第一章單元質量測評時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個數為()A．4B．5C．6D．7答案C解析∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6個元素，故選C.2．若集合P，Q滿意P＝{x∈Z|x＜3}，Q?N，則P∩Q不行能是()A．{0,1,2}B．{1,2}C．{－1}D．?答案C解析依題意，知P∩Q中的元素可能是0,1,2，也可能沒有元素，所以P∩Q不行能是{－1}．故選C.3．已知集合A＝{y|y＝－x2－2x}，B＝{x|y＝eq\r(x－a)}，且A∪B＝R，則實數a的最大值是()A．1B．－1C．0D．2答案A解析依據題意，得A＝{y|y≤1}，B＝{x|x≥a}，因為A∪B＝R，畫出數軸可知a≤1，即實數a的最大值是1.4．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，則能使A?B成立的實數a的取值范圍是()A．{a|3＜a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3＜a＜4}D．?答案B解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤3，,a＋2≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤4，,a≥3，))∴3≤a≤4.故選B.5．設p：|x|≥1，q：eq\f(1,2x－4)>0，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析由|x|≥1，得x≤－1或x≥1，由eq\f(1,2x－4)>0，得2x－4>0，即x>2，∵x≤－1或x≥1eq\o(?,/)x>2，x>2?x≤－1或x≥1，∴p是q的必要不充分條件．故選B.6．已知命題p：?x∈R,eq\r(1－x2)≤1，則()A．p：?x0∈R,eq\r(1－x\o\al(2,0))≥1B．p：?x∈R,eq\r(1－x2)≥1C．p：?x0∈R,eq\r(1－x\o\al(2,0))＞1D．p：?x∈R,eq\r(1－x2)＞1答案C解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故選C.7．若命題“?x∈R，x2＋x＋a－1＜0”是真命題，則實數a的取值范圍是()A．a>eq\f(5,4)B．a≥eq\f(5,4)C．a≤eq\f(5,4)D．a<eq\f(5,4)答案D解析因為命題“?x∈R，x2＋x＋a－1＜0”是真命題等價于x2＋x＋a－1＝0有兩個不等的實根，所以Δ＝1－4(a－1)＞0，即1－4a＋4＞0.解得a<eq\f(5,4).故選D.8．已知p：－4＜x－a＜4，q：2<x<3，若p是q的充分條件，則實數a的取值范圍是()A．－1≤a≤6 B．a≤－1C．a≥6 D．a≤－1或a≥6答案A解析p：－4＜x－a＜4?a－4＜x＜a＋4.q：2＜x＜3.p：x≤a－4或x≥a＋4，q：x≤2或x≥3，又p是q的充分條件．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤6.故選A.二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．設全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，則()A．A∩B＝{0,1}B．?UB＝{4}C．A∪B＝{0,1,3,4}D．集合A的真子集個數為8答案AC解析因為A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{0,1,3,4}，A，C正確；又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以?UB＝{2,4}，B錯誤；集合A＝{0,1,4}的真子集有7個，所以D錯誤．10．在下列命題中，真命題有()A．?x∈N*，eq\r(x)≤xB．?x∈R，x2＋x＋2>0C．存在銳角α，sinα＝1.5D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，則對于隨意的n，m∈N*，都有A∩B＝?答案AB解析A中命題為真命題．當x＝1時，eq\r(1)＝1；B中命題是真命題．x2＋x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>0恒成立；C中命題為假命題．依據銳角三角函數的定義可知，對于銳角α，總有0<sinα<1；D中命題為假命題．易知6∈A，6∈B，故A∩B≠?.11．下列說法正確的是()A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分條件B．若命題p：某班全部男生都愛踢足球，則p：某班至少有一個女生愛踢足球C．“隨意菱形的對角線肯定相等”的否定是“菱形的對角線肯定不相等”D．“k>4，b<5”是“一次函數y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸”的充要條件答案AD解析對于A，“a2＋a≠0”?“a≠－1且a≠0”，“a≠0”eq\o(?,/)“a≠－1且a≠0”，“a≠－1且a≠0”?“a≠0”，所以“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分條件，A正確；對于B，若命題p：某班全部男生都愛踢足球，則p：某班至少有一個男生不愛踢足球，B錯誤；對于C，“隨意菱形的對角線肯定相等”的否定是“存在菱形，其對角線不相等”，C錯誤；對于D，當k>4，b<5時，函數y＝(k－4)x＋b－5的圖象如圖所示，明顯交y軸于負半軸，交x軸于正半軸．當一次函數y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸時，即x＝0，y＝b－5<0，所以b<5.當y＝0時，x＝eq\f(5－b,k－4)>0，因為b<5，所以k>4，D正確．12．非空集合G關于運算⊕滿意：(1)對隨意a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，則稱G關于運算⊕為“融洽集”．現給出下列集合和運算，其中G關于運算⊕為“融洽集”的是()A．G＝{有理數}，⊕為實數的乘法B．G＝{非負整數}，⊕為整數的加法C．G＝{偶數}，⊕為整數的乘法D．G＝{二次三項式}，⊕為多項式的加法答案AB解析對于A，任取a，b∈Q，則a·b∈Q，存在1∈Q，使得a·1＝1·a＝a，因此有理數集Q關于實數的乘法為“融洽集”；對于B，任取a，b∈N，則a＋b∈N，存在0∈N，使得a＋0＝0＋a＝a，因此非負整數集N關于整數的加法為“融洽集”；對于C，任取偶數a＝2m，b＝2n，m，n∈Z，則a·b＝2m·2n＝4mn＝2(2mn)為偶數；但不存在這樣的e∈G，使得對于一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，因此不為“融洽集”；對于D，條件(1)(2)均不滿意，因此不為“融洽集”．