2018-2019學年浙江省寧波市慈溪市九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（每題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.（4分）在平面直角坐標系中，將點尸（0,1）繞坐標原點。順時針旋轉90°,所得到

的對應點P,的坐標為（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（1,1）

2.（4分）下列四條圓弧與直角三角板的位置關系中，可判斷其中的圓弧為半圓的是（）

3.（4分）下列事件是隨機事件的是（）

A.在標準大氣壓下，水加熱到100°時沸騰

B.小明購買1張彩票，中獎

C.在一個裝有紅球和黃球的袋中，摸出藍球

D.一名運動員的速度為30米/秒

4.（4分）如圖，0。是正六邊形A8CQEF的外接圓，P是弧AB上一點，則NCPQ的度數

5.（4分）將拋物線＞=27平移得到拋物線y=2（x+2）2,則這個平移過程正確的是（）

A.向上平移2個單位B.向下平移2個單位

C.向左平移2個單位D.向右平移2個單位

6.（4分）下列命題：①三點確定一個圓；②三角形的外心到三邊的距離相等；③相等的

圓周角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中假命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（4分）關于拋物線y=/-2x-3,下列說法錯誤的是（）

A.頂點坐標為（1,-4）

B.對稱軸是直線x=l

C.若x>2,則y隨x的增大而增大

D.當-l<x<3時，y>0

8.（4分）如圖，A,B,C是正方形網格中的格點（小正方形的頂點），則sinNACB的值為

9.（4分）如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點，DE//BC,BD=2AD,下

列結論中錯誤的是（）

DE1SA4DE1

A.一=-B.=-

BC3S△力BC4

CE2

C.—=一D.AD?BC=AB?DE

AC3

10.（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC=近,NACB=90°,分別以點A和點8為圓心,

以AC的長為半徑畫弧交A8于。，E兩點，則陰影部分的面積是（）

11.（4分）在平面直角坐標系中，對于點P（x,y）和。（x,<）,給出如下定義：若<

fy+1（x>0）

=,，則稱點Q為點P的“親密點”.例如：點（1，2）的“親密點”為點

（-y（x<0）

（1,3）,點（-1,3）的“親密點”為點（-1,-3）.若點P在函數）=/一右-3的

圖象上，則其“親密點”。的縱坐標y'關于x的函數圖象大致正確的是（）

yv

O,B三點作圓，點C在第一象限部分的圓上運動，連結CO,過點。作CO的垂線交

CB的延長線于點￡）,下列說法：①/AOC=N8O￡>；@sinZ￡>=③C。的最大值為

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題（每題4分，共24分）

13.（4分）若/A為銳角，且tanA=l,則乙4的度數為.

14.（4分）如圖，顯示的是用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘的某次試驗的結果.小明根據

試驗結果推斷：隨著重復試驗次數的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯

示出一定的穩定性，就可以估計“釘尖向上”的概率是0.618.你認為小明的推斷是

（填寫“正確”或“錯誤”）的.

0.620

0.61S

0500100015002000250030003500400045005000投擲次數

15.（4分）矩形的兩邊長分別為x和6（x<6）,把它按如圖方式分割成三個全等的小矩形,

每一個小矩形與原矩形相似，則'=

6

x

16.（4分）如圖，在△A8C中，NACB=90°,AC=3,sinB==r,點G是△ABC的重心,

連接CG并延長交AB于點M,則CG=.

17.（4分）如圖，A,B,C是。0上三點，若NABC=120°,。0的半徑為2,則劣弧AC

的長為.

18.（4分）如圖，拋物線），="（x-4）（x+1）（a>0）與x軸交于A,8兩點（點A在點B

的左邊）與y軸交于點C,連接8C,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點E,

三、解答題（第19-20每題7分，第21題8分，第22-24題每題10分，第25題12分，第

26題14分，共78分）

19.（7分）（1）計算：2sin30°+V3tan60°—V2cos45°；

（2）已知----=求x與y的比.

y5

20.（7分）在三個完全相同的小球上分別寫上-2,-1,2三個數字，然后裝入一個不透明

的布袋內攪勻，從布袋中取出一個球，記下小球上的數字為m,放回袋中再攪勻，然后

再從袋中取出一個小球，記下小球上的數字為〃，組成一對數（"，〃）.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法，表示出數對（%,〃）的所有可能的結果；

（2）求直線〃不經過第一象限的概率.

