專題04直線和圓的方程（難點(diǎn)）一、單選題1．過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)給定條件，將表示成a的函數(shù)，求出函數(shù)的值域的作答.【解析】依題意，，直線l的方向向量，則有，解得，因此，，因當(dāng)時(shí)，取最小值，則有，所以的取值范圍是.故選：D2．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處動(dòng)身，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】先找出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．3．直線l：y＝px（p是不等于0的整數(shù)）與直線y＝x＋10的交點(diǎn)恰好是整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)），那么滿意條件的直線l有A．6條 B．7條 C．8條 D．多數(shù)條【答案】B【解析】試題分析：，所以值有7個(gè)，直線有7條故選：B考點(diǎn)：直線交點(diǎn)4．已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，給出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，有最小值，無最大值；③；④當(dāng)且時(shí)，的取值范圍是.正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由與的位置關(guān)系有，數(shù)形結(jié)合法推斷位置，結(jié)合的幾何意義推斷、的范圍，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式有推斷③.【解析】將代入有，而與在的兩側(cè)，則，①錯(cuò)誤；由上知：且，則在直線上方與y軸右側(cè)部分，所以，故無最值，②錯(cuò)誤；由上圖知：在直線左上方，則，③正確；由過且且，即在直線上方與y軸右側(cè)部分，而表示與連線的斜率，由圖知：，④正確.故選：B5．已知點(diǎn)，，，直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直線（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），由0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得b；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．【解析】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線與x軸的交點(diǎn)為M，由直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點(diǎn)M在射線OA上．設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，求得a＝b．②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有．③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．設(shè)直線和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，即，化簡可得．由于此時(shí)b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得1，∴，化簡可得，故有1．綜上可得b的取值范圍應(yīng)是，故選：B．6．已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】依據(jù)條件設(shè)出直線l3的方程，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，用m表示出，再借助幾何意義即可計(jì)算得解.【解析】因直線垂直于，，則設(shè)直線l3的方程為：，由得點(diǎn)，由得點(diǎn)，而，，于是得，而表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的和，明顯，動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與在直線兩側(cè)，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是直線與線段EF：的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時(shí)取“=”，此時(shí)m=0，從而得取最小值，所以，當(dāng)直線l3方程為：時(shí)，取最小值.故選：C7．若曲線：與曲線：有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【分析】表示的是圓，表示的兩條直線，結(jié)合三個(gè)不同的交點(diǎn)，從而確定只需直線y?mx?m=0與圓相交，依據(jù)圓心到直線距離小于半徑，求出的范圍，再去掉不合要求的值，從而確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由題意可知曲線：表示一個(gè)圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x?1)2+y2=1，所以圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑r=1；：表示兩條直線x=0和y?mx?m=0，由直線y?mx?m=0可知：此直線過定點(diǎn)(?1,0)，其中直線x=0與圓有1個(gè)交點(diǎn)為，要想，有3個(gè)不同的交點(diǎn)，只需直線y?mx?m=0與圓有2個(gè)交點(diǎn)，即直線與圓相交，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示：圓心到直線的距離，化簡得：所以當(dāng)時(shí)，直線y?mx?m=0化簡為，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，綜上：當(dāng)時(shí)，與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，不合要求，所以m∈，故選：D.8．已知圓．動(dòng)直線于圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為P，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意可得C(4，0)和直線l過定點(diǎn)，設(shè)，利用平面對(duì)量的坐標(biāo)表示得出P的軌跡方程，進(jìn)而依據(jù)，計(jì)算即可.