特訓01期中解答壓軸題（第16-18章）一、解答題1．閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個等式；(2)計算的值；(3)請求出的運算結果．2．如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數）是“差1方程”，求m的值；(3)若關于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差1方程”，設t＝10a﹣b2，求t的最大值．3．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點（3，2）的“橫負縱變點”為（3，2），點（﹣2，5）的“橫負縱變點”為（﹣2，﹣5）．請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點的“橫負縱變點”為______，點的“橫負縱變點”為______；(2)化簡：；(3)已知a為常數（1≤a≤2），點M（，m）且，點是點M的“橫負縱變點”，求點'的坐標．4．閱讀下列材料：在解一元二次方程時，無論是用直接開平方法、配方法還是用因式分解法，我們都是將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通過因式分解把它轉化為，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解無理方程（根號下含有未知數的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉化為，解得．（1）解下列方程：①②（2）根據材料給你的啟示，求函數的最小值．5．如果方程滿足兩個實數解都為正整數解，我們就稱所有這樣的一元二次方程為同族方程，并規定：滿足．例如有正整數解3和4，所以屬于同族方程，所以(1)如果同族方程中有兩個相同的解，我們稱這個方程為同族方程中的完美方程，求證：對任意一個完美方程，總有(2)如果同族方程中的實數q滿足如下條件：①為一個兩位正整數，y為自然數②交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得差為54，那么我們稱這樣為同族方程中和諧方程，求所有和諧方程中的G的最小值．6．閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛應用．例如：①我們可以將代數式a2+6a+10進行變形，其過程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，該式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0將其變形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，將代數式x2+8x+20變形為a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，試判斷此三角形的形狀并說明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接寫出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．7．對于代數式ax2+bx+c，若存在實數n，當x＝n時，代數式的值也等于n，則稱n為這個代數式的不變值．例如：對于代數式x2，當x＝0時，代數式等于0；當x＝1時，代數式等于1，我們就稱0和1都是這個代數式的不變值．在代數式存在不變值時，該代數式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當代數式只有一個不變值時，則A＝0．（1）代數式x2﹣2的不變值是，A＝．（2）說明代數式3x2+1沒有不變值；（3）已知代數式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．8．我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例：已知可取任何實數，試求二次三項式最小值．解：無論取何實數，總有．，即的最小值是．即無論取何實數，的值總是不小于的實數．問題：（1）已知，求證是正數．知識遷移：（2）如圖，在中，，，，點在邊上，從點向點以的速度移動，點在邊上以的速度從點向點移動．若點，同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設的面積為，運動時間為秒，求的最大值．9．閱讀下列三份材料：材料1：我們定義：在分式中對于只含有一個字母的分式當分子的次數大于或等于分母的次數時我們稱之為“假分式”：當分子的次數小于分母的次數時我們稱之為“真分式”如，這樣的分式就是假分式；再如，這樣的分式就是真分式；類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；材料2：在學了乘法公式“”的應用后，王老師提出問題：求代數式的最小值．要求同學們運用所學知識進行解答．同學們經過探索、交流和討論，最后總結出如下解答方法：解：，∵，∴．當時，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果兩個正數a，b，即，，則有下面的不等式：，當且僅當a=b時取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，則由，得，當且僅當時，即x=2時，式子有最小值，最小值為4．請你根據上述材料，解答下列各題：(1)已知，填空：①把假分式化為帶分式的形式是________；②式子的最小值為________；③式子的最小值為________；(2)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(3)已知，分別求出分式和的最值．（若有最大值，則求最大值，若有最小值，則求最小值）．10．如果記，并且表示當時的值，即；表示當時的值，即；表示當時的值，即；…（1）計算下列各式的值：__________.__________.（2）當為正整數時，猜想的結果并說明理由；（3）求的值.11．