PAGE二十三圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯的得0分)1．(多選題)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結論正確的是()A.圓柱的側面積為2πR2B．圓錐的側面積為2πR2C．圓柱的側面積與球面面積相等D．圓錐的表面積最小【解析】選CD.由題意可得，圓柱、圓錐的底面半徑均為R，高均為2R，球的半徑為R.則圓柱的側面積為2πR×2R＝4πR2，故A錯誤．圓錐的側面積為eq\f(1,2)×2πR×eq\r(3)R＝eq\r(3)πR2，故B錯誤．球的表面積為4πR2，所以圓柱的側面積與球面面積相等，故C正確．圓錐的表面積為S側＋S底＝eq\r(3)πR2＋πR2＝(eq\r(3)＋1)πR2，圓柱的表面積為S側＋2S底＝4πR2＋2πR2＝6πR2，球的表面積為4πR2，所以圓錐的表面積最小，故D正確．2．(2024·銀川高一檢測)如圖，正四棱錐P-ABCD的每個頂點都在球M的球面上，側面PAB是等邊三角形．若半球O的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側面均相切，則半球O的體積與球M的體積的比值為()A.eq\f(\r(3),18)B．eq\f(\r(3),16)C．eq\f(\r(3),13)D．eq\f(\r(3),14)【解析】選A.設球M、球O的半徑分別為R，r，AB＝a，連接PO，BO，如圖，因為正四棱錐P-ABCD的每個頂點都在球M的球面上，側面PAB是等邊三角形，在Rt△POB中，OB＝eq\f(\r(2)a,2)，PB＝a，所以PO＝eq\f(\r(2)a,2)，所以OB＝OA＝OC＝OD＝OP＝R＝eq\f(\r(2)a,2)，因為半球O的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側面均相切，所以4×eq\f(1,3)S△PAB·r＝eq\f(4,3)×eq\f(\r(3),4)a2·r＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a，解得r＝eq\f(\r(6),6)a，則半球O的體積與球M的體積的比為eq\f(\f(1,2)×\f(4,3)πr3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2)×eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a))\s\up12(3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(3))＝eq\f(\r(3),18).3．(2024·鄭州高一檢測)若用平行于某圓錐底面的平面去截該圓錐，得到的小圓錐與圓臺的母線長相等，則該小圓錐與該圓臺的側面積的比值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,4)【解析】選B.設該圓錐的底面半徑為r，母線長為2l，則該圓錐的側面積S＝eq\f(1,2)×2πr×2l＝2πrl，截得的小圓錐的底面半徑為eq\f(r,2)，母線長為l，其側面積S1＝eq\f(1,2)×πr×l＝eq\f(1,2)πrl，而圓臺的側面積S2＝S－S1＝2πrl－eq\f(1,2)πrl＝eq\f(3,2)πrl.故兩者側面積的比值eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)πrl,\f(3,2)πrl)＝eq\f(1,3).4．兩個半徑為1的鐵球，熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑為()A．eq\r(3,2)B．eq\r(3,3)C．2eq\r(3,2)D．eq\r(2)【解析】選A.設大球的半徑為r，則eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，所以r＝eq\r(3,2).5．如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為()A.5πB．6πC．20πD．10π【解析】選D.用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.二、填空題(每小題5分，共15分)6．(2024·荊門高一檢測)《算數書》是我國現存最早的系統性數學典籍，其中記載有求“困蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.用該術可求得圓周率π的近似值．現用該術求得π的近似值，并計算得一個底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為27，則該圓錐體積的近似值為________．【解析】先求圓周率π的近似值，已知圓錐的底面周長L與高h，其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.設底面圓的半徑為r，則L＝2πr，可得r＝eq\f(L,2π)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)h≈eq\f(1,36)L2h，整理得π≈3.再來計算所求圓錐體積的近似值，該圓錐的底面直徑和母線長相等，其表面積的近似值為27，設該圓錐的底面半徑為R，母線長為l，高為h′，S表＝πR2＋eq\f(1,2)·(2πR)·l≈3R2＋eq\f(1,2)·(2×3R)·2R＝27，解得R＝eq\r(3).又2R＝l，所以h′＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(4R2－R2)＝eq\r(3)R＝3，所以所求圓錐體積V′＝eq\f(1,3)πR2·h′≈eq\f(1,3)×3×3×3＝9.故該圓錐體積的近似值為9.答案：97．如圖，球O的半徑為5，一個內接圓臺的兩底面半徑分別為3和4(球心O在圓臺的兩底面之間)，則圓臺的體積為__________．【解析】作經過球心的截面(如圖)，O1A＝3，O2B＝4，OA＝OB＝5，則OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7，V＝eq\f(π,3)(32＋eq\r(32×42)＋42)×7＝eq\f(259π,3).答案：eq\f(259π,3)8．(2024·晉城高一檢測)已知長方體ABCD-A1B1C1D1外接球的體積為36π，AA1＝2eq\r(5)，則矩形ABCD面積的最大值為________．【解析】設長方體的外接球的半徑為R，又長方體ABCD-A1B1C1D1外接球的體積為36π，所以eq\f(4,3)πR3＝36π，所以R＝3，又因為長方體的體對角線為外接球的直徑，所以(2R)2＝AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋AB2＋AD2，所以AB2＋AD2＝4×9－20＝16，所以2AB·AD≤16，所以AB·AD≤8，取等號時AB＝AD＝2eq\r(2)，所以矩形ABCD面積的最大值為8.答案：8三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面積和體積．【解析】設球心為O，截面圓心為O′，連接O′A，設球半徑為R，則O′A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(2\r(3),3)，在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)R2，所以R＝eq\f(4,3)，所以S＝4πR2＝eq\f(64,9)π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(256,81)π.10.如圖，一個圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個半徑為x的內接圓柱．