直線和圓

知識(shí)結(jié)構(gòu)

—.直線

i.求斜率的兩種方法

冗

①定義:k=tana,（。工一）；

2

②斜率公式：

直線經(jīng)過兩點(diǎn)（為，弘）,（々,乃），（X11%2），k=,

，小、必-X、

（答攵=-----）

々一西

2.方向向量:過兩點(diǎn)（*,〉1）,（%2，%）的直線的方向向量為＞用斜率上表

示也就是_____________

（答（X|-X2，y「%），（l，k））

3.直線方程的幾種形式：

①點(diǎn)斜式,答：y-%=k（x-%）或%=玉）

②斜截式,適用范圍，

答：y=kx+b,不表示k不存在的直線

③兩點(diǎn)式,適用范圍

＞，2V|

答：y.y1=~-（x-玉）；不表示y軸和平行y軸的直線

々-%

④截距式,適用范圍

-+^=1;不表示過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線

ab

⑤一般式:Ax+By+C=0,適用所有的直線

⑥幾種特殊的直線方程

平行與x軸的直線;x軸y=b；y=0

平行與y軸的直線；y軸x=a：x=0

經(jīng)過原點(diǎn)（不包括坐標(biāo)軸）的直線—___y=kx

4.兩條直線的位置關(guān)系（一）

（斜率左存在）

已知直線6:y=匕工+,，Z2:y=k2x+b2

①4與4相交O________________kJk2

②4與力2平行O_________k[=右且4b2

③/］與，2重合O________________%=網(wǎng)且仇=b2

④l2O___________________占應(yīng)=一]

_tan"—"

⑤直線/,到4的角。，則tan0=

1+Z/2

______tan8=

⑥直線乙與12的夾角為。，則tan0=

5.兩條直線的位置關(guān)系（二）

已知直線4：A]X+B]y+C,=0,Z2：A,x+B2y+C2=0則

①IJIku________________3=3J

一

A2B2C2

②4與/,重合U________________A="=CL

A,B]C2

③4"4o4與+=0

A2B,

6.點(diǎn)Qo，%）到直線Z：Ax+By+C=0的距離d=

\AXO+BYQ+C\

線性規(guī)劃

7.確定二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）表示的區(qū)域的步驟若下:

①在平面平面直角坐標(biāo)系中作出直線Ax+By+C=0

②在該直線的一側(cè)，任取一點(diǎn)P(%,%)；當(dāng)CHO,常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)；

③將P(xQty0)代人Ax+By+C求值：Ax。+By0+C

④如Ax0+By{}+C>0,則包含點(diǎn)P的區(qū)域?yàn)椴坏仁紸x+By+C>0所表

示的平面區(qū)域；不包含點(diǎn)產(chǎn)的區(qū)域?yàn)椴坏仁紹y+C<0所表示的平面

區(qū)域。

8o解線性規(guī)劃問題的方法

①畫出可行域(注意邊界的虛實(shí)線)

②對(duì)目標(biāo)函數(shù)z=ax+力,。。0)變形：得到直線/:y=—￡x+:，

畫出直線/o：y=—@x

③將直線在可行域中進(jìn)行平移，平移至可行域的各個(gè)邊界點(diǎn)

④根據(jù)直線/的縱截距三，以及b的正負(fù)，求出z的最值

b

三.曲線與方程

9.一般的，在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程/(x,y)=0的

實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：

(1),都是這個(gè)方程的解；(曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo))

(2)以,都是曲線上的點(diǎn)；(方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn))

那么這個(gè)方程叫;這條曲線叫做.

(曲線的方程)；(方程的曲線)

10.求曲線的方程，一般有下面幾步：

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)歷的坐標(biāo)；

⑵寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={MIP(朋)};

⑶用坐標(biāo)，表示條件尸(M),列出方程/(x,y)=0

(4)化方程/(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式;

_____

（5）證明已化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線的點(diǎn)（經(jīng)常可省略此步）

四.圓

11.圓的方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;（%-a）?+（y-療=r2

圓的一般方程為;

x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中O?+E2-4F>0）

圓的參數(shù)方程為_______________

或F=a+sq（其中參數(shù)e為旋轉(zhuǎn)角）

><=rsin（7|y=b+rsinQ

12.二元二次方程Ax?+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=。表示圓的充要條件

為⑴（2）（3）

A=C0；8=0；D2+E2-4F>0

13.判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法.

（1）代數(shù)法:由直線方程與圓的方程聯(lián)立消元得一元二次方程利用△求解；

（2）幾何法:由圓心到直線距離d與半徑r比較大小來判斷.

14.圓（x-a）2+（y-bf=/的切線問題

（1）切點(diǎn)已知：P（xQ,%）為圓上的點(diǎn)，過P的切線方程（一條切線）

先求出女8=及二2；然后&j=--L=—血二巴，最后點(diǎn)斜式寫切線

X?！猘kg%一匕

（2）切點(diǎn)未知：P（x0,%）為圓外的一點(diǎn)，過。的切線方程（兩條切線）

設(shè)切線方程為y-%=攵（尤一%）或x=x（）,利用d=「求上.

