第二十四章《圓》復習導學案

（一）垂徑定理

一、知識回顧

1、垂徑定理：垂直于圓的直徑____________________，并且

2、推論1：

（1）平分弦（）的直徑___________________________________________________

（2）平分一條弧的直徑____________________________________________________________

（3）弦的垂直平分線.

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧.

3、請你用幾何語言表示垂徑定理及其推論：

二、例題講解

例1、（1）已知。0的弦長AB=8cm,圓心0到AB的距離為3cm,則的直徑是cm.

（2）如圖（1）,已知。O的半徑為5,弦AB=6,P是弦AB上任意一點，則0P的取

值范圍是.

例2、如圖（2）,弦CD垂直于。O的直徑AB,垂足為H,且CD=2&，BD=6,則

直徑AB的長為

圖⑵

例3、如圖，在。。中，點0是NBAC的平分線上的一點，求證：AB=AC

例1、如圖，。。的直徑AB和弦CD相交于E,若AE=2cm,BE=6cm,ZCEA=30°,求

CD的長；

分析：有關弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構造的直角三角形來研究，所以連半

徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法.

例1圖

二、達標練習:

1、下列命題中正確的是（）

A.平分弦的直徑必垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

B.弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦；

C.若兩段弧的度數相等，則它們是等弧；

D.弦的垂線平分弦所對的弧.

2、如圖，中，直徑CD=15cm,弦ABJ_CD于點M,OM：MD=

3：2,則AB的長是（）

3、已知OO的半徑為10cm,弦AB〃CD,AB=12cm,CD=16cm,

AB和CD的距離是（）

A.2cm；B.14cm；C.2cm或14cm；D.2cm或12cm.

4、若圓中一弦與弦高之和等于直徑，弦高長為1,則圓的半徑長為（）

35

A.1；B.一；C.2D.一.

22

6、等腰AABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=10cm,則AABC的外接圓半徑為

7、圓內一弦與直徑相交成30°的角，且分直徑為1cm和5cm兩段，則此弦長為

四、課后作業

1、下列命題中正確的個數是（）

①直徑是圓中最長的弦；②垂直于弦的直徑平分弦及其所對的兩弧；

③平分弦的直徑垂直于弦；④半圓是弧，但弧不是半圓；

⑤等弧所對的弦相等，圓心角相等；⑥圓心角相等，所對的弦相等，弧也相等.

A、2個B、3個C、4個D、5個

2、弦AB的長為6cm,圓心O到AB的距離為4cm,則。O的半徑長為.

3、在半徑為2cm的。。中有長為2逐cm的弦AB,則弦AB所對的圓心角的度數為（

A.60°；B.90°；C.120°；D.150°.

4、如圖為圓弧形拱橋，半徑OA=10cm，拱高為4cm,求拱橋跨度AB的長.

5、如圖，RL^ABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB、

BC分別交于點D、E,求AB、AD的長.

6*、如圖，點A、B、C是。O上的三點，AB/7OC,

（1）求證：AC平分NOAB.

（2）過點O作OE_LAB于點E,交AC于點P,若AB=2,ZAOE=30°,求PE的長.

（二）弧、弦、圓心角

一、知識回顧

1.定義：叫做圓心角.

2.定理：在中，相等的圓心角所對的弧,所對的弦.

3.推論1：在中，相等的弧所對的相等，所對的相等.

4.推論2：在中，相等的弦所對的相等，所對的相等.

5.定理及推論的綜合運用：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中

相等，那么__________也相等.

二、例題講解

1、如圖（1）,弦AD=BC,E是CD上任一點（C,D除外），則下列結論不一定成立的是（）

A.而=阮；B.AB=CD；C.ZAED=ZCEB；D.題=RC

2、如圖（2）,AB是。。的直徑，C,D是P（E上的三等分點,ZAOE=60°,則/COE是

圖⑴圖(2)

3、如圖(3),AB是。。的直徑，gC=KD,ZA=25°,貝U/BOD='

4、如圖（4）,在。O中，AB=AC,/A=40。，則/C=1

5、在。O中，軸=尤，ZACB=60°.求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC.

