2023—2024學(xué)年度下學(xué)期三校聯(lián)考期末考試（柳河一中通化縣七中集安一中）高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊第六章~第九章，選擇性必修第一冊第一章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.矩形的直觀圖是（）A.正方形B.矩形C.三角形D.平行四邊形2.某高中的三個年級共有學(xué)生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，該校現(xiàn)在要了解學(xué)生對校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取80人進(jìn)行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，且按年級來分層，則高一年級應(yīng)抽取的人數(shù)是（）A.24B.26C.30D.363.已知向量，若，則（）A.-4B.4C.D.4.在中，角所對的邊分別為，若，則為（）A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5.某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊共有18人，他們的年齡分布如下表所示：年齡45403632302826人數(shù)3234231下列說法正確的是（）A.29是這18人年齡的一個分位數(shù)B.40是這18人年齡的一個分位數(shù)C.34是這18人年齡的一個中位數(shù)D.這18人年齡的眾數(shù)是46.在正四面體中，其外接球的球心為，則（）A.B.C.D.7.已知正三棱柱與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的高的比值為（）A.B.C.D.8.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長為4，點是正八邊形的內(nèi)部（包含邊界）任一點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.的最小值為D.的最大值為410.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為方程的兩個根，則下列選項中正確的有（）A.B.C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限D(zhuǎn).11.如圖，已知三棱柱平面分別是的中點，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.直線與直線的夾角為D.若，則平面與平面的夾角為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，則__________.13.已知向量為平面的法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為__________.14.在銳角中，角的對邊分別為為的面積，且，則的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，指出點位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.16.（本小題滿分15分）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，隨機(jī)抽查了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），將所得到的數(shù)據(jù)分成7組：，（棉花纖維的長度均在內(nèi)），繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計棉花纖維的長度的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作為代表）；（2）估計棉花纖維的長度的分位數(shù).17.（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，為的中點，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，.（1）求證：平面平面；（2）若，點滿足，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.19.（本小題滿分17分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）已知是邊上的兩個動點（不重合），記.①當(dāng)時，設(shè)的面積為，求的最小值；②記.問：是否存在實常數(shù)和，對于所有滿足題意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，說明理由.2023~2024學(xué)年度下學(xué)期三校聯(lián)考期末考試·高一數(shù)學(xué)參考答案?提示及評分細(xì)則1.D直觀圖的畫法不改變平行關(guān)系，也不改變平行于橫向的線段長度，故矩形的直觀圖是平行四邊形.故選D.2.A由題意，從全校2000人中抽取80人訪談，按照年級分層，則高一年級應(yīng)該抽（人）.故選A.3.A因為，所以.故選A.4.A因為，故為直角三角形.故選A.5.B對選項A：，第分位數(shù)為30，故A錯誤；對選項B：，第分位數(shù)為40，故B正確；對選項C：這18人年齡的中位數(shù)是，故C錯誤；對選項D：這18人年齡的眾數(shù)是32，故D錯誤.故選B.6.C由題知，在正四面體中，因為是外接球的球心，設(shè)三角形的中心為點的中點為，則，所以.故選C.7.D設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，等邊的面積為，則正三棱柱的體積為，設(shè)的外接圓半徑為，則，解得，設(shè)圓柱的高為，則圓柱的體積，由題意得，解得.故選D.8.B延長交于點，延長交于點，根據(jù)正八邊形的特征，可知，又.，所以，則的取值范圍是.故選B.9.AC對于A，若，且，則存在唯一實數(shù)使得，即，則解得故A正確；對于B，若，則，即，無實數(shù)解，故B錯誤；，故當(dāng)時，取得最小值為，無最大值，故C正確，D錯誤.故選AC.10.ABD不妨令的兩個根為，因此，故A正確；，故B正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限或者第四象限，故C錯誤；由于，故D正確.故選ABD.11.ABD因為分別是的中點，所以，又平面平面，則平面，故A正確；因為平面，所以平面，即，又，且平面，則平面，即，又，且平面，則平面，故B正確；由于為中點，且，因此是等腰直角三角形，是的中點，則，故C錯誤；連接，由于，易知平面，則，因此平面與平面的夾角為，由于，因此，則，因此，故D正確.故選ABD.12.因為，所以.13.由題意可得，則點到平面的距離.14.由三角形面積公式可得，故，故，因為，所以，解得或0，因為為銳角三角形，所以，由正弦定理得，其中，因為為銳角三角形，所以，故，所以，令，則為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，因為，所以，則.15.（1）證明：連交于，因為為中點，所以是中位線，所以，又因為平面平面，所以平面；（2）解：點為線段的中點，連接，由于為中點，則，即，四邊形為平行四邊形，因此平面平面，則平面.16.解：（1）由頻率分布直方圖知，解得.最高小矩形底邊中點橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為.平均數(shù)21.（2）設(shè)棉花纖維的長度的分位數(shù)為，所以，解得.17.（1）證明：不妨設(shè)，則，所以，所以，即，在直三棱柱中，平面，又平面，所以，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以，，所以，所以，易得平面的一個法向量為，又，又平面，所以平面；（2）解：因為，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以令，解得，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.18.（1）證明：由題意知為等邊三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中點，連接，所以，又，所以，又平面平面，平面平面平面，則平面，即是三棱錐的高.因為點滿足，所以，解得.又平面，所以.以點為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以令，解得，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，則令，解得，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角的大小為，所以，即平面與平