21.（8分）某公園的人工湖邊上有一座假山，假山頂上有一豎起的建筑物CD,高為10米，

數學小組為了測量假山的高度。E,在公園找了一水平地面，在A處測得建筑物點。（即

山頂）的仰角為35°,沿水平方向前進20米到達B點，測得建筑物頂部C點的仰角為

45°,求假山的高度OE.（結果精確到1米，參考數據：sin35°?g,cos35°?|,tan35°

22.（10分）如圖，A,B,C是。0上三點，其中油=2優，過點8畫BOLOC于點D

（1）求證：AB=2BD；

(2)若A8=26，CO=1,求圖中陰影部分的面積.

23.(10分)如圖，已知CO是Rtz^ABC斜邊AB上的中線，過點。作4c的平行線，過點

C作CD的垂線，兩線相交于點E.

(1)求證：△ABCs△￡)口?；

(2)若CE=2,CD=4,求△ABC的面積.

24.(10分)某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利

潤V與投資金額x成正比例關系，如圖1所示：種植花卉的利潤戶與投資金額x成二次

函數關系，如圖2所示(注：利潤與投資金額的單位均為萬元)

(1)分別求出利潤戶與”關于投資金額x的函數關系式；

(2)如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，設他投入種植花卉的金額是x

萬元，求這位專業戶能獲取的最大總利潤是多少萬元？

圖1圖2

25.(12分)四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似

但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.

(1)如圖1,在四邊形A8CZ)中，ZABC=100",ZADC=130°,BDWBC,對角線

平分NA8c.求證：3。是四邊形ABC。的“相似對角線”；

(2)如圖2,已知格點△4BC,請你在正方形網格中畫出所有的格點四邊形ABC。，使

四邊形4B8是以AC為“相似對角線”的四邊形；(注：頂點在小正方形頂點處的多邊

形稱為格點多邊形)

(3)如圖3,四邊形AOBC中，點A在射線OP：y=VIx(x2O)上，點2在x軸正半

軸上，對角線OC平分乙4。8,連接AB.若0C是四邊形A08C的“相似對角線”，SA

AOB=6內求點C的坐標.

圖3

4

26.(14分)如圖1,拋物線y=+以+c交x軸于點A(10)和點B,交y軸于點C(0,

4),一次函數丫="+根的圖象經過點8,C,點P是拋物線上第二象限內一點.

(1)求二次函數和一次函數的表達式；

(2)過點P作x軸的平行線交BC于點力，作BC的垂線PM交BC于點M,設點尸的

橫坐標為f,的周長為/.

①求/關于f的函數表達式；

②求的周長的最大值及此時點P的坐標；

(3)如圖2,連接PC,是否存在點P,使得以P,M,C為頂點的三角形與△CB。相似？

若存在，直接寫出點尸的橫坐標；若不存在，請說明理由.

2018-2019學年浙江省寧波市慈溪市九年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.（4分）在平面直角坐標系中，將點P（0,1）繞坐標原點。順時針旋轉90°,所得到

的對應點P'的坐標為（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（1,1）

【分析】利用平面直角坐標系，畫出圖形即可判斷.

【解答】解：???點P（0,1）繞坐標原點。順時針旋轉90°所得到的對應點為P',

:.P'（1,0）,

故選：A.

【點評】本題考查旋轉變換，解題的關鍵是理解題意畫出圖形解決問題.

【分析】根據90°的圓周角所對的弦是直徑求解即可求得答案.

【解答】解：???90°的圓周角所對的弦是直徑，

.?.其中的圓弧為半圓的是8.

故選：B.

【點評】此題考查了圓周角定理.注意90°的圓周角所對的弦是直徑.

3.（4分）下列事件是隨機事件的是（）

A.在標準大氣壓下，水加熱到100°時沸騰

B.小明購買1張彩票，中獎

C.在一個裝有紅球和黃球的袋中，摸出藍球

D.一名運動員的速度為30米/秒

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

【解答】解：A、在標準大氣壓下，水加熱到100°時沸騰是必然事件；

B、小明購買1張彩票，中獎是隨機事件；

C、在一個裝有紅球和黃球的袋中，摸出藍球是不可能事件；

。、一名運動員的速度為30米/秒是不可能事件，

故選：B.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條

件下，一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事

件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

4.（4分）如圖，。0是正六邊形A8CDEF的外接圓，P是弧AB上一點，則NCPO的度數

【分析】構造圓心角，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半求得答案即可.

