2022-2023學年福建省寧德高級中學高三（上）第一次月考數學

試卷

1.已知集合4={%|1V%V3},集合8={%|log2(x+1)42},則4U8=()

A.{%|1<%<3}B.{x\x<3}

C.{%|-1<%<3}D.{x|l-<x<3]

2.函數f(x)=In%+/-6,則f(%)的零點所在區間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.94)D.(4,5)

3.若函數f(x)在x=l處的導數為2,則;0空嗯加=()

A.2B.1C.1D.6

4.已知函數〃吟=或：：廣；14若《(|))=-6,則實數a=()

I4?U.X,XW乙,0

A.—5B.5C.—6D.6

6.當某種藥物的濃度大于lOOmg/L（有效水平）時才能治療疾病，且最高濃度不能超過

1000mg/L（安全水平）.從實驗知道該藥物濃度以每小時按現有量14%的速度衰減，若治療時

首次服用后的藥物濃度約為600mg/L,當藥物濃度低于有效水平時再次服用，且每次服用劑

量相同，在以下給出的服用間隔時間中，最合適的一項為（參考數據:lg2x0.301,lg3x0.477,

lg86?1.935.）（）

A.4小時B.6小時C.8小時D.12小時

7.已知a=0.5°-4,b=logo,50.4,c=%畔，則（）

】Og27”

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

X>1

8.已知函數/(%)=kIn%',若函數y=[/(%)]24-1與y=(4a-2)/(%)的圖象恰

lx3-3x4-4,x<1

有5個不同公共點，則實數。的取值范圍是()

A.《，第B.(1,韻C,(1,1]D.

9.下列函數中，與函數y=x+2是同一個函數的是()

A.y=(Vx+2)2B.y=Vx^+2C.y=y+2D.y=t+2

10.若函數、=〃一(8+1)9>0且￡1工1)的圖象過第一、三、四象限，則必有()

A.0<a<1B.a>1C.b>0D.b<0

11.關于函數f(x)=|ln|2—x||,下列描述正確的有()

A.函數f(x)在區間(1,2)上單調遞增

B.函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱

C.若X,*%2，但/Q1)=f(.x2)*則*1+*2=4

D.函數f(x)有且僅有兩個零點

12.下列說法正確的有()

A.若x<則2x+2J1的最大值是—1

B.若x,y,z都是正數，且x+y+z=2,則士+--的最小值是3

C.若%>0,y>0,x+2y+2xy=8,貝阮+2y的最小值是2

D.若實數x,y滿足xy>0,則京+島的最大值是4一2企

13.若/。)=會為奇函數，則。=____.

ex+l

14.已知幕函數/'(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(neZ)在(0,+8)上是減函數，則n的值為.

15.函數一3x-％2的單調增區間是.

16.設(x)的定義域為R,且滿足/(3-2%)=f(2x-l),/(-x)+/(%)=2,若f(l)=2,則

/⑴+”2)+f(3)+…+”2023)=.

17.已知全集U=R,集合A={x\2<x<5],B={x|x2—2ax+(a2—1)<0}.

(1)當a=2時,求(C/)n(QB);

(2)若xe4是xGB的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.

18.已知函數/(x)=a/+ex+d(a40)是R上的奇函數，當x=2時，取得極值-16.

(1)求f(x)的單調區間和極大值；

(2)證明：對任意看,x2G[-1,1].不等式|/(右)一/(無2)1式22恒成立.

19.已知一個袋子里裝有顏色不同的6個小球，其中紅球2個，黃球4個，現從中隨機取球,

每次只取一球.

(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續取球三次，至少兩次取得紅球”的概率；

(2)若每次取球后都不放回袋中，且規定取完所有紅球或取球次數達到四次就終止取球，記取

球結束時一共

取球X次，求隨機變量X的分布列與期望.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAABCD,AD//BC,AB=BC=PA=1,AD=2,

CD=魚，點E在棱PC上.

(1)求證：CD1AE；

(2)若E為PC中點，求P。與平面所成角的正弦值.

21.第七次全國人口普查是對中國特色社會主義進入新時代開展的重大國情國力調查，某地區

通過在市民中隨機抽取了300戶進行詢查，在選擇自主填報或入戶登記的戶數與戶主年齡段

(45歲以上和45歲及以下)分布如下2X2列聯表所示：現統計得出樣本中自主填報的人數占

樣本總數的50%,45歲以上(含45歲)的樣本占樣本總數的白，45歲以下且入戶登記的樣本有

120戶.