第5題圖

三、達標練習

1、如果兩個圓心角相等，那么（

A.這兩個圓心角所對的弦相等;B.這兩個圓心角所對的弧相等;

C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等；D.以上說法都不對

2.在同圓中，圓心角/AOB=2/COD,則找B與E的關系是（）

A.這B=2E；B.以B>E；C.AB<2E；D.不能確定

3.在同圓中，3=阮，貝I（）

A.AB+BC=AC；B.AB+BOAC；CAB+BC<AC；D.不能確定

4.下列說法正確的是（）

A.等弦所對的圓心角相等；B.等弦所對的弧相等；

C.等弧所對的圓心角相等；D.相等的圓心角所對的弧相等.

5.如圖，在。0中，C、D是直徑上兩點，且AC=BD,MC±AB,ND±AB,M、N在。

。上.求證：的4=HN

四、課堂小結

在運用定理及推論時易漏條件“在同圓或等圓中”，導致推理不嚴密，如半徑不等的兩

個同心圖，顯然相等的圓心角所對的弧、弦均不等.

五、課后作業

1、如圖，已知OA、OB是。O的半徑，點C為AB的中點，M、N分別為OA、OB的中

點，求證：MC=NC

2、如圖，AB是。O的弦，^E=BF,半徑OE,OF分別交AB于C,D.求證：△OCD

是等腰三角形.

3、如圖，在圓。中，弦AB、CD相交于E,且AB=CD,求證：CE=BE

4、己知：如圖，EF為。。的直徑，過EF上一點P作弦AB、CD,且/APF=/CPF.

求證：PA=PC.

（三）圓周角

一、知識回顧

1.圓周角的定義：頂點在______,并且兩邊都與圓______的角叫做圓周角.

2.定理：在同圓或等圓中，所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

3.推論：（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是.

4.圓內接多邊形：圓內接四邊形的.

二.例題講解

1.下列說法正確的是（）

A.相等的圓周角所對弧相等形；

B.直徑所對的角是直角

C.頂點在圓上的角叫做圓周角；

D.如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

2.如圖，AABC內接于。0,若NOAB=28。，則NC的大小為（）

A.28°；B.56°；C.60°；D.62°.

3.如圖，在。O中，NABC=40。,則NABC=°.

4.如圖,AB是。O的直徑,C,D,E都是圓上的點，則Nl+N2=°.

5.如圖，AB是。。的直徑，BD是。O的弦，延長BD到C,使AC=AB.求證：BD=CD.

三、過關檢測

1.如圖,AB是。O的直徑，BC、CD、DA是。O的弦，且BC=CD=DA,則NBCD=（）

A.100°；B.110°；C.120°；D.130°.

2.如圖,。。是AABC的外接圓,AB是直徑，若/BOD=80。,則NA=()

A.60°；B.50°；C.40°；D.30°.

3.如圖,A,B,C是。。上三點，ZAOC=100°,貝I|NABC='

4.如圖,正方形ABCD內接于0O,點E在劣弧AD上，貝iJ/BEC等于'

5.如圖，在。O中，ZACB=ZBDC=60°,AC=2百.（1）求/BAC的度數；（2）求。O的

周長.

四.課堂小結

1,圓周角與圓心角的概念比較接近,因此容易混淆，要結合圖形觀察角的位置進行判斷.

2.一條弦所對的圓周角有兩種（直角除外），一種是銳角，一種是鈍角.

3.有關圓的計算常用勾股定理計算，因此構造直角三角形是解題的關鍵.

五.課后作業

1、如圖1,等邊三角形ABC的三個頂點都在。。上，D是我C上任一點（不與A、C重合）,

則/ADC的度數是

2、如圖2,四邊形ABCD的四個頂點都在0O上，且AD〃BC,對角線AC與BC相交于

點E,那么圖中有對全等三角形，分別是

3、如圖3,A、B、C是。O上的三點，點D在CA的延長線上，若/BAD=100。，則/

BOC=度.

4、如圖9,D是找C的中點，則圖中與/ABD相等的角的個數是（）

A.4個；B.3個；C..2個；D.1個.

5、如圖,A、B、C三點都在。O上，若/AOB=140。，貝U/ACB的度數是（）

A.130°；B.120°；C.115°；D.110°.

6、在0O中，半徑為r=1,弦AB=J^,弦AC=JL貝U/BAC為（）

A.75°；B.15°；C.75°或15°；D.90°或60°.

第4題圖第5題圖第6題圖

7、如圖，AB是。O的直徑，C是WD的中點，CELAB于E,BD交CE于點F.求證:

CF=BF.

（四）點和圓的位置關系

一、知識點填空：

1點和圓的位置關系：設。O的半徑為廠，點P到圓心的距離OP=d,則有：

①Od>r

②od=r；

③Od<r.

