高三第一輪復(fù)習(xí)《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、考情分析

全國(guó)考試大綱對(duì)基本不等式的要求是

1、了解基本不等式的證明過程；

2、會(huì)用基本不等式求簡(jiǎn)單的最值問題；

由于考綱對(duì)證明要求較低，主要是把基本不等式作為工具，用于求最值，所以本節(jié)課主要是

復(fù)習(xí)用基本不等式求最值問題、

二、學(xué)情分析

本班是由高三基礎(chǔ)較好的學(xué)生組成的，學(xué)生撐握了一定的基本知識(shí)，、基本技能，也具備了

基本數(shù)學(xué)思想，但學(xué)生對(duì)基本知識(shí)撐握不全面，書定不規(guī)范，易漏掉一些細(xì)節(jié)（如等號(hào)成立

的條件），因此本節(jié)課在全面梳理知識(shí)，規(guī)范書寫的同時(shí)也意在提高學(xué)生的綜合解題能力，

培養(yǎng)消元、化歸等的數(shù)學(xué)思想。因此所選題目兼具基礎(chǔ)性;又有較強(qiáng)的綜合性，難度較大。

三、教學(xué)方法

數(shù)學(xué)教學(xué)不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞而是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)指在訓(xùn)練學(xué)生的思維技能,

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此本節(jié)課我以知識(shí)為載體、以學(xué)生為主體盡量留時(shí)間給學(xué)生思考、

訓(xùn)練、總結(jié)，其中滲透類比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用PPT課件+學(xué)案+學(xué)生投影展示成果

的教學(xué)模式，讓學(xué)生體味學(xué)習(xí)的快樂和成功的喜悅。

四、學(xué)生學(xué)法

本節(jié)課的教學(xué)過程中，本人引導(dǎo)學(xué)生積極訓(xùn)練、模仿練習(xí)、認(rèn)真糾錯(cuò)總結(jié)，主要的時(shí)間都讓

給學(xué)生，使學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的學(xué)習(xí)。

五、教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握基本不等式及會(huì)應(yīng)用基本不等式求最值;

2、理解基本不等式應(yīng)用的條件；

3、體會(huì)應(yīng)用基本不等式求最值問題的解題策略的構(gòu)建過程。

六、教學(xué)重點(diǎn)：利用基本不等式求最值

七、教學(xué)難點(diǎn)：

1、掌握基本不等式求最值成立的條件；

2、"拆、拼、湊”等變形能力的提高；

3、在利用基本不等式失效(等號(hào)取不到)的情況下學(xué)會(huì)采用函數(shù)的單調(diào)性求解最值。

八、教學(xué)過程

知識(shí)梳理

,—a+b

i.基本不等式：一廠

(1)基本不等式成立的條件：,b20.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)—時(shí)取等號(hào).

⑶其中—稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.幾個(gè)重要的不等式

(1)?2+序》(“，R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

(2)產(chǎn)的W亍-^―(?>0,比>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

a+b

(3弓+注2(。，"同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a=h時(shí)取等號(hào).

(4)x+K22y[p(x,p>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=y[p時(shí)取等號(hào).

X

3.利用基本不等式求最值

已知40,y20,則

⑴如果積X)：是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)___時(shí)，x+y有最—值是2g(簡(jiǎn)記：積定

和最小）.

52

⑵如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)，xy有最—值是余簡(jiǎn)記：和定積

最大）.

注：用基本不等式求最值的條件J.

基礎(chǔ)自測(cè)

4

1.（新教材必修第一冊(cè)P48Tl改編）已知x>2,則x+——的最小值是（）

x-2

A.2B.4C.2^2D.6

2.（新教材必修第一冊(cè)P45例1改編）若x<0,則x+；（）

A.有最小值，且最小值為2

B.有最大值，且最大值為2

C.有最小值，且最小值為-2

D.有最大值，且最大值為-2

3.（多選題）下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

a+b.-

A.兩個(gè)不等式/+h2^2ah與〒》標(biāo)成立的條件是相同的

B.函數(shù)y=x+q的最小值是2

4

C.函數(shù)於）=sinX+/n的最小值為4

D.x>0且y>0是*+，2的充要條件

yx

4.（多填題）（舊教材必修5P100A2改編）一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻

的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為m時(shí)菜園

面積最大.

I考點(diǎn)聚焦突破I分類講練，以例求法

考點(diǎn)一配湊法求最值

3

【例1-1】設(shè)04<2,則函數(shù)y=4x(3-2%)的最大值為.

Q

【例1-2】若。>0,則。的最小值為.