入戶登記自主填報合計

戶主45歲及以上

戶主45歲以下120

合計

(1)將題中列聯表補充完整：通過計算判斷，有沒有99%的把握認為戶主選擇自主填報與年齡

段有關系？

(2)根據(1)中列聯表的數據，在自主填報的戶數中按照戶主年齡段用分層抽樣的方法抽取了6

戶，若從這6戶中隨機抽取3戶進行進一步復核，記所抽取的3戶中“戶主45歲以下”的戶

數為f，求f的分布列和數學期望.

附表及公式:

P(K2>ko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

九(ad-bc)2

其中內=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

22.已知函數/(x)=上一Q(X+2).

(1)當％W(—2,+8)時,f(%)NO恒成立,求a的取值范圍.

3

TrJ(X+1)+VX+1

(2)證明：_3-----.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x|l<x<3},集合B={x|log2(x+1)<2}={x|-1<x<3},

則4UB={久|一1<xW3}.

故選：D.

求出集合A,集合B,利用并集定義能求出4UB.

本題考查集合的運算，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：函數/'(X)=Inx+M-6,定義域為(0,+8),

y=Inx在(0,+8)上單調遞增，y=x2-6在(0,+8)上單調遞增，

:.f(x)=Inx+x2—6在(0,+8)上單調遞增，

/(2)=ln2-2<0,/(3)=ln3+3>0,

故選：B.

根據函數的零點判定定理，判斷選項即可得出答案.

本題考查函數零點判定定理的應用，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意可知/''(1)=2,

0/(1+AZ)-A1)=二0&+字綱=7⑴=；X2=1.

2AX2Ax2，、J2

故選：B.

依題意/'(I)=2,再利用導數的定義求解即可.

本題主要考查了導數的定義，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：根據題意，函數IQ)=工

797

則居)=3X/1=3,則/(/6))=f(3)=9+3a,

若/(/(勺)=一6，即9+3a=-6,解可得a=-5,

故選：A.

根據題意，由函數的解析式可得/(/(|))的表達式，由此可得關于a的方程，解可得答案.

本題考查分段函數的求值，涉及函數解析式的計算，屬于基礎題.

5.【答案】D

【解析】解：函數/(x)=/log?分的定義域為(一2,2),

22

f(r)=xlog2|^=-xlog2|^=-/(x).

可得〃x)為奇函數，其圖象關于原點對稱，可排除選項8、C；

當#=1時，/(I)=log23>0,可排除選項4

故選：D.

首先判斷f(x)的奇偶性，可得f(x)的圖象的對稱性，再計算”1),由排除法可得結論.

本題考查函數的圖象的判斷，考查數形結合思想和推理能力，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：設〃小時后藥物濃度為y=600x(1-0.14)"-1,

若n小時后藥物濃度小于100mg/L,則需再服藥，

1

<-

由題意可得，600x(1-0.14)n-1<100,即0.86“T6

所以(n—l)lg0.86<—lg6,即-1>瑞=一姿氤0.301+0.477_0.778

1.935-2=0.06511.969,

故n>12.969,

所以在首次服藥后13個小時再次服藥最合適，

則服用藥物的間隔時間12小時最合適.

故選：D.

若〃小時后藥物濃度小于100mg/L,則需再服藥，由題意可得，600x(1-0.14)n-1<100,再

結合對數函數的公式，即可求解.

本題主要考查函數的實際應用，掌握對數函數的公式是解本題的關鍵，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：因為。=陪?普=黑?黑=1,

lg64lg961g221g3

又0<0.50-4<0,5°=1,

所以0<a<1,

因為logos。，>logo.50?5=1，

所以b>1,

所以b>c>a.

故選：B.

由指數函數和對數函數的性質，即可得出答案.