并驗(yàn)證x=X。是否成立

15.圓的弦長(zhǎng)公式：____________________

l=2y/r2-d2

16.兩圓的位置關(guān)系

圓G：（x-q）2+（y-仇）2=；圓C2：（X-。2）一+（）"b）=T；

則有:相離o|C,C2|>ry+r2外切=|C]C2|=4+4

相交=h-弓|<|cdv八+G內(nèi)切oI。。21Tzi-4I

內(nèi)含。0<|C,C2|<|/]-r2\

基礎(chǔ)練習(xí)

A組

選擇題

1.已知過點(diǎn)A（—2,機(jī)）和8（皿4）的直線與直線2x+y-l=0平行，則機(jī)的

值為（B）

A0B-8C2D10

2.已知點(diǎn)A（l,2）,則線段A8的垂直平分線的方程是（C）

A.4-x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

3.直線//3x-5y+1=0與直線4：4x-y-4=0所成的角的大小是（C）

2TT兀71兀

A—B—C—D—

3346

4.直線y=2x關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（C）

11cc

Ay=--xBy=/XCy=-2xDy=2x

5.圓（x-1丫+V=1的圓心到直線），=手工的距離是（A）

A-B—C1D百

22

6.若直線3x-4），+12=0與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A,B,則以線段AB為直徑的圓

的方程是（A）

Ax2+y2+4x-3y=0Bx2+y2-4x-3y=0

Cx2+y2+4x-3y-4=0Dx2+y2-4x-3y+8=0

7.過原點(diǎn)且圓Y+y2-2x=0截得弦長(zhǎng)為百的一條直線的方程是（D）

Ay=xBy=y/3xCy=-xDy=~~~x

8.圓/+/—4x=（）在點(diǎn)尸（］,6）處的切線方程為（D）

A.x+-2-0B.x+-4-0

C.x-43y+4=0D.x-43y+2=0

二.填空題

3

9.一直線的傾斜角a的正弦等于-,此直線的斜率.k=

3T3

一或---

44

10.兩平行線4x2曲網(wǎng)蹈離為l2x+6y+7=0

3麗

4

11.已知三點(diǎn)A（a,2）,8（5』）,C（-4,2a）在同一直線上,a的值為.

c-7

a=2或a=—

2

12.求過點(diǎn)A（-5,2）,且在x軸y軸上截距相等的直線方程.

x+y+3=0或2x+5y=0

x+y<1,

13.設(shè)滿足約束條件<;

”0,

貝ijz=2x+y的最大值是.(答：2)

14.x2+/+2〃x-Qy+。=0表示圓，則a的取值范圍

、4

a<0或。>—

5

15.x2+/+3x—y—1=0的圓心坐標(biāo)_半徑—

z31.V14

222

16.圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為

(x—l)2+(y-2尸=4

17.直線x+2y+4=0截尤2+丁2-6%+2丁+1=0所得弦長(zhǎng)為

4

x=-2+2cos0

18.參數(shù)方程1(。為參數(shù))的普通方程為________

y=l+2sin。

當(dāng)夕=竺時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

3

(x+2)2+(y-l)2=4

19.圓心在直線y=x上且與x軸相切于點(diǎn)(1,0)的圓方程為

(x-l)2+(y-1)2=1

20.圓/+/一2%=0與圓龍2+、2+4)；=0的位置關(guān)系為(相交)

B組

選擇題

1.直線bx+ay=ab,(ci<0,b<0)的傾斜角是(B)

Aarctan￡-—zBp-arctan—Carctang--zDp-arctan—

Ia6。rb

2.直線/的斜率上的變化范圍是［-1,6］,則其傾斜角的變化范圍是（D）

71,71,eTCTC7t3乃_7C??S7/3Cr

A---卜kjr>—Fk/iBcDo,一U—，兀

43344

3.在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（l,2）距離為1,且與點(diǎn)8（3,1）距離為2的直線共

有（B）

A.1條B.2條C.3條D.4條

4.過點(diǎn)（2,1）的直線中，被f+y2_2x+4y=0截得最長(zhǎng)弦所在的直線方程

為（A）

A3x-y-5=0B3x+y-7=0

Cx+3y-3=0Dx-3y+1=0

5.=；”是“直線W+2）x+3,町+1=0與直線

（加一2）x+（加+2）y—3=0相互垂直”的（B）

A充分必要條件B充分而不必要條件

C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

6.直線/］：ax+2y-1=0與4：x+（。?1））'+/=0平行，貝U4=（B）

A-1B2C-1或2D0或1

7.在坐標(biāo)平面上，不等式組+i所表示的平面區(qū)域的面積為（C）

AV2B3C逑D2

22

8.過點(diǎn)4（1,-1）.8（-1,1）且圓心在直線x+廣2=0上的圓的方程（C）

A（x-3）2+（）-+1）2=4B（.x+3）2+（y-1）2=4

C(x-1)2+(y-I)2=1D(x+1)2+(y+I)2=1

9.圓C與圓(x—l)2+y2=1關(guān)于直線》二一工對(duì)稱，則圓C的方程為(B)