2a+1

【例1-3】函數(shù)了=二^(%>0)的最小值為.

X

變式1.函數(shù)y=告(x>0)的最大值為.

x-+4

變式2.函數(shù)y=士(x>0)的最小值為.

規(guī)律方法

考點(diǎn)二常數(shù)代換法求最值

【例2】已知。>0,b>0,且2a+8=l,貝讓+：的最小值為.

ab

i2

變式1.已知a>T,b>0,2a+h=l,則——：的最小值為.

a+1b

變式2.若正數(shù)。,。滿足2a+0=3aZ?,則a+?的最小值為.

規(guī)律方法

考點(diǎn)三消元法求最值

【例3-1]若正數(shù).V,)，滿足X2+6孫-1=0,則x+2y的最小值是()

zv.3D.33?3

【例3-2](多填題)已知a,beR，且a>b>0,a+/?=1,則4+2肥的最小值為

二4匚+1表的最小值為.

a-b

規(guī)律方法

小結(jié):

1.配湊法、常數(shù)代換法及消元法實(shí)質(zhì)是通過變形、代換、消元等手段，使得變量

或式子的積、和、平方和為常數(shù)，從而構(gòu)造基本不等式模型進(jìn)行求解證明.

2.注意運(yùn)算、建模、邏輯思維、創(chuàng)新等能力的提高.

九、預(yù)期效果

本節(jié)課預(yù)期讓學(xué)生能正確理解基本不等式的應(yīng)用條件，書寫規(guī)范（一正二定三相等），會(huì)合

理變形求簡(jiǎn)單的最值問題，并能進(jìn)一和步體會(huì)消元、化歸等數(shù)學(xué)方法與思想。

學(xué)情分析

在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等

式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知

識(shí).如何讓學(xué)生再認(rèn)識(shí)"基本"二字，是本節(jié)學(xué)習(xí)的前提.事實(shí)上,

該不等式反映了實(shí)數(shù)的兩種基本運(yùn)算（即加法和乘法）所引出的大小

變化，這一本質(zhì)不僅反映在其代數(shù)結(jié)構(gòu)上，而且也有幾何意義，由此

而生發(fā)出的問題在訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)推理能力和幾何直觀能力上都發(fā)

揮了良好的作用.因此，必須從基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何意義兩

方面入手，才能讓學(xué)生深刻理解它的本質(zhì).另外，在用基本不等式解

決最值時(shí)，學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號(hào)成立

的條件，因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)借助辨誤的方式讓學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)基

本不等式成立的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中

的作用.

我們的學(xué)生屬于普通高中，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和基礎(chǔ)不太好，接受

新知識(shí)較慢。所以講解的過程需要放慢速度。

效果分析

練習(xí)第一題：本題主要考察基本不等式的三要點(diǎn)：一正，二定,

三相等。學(xué)生錯(cuò)誤率較高，主要忽視“三相等"，還有部分學(xué)生的三

角知識(shí)掌握不牢或已遺忘導(dǎo)致錯(cuò)誤。

基礎(chǔ)自測(cè)：(1)難度較低，學(xué)生正確率很高，基本做對(duì)。

(2)對(duì)于能正確對(duì)數(shù)運(yùn)算的同學(xué)，基本能做對(duì)。做

錯(cuò)或不會(huì)做的同學(xué)，主要是因?yàn)橥泴?duì)數(shù)運(yùn)算。

(3)(4)正確率很高

《基本不等式》是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出來

了(展示課本和參考書封面％它是在學(xué)完"不等式的性質(zhì)"、"不等

式的解法”的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究.在不等式的證明和求最

值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點(diǎn)。同時(shí)本節(jié)知識(shí)又

滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維

品質(zhì)。

本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是對(duì)基本不等式的證明及應(yīng)用基本不等

式解決簡(jiǎn)單的最值問題。通過aW>2ab中a,b的替換得到基本不等

式，并進(jìn)行詳細(xì)的證明分析，讓學(xué)生經(jīng)歷基本不等式的產(chǎn)生過程；通

過對(duì)簡(jiǎn)單最值問題的處理，讓學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用條件，整個(gè)過程,

學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)從產(chǎn)生、理解到應(yīng)用的過程，學(xué)生會(huì)感到自然，好接受。

根據(jù)新課標(biāo)的要求，本節(jié)的重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本

不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過程，難點(diǎn)是用基本不

等式求最值。

《基本不等式》教材分析

人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章第4節(jié)《基本不等式:而W等》，

本節(jié)課重點(diǎn)探究了基本不等式的證明，并且將之應(yīng)用于具體實(shí)際問題,

是理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合的良好典范。下面我們來分析一下本節(jié)教

材。

一、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

(1)通過課題揭示重點(diǎn)。從課題可以很清楚的知道我們將要學(xué)

