等量代換

(1)生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的蹺蹺板兩邊的重量相等.我們可以根據這些相等的

關系進行推理，進而可以等量代換，找到答案

(2)“等量代換”是指一個量用與它相等的量去代替，它是數學中一種基本的思想方法，也是代數思想方

法的基礎.

(1)尋找等量關系

【例1】有一天，小狗老師要在動物學校挑選隊員參加數學競賽，小松鼠很高興也跑來了.小狗老師說:“那

我就來考考你！你把下面的題做對了就可以參加了.

0+

△+△+★

01△4

+★+★+△=8

0△=()

=()

★=

“=

小松鼠看了半天說：“老師，你寫的這是什么？”小狗老師說：“哈哈！看來你要好好學一學圖文

算式了，歡迎你下次再來.”小朋友們，上面的題你會嗎？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】通過這個故事引入新課，在這里不要求學生能馬上做出來，可放在最后來解決.如果學生的能力較

強，也可把這兩個題作為引入新課的切入點進行講解.

(1)因為?+15=20，所以f=5,又因為?+“=15,把f'=5替換，就變

成5+“二15,這樣我們就可以得出=10.

(2)我們把上下兩個算式進行比較，我們發現下面比上面多了一個支,得數多了18-14=4,

△+△+★14

所以我們可以推斷出★=4，，根據第一個算式我們可以得出

★+★+△+△=18

△+△+414;那么△=§.

【答案】f=59=10*=4△=5

【鞏固】求下面圖形所表示的數.

(1)△+△=18⑵口+口+/\+/\=14

★+0=13△+△+口=10

△+0=15△=()

△=()□=()

0=()

★=()

【考點】等量代換【難度】1星【題型】解答

【解析】(1)△=(9),o=(6),☆=(7);(2)△=(3),□=(4).

【答案】(1)A=(9),o=(6),☆=(7);(2)△=(3),口=(4)

［例2］下面的天平是不平衡的，但除了天平上的磋碼，周圍已找不到別的祛碼了.你能通過移動天平

上的祛碼，使天平平衡嗎？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】我們可先看看天平兩邊各有多少克：天平左邊：5+5+10=20（克）.天平右邊：10+4+2+1+1=18

（克）.顯然，天平左邊如果減少1克，放到天平右邊，20-1=19（克），18+1=19（克），天平兩邊就

都平衡了，但天平左邊沒有1克的祛碼，怎么辦？可以用天平左邊5克的硅碼和天平右邊4克的

祛碼交換一下，就可以達到要求了.這樣天平左邊是5+4+10=19（克）.右邊是10+5+2+1+1=19

（克）.

【答案】左邊5克的祛碼和天平右邊4克的祛碼交換一下

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】把左邊的3克和右邊的6克對換.或把左邊的4克和右邊的7克對換.

【答案】左邊的4克和右邊的7克對換

【例3]1只猴子的體重等于3只貓的體重，3只狗的體重等于9只貓的體重.如果1只猴子重3千克，請

問1只狗重多少千克？

【考點】等量代換【難度】1星【題型】解答

【解析】由3只狗的體重=9只貓的體重，得1只狗的體重=3只貓的體重.又1只猴子的體重=3只貓的體重,

1只狗的體重=1只猴子的體重.1只猴子重3千克，1只狗重3千克.

【答案】1只狗重3千克

【鞏固】1串葡萄的重量等于3個梨的重量，2個梨的重量等于80克，1串葡萄重多少克？

【考點】等量代換【難度】1星【題型】解答

【解析】2個梨的重量是80克，那么1個梨的重量就是40克，1串葡萄的重量等于3個梨的重量，1串葡萄

就是40x3=120克.