2.確定圓的條件：

（1）過一個已知點可以作個圓.

（2）過兩個已知點可以作個圓，圓心在________________________上.

（3）過_______________上的確定一個圓，圓心為

_______________________________________________________________________交點.

3.三角形的外接圓及三角形的外心：

__________________________________________________________叫做三角形的外接圓.

__________________________________________叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形的

三個頂點的距離.這個三角形做.

二、例題講解

1.下列說法：①三點確定一個圓；②三角形有且只有一個外接圓；③圓有且只有一個內

接三角形；④三角形的外心是各邊垂直平分線的交點；⑤三角形的外心到三角形的各邊的

距離相等；⑥等腰三角形的外心一定在三角形內.其中正確的個數為（）

A.1；B.2；C.3；D.4.

2.三角形的外心具有的性質是（）

A.到三邊的距離相等；B.到三個頂點的距離相等；

C.外心在三角形內；D.外心在三角形外.

3.用反證法證明一個三角形任意兩邊之和大于第三邊時，假設正確的是（）

A.任意兩邊之和小于第三邊；B.任意兩邊之和等于第三邊；

C.任意兩邊之和小于或等于第三邊；D.任意兩邊之和不小于第三邊.

4.（DO的半徑為10cm,A,B,C三點到圓心的距離分別為8cm,10cm,12cm,則點A,

B,C與0O的位置關系是：點A在；點8在；點?

在.

5.直角三角形的兩直角邊分別是3cm,4cm.則這個三角形的外接圓半徑為cm.

三、過關檢測

1.在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,以點B為圓心，4為半徑作。B,則點A與

OB的位置關系是（）

A.點A在。B上；B.點A在。B外；C.點A在。B內；D.無法確定.

2.以平面直角坐標系的原點0為圓心,5為半徑作圓，點A的坐標為（-3,-4）,則點A與。。的

位置關系是（）

A.點A在。0上；B.點A在。0外；C.點A在。0內；D.無法確定.

3.如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,

（1）以點A為圓心，4cm為半徑作。A,則B,C,D與。A的位置關系如何？

（2）以點A為圓心作。A,使B,C,D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，

則。A的半徑r的取值范圍是什么？AD

B-------------------------IC

四.課堂小結

1.過三點作圓時，易忽視“過不在同一直線上的三點”這一前題條件，當三點在同一直線

上時，無法確定一個圓.

2.判斷點與圓的位置關系時，只需確定點與圓心的距離及圓的半徑，然后進行比較即可

五.課后作業

1、如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM為中線，以C為圓心5cm

為半徑作圓，則A、B、C、M四點在圓外的A

有;在圓上的有;

在圓內的有.

2在aABC中，AB=AC=5,BC=12,則4ABC

外接圓的半徑為.C第1題圖B

3、如圖，以點O'(1,1)為圓心，00'為半徑畫圓，判斷點P(-1,1)、點Q(1,0)

點R(2,2)和。0

4、如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=4cm,以點A為圓心，3cm為半徑作。A,

試判斷：

(1)點C與。A的位置關系；(2)點B與。A的位置關系；(3)AB的中點D與。A的

位置關系.八

(五)直線和圓的位置關系

一、知識回顧

1、直線和圓的三種位置關系：

(1)如果直線和圓有兩個公共點，那么就說直線和圓

(2)如果直線和圓有一個公共點，那么就說直線和圓________,這條直線叫的，這

個點叫做圓的.

(3)如果直線和圓沒有公共點，那么就說直線和圓_______.這條直線叫做圓的.

2、直線和圓的三種位置關系：

設。。的半徑為r,圓心O到直線/的距離為d,則有：

d>ro；

d=ro__________________

d<ro__________________

3、切線的的判定與性質：

(1)切線判定定理：經過半徑的,并且_________________的直線是圓的切線.

(2)圓的切線垂直于.