【解析】由題意知，圓C：，得圓心C(4，0)，半徑為4，，得直線l過定點(diǎn)，設(shè)，則，依據(jù)題意，得，所以，有，即，所以中點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，所以，，所以的取值范圍為，故選：B9．已知直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，那么k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，為等腰△底邊中線長度的2倍，為底邊長度，而是直線在坐標(biāo)軸上的截距，由已知條件并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想及圓的性質(zhì)，求的范圍.【解析】設(shè)AB中點(diǎn)為C，則OC⊥AB，∵，∴，∴，∵，∴，∵直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A、B，∴，∴4＞，∴4＞，∵k＞0，∴.故選：C．10．已知為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等邊的邊長為2，以邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將、用表示出來，然后利用協(xié)助角公可求出的最大值【解析】解：設(shè)的邊長為2，不妨以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，以線段直徑的圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，，，由于，則，解得，所以，，因此，的最大值為，故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的基本定理，涉及圓的參數(shù)方程、協(xié)助角公式，關(guān)鍵在于引入合適的變量來表示問題涉及的參數(shù)．11．設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿意，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由兩點(diǎn)距離公式計(jì)算可得依據(jù)題意可得，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【解析】設(shè)，，，即．點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點(diǎn)Q使得，則PQ為圓的切線時(shí)最大，如圖，，即．圓心到直線的距離，或．故選：B．12．太極圖的形態(tài)如中心對(duì)稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放置在平面直角坐標(biāo)系中簡略的“陰陽魚太極圖”，其外邊界是一個(gè)半徑為的圓，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，已知直線.給出以下命題：①當(dāng)時(shí)，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，，則；②當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域有1個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn).其中全部正確命題的序號(hào)是（

）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】A【分析】依據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，逐項(xiàng)分析推斷即可得解．【解析】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．此時(shí)直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，，所以，故①正確．對(duì)于②，依據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個(gè)公共點(diǎn)，故②正確．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤．綜上所述，①②正確．故選：A．二、多選題13．設(shè)、為不同的兩點(diǎn)，直線，，以下命題中正確的為（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)在直線上；B．若，則過的直線與直線平行；C．若，則直線經(jīng)過的中點(diǎn)；D．若，則點(diǎn)在直線l的同側(cè)且直線l與線段的延長線相交；【答案】BCD【分析】對(duì)于A，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿意直線方程，從而得到，進(jìn)而可推斷A不正確．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，若，則，整理得，再結(jié)合不在直線上科推斷，當(dāng)時(shí)，若，可推斷故，進(jìn)而得到，再綜合得答案．對(duì)于C，若，即可得到，即可推斷C．對(duì)于D，若，則，或，依據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系即可判定D．【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若點(diǎn)在直線上則，不存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)在直線上，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若，則，整理得，此時(shí)直線垂直于軸，直線也垂直于軸，由于不在直線上，故過、兩點(diǎn)的直線與直線平行；當(dāng)時(shí)，若，則，整理得，此時(shí)若成立，則，與、為不同的兩點(diǎn)沖突，故，所以，即，所以過、兩點(diǎn)的直線與直線平行，綜合可知，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則即，，直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，即C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，或，所以，且，所以點(diǎn)在直線的同一側(cè)且到直線的距離不相等，所以直線與線段不平行．故D正確．故選：BCD．14．如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上隨意一點(diǎn)M，若p，q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.下列四個(gè)命題中正確命題為（）A．