【答案】120克

[例4]1個西瓜的重量等于2個哈密瓜的重量，1個哈密瓜的重量等于8個蘋果的重量，2個蘋果的重量

等于3個柿子的重量，那么1個西瓜的重量等于幾個柿子的重量？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】因為2個蘋果的重量等于3個柿子的重量，所以8個蘋果的重量等于12個柿子的重量.又因為1個

哈密瓜的重量等于8個蘋果的重量，所以1個哈密瓜的重量等于12個柿子的重量.而1個西瓜的重

量等于2個哈密瓜的重量，因此1個西瓜的重量=12x2=24個柿子的重量.

【答案】24個柿子

【鞏固】一只小猴重4千克，一只小猴的重量等于兩只小兔的重量，兩只小兔的重量等于4只小貓的重

量.一只小兔和一只小貓的重量共多少千克？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】一只小猴的重量等于兩只兔子的重量，這樣可以求出一只兔子的重量.而兩只兔子的重量等于4

只小貓的重量，可以求出一只小貓的重量.最后一只小兔和一只小貓的總重量就求出來了.

一只兔子的重量：4+2=2（千克，）一只小貓的重量：4+4=1（千克），一只小兔和一只小貓的總

重量：2+1=3（千克）

【答案】3千克

【例5］學校第一次買了3個水瓶和20個茶杯，共用去134元；第二次又買了同樣的3個水瓶和16個

茶杯，共用去118元.問水瓶和茶杯的單價各是多少元？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】引導學生學會審題，找出兩次購買的相同點及差異，讓學生思考解決.我們用數量關系式來比較

對應的未知數量的情況：

3個水瓶的價錢+20個茶杯的價錢=134元

-3個水瓶的價錢+16個茶杯的價錢=118元

4個茶杯的價錢=16元

比較上面兩個等式，我們可以看出，134元和118元的差正好是4個茶杯的價錢.利用這一條件，

把3個水瓶的價錢消去，先求出每個茶杯的價錢，再求出每個水瓶的價錢.

每個茶杯的價錢：（134-118）-（20-16）=16+4=4（元）

每個水瓶的價錢：（134—4x20）+3=18（元）或（118-4xl6）+3=18（元）

【答案】每個茶杯的價錢：4元；每個水瓶的價錢：18元

【鞏固】奶奶去買水果，如果她買4千克梨和5千克荔枝，需要花掉58元；如果她買6千克梨和5千克

荔枝，需要花掉62元.問1千克梨和1千克荔枝各多少元？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】我們可以把兩次的情況進行比較：

4千克梨的價錢+5千克荔枝的價錢=58（元）⑴

6千克梨的價錢+5千克荔枝的價錢=62（元）⑵

比較⑴和⑵式，發現兩式中荔枝的千克數相等.⑵式比⑴式多了6-4=2千克梨，也就是

62-58=4元，說明1千克梨的價錢為4+2=2元.那么1千克荔枝的價錢也就好求了.

（62—58）+（6—4）=2（元），（58-2x4）+5=10（元）或（62-2x6）+5=10（元）

【答案】1千克梨的價錢為2元；1千克荔枝的價錢10元

［例6］李老師第一次買回5個籃球和3個排球，用去318元.第二次又買回7個籃球和6個排球，用

去510元.問：一個籃球和一個排球的價格各是多少元？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】可引導學生讀題、審題，找出此題與例7的不同之處，并轉化成例7的模型.此題有籃球單價與排

球單價兩個未知數量，而從題里所給條件分析，兩次購買籃球與排球的數量各不相同，不能直接

用消去法消去哪一個未知數，所以解題關鍵是使籃球或排球中的某一對未知數變換得相同，則可

消去其中一個.通過比較，第一次購買的排球為3個；第二次購買的排球為6個，恰為第一次的

2倍.若將第一次購買的排球、籃球各擴大2倍，付的錢也擴大2倍，則能使購買的排球個數與

第二次購買的排球個數相同，從而設法消去排球這個未知數量，先求出每個籃球的價格，再求每

一個排球的價格.