二、例題講解

例1、填空題：

(1)如圖1,AB為。。的直徑，CD切。O于D,且/A=30。，。。半徑為2cm,貝ljCD=

(2)如圖2,AB切。O于C,點D在OO上，ZEDC=30°,弦EF〃AB,CF=2,貝|EF=

(3)如圖3,以O為圓心的兩個同心圓中，大圓半徑為13cm，小圓半徑為5cm,且大圓的

弦AB切小圓于P,則AB=

例2、如圖，AB為OO直徑，C為。。上的點，AD與過C點的切線互相垂直，垂足為D,

求證：AC平分NDAB-D

例3、如圖，AABC中，AB=AC,以AB為直徑作。。交BC于D,DELAC于E.,求證:

DE為。。的切線.人

BDC

三、過關檢測

1、在直角坐標系中，以點(1,2)為圓心，1為半徑的圓必與y軸,與x軸

2、直線/上一點P與。點的距離是3,。。的半徑是3,則直線/與。。的位置關系是—

3、Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,則以2.4cm為半徑的0c與直線AB的

位置關系是.

4、如圖，直線AB與CD相交于點O,/AOC=30。，點P在射線OA上，且OP=6cm,以P

為圓心，1cm為半徑的。P以lcm/s的速度沿

射線PB方向運動.則

①當。P運動時間t(s)滿足條件時,

G)P與CD相切；

②當。P運動時間t(s)滿足條件時，

圓P與CD相交；

③當。P運動時間t(s)滿足條件時，OP與CD相離.

5.已知/AOC=30。，點B在OA上，且OB=6,若以B為圓心，R為半徑的圓與直線OC

相離，則R的取值范圍是.

6.設。。的半徑為r,點0到直線/的距離為d,若直線/與。0至少有一個公共點，則r

與d之間的關系是()

A.d>r；B.d=r；C.d<r-D.d￡r.

7.在Rtz\ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,以C為圓心，、/5為半徑作圓。C,則。C與直

線AB()

A.相離；B.相切；C.相交；D.相離或相交.

8.下面關于判定切線的一些說法：①與直徑垂直的直線是圓的切線；②到圓心的距離等于

半徑的直線是圓的切線；③與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；④經過半徑外端的直線

是圓的切線；⑤經過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，其中正確的是()

A.①②③；B.②③⑤；C.②④⑤；D.③④⑤.

9.如圖，已知PA是。O的切線，A是切點，PC是過圓心的一條割線，點B,C是它與。

O的交點，且PA=8,PB=4,則。O的半徑為.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，。人與兀軸相切于B,與y軸交于C

(0,1)、D(0,4)兩點，則點A的坐標是()

第9題圖第10題圖

11.如圖，AB為半圓0的直徑，點C在半圓。上，過點。作BC的平行線交AC于點E,

交過點A的直線于點D,且ND=NBAC.求證：AD是半圓。的切線.

12.如圖7,AB=BC,以AB為直徑的。O交AC于D,作DE_LBC于E.

(1)求證：DE為。O的切線；(2)作DG_LAB交。。于G,垂足為F,ZA=30°.AB=8,

求DG的長

四、課堂小結

1.在利用數量關系判斷直線與圓的位置關系時，易忽略條件“圓心到直線的距離”，盲目

選擇圓心到直線上某一點的距離進行判定，導致出現錯誤的結論，應引起注意.

2.要判斷直線與圓的位置關系有兩種方法：一看直線與圓公共點的個數；二看圓心到直線

的距離d與圓的半徑之間的關系.

3.在證明圓的切線問題時，常作兩種輔助線：若已知一直線經過圓上一點，則連接這點和

圓心得半徑，證明該直線與半徑垂直；若不知直線與圓有無公共點，則過圓心作直線的垂線,

證明垂線段等于圓的半徑.

4.已知一條直線是圓的切線時，常作輔助線為連接圓心與切點，得半徑，那么半徑垂直于

這條切線.

五、課后作業

1.直線I上一點到圓心O的距離等于。。的半徑，直線I與。O的位置關系是（）

A.相離；B.相切；C.相交；D.相切或相交.

2.OA平分/BOC,P是OA上任意一點（O除外），若以P為圓心的。P與0C相離，那

么。P與0B的位置關系是（）.

A.相離；B.相切；C.相交；D.相切或相交.

3.已知。。的直徑為8cm,如果圓心0到一條直線的距離為5cm,那么這條直線與這個圓

的位置關系是（）.

A.相離；B.相切；C.相交；D.無法確定.

4.圓的切線（）------、

A.垂直于半徑；B.平行于半徑；/\

C.垂直于經過切點的半徑；D.以上都不對.----

5.如圖，AB是。0的直徑，點D在AB的延長線上，

DC切。0于C,若NA=25。，則/D等于（）

6、如圖，兩個同心圓的半徑分別為3cm和5cm,弦AB與小圓相切于點C,則AB的長為

7、如圖，若。0的直徑AB與弦AC的夾角為30°,切線CD與AB的延長線交于點D,且的

半徑為2,則CD的長為

8、如圖，ZMAB=30°,P為AB上的點，AP=6,圓P與AM相切，則圓P的半為.

