第10講第三章一元函數的導數及其應用章節綜合檢測本試卷滿分150分，考試用時120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數的導函數為，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，得.故選：A2．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）已知函數的圖象在點處的切線斜率為1，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】因為，所以，解得.故選：D3．（2023秋·陜西西安·高二統考期末）函數的極小值為（）A． B．1 C．0 D．不存在【答案】A【詳解】函數，定義域為，，，解得；，解得，在上單調遞減，在上單調遞增，時有極小值，極小值為.故選：A4．（2023春·陜西西安·高二校考期末）函數有三個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，據此可得函數在處取得極大值，在處取得極小值，結合題意可得：，解得：，所以實數的取值范圍是.故選：B．5．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學校考期中）已知函數滿足，且的導函數，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，則，因為，所以，即函數在上單調遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D6．（2023春·陜西西安·高二統考期末）若對任意的，且，都有成立，則實數m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對，且，都有，可得，即，兩邊同除得，構造函數，則函數在區間上單調遞增，，令，即，解得，即函數的單調遞增區間為，，則，因此，實數的最大值為.故選：C.7．（2023春·陜西安康·高二統考期末）函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】，排除A.當時，.令函數，，，所以在上單調遞增，即在上單調遞增.，，因為，所以，，即.所以存在，使得，即當時，，當時，.函數在上單調遞減，在上單調遞增..因為，所以，，排除CD.故選:B.8．（2023春·浙江溫州·高二校聯考期末）設，，，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】記函數，因為，當時，，所以當時，，單調遞增，所以，即.記函數，，當時，，單調遞增，所以，即.綜上，.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023·重慶·校聯考三模）德國數學家萊布尼茨是微積分的創立者之一，他從幾何問題出發，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，對，，且，總有，則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】A選項，根據可得，在R上單調遞增，因為，所以，A正確；B選項，因為，，且，總有，所以函數圖象上凸，畫出函數圖象，由幾何意義可知，表示函數圖象上的各點處的切線斜率，顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，因為，所以，B正確；C選項，，結合函數圖象可知，C錯誤，D正確.

故選：ABD10．（2023·全國·高二專題練習）定義在上的可導函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．-2是函數的極大值點，-1是函數的極小值點B．0是函數的極小值點C．函數的單調遞增區間是D．函數的單調遞減區間是【答案】BC【詳解】由題意可得，當時，，當時，，所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以0是函數的極小值點，所以B，C正確，A，D錯誤.故選：BC11．（2023春·浙江麗水·高二統考期末）已知非零實數，滿足，實數，滿足，則下列可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】令，則.由，可得.當時，有，所以在上單調遞減；當時，有，所以在上單調遞增.所以，在時有唯一極小值，也是最小值.又，，，所以，根據零點存在定理可知，，使得.又，所以，所以.現作出函數，以及的圖象，如圖1所示

對于A項，由圖2可知，，滿足，故A項正確；對于B項，由圖2可知，當時，恒成立，即，所以.又單調遞增，所以當時，有，所以，，故B項錯誤；

對于C項，由圖3可知，時，滿足成立，故C項正確；

對于D項，由圖4可知，時，滿足成立，故D項正確.故選：ACD.12．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校考模擬預測）對于函數和，設，若存在，使得，則稱與互為“零點相鄰函數”.若函數與互為“零點相鄰函數”，則實數的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】由題意，可得，，易知，則，，則在有解，求導得：，令，解得，可得下表：極大值則當時，取得最大值為，，則的取值范圍為，設，，則，所以函數在上單調遞減，所以，所以的值可以是，，.故選：BCD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023·全國·高三專題練習）直線分別與曲線，交于，，則的最小值為_______.【答案】【詳解】由題知，，，則，令，，，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以時，最大，且為，所以，即的最小值為.故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則實數______.【答案】1【詳解】因為，所以，因為函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以是函數的一個極值點即方程的一個根，則由，得，解得，經檢驗符合題意.故答案為：115．（2023春·山東泰安·高二寧陽縣第四中學校考階段練習）已知函數，其中是自然對數的底數．若，則實數的取值范圍是________．【答案】【詳解】由題意的定義域是，，∴是奇函數，，當且僅當時等號成立，∴是增函數，不等式化為，因此，解得．故答案為：．16．（2023·天津河西·天津實驗中學校考模擬預測）已知函數，則時，的最小值為______，設，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是______.【答案】【詳解】當時，，此時函數在上單調遞增，所以此時函數的最小值為，當時，，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以函數的最小值為，綜上，當時，的最小值為，函數的圖象如圖所示

令，則由，得，因為函數有6個零點，所以有兩個解，所以，且滿足，解得，即實數的取值范圍是，故答案為：，四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023春·陜西西安·高二校考期末）已知函數.(1)求的單調區間；(2)求在上的最值.【答案】(1)增區間、；減區間(2)，【詳解】（1）因為，所以，由得到或，由得到，所以單調增區間為和；單調減區間為.（2）由（1）知，當時，單調遞增，時，單調遞減，故又，故.18．（2023春·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知函數，．(1)求函數在上的值域；(2)若，，使得，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），當時，；在上單調遞減，，；在上的值域為.（2），，使得，；當時，；由（1）知：當時，，，解得：，即實數的取值范圍為.19．（2023春·江蘇無錫·高二統考期末）已知函數．(1)若函數在處有極大值，求實數c的值；(2)若不等式對任意恒成立，求實數c的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）．當，即或時，函數可能有極值．由題意，函數在處有極大值，所以．所以，時，，在區間上單調遞增；時，，在區間上單調遞減；時，，在區間上單調遞增；所以，當時，取得極大值，此時，．（2）若，時，，在區間上單調遞增，，解得．所以符合題意．若即，由（1）可知，在區間上單調遞增所以，解得．所以，不合題意．若即，由（1）可知，在區間上的最大值為，所以只需，即，又，解得．綜上所述：．20．（2023春·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知.(1)證明：；(2)證明：時，.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題意知，的定義域為，，令，解得：令，解得.所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為，所以.（2）由（1）知，當且僅當時等號成立，所以，，，…，，所以.21．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，其中．(1)當時，求函數在處的切線方程；(2)討論函數的單調性；【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時，，定義域為，所以，所以切線的斜率，又，所以函數在處的切線方程為，即.（2）的定義域是，由，得，令，則．①當或，即時，恒成立，所以在上單調遞增．②當，即時，由，得，所以當或時，，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減．綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．22．（2023秋·山東濱州·高二統考期末）已知函數．(1)討論的單調性；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)在區間上單調遞減，在區間上單調遞增(2)【詳解】（1）（1）因為，所以．因為，，所以，當時，，所以在上單調遞增