【解答】解：連接OC,OD,

,六邊形是正六邊形，

ZCOD=平=60°

1

：?NCPD="COD=30。,

故選：A.

【點評】本題考查了正多邊形和圓以及圓周角定理的知識，解題的關鍵是正確的構造圓

心角，難度不大.

5.（4分）將拋物線y=2?平移得到拋物線y=2（x+2）2,則這個平移過程正確的是（〉

A.向上平移2個單位B.向下平移2個單位

C.向左平移2個單位D.向右平移2個單位

【分析】直接利用平移規律“上加下減，左加右減”解答.

【解答】解：將拋物線>=〃向左平移2個單位后得到拋物線y=2（x+2）2,

故選：C.

【點評】本題主要考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”

的規律是解答此題的關鍵.

6.（4分）下列命題：①三點確定一個圓；②三角形的外心到三邊的距離相等；③相等的

圓周角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中假命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分別利用確定圓的條件、三角形的外心的性質、圓周角定理、垂徑定理及切線

的判定分別判斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：①不在同一直線的三點確定一個圓，錯誤；

②三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，錯誤；

③在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等，錯誤；

④平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，錯誤；

故假命題的個數是4個，

故選：D

【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解確定圓的條件、三角形的外

心的性質、圓周角定理、垂徑定理及切線的判定等知識，難度不大.

7.（4分）關于拋物線y=7-2x-3,下列說法錯誤的是（）

A.頂點坐標為（1,-4）

B.對稱軸是直線x=l

C.若x>2,則y隨x的增大而增大

D.當-l<x<3時，y>0

【分析】將一般式化為頂點式，求出頂點坐標，即可判斷A；把x=0代入y=/-2r-3,

求出y的值，即可判斷&根據二次函數的性質求出對稱軸，即可判斷C；把y=0代入

y=7-2x-3,求出x的值,即可判斷D

【解答】解：A、?.，=/-2x-3=（x-1）2-4,.,.頂點坐標是（1,-4）.故說法正確；

Bsx1-lx-3=（x-1）n-4,.,.對稱軸是直線x=1,故說法正確；

C、有選項8可得x>2,則），隨x的增大而增大，故說法正確；

D、?.,當）=0時，？-2x-3=0,解得x=-1或3,.?.與無軸的交點是（-1,0）和（3,

0）,則當-l<x<3時，y<0,故說法錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數的性質：二次函數y^ax^+bx+c（a^O）的頂點式為y=a

（x+與）2+券頂點坐標是（一女，4g"）,對稱軸直線—柒.同時考查了

拋物線與坐標軸交點坐標的求法.

8.（4分）如圖，A,B,C是正方形網格中的格點（小正方形的頂點），則sin/ACB的值為

（）

1V3

C."D.

23

【分析】由勾股定理可求AC,8C的長，由三角形的面積公式可求8。的長，即可求sin

NAC3的值.

【解答】解：設小正方形的邊長為1,過點8作BDA.AC于D,過點B作BFLAE于點F,

111

V5A^C=2X7-1X1X3-1X1X7-|X2X4=5

由勾股定理可知：AC=Vl+49=5V2,

1

?.?一AC?8O=5,

2

:.BD=V2,

由勾股定理可知：BC=V1T9=Vio,

?-/Km—BD_笈_75

??sinNAC8=_57T=r——=~r~

BC7105

故選：A.

c

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練運用面積法求B。的長是本題的關鍵.

9.（4分）如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點，DE//BC,BD=2AD,下

列結論中錯誤的是（）

ADE1S“DE1

BC3^LABC4

CE2

C.—=-D.AD*BC=AB?DE

AC3

【分析】由力E〃BC得到△AOEs/VlBC,根據8O=24D,可知這兩個相似三角形的面

積比等于1：3,據此判斷A、C、。答案，根據面積比等于相似比的平方判斷8答案.

【解答】解：

：./\ADE^/\ABC.

DEAD

：.—=—,即AD'BC^AB-DE,

CBAB

?.?BD=2A。，...兩個相似三角形的相似比是1：3,

.?.A、C、。所給式子均正確，不符合題目要求；

由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知這兩個三角形的面積比等于1：9,：.B

答案符合題意選項.