我國南宋時期有個著名的數學家秦九韶提出了一個利用三角形的三邊求三角形的面積的公式，若三角形三邊為，則此三角形的面積為：同樣古希臘有個幾何學家海倫也提出了一個三角形面積公式：其中（1）在中，若，，，用其中一個公式求的面積．（2）請證明：12．如圖，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為（其中），射線與反比例函數的圖像交于點，點、分別在函數的圖像上，且軸，軸．（1）當點的橫坐標為6時，求直線的表達式；（2）聯結，當時，求點的坐標；（3）聯結、，求的值．13．已知在平面直角坐標中，點在第一象限內，且，反比例函數的圖像經過點，（1）當點的坐標為時（如圖），求這個反比例函數的解析式；（2）當點在反比例函數的圖像上，且在點的右側時（如圖2），用含字母的代數式表示點的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．14．已知正反比例函數的圖像交于、兩點，過第二象限的點作軸，點的橫坐標為，且，點在第四象限（1）求這兩個函數解析式；（2）求這兩個函數圖像的交點坐標；（3）若點在坐標軸上，聯結、，寫出當時的點坐標15．如圖，直線與雙曲線交于A點，且點A的橫坐標是4．雙曲線上有一動點C（m，n）,.過點A作軸垂線，垂足為B，過點C作軸垂線，垂足為D，聯結OC．（1）求的值；（2）設的重合部分的面積為S，求S與m的函數關系；（3）聯結AC，當第（2）問中S的值為1時，求的面積．16．如圖，在平面直角坐標系中，，軸于點，點在反比例函數的圖像上．（1）求反比例函數的表達式；（2）求面積；（3）在坐標軸上是否存在一點，使得以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，簡述你的理由．17．如圖已知正比例函數圖像經過點A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函數的解析式.（2）求m的值及A、B兩點之間的距離。（3）分別過點A與點B作y軸的平行線，與反比例函數在第一象限內的分支分別交于點C、D（點C、D均在點A、B下方），若BD=5AC.求反比例函數的解析式，并求出四邊形ACDB的面積。18．已知反比例函數的圖像與的圖像交于點A、B，A點的坐標是（，-2）（1）求反比例函數解析式；（2）求點B的坐標；（3）在y軸上是否存在點C，使得△ABC的面積是6，若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由。19．如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點，且為雙曲線上的一點，為坐標平面上一動點，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、.（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式.（2）當點在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點，使得與的面積相等？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.20．如圖，是反比例函數在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作軸，截取在A右側，連接OB，交反比例函數的圖象于點P．（1）求反比例函數的表達式；（2）求點B的坐標及OB所在直線解析式；（3）求的面積．21．周末，小麗騎自行車從家出發到野外郊游，從家出發0.5小時到達甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地，小麗離家1小時20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，行駛10分鐘時，恰好經過甲地，如圖是她們距乙地的路程y(km)與小麗離家時間x(h)的函數圖象．（1）小麗騎車的速度為_______km/h，在甲地游玩了_______小時；（2）求小麗游玩一段時間后前往乙地的過程中y與x的函數關系；（3）小麗從家出發多少小時后被媽媽追上?此時距家的路程多遠．22．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）動點M從A出發，以每秒1個單位的速度沿路線A→B→C→D運動到點D停止．設運動時間為a，△AMD的面積為S，S關于a的函數圖象如圖②所示，求AD、CD的長．（2）如圖③，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿路線A→D→C運動到點C停止．同時，動點Q從點C出發，以每秒5個單位的速度沿路線C→D→A運動到點A停止．設運動時間為t，當Q點運動到AD邊上時，連接CP、CQ、PQ，當△CPQ的面積為8時，求t的值．23．點為平面直角坐標系的原點，點、在反比例函數的圖象上，點、在反比例函數的圖象上，且．（1）若點的坐標為，點恰好為的中點，過點作軸于點，交的圖象于點．①請求出、的值；②試求的面積．（2）若軸，，與間的距離為6，試說明的值是否為某一固定值？如果是定值，試求出這個定值；若不是定值，請說明理由．24．（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：_________，_________，_________（2）由（1）中各式猜想：對于任意正實數a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并說明理由；（3）結論應用：若a＞0，則當a＝_________時，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值為_________；（4）問題解決：如圖，已知點A在反比例函數的圖像上，點B在反比例函數的圖像上，且AB∥x軸，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C．四邊形ABCD的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并寫出此時點A的坐標；若不存在，說明理由25．背景：點A在反比例函數的圖象上，軸于點B，軸于點C，分別在射線上取點D，E，使得四邊形為正方形．