第6題圖第7題圖第8題圖

9.如圖，在以0為圓心兩個同心圓中，大圓的弦AB=CD,AB切小圓于點E.求證：CD

是小圓的切線.

10.如圖，在AABC中，AB=BC,以AB為直徑的。。與AC交于點D,過D作DELBC,

交AB的延長線于E,垂足為F.求證：直線DE是。。的切線.

（六）圓的切線長性質

一、知識回顧

1,切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這一點與的連線段叫

做圓的切線長.

2、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，所得的的,這一點和圓心

的連線.

3.三角形的內切圓：與三角形各邊的圓，叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心

是三角形的交點，叫做三角形的.

4,圓內接四邊形

二、例題講解

1、如圖，從圓外一點P引。0的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,如果APB=60°,PA=10,

則弦AB的長（）

A.5；B.5A/3；C.10；D.l（X/3.

2、如圖，點O是aABC的內切圓的圓心，若/BAC=80。，則NBOC等于（）

A.130°；B.100°；C.50°；D.65°

3、如圖，。。與NACB兩邊都相切，切點分別為A、B,且NACB=90。，那么四邊ABCD是

CBA

4、如圖第包題圉B是。。的切線，A,B為牖2題圖）AB=30。，求/APB鍛爨.圖

5.如圖，在AABC中，已知NABC=90°,在AB上取一點E,以BE為直徑的。。恰與AC

相切于點D,若AE=2cm,AD=4cm.(1)求。O的直徑BE的長；(2)計算AABC的面

積.

6.已知：如圖，。。是RtZXABC的內切圓，ZC=90°.(1)若AC=12cm,BC=9cm,求。。

的半徑，；(2)若AC=b,BC=a,AB=c,求。。的半徑r.

三、過關檢測

1.已知直角三角形的斜邊長為了13cm,內切圓的半徑是2cm,則這個三角形的周長是()

A.30cm；B.28cm；C.26cm；D.24cm.

2.如圖，AABC的內切圓與各邊相切于D,E,F,且/FOD=/EOD=135。，則AABC是

()

A.等腰三角形；B,等邊三角形；C.直角三角形；D.等腰直角三角形.

3.如圖，PA,PB是。O的切線，A,B為切點，。。的切線EF分別交PA、PB于E、F,

A

切點C在找B上，若PA的長為2,則4PEF的周長是

4.如圖，PA、PB分別切。。于點A、B,則與

ZPAB相等的角（不包括NPAB本身）有（

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，已知AABC的內切圓。。與各邊相切于點D、E、F,則點。是ADEFl）

A.三條中線的交點B.三條高的交點

C.三條角平分線的交點D.三條邊的垂直平分線的交點

6.如圖，。:［是AABC的內切圓，切點分別為點D、E、F,若NDEF=52°,則NA的度為

第6題圖第6題圖第6題圖

7.如圖，一圓內切于四邊形ABCD,且AB=16,CD=10,則四邊形ABCD的周長為

8.如圖，已知。0是AABC的內切圓，ZBAC=50°,則NBOC為度.

9.如圖，AE、AD、BC分別切。0于點E、D、F,若AD=20,求AABC的周長.

10.如圖，PA、PB是。O的兩條切線，切點分別為點A、B,若直徑AC=12,ZP=60°,

求弦AB的長.

四、課堂小結

切線長與切線是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線

段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.注意區別和聯系.

五、課后作業

1.AABC中，AB=AC,NA為銳角，CD為AB邊上的高，I為AACD的內切圓圓心，則

ZAIB的度數是()

A.120°B.125°C.135°D.150°

2.一個鋼管放在V形架內，右圖是其截面圖，O為鋼管的圓心.如果鋼管的半徑為25cm,

ZMPN=60°,則OP=()

A.50cmB.25V3cmC.cmD.50vcm

3

3.如圖，在AABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm.如果。O的半徑為JfUcm,且經過點B、

C,那么線段AO=cm.

第2題圖

4.如圖，PA、PB分別切OO點A、B,點E是。0上一點，且NAEB=60°,則NP=

度.

