一題一課半角模型滿分技法【活動(dòng)目的】運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)探究半角模型的特點(diǎn)及相關(guān)結(jié)論．活動(dòng)一：正方形含半角【分析圖形】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，連接EF.圖①滿分技法【提出問題】請(qǐng)證明以下結(jié)論是否成立：EF＝BE＋DF.【解決問題】【方法一】補(bǔ)短法證明：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使得DG＝BE，圖①G∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，滿分技法

∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAF＝∠FAG，在△AFE和△AFG中，圖①G∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.圖①G滿分技法補(bǔ)短法的輔助線作法：找出相等的兩條線段所在的兩個(gè)直角三角形，延長(zhǎng)其中一個(gè)直角三角形較短的直角邊，使其等于另一個(gè)直角三角形較短的直角邊的長(zhǎng)度、連接公共端點(diǎn)即延長(zhǎng)后的端點(diǎn)．【方法二】旋轉(zhuǎn)法證明：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，使AD與AB重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ADF≌△ABG，G圖①∴DF＝BG，AF＝AG，∠GAB＝∠FAD，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，∴在△AFE和△AGE中，∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG，∵EG＝BG＋BE，∴EF＝BE＋DF.G圖①滿分技法旋轉(zhuǎn)法的輔助線作法：以公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，相等的兩條線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)某一直角三角形，使相等的兩直角邊重合．活動(dòng)二：等腰直角三角形含半角【類比探究】如圖②，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，且∠DAE＝45°.圖②【提出問題】請(qǐng)證明以下結(jié)論是否成立：①DE2＝BD2＋CE2；②△ABE∽△DAE∽△ACD.【解決問題】【方法一】旋轉(zhuǎn)法證明：如解圖③，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACF，使AB與AC重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△BAD≌△CAF，∴∠BAD＝∠CAF，AD＝AF，CF＝BD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，解圖③∴∠BAD＋∠EAC＝45°，∴∠EAF＝∠EAD＝45°，在△AEF和△AED中，

∴△AEF≌△AED(SAS)，∴EF＝ED，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ACF＝45°，解圖③∴∠ECF＝90°，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理可得，EF2＝EC2＋CF2，∴DE2＝BD2＋EC2，∴結(jié)論①成立；∵∠B＝∠ACB＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋∠CAE，∵∠BAE＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝45°＋∠CAE，解圖③∴∠AEB＝∠ADC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∴△ABE≌△ACD.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∴∠ADC＝∠BAE，則△DAE∽△ABE，∴△ABE∽△ACD∽△DAE，∴結(jié)論②成立；∴結(jié)論①②均成立．解圖③【方法二】翻折法證明：如解圖④，∵∠BAD＋∠CAE＝90°－∠DAE＝45°，AB＝AC，∴將△ABD和△AEC分別沿AD、AE翻折后，AB、AC翻折后重合在AG上，∴BD＝DG，CE＝GE，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠AGD＝∠AGE＝45°，∴∠DGE＝90°，∴DG2＋GE2＝DE2，解圖④∴DE2＝BD2＋CE2.∴結(jié)論①成立；∵∠B＝∠C＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠C＋∠CAE＝45°＋∠CAE，∵∠BAE＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝45°＋∠CAE，∴∠AEB＝∠BAE＝∠CAD＝∠ADC，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD，解圖④∴△ABE∽△ACD∽△DAE，∴結(jié)論②成立；∴結(jié)論①②均成立．解圖④滿分技法翻折法的思路：將等腰直角三角形的兩腰分別沿45°角的兩邊折疊，使兩直角邊重合，兩底角構(gòu)直角．活動(dòng)三：含120°角的菱形中含半角【分析圖形】如圖③，已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF＝60°，連接AE、AF.圖③解：結(jié)論：△AEF是等邊三角形．證明：如圖，連接AC，四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠BAD＝120°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°，∴∠EAC＋∠CAF＝60°，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∴∠CAF＝∠BAE，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等邊三角形．圖③【提出問題】請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)1和活動(dòng)2中的探究過程及結(jié)論，試判斷活動(dòng)3中能得到哪些結(jié)論，并寫出證明過程．【解決問題】對(duì)接中考1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上，若∠EBF＝45°，則△EDF的周長(zhǎng)等于________．第1題圖42.如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝4，DE＝5，求CE的長(zhǎng)度．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.如解圖，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ACD′，使AB與AC重合，連接ED′第2題圖D′則CD′＝BD＝4，∠CAD′＝∠BAD，AD′＝AD，∠ACD′＝∠B＝45°，∴∠DAD′＝∠BAC＝90°.∵∠DAE＝45°，∴∠D′AE＝90°－45°＝45°