如圖1，點A在第一象限內，當時，小李測得．探究：通過改變點A的位置，小李發現點D，A的橫坐標之間存在函數關系．請有助小李解決下列問題．(1)求k的值．(2)設點A，D的橫坐標分別為x，z，將z關于x的函數稱為“Z函數”．如圖2，小李畫出了時“Z函數”的圖象．①求這個“Z函數”的表達式．②補畫時“Z函數”的圖象，并寫出這個函數的性質（兩條即可）．26．“卓越數學興趣小組”準備對函數圖像和性質進行探究，他們制定了以下探究步驟：(1)該小組認為此函數與反比例函數有關，于是他們首先畫出了反比例函數y＝的圖像（如圖1），然后畫出了的圖像，請在圖1中畫出此圖像（草圖）．(2)他們發現函數圖像可以由y＝的圖像平移得到，請寫出平移過程．(3)他們發現可以根據函數圖像畫出函數的圖像，請在圖2中畫出此圖像（草圖），并寫出其中的兩條函數性質．(4)他們研究后發現，方程中，隨著a的變化，方程的解的個數也會有所變化，請結合圖像，就a的取值范圍討論方程解的情況．特訓01期中解答壓軸題（第16-18章）一、解答題1．閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個等式；(2)計算的值；(3)請求出的運算結果．答案:(1)(2)(3)分析：（1）直接根據前面的等式，仿寫出下一個等式即可；（2）先分母有理化，然后合并同類二次根式即可；（3）先分母有理化，然后合并同類二次根式，再利用平方差公式計算即可．（1）解：（2）解：．（3）解：【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算、分母有理化、平方差公式等知識點，在處理二次根式混合運算時，先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．2．如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數）是“差1方程”，求m的值；(3)若關于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數，a＞0）是“差1方程”，設t＝10a﹣b2，求t的最大值．答案:(1)①不是“差1方程”，理由見解析；②是“差1方程”，理由見解析(2)或(3)時，的最大值為9分析：（1）根據解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根據新定義列出的方程，注意有兩種情況；（3）根據新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關系式，再由，得與的關系，從而得出最后結果．（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；（2）解：方程得：，或，方程是常數）是“差1方程”，或，或；（3）解：由題可得：∴解方程得，關于的方程、是常數，是“差1方程”，，，，，，時，的最大值為9．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義，本題屬于中等題型．3．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點（3，2）的“橫負縱變點”為（3，2），點（﹣2，5）的“橫負縱變點”為（﹣2，﹣5）．請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點的“橫負縱變點”為______，點的“橫負縱變點”為______；(2)化簡：；(3)已知a為常數（1≤a≤2），點M（，m）且，點是點M的“橫負縱變點”，求點'的坐標．答案:(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）分析：（1）根據“橫負縱變點”的定義，，即可；（2）根據材料一，雙重二次根式的化簡，將化為，再根據，即可化簡；（3）根據，得；將化簡得；根據，得，求出的值，求出的坐標，根據橫負縱變點”的定義，，即可求出的坐標．（1）∵∴點（，）的“橫負縱變點”為（，）∵∴點（，）的“橫負縱變點”為（，）故答案為：（，）；（，）．（2）∴化簡得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴點（，）∵∴（，）故的坐標為：（，）．【點睛】本題考查了二次根式的加減，新定義等知識，解題的關鍵是理解新定義公式，化簡最簡二次根式．4．閱讀下列材料：在解一元二次方程時，無論是用直接開平方法、配方法還是用因式分解法，我們都是將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通過因式分解把它轉化為，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解無理方程（根號下含有未知數的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉化為，解得．（1）解下列方程：①②（2）根據材料給你的啟示，求函數的最小值．答案:（1）①，，；②；（2）分析：（1）①結合題意，首先提取公因式，再結合因式分解法求解，即可得到答案②方程兩邊平方把它轉化為，再通過因式分解法求解一元二次方程，結合二次根式的取值范圍分析，即可得到答案；（2）首先將原函數轉化成關于x的一元二次方程，分和兩種情況，當時，根據一元二次方程判別式的性質計算，即可得到y的取值范圍；當時，結合一元一次方程的性質分析，即可得到答案．解析：（1）①∵∴∴，，②∵∴，即∴∴，∵∴∵∴∴（舍去）∴的解為：（2）將原函數轉化成關于x的一元二次方程，得，當時，∵x為實數

∴

