復數的引入

【教學目標】

1.了解解方程等實際需要也是數系發展的一個主要原因，數集的擴展過程

以及復數的分類表；

2.理解復數的有關概念以及符號表示；

3.掌握復數的代數表示形式及其有關概念；

4.在問題情境中了解數系得擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾(數

的運算規則、方程求根)在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以

及數與現實世界的聯系.

【教學重點】引進虛數單位i的必要性、對i的規定以及復數的有關概念.

【教學難點】復數概念的理解.

一、知識形成過程：

1.對數集因生產和科學發展的需要而逐步擴充的過程進行概括(教師引導學生

進行簡明扼要的概括和總結)

自然數一分數一負數一整數一有理數一無理數一實數

2.提出問題

我們知道，對于實系數一元二次方程，+1=°,沒有實數根.我們能否將

實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？

3.組織討論，研究問題

我們說，實系數一元二次方程/+1=°沒有實數根.實際上，就是在實數

范圍內，沒有一個實數的平方會等于負數.解決這一問題，其本質就是解決一個

什么問題呢？

組織學生討論，引導學生研究，最后得出結論：最根本的問題是要解決一1

的開平方問題.即一個什么樣的數，它的平方會等于一1.

4.引入新數,，并給出它的兩條性質

根據前面討論結果，我們引入一個新數,，，叫做虛數單位，并規定：

(1)『=—1;

(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律

仍然成立.

有了前面的討論，引入新數九可以說是水到渠成的事.這樣，就可以解決

前面提出的問題（一1可以開平方，而且一1的平方根是土，）.

5.提出復數的概念

根據虛數單位1的第（2）條性質，，可以與實數b相乘，再與實數a相加.由

于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結果寫成。+初這樣，數的范圍又

擴充了，出現了形如a+砥的數，我們把它們叫做復數.

【合作探究】通過分析以下這些復數的實部與虛部的特點，探究下面兩個問

題：

/y1

0,,2十一i,'s/^2,+z,-y/3i,i

23

（1）如何對復數a+bi（a,b￡R）進行分類？

（2）復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可以用韋恩圖表示出來

嗎？

'實數（b=0）

6復數a+bi（a,bGR）d的分類：復數虛數＞丁。）［一般虛數'?。，八"。）

［純虛數（bw0,。=0）

7復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系：

二、例題習題

例1、實數m分別取什么值時，復數z=m+l+（mT）i是

（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？

練習1、當m為何實數時，復數Z=m2+m-2+(m2-l)i

(1)實數(2)虛數(3)純虛數

8.提出兩個復數相等的定義，即兩個復數相等的充要條件是它們的實部與虛部

分別對應相等.也就是

a+bi=c+dia=c,b=d(a,b,c,deR)

由此容易得出：a+bi=Ooa=G,b=O

例2、已知(2%-1)+，=y一(3-四，，其中，x,yeR,求x與y.

練習2：求適合下列方程的x和y(x,yeR)的值：

(1)(x+2y)—i=6x+(x—y)i(2)(x+y+1)—(x—y+2)i=0

思考：兩個復數是否可以比較大小.

三.歸納總結

復數有關的概念；

復數的分類；

復數相等。

四.課后作業

必做題：練習A1,2,3.

選做題：練習B1,2.

復數的引入

學情分析

與本節教材相關的學生情況有如下幾個特征：（1）我們的學生在從小學到高

中的學習中已經掌握了整數、分數、正數、負數、有理數、無理數、實數這些概

念，也掌握了相應的運算法則和運算律；（2）同時又從政治和歷史課中了解到一

些與數系擴充的有關的重要歷史事件；（3）但是學生們對數的分類的掌握，主要

依靠的是簡單記憶，當然對數系的擴充過程以及與人類發展史的必然聯系不甚了

解。

復數的引入

效果分析：

1、課前預習效果

用學案輔助教學由于本節內容較散，理論部分較難，故需教師精心設計學案，提前發

放給學生，以提高學生的預習效率。

2、課堂學習效果檢測

學生表現出強烈的求知欲。在本節課的45分鐘，學生對學習始終表現出濃厚的興趣，

極大的熱情，這正是新課標所提倡的建立“自主、合作、探究的學習方式”的前提。在課堂

教學中，我始終引導學生去感受，去發現。在“問題串”的指引下，學生研究出解決問題所

需要收集的數據，并自行研究課本上給出的解題過程，提煉出解決問題的操作步驟，然后再

由教師講解操作規程背后的理論依據。

3.預期效果分析

通過本節課的教學，學生應能掌握復數的概念，并能夠解決相關的實際問題，而對復數

的幾何意義及相關的應用，則應該放在下一個課時。

復數的引入

教材分析：

《復數的引入》是人版B版新課程教科書選修1-2第三章第一節的內容，這

節課的主要內容是數系的擴充與復數的引入、以及復數的有關概念。數系擴充的

過程體現了數學的發現和創造的過程，同時也體現了數學發生發展的客觀需求和

二匕息

RJ樂°

復數的引入是中學階段數系的又一次擴充。對于高中生來說，學習一些復數

的基礎知識是十分必要的，這可以促使學生對數的概念有一個初步的較為完整的

認識，也給他們運用數學知識解決問題增添了新的工具，同是還為進一步學習高

等數學打下一1定的基砒

在實際生活中，復數在電力學、熱力學、流體力學、固體力學、系統分析、

信息分析等方面都得到了廣泛的運用，是現代人才必備的基礎知識之一。

復數的引入

X當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：

1.指出下列復數哪些是實數、虛數、純虛數，是虛數的找出其實部與

虛部。

2+3i,8-4i,8+Of,6,z,(-2-90x(72-1),7z,()

2.如果復數?與c+",?的和是純虛數，則有()

A.〃+4=0且a+cwO

B.b+d^=0JELa+c=0

C.a+d=0且b+d*O

D.b+c=0且b+d^0

3.若(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i,則x,y的值.是？

4.已知i是虛數單位，復數Z=*l+i）-m（2+3i）-4（2+i）,當m.取何實數時，

z是:（1）實數（2）虛數（3）純虛數（4）

零

復數的引入

教學反思：

在設計之初，考慮到復數基本概念比較容易掌握，但如果要求學生簡單硬性

記憶，并不能達到新課程標準中三維目標的要求。所以本節課設計理念就是：把

數系擴充過程的詳細生動講解作為一個亮點，以此吸引學生的注意力，提高學生

學習興趣，激發學生思考和創造的精神，并且期望能達到進一步提高學生數學素

養的最高目標。

在課堂設計中，采用了教師示范、自學討論、學生互評等多元化的教學方式，

在教學過程中時刻注重學生的參與，每個環節都采用有效的方法來確認教學目標

的達成，保證課堂的時效性，圓滿完成本節課的教學任務。

復數的引入

課標分析：

《課標》將復數作為數系擴充的結果引入，體現了實際需求與數學內部的矛盾在數系擴

充過程中的作用，以及數系擴充過程中數系結構與運算性質的變化.這部分內容的學習，有

助于學生體會理論產生與發展的過程，認識到發展既有來自外部的動力，也有來自數學內部

的動力，從而形成正確的數學觀；有助于發展學生的全新意識和創新能力.

課標對本節內容的處理特點：

(1)《課標》將復數作為數系擴充的結果引入.《大綱》教科書先安排復數的概念，再

研究復數的運算，最后介紹數系的擴充.《課標》實驗教科書在介紹數系擴充的思想方法的

基礎上引入復數