5、如圖，PA,PB是。O的切線，A,B為切點.求證：ZAOB=-ZAPB.

2

(七)圓和圓的位置關系

一、知識回顧

1.圓和圓的位置關系：(1)如果兩個圓___________________,那么就說這兩個圓相離，

相離包括;(2)如果兩個圓，那么就說這兩個

圓相切，相切包括:如果兩個圓，那么就說這

兩個圓相交.

2.圓和圓的位置關系的判定方法：設兩圓半徑分別為R和r(R2r),圓心距為d,則

(1)兩圓外離O；(2)兩圓外切<=>;

(3)兩圓相交O;(4)兩圓內切O;

(5)兩圓內含O?

二、例題講解

例1、已知：如圖，<301與。。2相交于A，8兩點.求證：直線。1。2垂直平分4艮

B

例2、已知：如圖，OOi與。。2外切于A點，直線/與。Q、。。2分別切于B，C點，若。。1

的半徑ri=2cm,。。2的半徑廠2=3cm.求BC的長.

例3、已知：如圖，兩圓相交于A,8兩點，過A點的割線分別交兩圓于。，尸點、,過8點

的割線分別交兩圓于H,E點、.求證：HD//EF.

三、過關檢測，

1.如果OO1和。。2外切，OO1的半徑為3,OQ2=5,則的半徑為（）

A.8B.2C.6D.7

2.已知兩圓半徑分別為4和3,圓心距為8,則兩圓的位置關系是（）

A.內切B.外切C.相交D.外離

3.設R,r為兩圓半徑，d為圓心距，若R?―戶+d2=2Rd,則兩圓的位置關系是.

A.內切B.外切C.相交D.外離

4.已知。Ch和。Ch的半徑分別為3cm和5cm,兩圓的圓心距OQ2=8cm,則兩圓的位置關

系是?

5.已知兩圓半徑分別為4和5,若兩圓相交，則圓心距d應滿足.

6.己知。A,G>B相切，圓心距為10cm,其中。A的半徑為4cm,則。B的半徑為

7.如果，已知。01和。。2相交于A,B,過A作直線分別交。01、于C、D,過B作

作直線分別交。01、。。2于E、F.求證：CE〃DF.

四、課堂小結

在研究兩圓相切時，要考慮內切或外切；在研究兩圓沒有公共點時，要考慮外離或內含,

記住不要漏解.

五.課后作業

1.如圖，工地放置的三根外徑是1m的水泥管兩兩外切，求其最高點到地平面的距離.

2、己知，如圖各圓兩兩相切，。。的半徑為2R,001,的半徑為R,求。03的半徑.

14.如圖，點A,B在直線MN上，AB=llcm,?A,OB的半徑均為1cm.G)A以每秒2cm

的速度自左向右運動，與此同時，。:B的半徑也不斷增大，其半徑"cm)與時間f(s)之間的

關系式為r=1+/?20).

(1)試寫出點A,B之間的距離d(cm)與時間t(s)之間的函數表達式；

(2)問點A出發多少秒時兩圓相切?

(八)正多邊形和圓

一、知識點填空：

1.正多邊形和圓的關系：________________________________________________________

是這個圓的內接正“邊形，這個圓是；

這個多邊形.

2.正多邊形的有關概念：的多邊形叫做正多邊形

叫做正多邊形的中心，叫做正多邊形的半徑，

__________________________________________叫做正多邊形的中心角，

_________________________________________叫做正多邊形的邊心距.

3.在計算時常用的結論是：

（1）正多邊形的中心角等于

（2）正多邊形的半徑、邊心距、邊長的一半構成三角形.

二、例題講解

1.下列敘述正確的是（）

A.各邊相等的多邊形是正多邊形B.各角相等的多邊形是正多邊形

C.各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形D.軸對稱圖形是正多邊形

2.如圖所示，正六邊形ABCDEF內接于OO,則NADB的度數是（）

A.60°B.45°

C.30°D.22.5°

3.有一個正多邊形的中心角是60。，則這個多邊形是邊形.

4.已知一個正六邊形的半徑是「，則此多邊形的周長是.

5.如圖所示，五邊形ABCDE內接于0O,ZA=ZB=ZC=ZD=ZE.

證：五邊形ABCDE是正五邊形.