∴且；當時，得：，方程有解（x的值存在）；∴∴．【點睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的知識，從而完成求解．5．如果方程滿足兩個實數解都為正整數解，我們就稱所有這樣的一元二次方程為同族方程，并規定：滿足．例如有正整數解3和4，所以屬于同族方程，所以(1)如果同族方程中有兩個相同的解，我們稱這個方程為同族方程中的完美方程，求證：對任意一個完美方程，總有(2)如果同族方程中的實數q滿足如下條件：①為一個兩位正整數，y為自然數②交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得差為54，那么我們稱這樣為同族方程中和諧方程，求所有和諧方程中的G的最小值．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據一元二次方程根的判別式求得，再代入即可得證；（2）先根據題意列出關于x，y的二元一次方程，從而得到，結合已知求得q的值，從而得到三個方程，再結合和諧方程及同族方程的定義得到p的值，最后再求得各方程中G的值，即可求得答案．(1)證明：同族方程中有兩個相同的解，，，，，；(2)據題得，，，，，，，或28或17，可得三個方程，，，由和諧方程定義可得的解為或39；或13，此時或；方程的解為或；或；或，此時或或；方程的解為或17，此時；則和諧方程中G的最小值為

方程中G的最小值為

中G的值為

，的最小值為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式的運用，二元一次方程應用，解題的關鍵是熟練掌握相應知識點，靈活運用．6．閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛應用．例如：①我們可以將代數式a2+6a+10進行變形，其過程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，該式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0將其變形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，將代數式x2+8x+20變形為a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，試判斷此三角形的形狀并說明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接寫出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．答案:(1)；(2)6；（3）等邊三角形；（4）3分析：（1）根據材料步驟配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成幾個平方的和為0的形式即可解題；（4）擴大兩倍后平方即可.解析：(1)x2+8x+2=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20-16=(2)p=-x2+2x+5=∵(x-1)2≥0∴因此，該式有最大值6(3)∴∴∴三角形是等邊三角形(4)原式∵a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1∴原式=3【點睛】本題考查完全平方公式的運用，熟讀閱讀材料并理解運用是解題的關鍵.7．對于代數式ax2+bx+c，若存在實數n，當x＝n時，代數式的值也等于n，則稱n為這個代數式的不變值．例如：對于代數式x2，當x＝0時，代數式等于0；當x＝1時，代數式等于1，我們就稱0和1都是這個代數式的不變值．在代數式存在不變值時，該代數式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當代數式只有一個不變值時，則A＝0．（1）代數式x2﹣2的不變值是，A＝．（2）說明代數式3x2+1沒有不變值；（3）已知代數式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．答案:（1）﹣1和2；3；（2）見解析；（3）﹣3或1分析：（1）根據不變值的定義可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系數結合根的判別式可得出方程3x2﹣x+1＝0沒有實數根，進而可得出代數式3x2+1沒有不變值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個相等的實數根，進而可得出△＝0，解之即可得出結論．解析：解：（1）依題意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案為﹣1和2；3．（2）依題意，得：3x2+1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴該方程無解，即代數式3x2+1沒有不變值．（3）依題意，得：方程x2﹣bx+1=x即x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個相等的實數根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值為﹣3或1．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及根的判別式，根據不變值的定義，求出一元二次方程的解是解題的關鍵．8．我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例：已知可取任何實數，試求二次三項式最小值．解：無論取何實數，總有．，即的最小值是．即無論取何實數，的值總是不小于的實數．問題：（1）已知，求證是正數．知識遷移：（2）如圖，在中，，，，點在邊上，從點向點以的速度移動，點在邊上以的速度從點向點移動．若點，同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設的面積為，運動時間為秒，求的最大值．答案:（1）見解析;（2）當時，有最大值分析：（1）根據題意對進行配方，即可求出最值；（2）先求，再根據題意進行配方即可求得最值．解析：（1）證明：．．．．是正數．（2）解：由題意得：，，．．．．又∵當時，有最大值．【點睛】本題考查利用配方法求最值，正確進行配方是求解本題的關鍵．9．閱讀下列三份材料：材料1：我們定義：在分式中對于只含有一個字母的分式當分子的次數大于或等于分母的次數時我們稱之為“假分式”：當分子的次數小于分母的次數時我們稱之為“真分式”如，這樣的分式就是假分式；再如，這樣的分式就是真分式；類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；材料2：在學了乘法公式“”的應用后，王老師提出問題：求代數式的最小值．要求同學們運用所學知識進行解答．