習(xí)的內(nèi)容以及重點(diǎn)，所有內(nèi)容都是圍繞這個(gè)基本不等式展開。

(2)實(shí)踐出真知。以一個(gè)實(shí)際問題來探究其中所蘊(yùn)涵的相等或

不等關(guān)系，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)所要求的培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神及數(shù)學(xué)應(yīng)用

的意識(shí)。通過探究，學(xué)生很容易得到結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，

b,我們有/+b222M,當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)，等號(hào)成立。

(3)代換與證明。通過代換思想，得到基本不等式而《等，

接著用分析法及數(shù)形結(jié)合法來證明基本不等式，體現(xiàn)了一題多解及證

明不等式的基本方法。這部分內(nèi)容簡(jiǎn)單，學(xué)生基本可獨(dú)立完成，對(duì)于

培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力有積極作用。

(4)課本提示概念。在正文旁邊有一個(gè)框圖，說明了算術(shù)平均

數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，由此可以總結(jié)出一條定理：一列正數(shù)的算術(shù)

平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)。這部分雖非重點(diǎn)，但對(duì)于拓展對(duì)基本

不等式的認(rèn)識(shí)是非常重要的，在教學(xué)中有必要提示一下。

(5)實(shí)例揭示應(yīng)用價(jià)值。通過兩個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了基本不等式在

求最值時(shí)的價(jià)值，更進(jìn)一步體現(xiàn)了"當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)，等號(hào)成立"這

一條件的重要性。學(xué)生可以從中體會(huì)到"積定和最小"及”和定積最

大"這兩條基本的解題思路。這兩個(gè)例題使數(shù)學(xué)與生活不再那么遙遠(yuǎn)。

對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)功不可沒。

(6)習(xí)題進(jìn)一步鞏固所學(xué)。共有四道習(xí)題，第一道強(qiáng)調(diào)了"當(dāng)

且僅當(dāng)“=4寸，等號(hào)成立"這一重要條件，是基本不等式的直接應(yīng)用，

難度較小；后面三道是基本不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)

與生活有著密切聯(lián)系這一基本數(shù)學(xué)觀。

二、地位與作用

《課標(biāo)》對(duì)于這一節(jié)的要求：一是探索并了解基本不等式的證明

過程；二是會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題。該教材內(nèi)

容很好的落實(shí)了這兩點(diǎn)要求。

在前面的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們已經(jīng)基本掌握了一些常見不等式及不等

式證明方法，本節(jié)內(nèi)容一定程度上是前面學(xué)習(xí)的運(yùn)用，也是后面系統(tǒng)

學(xué)習(xí)不等式證明的基礎(chǔ)。基本不等式在證明不等式的過程中是一個(gè)很

重要的橋梁，放縮法證明不等式會(huì)經(jīng)常用到基本不等式。另一方面,

基本不等式作為求極值的的一種方法，經(jīng)常運(yùn)用于實(shí)際問題，而且是

高考常考的知識(shí)點(diǎn)，通過基本不等式，常常可以將一些較為復(fù)雜的求

極值的問題化為簡(jiǎn)單問題，在化歸方法中起著重要的懲承接作用。

通過對(duì)這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以較為真切的體會(huì)到數(shù)形結(jié)合

法的神奇之處,也加強(qiáng)了數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一重要的數(shù)學(xué)觀。在學(xué)習(xí)過

程中，要用心體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，為以后抽象數(shù)學(xué)思想方法做好鋪墊

作用。

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握基本不等式及證明方法，會(huì)用基本

不等式求最值。

(2)過程與方法目標(biāo)：體會(huì)基本不等式應(yīng)用的條件(一正二定

三相等)；體會(huì)基本不等式求最值問題解題策略的建構(gòu)過程；體會(huì)數(shù)

形結(jié)合法的實(shí)際應(yīng)用。

(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過對(duì)基本不等式證明過程的探

索，強(qiáng)化學(xué)生的探索精神，加強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并且讓學(xué)生能夠體

會(huì)到一定的成就感，形成數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一積極正確的數(shù)學(xué)觀。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的證明方法以及基本不等式應(yīng)用的

條件。

(2)教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式求最值問題解題策略的建構(gòu)；數(shù)形

結(jié)合思想方法的實(shí)際運(yùn)用。

五、教學(xué)方式

本節(jié)課程難度不大，但地位卻很重要，鑒于這種情況，運(yùn)用探究

式教學(xué)方法較為合理。通過教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生逐步體會(huì)到數(shù)形