故選：B.

【點評】本題主要考查學相似三角形的判定和性質，正確找準對應邊，正確計算比值是

解題的關鍵.

10.（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC=y[2,NACB=90°,分別以點A和點8為圓心,

以AC的長為半徑畫弧交A8于￡>,E兩點,則陰影部分的面積是（）

【分析】根據已知求出NA、的度數，根據扇形和三角形的面積即可求出答案.

【解答】解：?.?在△4BC中，AC=BC=V2,N4C8=90°,

...△ACB是等腰直角三角形，

AZA=ZB=45°,

，陰影部分的面積S=SAACB-（S扇形CAE+S扇形CBD-S^ACB）

145-7tx（V2）2n

=2X[-xVr2xVr2-------------]=2-^,

23602

故選：C.

【點評】本題考查了等腰直角三角形、扇形的面積和三角形的面積計算等知識點，能把

求不規則圖形的面積轉化成求規則圖形的面積是解此題的關鍵.

11.（4分）在平面直角坐標系中，對于點P（x,y）和。（x,y'）,給出如下定義：若y'

（y+1（x>0）

=,,則稱點。為點P的“親密點”.例如：點（1，2）的“親密點”為點

（―y（x<0）

（1,3）,點（-1,3）的“親密點”為點（-1,-3）.若點P在函數y=/-2x-3的

圖象上，則其“親密點”。的縱坐標y'關于x的函數圖象大致正確的是（）

%y

A.B.

yy

V/XJo\\X

C.ID.

【分析】根據函數y=7-2x-3的圖象，依據“親密點”的定義找出<關于x的函數

圖象，由此即可得出結論.

【解答】解：由函數y=/-2x-3=（x-3）（x+1）可知：拋物線開口向上，與x軸有

兩個交點，交y軸與負半軸，所以將y軸左側的圖象關于x軸顛倒過來，將），軸右側的

圖象向上平移1個單位，即可得出〈關于x的函數圖象.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數的圖象以及二次函數圖象上點的坐標特征，利用親密點的

定義得出函數解析式是解題關鍵.

12.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A,8的坐標分別為（2,0）,（0,4）,過4,

O,B三點作圓，點C在第一象限部分的圓上運動，連結CO,過點。作C。的垂線交

CB的延長線于點。，下列說法：①NAOC=NB。。；@sinZ￡>=i；③CZ）的最大值為

10.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】過A,O,B三點作圓，4B是直徑，所以于是把△OOC中的

相關問題可以轉移到△BOA中解決，從而排除②，得到①③正確.

【解答】解：連接48,如下圖所示

D

S

①：/￡>0C=/80A=90。

AZAOC^ZBOD,于是①正確；

ZBAO=ZC,NDOC=NBOA

:.△BOksXDOC

：./D=/OBA

.?.sinQ=sin/°BA=然=親=

，②錯誤.由排除法可以確定選擇C.

③由②知sinZD=熬=雪

，當OC取最大值時，DC就取最大值，

而OC最大值為直徑2近，所以知此時DC=10

...③正確.

故選：C.

【點評】本題考查的是圓的性質與相似三角形的性質的綜合，一方面可以用排除法選出

正確答案，另一方面可以根據相似具體判斷每一個選項.

二、填空題（每題4分，共24分）

13.（4分）若NA為銳角，且tanA=l,則N4的度數為4為.

【分析】直接根據tan45°=1進行解答即可.

【解答】解：；乙4為銳角，且tanA=l,tan45°=1,

AZA=45°.

故答案為：45°.

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題

的關鍵.

14.（4分）如圖，顯示的是用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘的某次試驗的結果.小明根據

試驗結果推斷：隨著重復試驗次數的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯

示出一定的穩定性，就可以估計“釘尖向上”的概率是0.618.你認為小明的推斷是工

確（填寫“正確”或“錯誤”）的.

個“釘尖向上”的頻率

【分析】結合給出的圖形以及在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐

漸穩定在概率附近，解答即可.

【解答】解：由圖象可知隨著實驗次數的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，

顯示出一定的穩定性，可以估計“釘尖向上”的概率是0.618.

故小明的推斷是正確的，

故答案為：正確.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率.大量反復試驗下頻率穩定值即概率.用到的知

識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

15.（4分）矩形的兩邊長分別為x和6（x<6）,把它按如圖方式分割成三個全等的小矩形，

每一個小矩形與原矩形相似，則

6

【分析】根據相似多邊形的性質即可得到結論.