同學們經過探索、交流和討論，最后總結出如下解答方法：解：，∵，∴．當時，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果兩個正數a，b，即，，則有下面的不等式：，當且僅當a=b時取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，則由，得，當且僅當時，即x=2時，式子有最小值，最小值為4．請你根據上述材料，解答下列各題：(1)已知，填空：①把假分式化為帶分式的形式是________；②式子的最小值為________；③式子的最小值為________；(2)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(3)已知，分別求出分式和的最值．（若有最大值，則求最大值，若有最小值，則求最小值）．答案:(1)①；②；③24(2)當長為8，寬為4時，所用籬笆最短16米；(3)有最小值，有最小值分析：（1）①根據已知材料1，將分子改寫成x+2-3，進一步計算即可；②根據材料2，將原式化成完全平方式加常數的形式，即可可到答案；③根據材料3，將原式進行改寫，即可得到答案；（2）首先設長方形的長為x，然后根據材料3進行計算即可得到答案；（3）根據材料1和材料3，將原式改寫，然后使用不等式的性質進行計算即可得到答案；（1）①解：；故答案為；②解：，∵，∴，∴當x=-4時，原式的最小值為-1；故答案為-1；③解：∵，設，則：，∴，∴，當僅當時，即x=3時取等號，∴當x=3時，原式的最小值為24；故答案為24；（2）設長為x，寬為y．則xy=32，欲使x+2y最小，∵x＞0，y＞0，∴，當且僅當x=2y時取得等號，由，解得，x=8，y=4，即長為8，寬為4時，所用籬笆最短．最短籬琶為16米．（3）解：，∵，∴，當僅當時取等號，∴，∴，故當時，有最小值；===，∵∴，當且僅當時，即x=2時取等號，∴∴∴∴故當x=2時，有最小值．【點睛】本題是材料題，考查學生對所給材料的理解分析能力，涉及分式的加減、二次根式的乘法、不等式的性質、完全平方公式、利用平方根解方程等知識，熟練運用已知材料和所學知識，認真審題，仔細計算，并注意解題過程中需注意的事項是本題的解題關鍵．10．如果記，并且表示當時的值，即；表示當時的值，即；表示當時的值，即；…（1）計算下列各式的值：__________.__________.（2）當為正整數時，猜想的結果并說明理由；（3）求的值.答案:（1）1；1（2）結果為1，證明過程見詳解（3）分析：（1）根據題目定義的運算方式代數計算即可.（2）根據第（1）題的計算結果總結規律，并加以證明.（3）運用第（2）題的運算規律和加法結合律進行將式子中每一項適當分組，再進行計算.解析：解：（1）；.（2）猜想的結果為1.證明：（3）【點睛】本題以定義新運算的形式考查了二次根式的綜合計算，遵循新運算的方式，熟練掌握二次根式的計算是解答關鍵.11．我國南宋時期有個著名的數學家秦九韶提出了一個利用三角形的三邊求三角形的面積的公式，若三角形三邊為，則此三角形的面積為：同樣古希臘有個幾何學家海倫也提出了一個三角形面積公式：其中（1）在中，若，，，用其中一個公式求的面積．（2）請證明：答案:（1）；（2）證明見解析分析：（1）將，，代入中計算即可；（2）對和分別平方，再進行整理化簡得出，即可得出．解析：解：（1）將，，代入得：（2）===∵，∴==∴∵，，∴．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關鍵是理解題中給出的公式，靈活運用二次根式的運算性質進行運算．12．如圖，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為（其中），射線與反比例函數的圖像交于點，點、分別在函數的圖像上，且軸，軸．（1）當點的橫坐標為6時，求直線的表達式；（2）聯結，當時，求點的坐標；（3）聯結、，求的值．答案:（1）；（2）；（3）1分析：（1）根據自變量的值，可得函數值，根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據函數值，可得自變量的值，根據勾股定理，可得OB長，根據AB=OB，可得點A坐標；（3）聯立函數解析式，可得方程組，根據解方程組，可得點P坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得點B和點C坐標，根據三角形面積公式，可得答案．解析：（1）解：當時，，∴，設直線AO的解析式為，代入得，∴直線AO的解析式為；（2）由軸，得點B橫坐標是4，當時，，∴，，∵，∴，得，∴；（3）直線AO的解析式為，聯立，得，解得，∴，如圖，作，，當時，，即，當時，，即，，，，，∴，，∴．【點睛】本題考查反比例函數綜合題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式的方法，根據三角形面積求點坐標的方法，以及利用點坐標表示三角形面積的方法，需要熟練掌握數形結合的思想．13．已知在平面直角坐標中，點在第一象限內，且，反比例函數的圖像經過點，（1）當點的坐標為時（如圖），求這個反比例函數的解析式；（2）當點在反比例函數的圖像上，且在點的右側時（如圖2），用含字母的代數式表示點的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．答案:（1）（2）（3）分析：（1）過A作AC⊥OB，根據三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，確定出A坐標，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對應邊相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，進而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標乘積相等，列出關系式，變形后即可求出的值．