角，/BOC與—8。。互為

⑴求28OC的度數：

(2)若0E平分/AOC,求ZBOE的度數.

【答案】⑴72。

(2)126°

【詳解】(1)解：?；NBOC與/50。互為余角，

,ZBOC+ABOD=90°.

4BOC=4ZBOD,

4

NBOC=—x90°=72°.

5

(2)???NAOC與28OC互為補角，

ZAOC+ZBOC=\SO0.

：.ZAOC=180°-Z.BOC=180°-72°=108°.

.OE平分,AOC,

ZCOE=-ZAOC=-xl08°=54°,

22

ZBOE=ACOE+ZBOC=54°+72°=126°.

題型七：角平分線問題

典型例題

例題1.(2023秋?吉林長春?七年級校聯考期末)如圖，ABCD,ZFGB=155°,FG平

分NEFD,則尸的大小為()

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】D

【詳解】解：AB//CD,ZFGB=155°,

：.ZBEF+ZEFD=ISO°,

ZGFD=180°-ZFGB=180°-l55°=25°,

FG平分NEFD,

NEFD=2/GFD=2x25°=50°,

ZBEF=180°-ZEFD=180°-50°=130°,

故選：D.

例題2.（2023春?全國?七年級專題練習）如圖，AB8,直線EF交AB于點E,交

CD于點F,EG平分ZBEF,交CD于點G,Zl=50°,則/2等于（)

C.65°D.90°

【答案】C

【詳解】解:AB//CD,

.-.ZBEF+Zl=180o,

Zl=50°,

.-.ZBEF=130°,

■.EG平一分4EF,

:.NBEG=L/BEF=65。,

2

Z2=ZBEG=65°,

故選：C.

例題3.（2023春?江蘇?七年級專題練習）已知AM〃CV,點6在直線AM、CN之間,

ZASC=88°.

圖2圖3

（1）如圖L請直接寫出-A和/C之間的數量關系:

（2）如圖2,-A和/C滿足怎樣的數量關系？請說明理由.

⑶如圖3,AE平分CH平■分4NCB,AE與CH交于點.G,則ZAGH的度數為

【答案】(1)ZA+ZC=88°

(2)ZC-ZA=92°,見解析

(3)46°

【詳解】(1)解：過點B作座〃AM,如圖,

圖1

?.ZA=ZABE.

VBE//AM.AM//CN,

BE//AM//CN.

?.ZC=ZCBE.

?/ZABC=88°.

/.Z4+ZC=ZABE+ZCfiE=ZABC=88o.

故答案為：ZA+ZC=88°：

(2)解：/A和—C滿足：ZC-ZA=92°.理由:

過點8作如圖，

圖2

.ZA=ZABE.

?,BE//AM,AM//CN,

?.BE//AM//CN.

..ZC+ZCBE=180°.

?.ZCBE=180°-ZC.

ZABC=88°.

??ZABE+ZC^E=88°.

??ZA+180°-ZC=88°.

NC-ZA=92。；

(3)解：設。”與A3交于點F,如圖,

圖3

AE平分AMAB,CH平分NNCB,

ZGAF=-NMAB,NBCF=-ZBCN,

22

?，-ZABC=88°,

.ZBFC=88°-ZBCF.

ZAFG=ZBFC,

.NAFG=880-NBCF.

-ZAGH=Z.GAF+ZAFG,

.NAGH=-(ZBCN-NMAB).

由(2)知：ZBCN-ZMAB=92°,

NAG"2x92。=46。.

2

故答案為：46°.

例題4.(2023春?全國?七年級專題練習)已知：直線〃6,點A,8在直線〃上，點C,

。在直線。上，連接AO,BC,8E平分/ABC,￡>E平分NADC,。且8E,DE所在的

直線交于點E.

(1)如圖1,當點B在點A的左側時，若NABC=7O。，ZAZX?=60°,直接寫出N8a的度

數；

⑵如圖2,當點B在點A的右側時，設NA￡>C=x,ZABC=y,求NBED的度數(用含有

x,y的式子表示).

【答案】⑴65。

(2)180。—gy+gx

【詳解】⑴解：過點E作所〃4B,如圖1所示:

B

AB//CD,

:.EFCD,

.\ZFED=ZEDC,

:.NBEF+NFED=NEBA+NEDC,B[JZBED=^EBA+^EDCt

BE平分/AB