第五節(jié)古典概型、幾何概型·最新考綱·1．結(jié)合詳細(xì)實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率．2．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義．3．了解人類相識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程．·考向預(yù)料·考情分析：古典概型及其與平面對(duì)量、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等學(xué)問綜合是考查的熱點(diǎn)．學(xué)科素養(yǎng)：通過古典概型、幾何概型的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個(gè)學(xué)問點(diǎn)1．基本領(lǐng)件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本領(lǐng)件是________的．(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成________的和．2．古典概型(1)古典概型的定義及特點(diǎn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件______．②每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性________．(2)古典概型的概率公式一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，假如某個(gè)事務(wù)A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事務(wù)A的概率為P(A)＝________．3．幾何概型(1)幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的________(________或________)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為________．(2)在幾何概型中，事務(wù)A的概率的計(jì)算公式如下：P(A)＝_____________________________________________.二、必明1個(gè)常用結(jié)論古典概型與幾何概型的區(qū)分與聯(lián)系(1)共同點(diǎn)：基本領(lǐng)件都是等可能的；(2)不同點(diǎn)：古典概型基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是有限的，幾何概型基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是無限的．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)事務(wù)是等可能事務(wù)．()(3)在古典概型中，假如事務(wù)A中基本領(lǐng)件構(gòu)成集合A，全部的基本領(lǐng)件構(gòu)成集合I，則事務(wù)A的概率為cardA(4)幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形或空間幾何體．()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)．()(6)幾何概型與古典概型中的基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)都有限．()(二)教材改編2．[必修3·P127例3改編]把一顆骰子投擲兩次，視察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1，2)，則向量m與向量n不共線的概率是()A．16B．1112C．13．[必修3·P146習(xí)題B組T4改編]如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，有30個(gè)點(diǎn)落入圖形M中，則圖形M的面積的估計(jì)值為______．(三)易錯(cuò)易混4．(分類不清出錯(cuò))現(xiàn)有7名成果優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，B1，B2的物理成果優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成果優(yōu)秀．從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀的人中各選1人，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參與競(jìng)賽，則A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為________．5．(幾何概型類型不清)如圖所示，M是半徑為R的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長(zhǎng)度超過2R的概率是________．(四)走進(jìn)高考6．[2024·全國甲卷]將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一簡(jiǎn)潔的古典概型[基礎(chǔ)性]1．[2024·廣西高三開學(xué)考試]視察一枚勻稱的正方體骰子，隨意選取其中兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)之和正好等于5的概率為()A．110B．115C．22．小華、小明、小李、小章去A，B，C，D四個(gè)工廠參與社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)工廠恰有1人去實(shí)習(xí)，則小華去A工廠，且小李沒去B工廠的概率是________．反思感悟利用公式法求解古典概型問題的步驟考點(diǎn)二困難的古典概型[綜合性][例1]已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．聽課筆記：反思感悟求較困難事務(wù)的概率問題的方法(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和事務(wù)，再利用互斥事務(wù)的概率加法公式求解．(2)先求其對(duì)立事務(wù)的概率，再利用對(duì)立事務(wù)的概率公式求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】某市為慶祝北京奪得2024年冬奧會(huì)舉辦權(quán)，圍繞“全民健身促健康，同心共筑中國夢(mèng)”主題開展全民健身活動(dòng)．組織方從參與活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按他們的年齡分組：第1組[20，30)，第2組[30，40)，第3組[40，50)，第4組[50，60)，第5組[60，70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)若電視臺(tái)記者要從抽取的群眾中選一人進(jìn)行采訪，估計(jì)被采訪人恰好在第1組或第4組的概率；(2)已知第1組群眾中男性有3名，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊(duì)，求至少有1名女性群眾的概率．