解析：解：（1）如圖1，過A作AC⊥OB，交x軸于點C，∵OA=AB，∠OAB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC=OB=3，∴A（3，3），將x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，則反比例解析式為y=；（2）如圖2，過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=n，OE=AD=m，∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，則B（m+n，n-m）；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn=（m+n）（n-m），整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，這里a=1，b=1，c=-1，∵△=1+4=5，∴=，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，則=．【點睛】本題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，等腰直角三角形的性質，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數的性質是解本題的關鍵．14．已知正反比例函數的圖像交于、兩點，過第二象限的點作軸，點的橫坐標為，且，點在第四象限（1）求這兩個函數解析式；（2）求這兩個函數圖像的交點坐標；（3）若點在坐標軸上，聯結、，寫出當時的點坐標答案:（1）y=-，y=（2）A（-2，3），B（2，-3）（3）（2，0）或（-2，0）或（0，3）或（0，-3）分析：（1）先根據題意得出，再結合知，再利用待定系數法求解可得；（2）聯立正反比例函數解析式得到方程組，解之即可得交點坐標；（3）由“點在坐標軸上”分點在軸上和軸上兩種情況，根據利用割補法求解可得．解析：解：（1）如圖，∵點的橫坐標為-2，且軸，∴，∵，∴，則點，將代入得：，則正比例函數的解析式為；將代入得：，則反比例函數的解析式為；（2）∵∴得：或，∵點在第四象限，∴點坐標為，故答案為.（3）若在軸上，設，∵∴，解得：或，∴點的坐標為或；若在軸上，設，∵∴，解得：或，∴點的坐標為或；綜上，點的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式及割補法求三角形的面積、分類討論思想的運用等.15．如圖，直線與雙曲線交于A點，且點A的橫坐標是4．雙曲線上有一動點C（m，n）,.過點A作軸垂線，垂足為B，過點C作軸垂線，垂足為D，聯結OC．（1）求的值；（2）設的重合部分的面積為S，求S與m的函數關系；（3）聯結AC，當第（2）問中S的值為1時，求的面積．答案:（1）；（2）；（3）.分析：（1）由題意列出關于k的方程，求出k的值，即可解決問題．（2）借助函數解析式，運用字母m表示DE、OD的長度，即可解決問題．（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面積；求出梯形ABDC的面積，即可解決問題．解析：（1）設A點的坐標為（4，）；由題意得：，解得：k=8，即k的值為8．（2）如圖，設C點的坐標為C（m，n）．則n=m，即DE=m；而OD=m，∴S=OD?DE=m×m=m2，即S關于m的函數解析式是S=m2．（3）當S=1時，m2=1，解得m=2或-2（舍去），∵點C在函數y=的圖象上，∴CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；∴S梯形ABDC＝(4+2)×2=6，S△AOB＝×4×2＝4，S△COD＝×2×4=4；∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．【點睛】該題主要考查了一次函數與反比例函數圖象的交點問題；解題的關鍵是數形結合，靈活運用方程、函數等知識來分析、判斷、求解或證明．16．如圖，在平面直角坐標系中，，軸于點，點在反比例函數的圖像上．（1）求反比例函數的表達式；（2）求面積；（3）在坐標軸上是否存在一點，使得以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，簡述你的理由．答案:（1）（2）（3）存在，點P的坐標為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，?6）或（0，?2）．分析：（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出反比例函數的表達式；（2）由點A的坐標可得出OC，AC的長，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，進而可得出∠AOC＝30°，結合三角形內角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所對的直角邊為斜邊的一半可求出AB的長，再利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；（3）根據勾股定理可求出OB的長，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質可求出點P的坐標，此題得解．解析：（1）把代入反比例函數，得：，所以反比例函數的表達式為；（2），軸于，，，，，∴∠OAC＝60°，，，，，；（3）存在，在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，∴OB＝，分三種情況考慮：①當OP＝OB時，如圖2所示，∵OB＝，∴OP＝，∴點P的坐標為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；②當BP＝BO時，如圖3，當點P在y軸上時，過點B做BD⊥y軸于點D，則OD＝BC＝AB?AC＝3，∵BP＝BO，∴OP＝2OD＝6，∴點P的坐標為（0，?6）；當點P在x軸上時，∵BP＝BO，∴OP＝2OC＝，∴點P的坐標為（，0）；③當PO＝PB時，如圖4所示．若點P在x軸上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∴OP＝OB＝，∴點P的坐標為（，0）；若點P在y軸上，設OP＝a，則PD＝3?a，∵PO＝PB，∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3?a）2＋3，解得：a＝2，∴點P的坐標為（0，?2），綜上所述：在坐標軸上存在一點P，使得以O、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，?6）或（0，?2）．