5個籃球3個排球318元10b籃球名排球阮;3

x27個籃球全排球5元

10個籃球6個排球636元3個籃球1沅(

列式：(318x2-510)4-(5x2-7)=126+3=42(元)...籃球的單價.

(318-42x5)+3=108+3=36(元)……排球的單價.

【答案】籃球的單價42元；排球的單價36元

【鞏固】3頭牛和8只羊每天共吃青草93千克，5頭牛和15只羊每天共吃青草165千克.問一頭牛和一

只羊每天各吃青草多少千克？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】3頭牛吃草的重量+8只羊吃草的重量=93千克⑴

5頭牛吃草的重量+15只羊吃草的重量=165千克⑵

如果把⑴式擴大5倍，⑵式擴大3倍，那么兩個式子中牛的數量就一樣多了.這樣就得到：

⑴x5:15頭牛吃草的重量+40只羊吃草的重量=465千克⑶

⑵x3:15頭牛吃草的重量+45只羊吃草的重量=495千克⑷

(4)-(3)：5只羊吃草的重量=30千克

1只羊吃草的重量=6千克

1頭牛每天吃草的重量：(93-6x8)+3=45+3=15(千克)

【答案】1只羊吃草6千克；1頭牛每天吃草15千克

［例7］李寧的媽媽去菜市場買菜，買了6斤土豆和5斤柿子椒，共花了13元5角.己知3斤土豆的價錢

與2斤柿子椒的價錢相等.那么1斤土豆和1斤柿子椒各多少錢？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】可引導學生讀題、審題，讓學生自己思考解答.老師可以畫圖進行分析，已知條件為：6斤土豆

+5斤柿子椒=13元5角.3斤土豆=2斤柿子椒.從第一個式子不能算出1斤土豆、1斤柿子椒的

價錢.若把土豆轉化成柿子椒或把柿子椒轉化成土豆的價錢就可求該種菜的價錢了.由第二個式

子知3斤土豆=2斤柿子椒，則6斤土豆應等于4斤柿子椒的價錢.即：6斤土豆+5斤柿子椒=13

元5角，6斤土豆=4斤柿子椒.4斤柿子椒+5斤柿子椒=13元5角，9斤柿子椒=13元5角.13元

5角等于135角，135角買了9斤柿子椒，所以1斤柿子椒的價錢為：135+9=15（角尸1元5角.4

斤柿子椒的價錢為：15x4=60（角）=6（元）.1斤土豆的價錢為：6+6=1（元）.所以1斤土豆的

價錢為1元，1斤柿子椒的價錢為1元5角.

【答案】1斤土豆的價錢為1元，1斤柿子椒的價錢為1元5角

【鞏固】3米綿綢的價格與6米花布的價格相等.王云買了6米綿綢和18米花布，共花費了120元.棉

綢和花布的單價各是多少？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】由題意可知3米棉綢與6米花布的價格相等，由此可推知1米棉綢與2米花布的價格相等.因此

可用花布的價格去替換棉綢的價格，而使棉綢價格轉變為花布的價格.消去棉綢價格這個未知數

量可以先求出花布的單價，進而求出棉綢的單價.120+（2x6+18）=120+30=4（元）……每米花

布的單價4x2=8（元）……每米棉綢的單價.

【答案】每米花布的單價4元每米棉綢的單價8元

【例8】學校買2張桌子和3把椅子共用90元錢，每張桌子的價錢是每把椅子價錢的3倍.每張桌子多

少錢？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】引導學生讀題、審題，讓學生自己思考解答，教師集體訂正.

2張桌子的價錢+3把椅子的價錢=90（元）⑴

1張桌子的價錢=3把椅子的價錢⑵

將⑵代入⑴式，消去桌子這個未知量，問題就可以解決.