本題考查對數式與指數式的大小關系，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：當％>1時,/(%)==欣2L若1V%Ve時,/'(%)<0,%>e時,/'(%)>0,

em%elnx

當工=C時，/(x)min=1，

則當x>l時，/(x)>/(e)=1,當％W1時，/(x)=x3-3x4-4,//(x)=3x2-3,%=-1時有

極大值/(一1)=6,/(1)=2,大致圖象如圖所示，

函數y=[/(%)]2+1與y=(4a-2)f(x)的圖象恰有5個不同公共點，

即函數+1-(4a-2)/(%)=0有5個不同的根，

令t=/(%),即產—(4a—2)t+1=0(*),

(1)在區間(一8,1)和[2,6)上各有一個實數根，令函數〃(t)=t2-(4a-2)￡+1,

僅(1)=1+2-4Q+1V0

則〃2)=4+2(2-4a)+lW0,解得旨a<春

(以6)=36+6(2-4a)+1>0

(2)方程(*)在(1,2)和(6,+8)各有一根時，

僅⑴=l+2-4a+l>0(a<l

則(“(2)=4+2(2—4a)+1<0,即<。>耳，無解.

(〃(6)=36+6(2-4a)+1<0L,>竺

I24

(3)方程(*)的一個根為6時，可得a=,，驗證另一根為上，不滿足，

(4)方程(*)的一個根為1時，可得a=l,可知不滿足.

綜上所述：實數”的取值范圍是或第，

故選：A.

求導得-0)的單調性畫出大致圖象，函數y=[/(x)]2+1與y=(4a-2)f(x)的圖象恰有5個不同

公共點，[/(切2+1一(4。-2)/(%)=0有5個不同的根,t=f(x),即產一(4a-2)t+l=0,

ti=6,t2=l時有5個不同的解，從而可得實數。的取值范圍.

本題考查函數的零點與方程的根的關系，屬中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：函數y=x+2的定義域為R,

對于A,y=(VF不2)2的定義域為［-2,+8),與函數y=%+2的定義域不同，故不是同一函數；

對于B,y=+2=%+2的定義域為R,與函數y=x+2的定義域相同，對應法則也相同，

故是同一函數；

對于C,y=?+2=x+2的定義域為{x|x#0},與函數y=x+2的定義域不同，故不是同一函

數；

對于。，y=t+2與函數y=%+2的定義域相同，對應法則也相同，故是同一函數.

故選：BD.

判斷兩個函數是不是同一函數，就看定義域和對應法則是否一樣即可.

本題主要考查兩個函數是否為同一函數的判斷，屬于基礎題型.

10.【答案】BC

【解析】解：「函數丫=。*一3+1)((1>0,(1片1)的圖象在第一、三、四象限，

.?.根據圖象的性質可得：a>l,a°-b-1<0,

即a>1,b>0,

故選：BC.

根據圖象的性質可得：a>l,a°-b~l<0,即可求解.

本題考查了指數函數的性質，圖象的運用，屬于基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數圖象變換，其中根據對折變換原則，畫出函數

f(x)=|ln|2—x||的圖象,是解答的關鍵，屬于中檔題.

畫出函數/(x)=|ln|2-x||的圖象，逐一分析題目中四個描述的真假，可得答案.

【解答】

解:函數/"(x)=|ln|2-x||的圖象如下圖所示:

函數/(%)在區間(1,2)上單調遞增，4正確；

函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，8正確；

根據圖象，由“1/%2，但/(%1)=則+%2不一定等于%C錯誤;

函數/'(X)有且僅有兩個零點，力正確.

故選：ABD.

12.【答案】ABD

【解析】解：若x<貝!]2x+^-=2%-1+-^+1<-2+1=-1,當且僅當2工-1=

22x-l2x-l2x-l

即x=0時取等號，A正確；

x,y,z都是正數，且x+y+z=2,則士+=7=+二-)。+1+y+z)=<[5+絲萼+

/x+1y+z3、x+ly+z八」'3L%+1

號Y-L1]N口15+4)=3,

當且僅當"普=號且％+y+z=2,即％=1,y+z=l時取等號，3正確；

x+ly-rz

因為x>0,y>0,x+2y+2xy=8,

所以x+2y=8—xx2y>8—當且僅當x=2y且%+2y+2xy=8.即x=2,y=1時

取等號，

解得x+2yN4,C錯誤；

因為xy>0,

令，=今+2,則降企，當且僅當今=2時取等號,

2yx2yx

所以2t+322V2+3,

-11

所以°〈五百S刃承'

京+哥=向+怠=(:濾)=1+W(L4-2A/2],。正確.

故選：ABD.