結(jié)合法的神奇，并能正確的證明基本不等式，解決實(shí)際問題，總結(jié)出

"一正二定三相等"這一基本條件。最后教師總結(jié)運(yùn)用基本不等式解

決問題策略的建構(gòu)。

學(xué)生在教師正確的指導(dǎo)下，能夠?qū)φn程內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和梳理，將

知識(shí)形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)體系，并且能夠運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)

際問題。

六、教學(xué)建議

(1)突出數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，

教師應(yīng)該經(jīng)常提醒同學(xué)們意識(shí)到正在使用或即將使用的數(shù)學(xué)思想方

法，在另一個(gè)高度去看待數(shù)學(xué)問題和解題過程。

(2)注重學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的過程

運(yùn)用探究式教學(xué)，要信任學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的能力，教師不

能急于揭示結(jié)果，要給學(xué)生足夠的發(fā)現(xiàn)時(shí)間和討論時(shí)間，讓學(xué)生體會(huì)

到發(fā)現(xiàn)知識(shí)的成就感，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在探索發(fā)現(xiàn)過程

中學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師應(yīng)給予高度重視，要有針對(duì)性的提出犯錯(cuò)的

原因及解決辦法。

(3)前后聯(lián)系，變式練習(xí)

在教學(xué)過程中，要聯(lián)系前后知識(shí)，運(yùn)用建構(gòu)主義認(rèn)識(shí)論指導(dǎo)教

學(xué)。要多多的進(jìn)行變式練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到萬變不離其宗的那個(gè)"宗"，

最后能夠總結(jié)出運(yùn)用不等式解決問題的基本方法。

評(píng)測(cè)練習(xí)：

4

1.（新教材必修第一冊(cè)P48T1改編）已知尤>2,則x+---的最小值是（）

x-2

A.2B.4C.2啦D.6

2.（新教材必修第一冊(cè)P45例1改編）若x<0,則x+%）

A.有最小值，且最小值為2

B.有最大值，且最大值為2

C.有最小值，且最小值為-2

D.有最大值，且最大值為-2

3.（多選題）下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

a+b.-

A.兩個(gè)不等式/+口沁此與丁2版成立的條件是相同的

B.函數(shù)y=x+《的最小值是2

4

C.函數(shù)八x）=sinx+而^的最小值為4

D.x>0且），>0是*+的充要條件

4.修填題）（舊教材必修5P100A2改編）一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻

的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m,則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為m,寬為m時(shí)菜園

面積最大.

5.（2020?卷）（11題多選題）已知a>0,b>0^.a+b=l,則（）

\.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2?+log2b>-2D.y[a+4b<V2

6.（2020?卷）（20題節(jié)選）cos6=、.Ji+2”嗎.,m>0,求cos。的最大值為

3Vw+1

7.（2020.卷）（21題節(jié)選）x0>0,求/（/）=l+與+1!1。+1的最小值為.

X。

11Q

8.（2020?天津卷）已知〃>0,〃>0且a/?=1,則--1---1----的最小值為______-

2a2ba+b

9.（2020?江蘇卷）已知5%2y2+y4=1（x,ywR）,貝ljF+y?的最小值為.

（x+1）（2y+1）

10.（2019?天津卷）設(shè)x>0,y>0,%+2y=4,則-------------的最小值為

孫

11.（2018?天津卷）已知a*eR，且a-3匕+6=0，則2。+$的最小值為.

12.（2018?江蘇卷）在AABC中角A,8，。所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,

ZA3C的平分線交AC于點(diǎn)。，且30=1,則4a+c的最小值為.

課后反思

高三復(fù)習(xí)課，特別是學(xué)生程度不高，基礎(chǔ)比較弱，上完這堂課后反思如下：

1、關(guān)愛學(xué)生，激起學(xué)習(xí)激情。我知道熱愛學(xué)生，走近學(xué)生，哪怕是一句簡(jiǎn)單的

鼓勵(lì)的話，都能激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而激活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維。

2、強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的記憶，掌握基本不等式，并熟悉用法及限制條件。

3、提高課堂45分鐘效率。課前認(rèn)真?zhèn)湔n，把可能遇見的情況逐一解決，并時(shí)常

練一些題同時(shí)歸納近幾年高考的主要題型和所有的知識(shí)點(diǎn)。在課堂上我盡量把一

些解題的主要思想方法和基本技巧，比如配湊法求最值、常數(shù)代換法求最值、消

元法求最值、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，選擇題中的直

接法，排除法，特殊值法，極