考點(diǎn)三幾何概型[綜合性]角度1與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型[例2]若任取k∈[－5，5]，則直線y＝k(x＋1)與曲線y＝A．15B．310C．2聽課筆記：反思感悟與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型(1)假如試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(2)與時(shí)間、不等式等有關(guān)的概率問題可轉(zhuǎn)化為幾何概型，利用幾何概型概率公式進(jìn)行求解．角度2與體積有關(guān)的幾何概型[例3][2024·湖南衡陽八中模擬]如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是()A．1－π4B．π12C．π聽課筆記：反思感悟與體積有關(guān)的幾何概型的求法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對(duì)于某些較困難的也可利用其對(duì)立事務(wù)求解．角度3與面積有關(guān)的幾何概型[例4][2024·湖北省四校聯(lián)考]如圖所示的圖案是由兩個(gè)等邊三角形構(gòu)成的六角星，其中這兩個(gè)等邊三角形的三邊分別對(duì)應(yīng)平行，且各邊都被交點(diǎn)三等分，若往該圖案內(nèi)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在圖中陰影部分內(nèi)的概率為()A．14B．13C．1聽課筆記：反思感悟求解與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對(duì)應(yīng)的面積，所求面積，必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2024·廣東佛山調(diào)研]將一根長(zhǎng)為6m的繩子剪成兩段，則其中一段大于另一段的2倍的概率為()A.13B．23C．22．一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體ADF－BCE內(nèi)自由翱翔，則它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為()A．34B．23C．13．折扇由扇骨和扇面組成，初名腰扇，濫觴于漢末，曾是王公大人的寵物．到了明清時(shí)期在折扇扇面上題詩賦詞作畫，成為當(dāng)時(shí)的一種時(shí)尚，并始終流行至今．現(xiàn)有一位折扇愛好者打算在如圖的扇面上作畫，由于突然停電，不慎將一滴墨汁落入折扇所在區(qū)域，則墨汁恰好落入扇面的概率約為()A．34B．13C．5考點(diǎn)四古典概型與幾何概型的綜合問題[綜合性]角度1與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的古典概型、幾何概型問題[例5](1)為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校購進(jìn)了《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》和《西游記》若干套，假如每班每學(xué)期可以隨機(jī)領(lǐng)取兩套不同的書籍，那么該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到《三國演義》和《水滸傳》的概率為()A．23B．12C．1(2)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3聽課筆記：角度2與函數(shù)、向量、線性規(guī)劃等學(xué)問交匯的古典概型、幾何概型問題[例6](1)在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“-1≤log1A．34B．23C．1(2)小波以嬉戲方式確定是去打球、唱歌還是去下棋．嬉戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．①寫出數(shù)量積X的全部可能取值．②分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．聽課筆記：角度3與實(shí)際生活有關(guān)的古典概型、幾何概型問題[例7](1)割補(bǔ)法在我國古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ)”，劉徽稱之為“以盈補(bǔ)虛”，即以多余補(bǔ)不足，是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn)．如圖揭示了劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的方法．在圖中三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在標(biāo)記“盈”的區(qū)域的概率為()A．12B．13C．1(2)如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為23A．43B．83C．2聽課筆記：反思感悟解決此類綜合問題的方法是充分讀取題目信息，脫去向量、線性規(guī)劃、正負(fù)等“外衣”，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為古典概型、幾何概型問題，代入概率公式求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．現(xiàn)在某類病毒記作Xm，Xn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以隨意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________．2．若a，b∈{－1，0，1，2}，則使關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的概率為________．3．假設(shè)某人訂了一份牛奶，送奶人在早上6：00～7：00之間隨機(jī)地把牛奶送到他家，而他在早上6：00～7：30之間隨機(jī)地離家上學(xué)，則他在離開家前能收到牛奶的概率是________．第五節(jié)古典概型、幾何概型積累必備學(xué)問一、1．(1)互斥(2)基本領(lǐng)件2．(1)有限相等(2)m3．(1)長(zhǎng)度面積體積幾何概型(2)構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度三、1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×2．解析：若m與n共線，則2a－b＝0.