由已知結合基本不等式及函數性質分別檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了基本不等式及函數的性質在最值求解中的應用，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：根據題意，若/。)=學言為奇函數，

，ex4-l

則/(x)+/(-x)=0,即捺工+=e,J：方叱=1-a=0,必有a=1,

故答案為：1.

根據題意，由奇函數的定義可得/'(x)+/(-%)=0,即+-e一:：丁。-=1=3

解可得答案.

本題考查函數奇偶性的性質以及應用，涉及函數的解析式，屬于基礎題.

14.【答案】1

【解析】解：基函數/'(%)=(n2+2n-2)xn2-3n(neZ)中，

令層+2n-2=1,

解得n=—3或n=1；

又/(x)在(0,+8)上是減函數，

所以M—3n<0,

解得0<n<3；

所以〃的值為1.

故答案為：1.

根據基函數的定義和性質，列方程和不等式求出〃的值.

本題考查了幕函數的定義與性質的應用問題，是基礎題.

15.【答案】［一4,一芻

【解析】解：函數/(%)=V4-3%-%2,

由4一3%—％22o可得，-44x41,

設t=4-3x—/,則函數在［一4,一方上單調遞增，在［|,1］上單調遞減.

因為函數y=正在定義域上為增函數，

所以由復合函數的單調性性質可知，則此函數的單調遞增區間是［-4,-1］.

故答案為：［-4,一|］.

先求出函數的定義域，然后利用復合函數的單調性確定函數f(x)的單調遞增區間.

本題主要考查了復合函數的單調性以及單調區間的求法.對應復合函數的單調性，一要注意先確

定函數的定義域，二要利用復合函數與內層函數和外層函數單調性之間的關系進行判斷，判斷的

依據是“同增異減”，屬于基礎題.

16.【答案】2023

【解析】解：vf(3-2x)=f(2x-1),

???/(*)關于直線X=芋=1對稱,則f(-*)=f(x+2),/(x)=/(2-x),

X/(-x)+f(x)=2,則/。+2)+/(2—x)=2,可得f(%)+f[2-(x-2)]=2,即/(x)+/(4-

x)=2,

所以f(一x)=f(4-x),則f(x)=/(x+4),

所以/(x)的最小正周期為4,

又/(-X)+/(%)=2,/(-%)=f(x+2),

則f(x)+f(x+2)=2,f(x+1)+f(x+3)=2,

所以f(x)+f(x+l)+〃x+2)+f(x+3)=4,

所以f(0)+/(l)+f(2)+f(3)+f(4)+……+f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=4x

506=2024,

又f⑴=2,

則/(0)=1,

所以f(1)+/(2)+f(3)+…+f(2023)=2023.

故答案為：2023.

根據題意可得f(x)的周期為4,且f(x)+f(x+l)+f(x+2)+f(x+3)=4,由此容易得到答案.

本題考查抽象函數的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)4={x\2<x<5),

B={x\x2—2ax+(a2—1)<0}={x|a-1<x<a+1}.

當a=2時，B=(1,3),

則C"={x\x>5或x<2},CyB={x\x>3或%<1},

則(CMn(QB)={x\x>5或x<1).

(2)若xG4是xeB的必要不充分條件，

則則其，等號不能同時成立，解得3WaW4,

即實數。的取值范圍是[3,4].

【解析】(1)根據不等式的解法求出集合的等價條件，利用集合的基本運算法則進行計算即可.

(2)若工€4是x€8的必要不充分條件，則B曙4根據條件轉化為真子集關系進行求解即可.

本題主要考查集合的基本運算，以及充分條件和必要條件的應用，結合充分條件和必要條件與集

合關系轉化為真子集關系是解決本題的關鍵，是基礎題.

18.【答案】解：(1)由奇函數的定義，可知/(—%)=-/。)，XER,

,?,函數f(x)=ax3+ex+d(aH0)是R上的奇函數，

:.a(-x)3+c(一久)+d=-ax3—ex-d,,??d=0,二/(%)=ax3+ex,

由條件/⑴=—2為/(x)的極值，可得償?=°”，

1/⑷=-16

即存解得a=l,c=-12,

(8Q+2c=-16

:./(%)=%3—12%,/'(%)=3x2—12=3(%+2)(%—2),

令/'(%)=0,則與=—2,亞=2,

列表如下：

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+co)

/(X)+0-0+

f(x)T極大值1極小值T

由表知，函數f(%)的單調遞減區間是(-2,2),單調遞增區間是(-8,-2)和(2,+8),

“X)族大德="-2)=16.