三、過關檢測

1.圓內接正五邊形ABCDE中對角線AC和BD相交于點P,則NAPB的度數（）

A.60°B.36°C.72°D.108°

2.已知正三角形的邊長為。，其內切圓半徑為「，外接圓半徑為R,則r：a：R等于（）

A.1：243：2B.1：V3：2C.1：2：73D.1：收2百

3.若同一個圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為與、心、石則4：弓：々

等于（）

A.1：V2：V3B.V3：V2：1C.1：2：3D.3：2：1

4.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm,求這個正六邊形的半徑R、邊心距必、面積

四.課堂小結

1.要徹底弄清正多邊形的半徑、邊心距、中心角和邊長.

2.在有關正多邊形與圓的計算問題時，一般找由半徑、邊心距、邊長的一半構成的直

角三角形，將所求問題轉化為解直角三角形的問題.

五.課堂作業

1、一個外角等于它的一個內角的正多邊形是正邊形.

2、正八邊形的中心角的度數為，每一個內角度數為，每一個外角度數為.

3、邊長為6cm的正三角形的半徑是cm,邊心距是cm,面積是cm.

4、面積等于64cm2的正六邊形的周長是.

5、同圓的內接正三角形與外切正三角形的邊長之比是.

6、正多邊形的面積是240cm"周長是60cm,則邊心距是cm.

7、正六邊形的兩對邊之間的距離是12cm,則邊長是cm.

8、同圓的外切正四邊形與內接正四邊形的邊心距之比是.

9、同圓的內接正三角形的邊心距與正六邊形的邊心距之比是.

10、下列命題中，假命題的是（）

A.各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形；

B.正多邊形的任意兩個角的平分線如果相交，則交點為正多邊形的中心；

C.正多邊形的任意兩條邊的中垂線如果相交，則交點是正多邊形的中心；

D.一個外角小于一個內角的正多邊形一定是正五邊形.

11、若一個正多邊形的一個外角大于它的一個內角，則它的邊數是（）

A.3；B.4；C.5；D.不能確定.

12、同圓的內接正四邊形與外切正四邊形的面積之比是（）

A.1：A/3；B.1：A/2；C.1：2；D.V2：1.

13、正六邊形的兩條平行邊間距離是1,則邊長是（）

14、周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、54,之間的大小關是（）

A.S3>S4>S6；B.S6>S4>S3；C.S3>S4>S6；D.S3>S4>S6.

15、正三角形的邊心距、半徑和高的比是（）

A.1：2：3；B.1：41：V3；C.1：V2：3；D.1：2：6

四、計算

16、已知正方形面積為8cm2,求此正方形邊心距.

17、已知正三角形的面積為:信一，求此正三角形的的半徑.

18、已知園內接正六邊形的邊心距為求此正六邊形的面積.

19、已知一個正三角形與一個正六邊形面積相等，求兩者邊長之比.

20*、已知正五邊形的一條對角線長為4j5c小，求正五邊形的邊長.

21*、已知，如圖，正八邊形ABCDEFGH,0O的半徑為、/5,求AB的長.

（九）弧長與扇形面積

一、知識回顧

1.在半徑為R的圓中，〃°的圓心角所對的弧長/=.

2.和所圍成的圖形叫做扇形.在半徑為R的圓中，圓心角為〃。的

扇形面積S扇形=/為扇形的弧長，則S扇形=_________________________.

3.如圖，在半徑為R的。。中，弦與耘所圍成的圖形叫做弓形.

當崩為劣弧時，s可形=s扇形一；

當我為優弧時，S弓形=S扇形+----------------

二、例題講解

25冗

例1、半徑為5cm的圓中，若扇形面積為——cm2,則它的圓心角為.若扇形面積

3

為15ncm2,則它的圓心角為.

例2、如圖（1）,RtZ^ABC中，ZC=90°,4C=8,BC=6,兩等圓。A,。8外切，那么圖

中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為（）.

例3、如圖（2）,扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB,AC夾角為120°,AB的長為30cm,

貼紙部分20的長為20cm,則貼紙部分的面積為（）.

A.lOOrtcm2；B.出油兀cm?；C.80（hcnr；D.^^7rcm2.

33

例4、如圖（3）,ZVIBC中，BC=4,以點A為圓心，2為半徑的。A與BC相切于點。，

交AB于E,交AC于尸，點尸是。A上一點，且NEPF=40°,則圓中陰影部分的面積是（）.

圖（2）圖（3）

例5、已知：如圖，以線段A8為直徑作半圓Q,以線段AQ為直徑作半圓。2,半徑QC

交半