【解答】解：???原矩形的長為6,寬為x,

小矩形的長為無，寬為*

；小矩形與原矩形相似，

.X_2

,6X

Ax=2V3

故答案為：2W.

【點評】本題主要考查了相似多邊形的性質，注意分清對應邊是解決本題的關鍵.

16.（4分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=3,sinB=點G是△ABC的重心,

4

連接CG并延長交AB于點M,則CG=一.

-3-

【分析】根據正弦的定義求出AB,根據直角三角形的性質求出CM,根據重心的性質計

算即可.

【解答】解：在RCACB中，sinB=%T，即三=3

解得，AB=4t

:點G是△A8C的重心，

...點M是AB的中點,

在RtZ\ACB中，點”是AB的中點，

1

：.CM=^AB=2f

??,點M是AB的中點，

24

JCG=冢加=不

4

故答案為：-

【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質、直角三角形的性質、銳角三角函數

的定義，掌握重心的性質即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離

的兩倍是解題的關鍵.

17.（4分）如圖，A,B,。是O。上三點，若NA3C=120°,OO的半徑為2,則劣弧AC

47r

的長為7.

【分析】在優弧AC上取一點。，連接AO,CD,根據圓內接四邊形的性質得到/ADC

=60°,根據圓周角定理得到NAOC=2N4OC=120°,根據弧長的公式計算即可.

【解答】解：在優弧AC上取一點O,連接4。，CD,

VZABC=nO0,

ZADC=60°,

/.ZAOC=2ZADC=\20°,

**.劣弧AC的長=I2鬻loUx2=卻o,

、..4

故答案為：-IT.

【點評】本題考查了弧長的計算，圓內接四邊形的性質，圓周角定理，正確的作出輔助

線是解題的關鍵.

18.(4分)如圖，拋物線y=a(%-4)(x+1)(a>0)與x軸交于4,B兩點(點A在點B

的左邊)與y軸交于點C,連接BC,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點E,

【分析】解方程a(x-4)(x+1)=0得A(-1,0),B(4,0),再確定C(0,-4a),

利用待定系數法表示出直線BC的解析式為)，=辦-4a,利用兩直線平行問題設AE的解

析式為y=ar+，"，把A(-1,0)代入得,"=a,則直線AE的解析式為y=ar+a,接著解

方程組?=a(XJ4)(X*°得E(5,6a),作軸于H,如圖，然后根據平行線分

(y=ax+a

AH

線段長比例定理可計算出工:的值.

【解答】解：當y=0時，a(x-4)(x+1)=0,解得xi=-1,%2=4,則A(-1,0),

B(4,0),

當x=0時，y=a(x-4)(x+1)=-4〃，則C(0,-4o),

設直線BC的解析式為y=kx+b,

把B(4,0),C(0,-4a)代入得｛:上乙；°，解得｛k‘=a

b=—4a

直線BC的解析式為y—ax-4a,

■:AE//BC,

??AE的解析式可設為y=ax+nif

把A(-1,0)代入得-。+機=0,解得〃

直線AE的解析式為y=ax+a,

解方程組&+阿：”%：3則E(5,6〃),

作E〃_Lr軸于從如圖，

,/OD//EH,

tADOA1

?,DE~OH~5'

1

故答案為g.

【點評】本題考查了拋物線與X軸的交點：把求二次函數y=a8法+c(mb,。是常數，

。20)與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程.也考查了平行線分線段

成比例定理.

三、解答題(第19-20每題7分，第21題8分，第22-24題每題10分，第25題12分，第

26題14分，共78分)

19.(7分)(1)計算：2sin30°+V3tan60°—V2cos45°；

(2)已知----=求x與y的比.

y5

【分析】(1)根據特殊角的三角函數值，依據實數的運算順序進行計算即可:

(2)根據比例的性質，即可得出x與y的比.

【解答】解：(1)2sin30°+V3tan60°—V2cos45°

=2x2+V3xy/3-V2x

=1+3-1

=3；

x-2y2

(2)???一-=

y5

：.5x=12yf

?x__1_2

??.

y5

【點評】本題主要考查了實數的運算以及比例的性質的運用，特殊角的三角函數值應用

廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用

較多.