若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有1個(gè)B．若，且，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有2個(gè)C．若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè)D．若，則點(diǎn)M在一條過點(diǎn)O的直線上【答案】ABC【分析】依據(jù)點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”的定義逐一推斷即可.【解析】A.若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)O，因此有且僅有1個(gè)，故正確.B.若，且，則“距離坐標(biāo)”為或的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，故正確.C.若，則“距離坐標(biāo)”為的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，如圖，故正確.D.若，則點(diǎn)M在的軌跡是兩條過O的直線，分別為交角的平分線所在直線，故不正確.故選：ABC.15．已知圓M：，點(diǎn)P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，下列說法正確的有（

）A．圓M上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為 B．切線長PA的最小值為1C．四邊形AMBP面積的最小值為2 D．直線AB恒過定點(diǎn)【答案】BD【分析】利用圓心到直線的距離可推斷A，利用圓的性質(zhì)可得切線長利用點(diǎn)到直線的距離可推斷B，由題可得四邊形AMBP面積為，可推斷C，由題可知點(diǎn)A，B，在以為直徑的圓上，利用兩圓方程可得直線AB的方程，即可推斷D.【解析】由圓M：，可知圓心，半徑，∴圓心到直線l：的距離為，圓M上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為，故A錯(cuò)誤；由圓的性質(zhì)可得切線長，∴當(dāng)最小時(shí)，有最小值，又，∴，故B正確；∵四邊形AMBP面積為，∴四邊形AMBP面積的最小值為1，故C錯(cuò)誤；設(shè)，由題可知點(diǎn)A，B，在以為直徑的圓上，又，所以，即，又圓M：，即，∴直線AB的方程為：，即，由，得，即直線AB恒過定點(diǎn)，故D正確.故選：BD.16．（多選）瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為B．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D．圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】求出線段的中垂線的方程，由圓心到中垂線的距離等于半徑求出的值，可得圓的方程，求出圓心到的距離，則、分別為圓上的點(diǎn)到直線的最小距離和最大距離可推斷選項(xiàng)A、B；令，令圓心到該直線的距離等于半徑列方程求出的值可推斷C；計(jì)算圓心距小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的肯定值，解不等式求出的取值范圍可推斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【解析】因?yàn)椋允堑妊切危傻玫耐庑摹⒅匦摹⒋剐亩嘉挥诘拇怪逼椒志€上，由點(diǎn)，點(diǎn)可得線段的中點(diǎn)為，且直線的斜率，所以線段的垂直平分線的方程為，即.又圓的圓心為，直線與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以圓.對(duì)于選項(xiàng)A、B：圓的圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，最大距離為，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為，解得或，則的最小值是，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，若該圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離是到的距離的2倍，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，直線：與交于，兩點(diǎn)，若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，表示面積），則___________．【答案】【分析】由題意求出的軌跡方程，與直線方程聯(lián)立，再由面積關(guān)系求解【解析】設(shè)，則，整理得．設(shè)，．聯(lián)立整理得，故①，②．又，故③．聯(lián)立①②③，解得．故答案為：18．定義點(diǎn)到直線的有向距離.已知點(diǎn)到直線l的有向距離分別是，給出以下命題：①若，則直線與直線l平行；②若，則直線與直線l平行；③若，則直線與直線l垂直；④若，則直線與直線l相交.其中正確命題的個(gè)數(shù)是_______.【答案】1【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求出，可知當(dāng)時(shí)，命題①②③均不正確，當(dāng)時(shí)，在直線的兩邊，可以推斷命題④正確.【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，若，則，即，所以，若，即，則點(diǎn)都在直線l上，此時(shí)直線與直線l重合，故命題①②③均不正確，當(dāng)時(shí)，在直線的兩邊，則直線與直線l相交，故命題④正確.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查與直線距離有關(guān)的命題的推斷，利用條件推出點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng).19．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿意，則的最大值為______．【答案】##【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用列式化簡，可得點(diǎn)的軌跡方程，再代入，從而可得答案.【解析】以經(jīng)過的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，所以，兩邊平方并整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以，則有，所以的最大值為.故答案為：.20．已知點(diǎn)A為圓和在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線分別交圓，于C，D兩點(diǎn)（C，D異于點(diǎn)A），且，則直線CD的斜率是___________.