（3x2）把椅子的價錢+3把椅子的價錢=90（元）

9把椅子的價錢=90（元）

1把椅子的價錢=10（元）

1張桌子的價錢=10x3=30（元）

【答案】1張桌子的價錢30元

【鞏固】紅、黃、藍三個紙盒里共有彩票56張，其中紅色紙盒里的彩票是黃色紙盒里彩票張數的2倍，

藍色紙盒里的彩票是紅色紙盒里彩票張數的2倍.紅、黃、藍三個紙盒里各有多少張彩票？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】以黃色紙盒里的彩票張數為1倍數.紅紙盒里的彩票張數是這樣的2倍.藍紙盒是紅紙盒里彩票

張數的2倍，也就是黃紙盒里彩票張數的4倍.一共是（1+2+4）倍.這樣就可以消去兩個未知量

而先求出黃紙盒里彩票的張數，再分別求出紅色和藍色盒子里彩票的張數.

56+Q+2+4）=56+7=8（張）……黃盒里的彩票張數，

8x2=16（張）……紅盒里的彩票張數，8x4=32（張）……藍盒里的彩票張數.

【答案】黃盒里的彩票張數8張紅盒里的彩票張數16張藍盒里的彩票張數32張

【例9】第一只茶壺能裝10大杯水，第二只茶壺可以裝15小杯水.已知5大杯水與9小杯水同樣多，哪

個茶壺大？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】讀題，抓住大杯數目，引導學生進行擴倍來解決題目.因為5大杯水與9小杯水同樣多，那么10

大杯水就等于18小杯的水，而現在只有15小杯的水，10大杯水和15小杯水比較，10大杯水要多

一■些，所以第一■個茶壺大.

【答案】第一個茶壺大

【鞏固】如圖，第一只壺里的茶只有一半，小華倒出了5大杯，第二只壺里的茶是一滿壺，小明倒出了15

小杯.已知3小杯的茶與2大杯的茶同樣多，現在問你哪個壺大？

?

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】我們可以按以下三個步驟來思考：

⑴第二只壺滿壺茶倒出15小杯，而每3小杯可以倒滿2杯，所以第二只壺可以裝茶10大杯.

⑵一只壺的一半倒出了5大杯，那么滿壺茶可以倒出10大杯.

由⑴⑵可知，兩個茶壺一樣大.

【答案】兩個茶壺一樣大

【例10】如果魚尾重4公斤，魚頭重量等于魚尾加上魚身一半的重量，而魚身重量等于魚頭加魚尾的重

量，問這條魚有多少公斤重？

【考點】等量代換【難度】3星【題型】解答

【解析】依題意列出下列等式：

尾=4（1）

頭=尾+身+2（2）

身=頭+尾（3）

由于等式左右兩邊同乘以一個數，結果仍相等所以把（2）式兩邊同乘以2得：

2頭=2尾+身（4）

把（3）式代入（4）式得：

2頭=2尾+頭+尾

即：頭=3尾=3x4=12公斤

身=頭+尾=12+4=16公斤

所以，全魚=頭+身+尾=12+16+4=32公斤

【答案】32公斤

【鞏固】已知13個李子的重量等于2個蘋果和1個桃子的重量，而4個李子和1個蘋果的重量等于1個

桃子的重量.問多少個李子的重量等于1個桃子的重量？

【考點】等量代換【難度】3星【題型】解答

【解析】：由題意列等式：

13季=2蘋+1桃（1）

4季+1蘋=1桃（2）

把（2）式代入（1）式得：

13季=2蘋+4季+1蘋

即9李=3蘋；

即3李=1蘋（3）

把（3）式代入（2）式得

4季+3李=1桃

即7李=1桃

即7個李子重量等于1個桃子的重量.

【答案】7個

【隨練1】甲、乙兩人共儲蓄32元，乙、丙兩人共儲蓄30元，甲、丙兩人共儲蓄22元.三人各儲蓄多少

元？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】可先讓學生自己去思考，教師巡視指正.此題要求三個未知數，甲儲蓄多少元？乙儲蓄多少元？

丙儲蓄多少元？關系較為復雜，為了化繁為簡，采用消去法來解.首先用加減消去法消去乙和丙，

只剩下甲，然后求出甲儲蓄多少元，再求乙、丙各儲蓄多少元.