故選AB.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．用列舉法表示集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10,m＋1)∈Z，m∈Z))))＝______________.答案{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}解析由eq\f(10,m＋1)∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的約數，故|m＋1|＝1,2,5,10，從而m的值為－11，－6，－3，－2，0,1,4,9.14．已知全集U＝R，A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|0＜x＜4}，則A∩B＝________，(?RA)∩B＝________.答案{x|3<x<4}{x|0＜x≤3}解析A∩B＝{x|3<x<4}，(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤3}∩{x|0＜x＜4}＝{x|0＜x≤3}．15．命題：存在一個實數對，使2x＋3y＋3＜0成立的否定是________．答案對隨意實數對，2x＋3y＋3≥0恒成立解析“存在一個實數對”改為“對隨意實數對”，“2x＋3y＋3<0”的否定是“2x＋3y＋3≥0”．16．已知p：x>1或x<－3，q：x＞a(a為實數)．若q的一個充分不必要條件是p，則實數a的取值范圍是________．答案a≥1解析因為q的一個充分不必要條件是p，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q?p，,p\o(\s\up7(\a\vs4\al(?)),\s\do5(/))q，))所以a≥1.四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．(1)求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)；(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范圍．解(1)A∩B＝{x|3≤x<10}∩{x|2<x≤7}＝{x|3≤x≤7}；A∪B＝{x|3≤x<10}∪{x|2<x≤7}＝{x|2<x<10}；(?UA)∩(?UB)＝{x|x<3或x≥10}∩{x|x≤2或x>7}＝{x|x≤2或x≥10}．(2)A＝{x|3≤x<10}，C＝{x|x>a}，要使A?C，結合數軸分析可知a<3，即a的取值范圍是{a|a<3}．18．(本小題滿分12分)分別寫出下列含有一個量詞的命題的否定，并推斷其真假．(1)有些素數是奇數；(2)全部的矩形都是平行四邊形；(3)不論m取何實數，方程x2＋2x－m＝0都有實數根；(4)?x∈R，x2＋2x＋5>0.解(1)是存在量詞命題，其否定為：全部的素數都不是奇數，假命題．(2)是全稱量詞命題，其否定為：存在一個矩形不是平行四邊形，假命題．(3)是全稱量詞命題，其否定為：存在實數m，使得x2＋2x－m＝0沒有實數根．∵當Δ＝4＋4m<0，即m<－1時，一元二次方程沒有實根，∴其否定是真命題．(4)是存在量詞命題，其否定為：?x∈R，x2＋2x＋5≤0.∵x2＋2x＋5＝x2＋2x＋1＋4＝(x＋1)2＋4，∴x2＋2x＋5恒大于0，∴?x∈R，x2＋2x＋5≤0為假命題．19．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若A?B，求實數a的取值范圍；(2)若A∩B＝?，求實數a的取值范圍；(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求實數a的取值范圍．解(1)若A?B，當a＝0時，B＝?，明顯不成立；當a＞0時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,x－a>0，,x－3a<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,x－a<0，,x－3a>0，))得a<x<3a，即B＝{x|a＜x＜3a}，應滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4，))解得eq\f(4,3)≤a≤2；當a＜0時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,x－a>0，,x－3a<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,x－a<0，,x－3a>0，))得3a<x<a，即B＝{x|3a＜x＜a}，應滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a≥4，))此時無解．綜上，若A?B，則實數a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)≤a≤2)))).(2)要滿意A∩B＝?，當a＝0時，B＝?，滿意條件；當a＞0時，B＝{x|a＜x＜3a}，則a≥4或3a≤2，∴0＜a≤eq\f(2,3)或a≥4；當a＜0時，B＝{x|3a＜x＜a}，則a≤2或3a≥4，∴a＜0.綜上，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(2,3)或a≥4)))).(3)要滿意A∩B＝{x|3＜x＜4}，明顯a＝3.所以實數a的取值范圍是{3}．20．(本小題滿分12分)已知M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|－a≤x≤8}．(1)求a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件；(2)求a的一個取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個必要但不充分條件．解(1)明顯－3≤－a≤5(如圖)，即－5≤a≤3時，M∩P＝{x|5<x≤8}，取a＝0，由M∩P＝{x|5<x≤8}eq\o(?,/)a＝0.所以a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．(2)當M∩P＝{x|5<x≤8}時，－5≤a≤3，此時有a≤3，但a≤3eq\o(?,/)M∩P＝{x|5<x≤8}，所以a≤3是M∩P＝{x|5<x≤8}的一個必要但不充分條件．21．(本小題滿分12分)已知A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2