【答案】1或5【分析】先求出.設(shè)直線CD為：.過作于F，過作于E.由垂徑定理表示出，.依據(jù)列方程，解出k的值.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A為圓和在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，所以由解得：（y=-1舍去）故.由題意可知，直線CD的斜率存在，設(shè)其為k，則直線CD為：.過作于F，過作于E.則，由垂徑定理得：，.因?yàn)椋裕獾茫夯?故答案為：1或5.四、解答題21．已知直線，.(1)若直線l與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值(2)若直線l在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，求直線l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）依據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可；（2）求出在坐標(biāo)軸上的截距，由條件求出，即可得出直線方程.（1）因?yàn)橹本€l與直線垂直，所以，解得或.（2）令，得，令，，由題意知，解得或，所以直線l的方程為或.22．已知直線：．（1）求經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）①的最小值為，；②.【分析】（1）整理已知方程，使得的系數(shù)等于即可求解；（2）①求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用表示的面積為，利用基本不等式求最值，由等號(hào)成立的條件可得的值，進(jìn)而可得直線的方程；②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算的最小值，以及此時(shí)的值，進(jìn)而可得的值以及直線的方程.【解析】（1）由可得：，由可得，所以經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，此時(shí)直線的方程為：即；②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，所以，令，因?yàn)椋傻茫瑢蛇吰椒娇傻茫海裕裕驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為.23．已知圓：，(1)若過定點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程；(2)若過定點(diǎn)且傾斜角為30°的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)問是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，請(qǐng)寫出求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)或(2)(3)存在，或【分析】（1）首先設(shè)直線的方程為：，與圓的方程聯(lián)立，令，即可求解的值；（2）設(shè)直線的方程為：，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)坐標(biāo)；（3）方法一，設(shè)直線：，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可求解；方法二，設(shè)圓系方程，利用圓心在直線，以及圓經(jīng)過原點(diǎn)，即可求解參數(shù).(1)依據(jù)題意，設(shè)直線的方程為：聯(lián)立直線與圓的方程并整理得：所以，，從而，直線的方程為：或；(2)依據(jù)題意，設(shè)直線的方程為：代入圓方程得：，明顯，設(shè)，，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)假設(shè)存在這樣的直線：聯(lián)立圓的方程并整理得：當(dāng)設(shè)，，則，所以因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，，∴，即均滿意.∴，所以直線的方程為：或.（3）法二：可以設(shè)圓系方程則圓心坐標(biāo)，圓心在直線上，得①且該圓過原點(diǎn)，得②由①②，求得或所以直線的方程為：或.24．如圖，設(shè)直線：，：點(diǎn)A的坐標(biāo)為過點(diǎn)A的直線l的斜率為k，且與，分別交于點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)（1）設(shè)，求面積的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得的值與k無關(guān)若存在，求出全部這樣的實(shí)數(shù)a；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；【分析】(1)利用直線的點(diǎn)斜式方程直線l的方程，再利用兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)得和，再結(jié)合題目條件得，當(dāng)時(shí)，得直線OA的方程為，和，以及，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M和N到直線OA的距離，從而得面積，令，則，從而得S，再利用基本不等式求最值，計(jì)算得結(jié)論；(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得和，計(jì)算，由得結(jié)論．【解析】(1)因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，且斜率為k，所以直線l的方程為因?yàn)橹本€l與，分別交于點(diǎn)M，N，所以，因此由得，即，由得，即又因?yàn)镸，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)，所以，即而，因此又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，直線OA的方程為，，，且，所以點(diǎn)M到直線OA的距離為，點(diǎn)N到直線OA的距離為，因此面積令，則且，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最小值為，即面積的最小值為(2)存在實(shí)數(shù)，使得的值與k無關(guān)．由(1)知：，，且因此，，所以又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，為定值，因此存在實(shí)數(shù)，使得的值與k無關(guān)．25．已知圓，直線.