A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1

C.%2+(y+l)2=1D.%2+(y-l)2=1

10.已知直線/過點(diǎn)（-2,0）,當(dāng)直線/與圓/+），2=2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜

率%的取值范圍是（B）

A（-2啦,2揚(yáng)B（-72,72）C）D

4488

11.從原點(diǎn)向圓/+>2_]2），+27=0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間

的劣弧長(zhǎng)為（B）

AnB2兀C4兀D6兀

12.直線xsin6+y—l=0（6€旦夕片'+女肛AeZ）與2/+2/=1的位

置關(guān)系是（C）

A相交B相切C相離D不確定

13.點(diǎn)A在圓》2+丁=2y上，點(diǎn)8在直線y=x-l上，則的最?。ˋ）

AA/2-1B1-—CV2D—

22

二.填空題

14.直線/經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）,且點(diǎn)（3,-3）到直線/的距離為4,則直線/的方程

為_________

15.直線/經(jīng)過點(diǎn)P（3,2）且與x軸y軸的正半軸分別交與A,B兩點(diǎn)，A48。的

面積為12,直線/的方程?

2尤+3)-12=0

f2<x<4

16.當(dāng)滿足不等式組<yN3時(shí)，目標(biāo)函數(shù)k=3x—2y的最大值

x+y<8

x+y<5,

17.設(shè)x、y滿足約束條件13、+2〉,12,則使得目標(biāo)函數(shù)z=6x+5y的最大

04x43,

0<y<4.

的點(diǎn)(x,y)是,（2,3）

18.設(shè)P為圓/+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線3x—4y-10=0的距離的

最小值為

x=cos0

19.曲線C：\(6為參數(shù))的普通方程是__________，如果曲

y=—1+sin/9

線C與直線x+y+a=0有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

x2+(y+l)2=1；\-y[l<a<\+y[2

20.圓心在直線2x—y—7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,—4),5(0,-2)

則圓C的方程為_________________

(x-2汴(>+3)2=5

21.圓/+/2-4)，-12=0上的動(dòng)點(diǎn)。，定點(diǎn)4(8,0),線段4Q的中點(diǎn)軌跡

方程______________________

(x-4)2+。-1)2=4

22.圓f+y2-4x=0,過點(diǎn)(0,-3)引圓的兩條切線，兩切線的夾角正切值

為_____________

12

23.直線y=x+4與圓f+y2+2x-10)，+22=0相交于兩點(diǎn),那么過

A,8兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程是

x2+y2-8y+14=0

C組

一.選擇題

1.若直線2x—y+c=0按向量5=（1,—1）平移后與圓_?+/=5相切，則

c的值為（A）

A.8或一2B.6或—4C.4或一6D.2或一8

2.設(shè)集合A=｛（x,y）\x,y,1—x—y是三角形的三邊長(zhǎng)｝,則A所表

示的平面區(qū)域（不含邊界的陰影部分）是（A）

x-y-2<0

3.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y-4>0,則上的最大值是

X圖

2y-3<0

4.過圓/+丁=4外一點(diǎn)尸（4,2）坐圓的兩條切線,切點(diǎn)為,則MBP的

外接圓方程是（D）

A（x-4）2+（y-2）2=4Bx2+（y-2）2=4

C(x+4y+(y+2)2=5D(x-2)2+(y+l)2=5

5.若點(diǎn)P在直線2x+3y+10=0上，直線PA,P8分別切圓》2+丁=4于

A,6兩點(diǎn)，則四邊形尸A。8面積的最小值為（C）

A24B16C8D4

6.若直線y=x+機(jī)與半圓，-逢=x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍為（B）

AV2,-\/2jB>/2,—1JC卜D

二.填空題

7.已知直線分+Oy+c=O與圓0:/+y2=i相交于A,B兩點(diǎn)，且

朋=6則豆.歷=.（一g）

8.不論機(jī)為何值，直線/:（〃?一l）x+（2根-l）y=e-5恒過一個(gè)定點(diǎn)，此點(diǎn)的

坐標(biāo).（9,-4）

9.直線/經(jīng)過點(diǎn)尸（3,2）且與x軸y軸的正半軸分別交與4,3兩點(diǎn)，\ABO

的面積最小時(shí)，直線/的方程.

2x+3y-12=0

三.解答題

10.過點(diǎn)M（2,1）作直線/,交x軸y軸的正半軸分別交與4,B兩點(diǎn).

①求|