(1)試用x表示圓柱的高；(2)當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大側面積是多少？【解析】(1)所求的圓柱的底面半徑為x，它的軸截面如圖，BO＝1，PO＝3，設圓柱的高為h，由圖得eq\f(x,1)＝eq\f(3－h,3)，即h＝3－3x(0<x<1).(2)因為S圓柱側＝2πxh＝2πx(3－3x)＝6π(x－x2)，當x＝eq\f(1,2)時，圓柱的側面積取得最大值為eq\f(3,2)π.所以當圓柱的底面半徑為eq\f(1,2)時，它的側面積最大為eq\f(3,2)π.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全對的得2分，有選錯的得0分)1．如圖，有一個水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，假如不計容器的厚度，則球的體積為()A．eq\f(500π,3)cm3B．eq\f(866π,3)cm3C．eq\f(1372π,3)cm3D．eq\f(2048π,3)cm3【解析】選A.過球心與正方體中點的截面如圖，設球心為點O，球半徑為Rcm，正方體上底面中心為點A，上底面一邊的中點為點B，在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4cm，OB＝Rcm，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3).2．已知三棱錐S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜邊AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，則三棱錐的外接球的表面積為()A．64πB．68πC．72πD．100π【解析】選D.如圖所示，直角三角形ABC的外接圓的圓心為AB中點D，過D作面ABC的垂線，球心O在該垂線上，過O作球的弦SC的垂線，垂足為E，則E為SC中點，球半徑R＝OS＝eq\r(OE2＋SE2)＝eq\r(CD2＋SE2)，因為CD＝eq\f(1,2)AB＝4，SE＝3，所以R＝5，所以棱錐的外接球的表面積為4πR2＝100π.3．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”若圓周率約為3，估算出堆放的米約有________立方尺．()A．eq\f(320,3)B．eq\f(320,9)C．eq\f(1280,9)D．eq\f(1280,3)【解析】選B.設米堆所在圓錐的底面半徑為r尺，則eq\f(1,4)×2πr＝8，解得：r＝eq\f(16,π)，所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×πr2×5＝eq\f(320,3π)≈eq\f(320,9)(立方尺)，所以堆放的米約有eq\f(320,9)立方尺．4．(多選題)下列說法正確的為()A．設球的截面圓上一點A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O1為直角頂點的直角三角形B．若將氣球的半徑擴大到原來的2倍，則它的體積增大到原來的8倍C．若將氣球的半徑擴大2倍，則其體積擴大27倍D．球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑【解析】選ABD.A正確．球心與截面圓圓心的連線垂直于截面內的任始終線；B正確．體積增大到原來的8倍；C錯誤．若將氣球的半徑擴大2倍，則體積就擴大eq\f(\f(4,3)π（3r）3－\f(4,3)πr3,\f(4,3)πr3)＝26倍；D正確．球與圓柱底面和側面均相切，明顯球的直徑恰好等于圓柱的高，而球的直徑也恰好等于底面圓的直徑．二、填空題(每小題5分，共10分)5．若圓錐側面綻開圖是圓心角為120°，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側面積之比是________．【解析】設圓錐的底面半徑為r，則有eq\f(2π,3)l＝2πr，所以l＝3r，所以eq\f(S表,S側)＝eq\f(πr2＋πrl,πrl)＝eq\f(πr2＋3πr2,3πr2)＝eq\f(4,3).答案：4∶36．圓柱形容器內盛有高度為8的水，若放入3個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好沉沒最上面的球(如圖)，則球的半徑是________．【解析】設球的半徑為r，則圓柱形容器的水高為6r(放置球后)，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8的水的體積為8πr2，3個球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由題意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.答案：4【補償訓練】(2024·合肥高一檢測)如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若將圖中陰影部分繞AB旋轉一周．則陰影部分形成的幾何體的表面積為________，陰影部分形成的幾何體的體積為________．【解析】(1)由題意知所求旋轉體的表面由三部分組成：圓臺下底面、側面和半球面，S半球＝eq\f(1,2)×4π×22＝8π，S圓臺側＝π(2＋5)×eq\r(42＋（5－2）2)＝35π，S圓臺底＝π×52＝25π.故所求幾何體的表面積為8π＋35π＋25π＝68π.(2)V圓臺＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π×22＋\r(（π×22）×（π×52）)＋π×52))×4＝52π，V半球＝eq\f(4,3)π×23×eq\f(1,2)＝eq\f(16,3)π，所求幾何體體積為V圓臺－V半球＝52π－eq\f(16,3)π＝eq\f(140,3)π.答案：68πeq\f(140,3)π三、解答題(每小題10分，共20分)7．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數據說明理由．【解析】因為V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因為V半球<V圓錐，所以，冰淇淋溶化了，不會溢出杯子．8．西安市建立圓錐形倉庫用于儲存糧食，已建的倉庫底面直徑為12m，高為4m．隨著西安市經濟的發展，糧食產量的增大，西安市擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食．現有兩種方案：一是新建的倉庫底面半徑比原來大2m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變).(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經濟些？【解析】(1)假如按方案一：倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積：V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))eq\s\up12(2)×4＝eq\f(256,3)π(m3)，假如按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積：V2＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))eq\s\up12(2)×8＝eq\f(288,3)π＝96π(m3)；(2)假如按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，半徑為8m，圓錐的母線長為l＝eq\r(82＋42)