（1）求直線所過定點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時(shí)的值及最短弦長；（3）已知點(diǎn)，在直線上（C為圓心），存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），滿意：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求全部滿意條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù).【答案】（1）；（2）；；（3），常數(shù).【分析】（1）利用直線系方程的特征，干脆求解直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）當(dāng)時(shí)，所截得弦長最短，由題知，，求出的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可．（3）由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿意題意，則設(shè)，，得，且，求出，然后求解比值．【解析】解：（1）依題意得，，令且，得，直線過定點(diǎn)，（2）當(dāng)時(shí)，所截得弦長最短，由題知，，，得，由得，圓心到直線的距離為，最短弦長為．（3）由題知，直線的方程為，假設(shè)存在定點(diǎn)滿意題意，則設(shè)，，得，且整理得，上式對(duì)隨意，恒成立，且解得或，（舍去，與重合）綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)【點(diǎn)睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．26．已知平面上的線段l及點(diǎn)P，任取l上一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作.(1)求點(diǎn)到線段l：的距離；(2)設(shè)l是長為2的線段，求點(diǎn)的集合所表示的圖形面積；(3)寫出到兩條線段?距離相等的點(diǎn)的集合，其中，，，，，.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出過點(diǎn)與直線垂直的直線，求出垂足，依據(jù)，推斷出線段l：的端點(diǎn)使得最小；（2）不妨設(shè)線段為l，且，，畫出滿意的圖象，求出面積；（3）依據(jù)ABCD四個(gè)點(diǎn)的位置，得到四邊形ABCD為等腰梯形，故BC的垂直平分線即為所求.(1)設(shè)過點(diǎn)與直線垂直的直線為，代入點(diǎn)，解得：，所以，兩直線垂直，聯(lián)立得：，解得：，故垂足為，明顯，設(shè)線段l：的端點(diǎn)，則為求點(diǎn)到線段l：的距離.(2)不妨設(shè)線段為l，且，，此時(shí)點(diǎn)集D由如下曲線圍成，其中由兩個(gè)半圓和兩條線段組成，其中兩半圓圓心分別為和，半徑為1，兩線段分別是（），（），故圖形面積為.(3)，，故，且，，所以，故四邊形ABCD為等腰梯形，故到兩條線段?距離相等的點(diǎn)的集合為線段AD或BC的垂直平分線，其中AD中點(diǎn)坐標(biāo)為，BC的中點(diǎn)為，故直線GF：.所以27．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，直線，直線.（1）已知為直線上一點(diǎn)，①若點(diǎn)在第一象限，且，求過點(diǎn)圓的切線方程；②若存在過點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)，且B恰為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為圓上一點(diǎn)，且，直線與圓交于另一點(diǎn)，求線段長的最小值.【答案】（1）①或；②；（2）.【分析】（1）①設(shè)，依據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用圓的切線求法求解.②設(shè)，，依據(jù)B恰為線段的中點(diǎn)，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再依據(jù)點(diǎn)A，B都在圓上，得到兩圓有公共點(diǎn)求解.（2）設(shè)，依據(jù)R在圓上，且，求得R的坐標(biāo)，得到RM的方程，進(jìn)而與圓聯(lián)立，求得N的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求解.【解析】（1）①設(shè)，因?yàn)椋裕獾茫驗(yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以，則，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離相等得，解得，所以切線方程是，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，綜上：過點(diǎn)圓的切線方程為或；②設(shè)，，因?yàn)锽恰為線段的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在圓上，所以即，所以兩圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)R在圓上，且，所以。解得，所以RM的方程為，由，解得，又，所以，當(dāng)，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過一點(diǎn)求圓的切線的方法：（1）過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程．若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0.（2）過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程．當(dāng)斜率不存在時(shí)要加以驗(yàn)證．28．如圖，點(diǎn)P（x0，y0）是圓O：x2+y2＝9上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線l與圓O1：（x﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l過圓心O1時(shí)，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）當(dāng)線段AB最短時(shí)，求直線l的方程；（3）問：滿意條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）a＝3；（2）3x+4y+15＝0；（3）2個(gè)，理由見解析．【分析】(1)依題意計(jì)算，可得結(jié)果；(2)解法1(代數(shù)法)：當(dāng)圓心O1到直線l的距離d最大時(shí)，線段AB最短，再求出d的最大值即可得結(jié)果；解法2(幾何法)：當(dāng)圓