而(a，b)的可能性狀況為6×6＝36個(gè)．符合2a＝b的有(1，2)，(2，4)，(3，6)共三個(gè)，故共線的概率是336＝112，從而不共線的概率是1－112答案：B3．解析：由題意可得正方形面積為4，設(shè)不規(guī)則圖形的面積為S，由幾何概型概率計(jì)算公式可得S4＝30200，所以答案：0.64．解析：基本領(lǐng)件共有3×2×2＝12(個(gè))，其中符合條件的基本領(lǐng)件有2＋2×2＝6(個(gè))，故A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為12答案：15．解析：當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度恰為2R時(shí)，∠MON＝π2，如圖，當(dāng)點(diǎn)N落在半圓弧NMN'上時(shí)，弦MN的長(zhǎng)度不超過2R，故所求概率為P＝答案：16．解析：把3個(gè)1和2個(gè)0排成一行，共有10種排法，分別是00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2個(gè)0不相鄰的排法有6種，分別是01011，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率P＝610答案：C提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一1．解析：視察一枚勻稱的正方體骰子，隨意選取其中兩個(gè)面的點(diǎn)數(shù)的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種取法，其中和為5的取法有(1，4)，(2，3)，共2種取法，由古典概型概率公式可得事務(wù)點(diǎn)數(shù)之和正好等于5的概率P＝215答案：C2．解析：記小華、小明、小李、小章分別為：1、2、3、4，數(shù)組(a，b，c，d)對(duì)應(yīng)A，B，C，D的依次，由題意可知總的安排狀況有：(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，3，1)，(2，4，1，3)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，2，3，1)，(4，2，1，3)，(4，3，2，1)(4，3，1，2)，(4，1，3，2)，(4，1，2，3)，共6×4＝24種，其中符合條件的狀況有：(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，共4種，故所求概率P＝424＝1答案：1考點(diǎn)二例1解析：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝521對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)設(shè)第1組[20，30)的頻率為f1，則由題意可知，f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.被采訪人恰好在第1組或第4組的頻率為0.05＋0.020×10＝0.25.故估計(jì)被采訪人恰好在第1組或第4組的概率為0.25.解析：(2)∵第1組[20，30)的人數(shù)為0.05×120＝6.∴第1組中共有6名群眾，其中女性群眾共3名．記第1組中的3名男性群眾分別為A，B，C，3名女性群眾分別為x，y，z，從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊(duì)包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15個(gè)基本領(lǐng)件．至少有一名女性群眾包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12個(gè)基本領(lǐng)件．∴從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成志愿者服務(wù)隊(duì)，至少有1名女性群眾的概率P＝1215＝4考點(diǎn)三例2解析：直線y＝k(x＋1)過定點(diǎn)(－1，0)，曲線y＝4-x-22，即(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(2，0)為圓心，2為半徑的圓的上半部分，直線y＝k(x＋1)與該曲線相切時(shí)，k＝255，因?yàn)橹本€y＝k(x＋1)與曲線y＝4-x-22有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0≤k＜25答案：A例3解析：正方形ABCD的面積為22＝4，圓錐的底面圓的面積為π，所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是4-π4＝1－π答案：A例4解析：設(shè)六角星的中心為點(diǎn)O，分別將點(diǎn)O與兩個(gè)等邊三角形的六個(gè)交點(diǎn)連接起來，則將陰影部分分成了六個(gè)全等的小等邊三角形，并且與其余六個(gè)小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝12答案：C對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：繩子的長(zhǎng)度為6m，剪成兩段后，設(shè)其中一段的長(zhǎng)度為xm，則另一段的長(zhǎng)度為(6－x)m，記“其中一段的長(zhǎng)度大于另一段長(zhǎng)度的2倍”為事務(wù)A，則A＝＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝23.答案：B2．解析：因?yàn)閂F－AMCD＝13×SAMCD×DF＝14a3，VADF－BCE＝12a3，所以它飛入幾何體F－AMCD內(nèi)的概率為1答案：D3．解析：由題得，扇面的面積為S1＝12·2π3·182－12·2π扇子的面積為S2＝12·2π3·18則墨汁恰好落入扇面的概率P＝96π108π＝8答案：D考點(diǎn)四例5解析：(1)記《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》和《西游記》為a、b、c、d，則該校高一(1)班本學(xué)期領(lǐng)到兩套書的全部狀況有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6種，符合條件的狀況為ab共1種，故概率為16(2)方法一取AB＝AC＝2，則BC＝22，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S1＝12×2×2＝2，區(qū)域Ⅲ的面積為SⅢ＝12·π(2)2－2＝π－2，區(qū)域Ⅱ的面積為SⅡ＝π·12－SⅢ＝2，故p1＝p方法二設(shè)AC＝b，AB＝c，BC＝a，則有b2＋c2＝a2，從而可以求得△ABC的面積為S1＝12bc黑色部分的面積為SⅡ＝π2·(c2)2＋π2·(b2)2－π2·a22-12bc＝π2(c24+b24-a24)＋所以有SⅠ＝SⅡ，依據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到p