20.(7分)在三個完全相同的小球上分別寫上-2,-1,2三個數字，然后裝入一個不透明

的布袋內攪勻，從布袋中取出一個球，記下小球上的數字為m,放回袋中再攪勻，然后

再從袋中取出一個小球，記下小球上的數字為〃，組成一對數("，〃).

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法，表示出數對(m,〃)的所有可能的結果；

(2)求直線)，=爾+”不經過第一象限的概率.

【分析】(1)根據題意畫出樹狀圖，表示出數對(〃?，〃)的所有可能的結果即可；

(2)由樹狀圖求得所有等可能的結果與所得到的直線y^nvc+n不經過第一象限的情況,

再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：(1)樹狀圖如圖所示，

數對(相，”)的所有可能的結果為(-2,-2),(-2,-1),(-2,2),(-1,-2),

(-1,-1),(-1,2),(2,-2),(2,-1),(2,2)；

(2)當機<0,〃<0時，直線不經過第一象限，

二直線y=fwc+n不經過第一象限的概率P=*

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率與一次函數的性質.注意樹狀圖法與

列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀

圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數與總情況數之比.

21.（8分）某公園的人工湖邊上有一座假山，假山頂上有一豎起的建筑物CZ）,高為10米，

數學小組為了測量假山的高度OE,在公園找了一水平地面，在A處測得建筑物點。（即

山頂）的仰角為35°,沿水平方向前進20米到達B點，測得建筑物頂部C點的仰角為

45°,求假山的高度。E.（結果精確到1米，參考數據：sin35°?cos35°?|,tan35°

【分析】過點。作水平線的垂線，利用直角三角形中的三角函數解答即可.

【解答】解：過點。作水平線的垂線，即（QELAB）,垂足為E,則C、D、E在一條直

線上，

設OE的長為x米，

在Rt^BCE中，ZCBE=45°,

：.CE=BE=CD+DE=(10+x)米,

在Rt/SAOE中，ZA=35°,

AE=AB+BE=20+10+x=30+x,

,DE

taM=AE'

tan350=57^—?-X,

30+x10

解得：x=70,

答：假山的高度。E約為70米.

【點評】此題是解直角三角形的應用——仰角和俯角，解本題的關鍵是利用三角函數

解答.

22.（10分）如圖，A,B,C是OO上三點，其中通=2Z，過點B畫BDJ_OC于點￡>.

（1）求證：AB=2BD；

（2）若AB=2禽,CD=1,求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）如圖，延長BD交00于E,根據垂徑定理得到BE=28￡>,BE=2BC,求

得福=的,于是得到結論；

（2）如圖，連接設。。的半徑為r,根據勾股定理列方程得到r=2,根據三角函

數的定義得到N8OC=60°,根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】解：（D如圖，延長80交。。于E,

,：BDL0C,

：.BE=2BD,BE=2BC,

"：AB=2就,

：.AB=BE,

：.AB=BE,

：.AB=2BD；

（2）如圖,連接02,

設O。的半徑為r,

,:AB=2?,CD=1,

：.BD=V3,

在Rt408。中，/=（r-1）2+（V3）2,

解得：r=2,

VsinZBOC=黑=導,

：.ZBOC=60a,

陰影部分的面積=嗤苔-1xV3xl=^-^.

□OULDL

【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，扇形的面積，勾股定理，正確的作出輔助

線是解題的關鍵.

23.（10分）如圖，已知CQ是RtaABC斜邊AB上的中線，過點。作AC的平行線，過點

C作CD的垂線，兩線相交于點E.

（1）求證：XABCs△DEC：

（2）若CE=2,CD=4,求△ABC的面積.

【分析】（1）已知兩個直角線相等，再借助平行線及直角三角形斜邊的中線性質得出/A

=NCDE,從而△ABCs/^.OEC；

（2）先利用勾股定理計算出DE長度，再根據CD是Rt^ABC斜邊AB上的中線，求出

AB長度，最后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方進行計算即可.

【解答】證明：（1）：C￡>是RtZXABC斜邊AB上的中線，

：.CD=^AB=AD,

.,.NA=/ACD

'：DE//AC,

：.ZCDE=ZACD=NA,

又?.?/4C8=N￡）CE=90°,

，/\ABC^/\DEC.

1

（2）在RtaQEC中，DE=V22+42=2>/5,△CDE的面積為一x2X4=4.