【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式、勾股定理、三角形的面積公式以及等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出反比例函數的關系式；（2）利用直角三角形的性質，求出AB的長；（3）分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質求出點P的坐標．17．如圖已知正比例函數圖像經過點A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函數的解析式.（2）求m的值及A、B兩點之間的距離。（3）分別過點A與點B作y軸的平行線，與反比例函數在第一象限內的分支分別交于點C、D（點C、D均在點A、B下方），若BD=5AC.求反比例函數的解析式，并求出四邊形ACDB的面積。答案:（1）y=x；（2）m=4；；（3）；四邊形ACDB的面積為6.分析：（1）設正比例函數的解析式為：y=kx（k≠0），然后將點A的坐標代入即可求出正比例函數的解析式；（2）將B點坐標代入正比例函數解析式中即可求出m，然后根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式，即可求出AB；（3）設反比例函數的解析式為：（a≠0），根據AC∥BD∥y軸，即可求出C、D的橫坐標，根據反比例函數的解析式即可用a表示出C、D的縱坐標，從而求出BD和AC，然后列出方程即可求出a的值，從而求出反比例函數的解析式，然后根據梯形面積公式計算面積即可.解析：解：（1）設正比例函數的解析式為：y=kx（k≠0）將點A(2，3）代入，得：3=2k解得：故正比例函數的解析式為：y=x；（2）將B點（m，6）代入y=x中，得：6=m解得：m=4根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式：AB=；（3）設反比例函數的解析式為：（a≠0）∵AC∥BD∥y軸∴A、C的橫坐標相同，即點C的橫坐標為:2,B、D的橫坐標相同，即點D的橫坐標為:4,∴點C的縱坐標為，點D的縱坐標為∴AC=3－，BD=6－∵BD=5AC∴6－=5（3－）解得：a=4∴反比例函數的解析式為：.過點C作CE⊥BD于E∴AC=1，BD=5，CE=4－2=2∴S梯形ACDB==6.【點睛】此題考查的是正、反比例函數的綜合應用，掌握用待定系數法求函數解析式、平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式和方程思想求參數值是解決此題的關鍵.18．已知反比例函數的圖像與的圖像交于點A、B，A點的坐標是（，-2）（1）求反比例函數解析式；（2）求點B的坐標；（3）在y軸上是否存在點C，使得△ABC的面積是6，若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由。答案:（1）；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6）分析：（1）將點A坐標代入中，求a的值，然后用待定系數法求反比例函數解析式；（2）根據正比例函數和反比例函數關于原點對稱的性質求點B的坐標；（3）設點C的坐標為（0，y），數形結合，根據三角形面積公式列方程求解.解析：解：（1）把A點的坐標（，-2）代入中解得：a=1∴A點的坐標是（1，-2）設反比例函數解析式為：將A點的坐標（1，-2）代入中∴反比例函數的解析式為：（2）∵正比例函數和反比例函數關于原點對稱且它們的圖像交于點A、B∴點A、B關于原點對稱∴B點坐標為：（-1，2）（3）存在，設點C的坐標為（0，y），連接AC，BC∴∴點C的坐標為（0,6）或（0，-6）【點睛】本題考查反比例函數和正比例函數的性質，待定系數法求函數解析式，數形結合思想解題是本題的解題關鍵.19．如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點，且為雙曲線上的一點，為坐標平面上一動點，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、.（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式.（2）當點在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點，使得與的面積相等？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.答案:（1）正比例函數的解析式為，反比例函數的解析式為；（2）在直線上存在這樣的點或，使得與面積相等.分析：（1）用待定系數法進行求解，即可得到正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，x）．根據三角形的面積公式列出關于x的方程，解方程即可．解析：（1）設反比例函數的解析式為，正比例函數的解析式為.∵正比例函數和反比例函數的圖像都經過點，∴，.∴，.∴正比例函數的解析式為，反比例函數的解析式為.（2）當點在直線上運動時，假設在直線上存在這一的點，使得與面積相等，則.∵，∴，解得.當時，.當時，.故在直線上存在這樣的點或，使得與面積相等.【點睛】本題考查正比例函數和反比例函數綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數法求解.20．如圖，是反比例函數在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作軸，截取在A右側，連接OB，交反比例函數的圖象于點P．（1）求反比例函數的表達式；（2）求點B的坐標及OB所在直線解析式；（3）求的面積．答案:（1）

（2）（9，3）；