解法1:

甲乙一32元

+甲丙T22元

（2甲）乙丙T54元

-乙丙T30元

2甲T24元

由2倍甲儲蓄為24元，可求出甲儲蓄多少元.

列表：（32+22-30）+2=24+2=12（元）......甲儲蓄款.

32-12=20（元）……乙儲蓄款，

30-20=10（元）......丙儲蓄款.

此題也可用另一種方法求解.

解法2:甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84（元），

即2倍的（甲+乙+丙）等于84元.

甲+乙+丙=84+2=42（元）.

42-32=10（元）......丙儲蓄款，

42—30=12（元）......甲儲蓄款，

42-22=20（元）…乙儲蓄款.

【答案】甲儲蓄12元，乙儲蓄20元，丙儲蓄10元，

【隨練2】圖書室里的故事書與科技書共有720本，又知故事書比科技書多160本，這兩種圖書各有多少

本？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】題目中給出了兩個未知量"故事書"和“科技書”的數量關系，即已知故事書與科技書共有720本和

故事書與科技書本數之差，屬于典型應用題中的“和差問題"，一般用消去法來解.

故事書本數+科技書本數720本

+故事書本數-科技書本數160本

2倍故事書本數880本

消去科技書本數后，可先求出故事書的本數.

列式：（720+160）+2=440（本）......故事書，

440-160=280（本）......科技書.也可以先求出科技書的本數.

【答案】故事書440本，科技書280本

【隨練3】學校要買足球和排球.買3個足球和4個排球共需190元，如果買6個足球和2個排球需要230

元.一個足球和一個排球各需要多少元?

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】我們可以把兩次情況進行比較；

3個足球的價錢M個排球的價錢=190（元）⑴

6個足球的價錢+2個排球的價錢=230（元）⑵

我們發現兩組條件不管相加還是相減，都不可能求出足球和排球的單價，因為這里沒有一個相同

的條件可減去.再觀察，我們發現，如果把⑴式擴大2倍，可以得到6個足球和8個排球共380

元，即⑴x2:6個足球的價錢+8個排球的價錢=380元（3）

（3）-（2）,可知6個排球的價錢=150元.容易得出排球和足球的價錢各是多少.

150+6=25（元），足球：（190-25x4）+3=30（元）

【答案】排球為25元，足球為30元

【作業1】你能通過移動天平上的祛碼，使下面的天平平衡嗎?

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】可引用線段圖幫助學生理解多的部分給少的部分多少，可達到一樣多，然后再講解此題.左邊=

10+20+8=38克，右邊=10+16+4=30克，左邊比右邊多8克.只有從左邊拿4克到右邊，兩邊

的重量才一樣多.這樣可以把左邊8克的祛碼和右邊4克的祛碼互換一下，左右兩邊重量都是34

克，天平平衡.

【答案】左邊8克的祛碼和右邊4克的底碼互換一下

【作業2】已知：（見下圖）

?????%??O

|48克I?II?I

(1)(2)(3)

求：最大的球的重量是多少克?

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】：由圖（1）得：3，=2，+48,

所以?二48（克）.

由圖（2）得：30=2，，

即：30=2X48,

所以0=2X48+3=32（克）.

由圖（3）得：0=40=4X32=128（克）.

【答案】128克

【作業3】2只兔子的重量等于6只小雞的重量，3只袋鼠的重量相當于4只兔子的重量，那么1只袋鼠的

重量相當于多少只小雞的重量？

【考點】等量代換【難度】2星【題型】解答

【解析】2只兔相當于6只小雞的重量，那么4只兔相當于12只小鳴的重量.3只袋鼠的重量相當于4只

兔子的重量，所以3只袋鼠相當于12只小雞的重量.12+3=4,即1只袋鼠相當于4只小雞的重

量.

【答案】4只

【作