2

*.?CD是Rt^ABC斜邊AB上的中線，

：.AB=2CD=S.

,?/XABC^/XDEC,

???I：*?，即■=（柴產

S&DECDE42V5

64

/\ABC的面積為g.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，以及直角三角形斜邊上的中線特征，

找準對應邊和對應角是解題的關鍵.

24.（10分）某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利

潤yi與投資金額x成正比例關系，如圖1所示：種植花卉的利潤X與投資金額x成二次

函數關系，如圖2所示（注：利潤與投資金額的單位均為萬元）

（1）分別求出利潤V與"關于投資金額x的函數關系式；

（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，設他投入種植花卉的金額是x

萬元，求這位專業戶能獲取的最大總利潤是多少萬元？

【分析】（1）可根據圖象利用待定系數法求解函數解析式；

（2）根據總利潤=樹木利潤+花卉利潤，列出函數關系式，再求函數的最值.

【解答】解：（1）設戶=依，由圖1所示，函數＞1=履的圖象過（1,2）,

所以2=Z7,k=2,

故利潤川關于投資量x的函數關系式是yi=2r（x20）；

???該拋物線的頂點是原點，

工設"二加，

由圖2所示，函數的圖象過（2,2）,

：.2=a^f

解得：a=

故利潤”關于投資量x的函數關系式是：尸系（x20）；

（2）因為種植花卉x萬元（0WxW8）,則投入種植樹木（8-x）萬元

w=2(8-x)+0.5/=#-Zx+16另(x-2)2+14

Va=0.5>0,04W8

...當x=2時，w的最小值是14

；a=0.5>0

...當x>2時，w隨尤的增大而增大

...當x=8時，卬的最大值是32.

【點評】此題主要考查了二次函數的應用；求函數解析式通常用待定系數法；掌握函數

的圖象的特點是解決本題的關鍵.

25.(12分)四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似

但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，Z/1BC=100",/AOC=130°,BDWBC,對角線

8。平分NABC.求證：8。是四邊形ABC。的“相似對角線”；

(2)如圖2,已知格點△A8C,請你在正方形網格中畫出所有的格點四邊形48C2使

四邊形ABC。是以AC為“相似對角線”的四邊形；(注：頂點在小正方形頂點處的多邊

形稱為格點多邊形)

(3)如圖3,四邊形AOBC中，點A在射線OP：y=gx(x>0)上，點B在x軸正半

軸上，對角線OC平分NA08,連接A8.若OC是四邊形A08C的“相似對角線”，丸

AOB=6V3,求點C的坐標.

圖3

【分析】(1)NADB=180°-ZABD-ZX=130°-NA,ZBDC=ZADC-ZADB=

130°-(130°-NA)=ZA,即可求解；

(2)如圖所示，根據兩個三角形夾角相等，夾邊成比例，則三角形相似，即可求解；

2

(3)利用△AOCs/sCOB,貝I」OA'OB=OC,而SMOB=|xOBXyA=|xOBXOAsin60。

=6百，即可求解.

【解答】解：(1)如圖1,；對角線8。平分NABC,51IJNAB￡)=NDBC=5O°,

NA￡>8=180°-AABD-ZA=130°-NA,

ZBDC^ZADC-ZA￡>B=130°-(130°-NA)=NA,又NABD=NDBC=50°,

△ABDs^DBC,

即8。是四邊形ABC。的''相似對角線”；

(2)如下圖所示：

ABBC

VZABC=ZACDi=90°,—=——，.?.△ABCs△AS,

ACCD1

故：以AC為“相似對角線”的四邊形有：ABCD\,

同理可得：以AC為“相似對角線”的四邊形還有：ABCD2、ABCD3.ABCD4；

故：以AC為“相似對角線”的四邊形有：ABCDt.ABCDi.ABCDi,ABCDA-.

(3)ZOAC^ZOCB,:.△AOCs[\COB,

則：OA-OB=OC2,

』AOB=|xOBXyA=|xOBXOAsin60。=*xOAXOB=6百，

即：0A?O8=24,即：0C=2在,

yc=OCsin30°=V6,同理可得：xc=3V2,

即點C的坐標為(3V2,V6).

【點評】本題是閱讀理解型一次函數綜合題，此類題目通常要弄清楚題意，逐次求解，

一般難度不是很大.