（3）5分析：（1）直接代入A點坐標課的k的值，進而可得函數解析式；（2）過點A作AC⊥x軸于點C，利用勾股定理計算出AO的長，進而可得AB長，然后可得B點坐標．設OB所在直線解析式為y=mx（m≠0）利用待定系數法可求出BO的解析式；（3）首先聯立兩個函數解析式，求出P點坐標，過點P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點E，連接AP，再確定E點坐標，最后求面積即可．解析：解：將點代入，得：，則反比例函數解析式為：；如圖，過點A作軸于點C，則、，，軸，且，點B的坐標為；設OB所在直線解析式為，將點代入得，所在直線解析式為；聯立解析式：，解得：可得點P坐標為，過點P作軸，延長DP交AB于點E，連接AP，則點E坐標為，，，，則的面積．【點睛】此題主要考查了待定系數法求反比例函數和正比例函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點，必能滿足解析式．21．周末，小麗騎自行車從家出發到野外郊游，從家出發0.5小時到達甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地，小麗離家1小時20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，行駛10分鐘時，恰好經過甲地，如圖是她們距乙地的路程y(km)與小麗離家時間x(h)的函數圖象．（1）小麗騎車的速度為_______km/h，在甲地游玩了_______小時；（2）求小麗游玩一段時間后前往乙地的過程中y與x的函數關系；（3）小麗從家出發多少小時后被媽媽追上?此時距家的路程多遠．答案:（1）20；0.5；（2）y＝－20x＋40；（3）小麗從家出發1.75小時后被媽媽追上，此時距家25km．分析：（1）根據函數圖中的數據，由小麗從家到甲地的路程和時間可以求出小麗騎車的速度；再根據圖像BC段求出甲地游玩時間；（2）先求出直線AB的解析式，再根據直線AB∥CD，求出直線CD的解析式；（3）求出直線EF的解析式，聯立直線CD和直線EF的解析式，求出交點D的坐標即可．解析：解：（1）由函數圖可以得出，小麗家距離甲地的路程為10km，花費時間為0.5h，故小麗騎車的速度為：10÷0.5＝20（km/h），由BC段可得甲地游玩時間1-0.5=0.5h．（2）設直線AB的解析式為：，將點A（0，30），B（0.5，20）代入得：，∵AB∥CD，∴設直線CD的解析式為：，將點C（1，20）代入得：＝40，故＝?20x＋40；（3）設直線EF的解析式為：＝x＋，，將點E，H代入得：＝?60，＝110，∴＝?60x＋110，解方程組，解得．∴點D坐標為（1.75，5），30?5＝25（km），所以小麗出發1.75小時后被媽媽追上，此時距家25km．【點睛】本題考查了一次函數的應用，解答本題的關鍵在于讀懂題意，根據函數圖所給的信息求出合適的函數解析式并求解．22．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）動點M從A出發，以每秒1個單位的速度沿路線A→B→C→D運動到點D停止．設運動時間為a，△AMD的面積為S，S關于a的函數圖象如圖②所示，求AD、CD的長．（2）如圖③，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿路線A→D→C運動到點C停止．同時，動點Q從點C出發，以每秒5個單位的速度沿路線C→D→A運動到點A停止．設運動時間為t，當Q點運動到AD邊上時，連接CP、CQ、PQ，當△CPQ的面積為8時，求t的值．答案:（1）AD＝12，CD＝16；（2）t＝或分析：（1）根據函數圖象得到CD=16，根據S＝CD?AD＝16×AD＝96，即可求出CD；（2）根據題意得到，只有點P、Q都在AD邊上，才有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，確定t的取值范圍為≤t＜，分點P在Q上方和點P在點Q下方兩種情況分類討論并判斷是否滿足取值范圍即可求解．解析：解：（1）由函數圖象可知，點M從A出發，從點C到D耗時16秒，即CD＝16，此時S＝CD?AD＝16×AD＝96，解得：AD＝12，∴AD＝12，CD＝16；（2）由題意得，當Q運動到A停止的時間為，而點P運動到D的時間為＝6，故只能有點P、Q都在AD邊上，此時有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，設運動的時間為t，則AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而≤t＜，當點P在Q上方時，則PQ＝AD﹣AP﹣QD＝12﹣2t﹣5t+16＝28﹣7t，△CPQ的面積＝PQ×CD＝(28﹣7t)×16＝8，解得：t＝(滿足條件)；當點P在點Q下方時，PQ＝DQ﹣(AD﹣AP)＝5t﹣16﹣(12﹣2t)＝7t﹣28，△CPQ的面積＝PQ×CD＝(7t﹣28)×16＝8，解得：t＝(滿足條件)；綜上，t＝或．【點睛】本題為動點問題與函數圖象綜合題，綜合性較強．第（1）題讀懂題意和函數圖像是解題關鍵，第（2）題根據題意確定PQ位置后分類討論是解題關鍵．23．點為平面直角坐標系的原點，點、在反比例函數的圖象上，點、在反比例函數的圖象上，且．（1）若點的坐標為，點恰好為的中點，過點作軸于點，交的圖象于點．①請求出、的值；②試求的面積．（2）若軸，，與間的距離為6，試說明的值是否為某一固定值？如果是定值，試求出這個定值；若不是定值，請說明理由．答案:（1）①a=24，b=6②；（2）是定值為．分析：（1）①把代入反比例函數即可求出a，根據點為的中點，求出B點坐標，代入即可求出b；②根據k的幾何意義求出△AOP的面積，再連接BP，根據中線的性質即可求解；（2）先分析分別位于的兩個分支,分別位于的兩個分支；再利用反比例函數系數k的幾何意義，表示S△AOB和S△COD，再根據三角形的面積公式，AB與CD之間的距離為6，即求出答案．解析：（1）①把代入反比例函數，得a=6×4=24∵點為的中點，∴B（3，2）把B（3，2）代入反比例函數，得b=3×2=6②∵S△AOP=S△AON-S△NOP==9∵B點是的中點，∴BP是△AOP的中線∴的面積=×9=；（2）如圖，當在的第一象限的圖像上時，在的第一象限的圖像上時軸，，，，則點與點重合，點與點重合即與間的距離為0，分別位于的兩個分支,分別位于的兩個分支；如圖，延長AB、CD交y軸于點E、F，∵點、在反比例函數的圖象上，點、在反比例函數的圖象上，a＞b＞0，