(2)證明：由(1)知，fix')=x3-3x的單調遞減區間為(一2,2),

???/(x)在［-1,1］是減函數，且/(x)在［-1,1］上的最大值M=/(-I)=11,

/Q)在［-1,1］上的最小值m=/(I)=-11,

???對任意的,x2e［-1,1］恒有If6)-/(#2)l<M-m=11-(-11)=22.

【解析】(1)根據函數的奇偶性求解d的值，進而根據函數的極值得到關于a,c的方程組，解方

程組得到a,c的值，從而得到函數的解析式，對函數求導，根據導函數的符號得到函數單調性

和極大值.

(2)根據(1)中的結論得到函數在閉區間上的單調性，從而得到函數在閉區間上的最大值和最小值,

作差并取絕對值證明結論.

本題考查了利用導數研究函數的單調性與極值，不等恒成立問題，考查了轉化思想和方程思想，

屬中檔題.

19.【答案】解：(1)連續取球三次，記取得紅球的次數為。則隨機變量f服從二項分布8(33,

則P(f>2)=C湖*|+c符尸=7.

(2)很明顯隨機變量X的所有可能取值為2,3,4,

211

八241,4212

P(X=3)=-x-x-+-x-x^=—,

124

P(X=4)=l----=-.

所以隨機變量X的分布列為:

X234

P124

15155

所以隨機變量的期望為E(X)=2x2+3x卷+4'9=||.

【解析】(1)由題意可知，該事件符合二項分布，利用二項分布公式計算可得答案；

(2)根據離散型隨機變量分布列以及期望的定義解題，根據題意，求得相應的概率值，然后確定分

布列和數學期望即可.

本題主要考查二項分布概率公式，離散型隨機變量及其分布列，概率統計的實際應用等知識，屬

于中等題.

20.【答案】(1)證明：取的中點F,連接CF,則4F=BC,

5L.AD//BC,

二四邊形A8CF為平行四邊形，CF=48=1,

又4D=2,CD=V2,

CF2+FD2=1+1=CD2,???CF1AD,

AC=y/Af2+FC2=V2,AC2+CD2=AD2,：.AC1CD,

-PA_L平面ABCD,又u平面ABCD,:.CD1PA,

又ACCP力=A,AC,PAu平面PAC,

CD_L平面PAC,

又4Eu平面PAC,???CD1AE；

(2)解：由(1)知，AB//CF,.-.ABLAD,

因為PAJ■平面ABC。，???PALAD,PALAB,

故以A為坐標原點，AB,AD,AP所在的直線分別為x軸，)，軸，z軸，建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0),Z)(0,2,0),P(0,0,l),C(l,l,0),后弓［［)，

所以同=(0,2,-1),荏=弓［,；),而=(0,2,0),

設平面AED的法向量為元=(x,y,z),

則［亞弓=0=?x+；y+Tz=。，令“I,則z=_i,y=°,

''AD-n=0(2y=0

所以元=

設PD與平面AED所成角為。，

底畫_1_VTo

則sin。=|cos<n,PD>|=

|n|-|PD|―理??恬~To-

所以PO與平面AE￡＞所成角的正弦值為哥.

【解析】(1)取AO的中點F,連接CF,證明A8CF為平行四邊形，求得CF的值，再根據勾股定

理可得AC1CD,結合條件得CD_L平面PAC,從而證得CO1AE；

(2)以A為坐標原點，以AB,AD,AP,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

計算平面AE。的法向量，再根據線面角的空間向量法求解公式，代入計算，即可得到結果.

本題考查了空間中的垂直關系以及直線與平面所成的角的計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由于自主填報的人數占樣本總數的50%,

故自主填報的人數為300x50%=150人，

由表可得戶主45歲及以上入戶登記的人數有30人,

又因為45歲以上(含45歲)的樣本占樣本總數的2,

則45歲以上(含45歲)的人數有300x2=80人，

列聯表如下:

入戶登記自主填報合計

戶主45歲及以上305080

戶主45歲以下120100220

合計150150300

300x(30x100-50x120)2

觀測值

K2=-150x150x80x220-?