第2課時不等式的性質

主題不等式的性質1.在解不等式x-3>2時,通過移項得x>5,其理論依據是什么?提示:不等式兩邊同加上一個數不等號方向不變.2.已知3>2,若兩邊同乘以2,不等式成立嗎?若兩邊同乘以c(c為常數),不等式成立嗎?提示:同乘以2,不等式成立.兩邊同乘以c,不等式不一定成立,當c=0時,3c=2c;當c>0時,3c>2c;當c<0時,3c<2c.3.已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N*)成立嗎?提示:成立.函數y=xn在第一象限內為增函數,又3>2,故3n>2n.4.已知3>2,,那么(n∈N*)成立嗎?提示:成立.因為函數y=為增函數,故.結論:別名性質內容注意性質1對稱性a>b?b<a可逆性質2傳遞性a>b,b>c?a>c不可逆性質3可加性a>b?a+c>b+c可逆a+b>c?a>c-b性質4可乘性a>b,c>0?ac>bcc的符號a>b,c<0?ac<bc別名性質內容注意性質5同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d同向性質6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd同向同正性質7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)同正性質8可開方性a>b>0?(n∈N,n≥2)【對點訓練】1.設a,b是非零實數,若a<b,則下列不等式成立的是 (

)

A. B.C.a2<b2 D.ab2<a2b【對點訓練】1.設a,b是非零實數,若a<b,則下列不等式成立的是 (

)

A. B.C.a2<b2 D.ab2<a2b【解析】選B.對于A.,不能判斷正負;對于B.<0,所以正確;C,D作差后也不能判斷正負.2.若a>b>0,c<d<0,則一定有 (

)【解析】選D.方法一:因為c<d<0,所以-c>-d>0,因為a>b>0,所以-ac>-bd,所以所以方法二:不妨令a=3,b=1,c=-3,d=-1,則=-1,=-1,所以A,B不正確;=-3,所以C不正確,D正確.3.已知角α,β滿足0<α<<β<π,則α-2β的取值范圍是________.

【解析】因為<β<π,所以-π<-β<-,所以-2π<-2β<-π,又因為0<α<,所以-2π<α-2β<-.答案:

3.已知角α,β滿足0<α<<β<π,則α-2β的取值范圍是________.

【解析】因為<β<π,所以-π<-β<-,所以-2π<-2β<-π,又因為0<α<,所以-2π<α-2β<-.答案:

類型一不等式性質的理解【典例1】(1)若a>b,c∈R,則下列命題中成立的是 (

)

A.ac>bc B.>1 C.ac2≥bc2 D.(2)已知a,b,c為實數,判斷以下各結論的對錯.①若a>b,則ac<bc;②若ac2>bc2,則a>b;③若a<b<0,則a2>ab>b2;④若c>a>b>0,則⑤若a>b,則a>0,b<0.【解題指南】(1)利用不等式的性質或特殊值法去判斷.(2)判斷結論的對錯,應緊扣不等式的性質,同時要注意條件和結論之間的聯系.【解析】(1)選C.A選項不正確,由于c的符號不知,當c<0時,此不等式不成立;B選項不正確,當b<0<a時,此不等式不成立;C選項是正確的,因為c2≥0,故ac2≥bc2;D選項不正確,當b<0<a時,此不等式不成立;(2)①c是正、負或為零未知,因而缺少判斷ac與bc的大小依據,故該結論錯誤;②由ac2>bc2知c≠0,所以c2>0,所以a>b,故該結論正確;③?a2>ab;又?ab>b2,所以a2>ab>b2,故該結論正確;④因為a>b>0,所以-a<-b,所以c-a<c-b,又因為c>a>b>0,所以>0,在c-a<c-b兩邊同乘,得>0,又a>b>0,所以.故該結論正確;⑤由已知條件知a>b?a-b>0,又?>0?>0,因為a-b>0,所以b-a<0,所以ab<0.又a>b,所以a>0,b<0,故該結論正確.【方法總結】利用不等式性質判斷正誤的兩種方法(1)直接法:對于說法正確的,要利用不等式的相關性質或函數的相關性質證明;對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可.(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三個原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算;三是所取的值要有代表性.【跟蹤訓練】1.若a<b<0,則下列不等式錯誤的是 (

)A. B.a3>b3C.a2>b2 D.>2【解析】選B.不妨令a=-2,b=-1,則B錯誤.2.已知a,b,x,y都是正數,且,x>y,判斷的大小關系.【解析】因為a,b,x,y都是正數,且,x>y,所以,所以故+1<+1,即0<所以【補償訓練】已知x,y∈R,且x>y>0,則 (

)A.>0 B.sinx-siny>0C.<0 D.lnx+lny>0【解析】選C.因為x>y>0,選項A,取x=1,y=則=1-2=-1<0,排除A;選項B,取x=π,y=,則sinx-siny=sinπ-sin=-1<0,排除B;選項D,取x=2,y=則lnx+lny=ln(xy)=ln1=0,排除D.類型二不等式性質的應用【典例2】(1)若1≤a≤5,-1≤b≤2,則a-b的取值范圍為________.

(2)已知下列三個不等式:①ab>0;②③bc>ad,以其中兩個作為條件,余下一個作為結論,可組成幾個正確命題?【解題指南】(1)利用不等式的性質“同向可加性”解決.(2)利用不等式的性質分別判斷①③?②、①②?③及②③?①是否成立.【解析】(1)因為-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,又1≤a≤5,所以-1≤a-b≤6.答案:[-1,6](2)(Ⅰ)對②變形得>0,由ab>0,bc>ad得②成立,即①③?②.(Ⅱ)若ab>0,>0,則bc>ad,即①②?③.(Ⅲ)若bc>ad,>0,則ab>0,即②③?①.綜上所述,可組成3個正確命題.【方法總結】1.利用性質證明不等式的注意點利用不等式的性質證明不等式,要注意應嚴格利用題中條件與性質定理、推論進行證明,不能隨便引用一些簡易結論作為論證依據,否則會造成論證不嚴謹.2.求含有字母的數(或式)的取值范圍時應注意的兩點(1)要注意題設中的條件.(2)要正確使用不等式的性質,尤其是兩個同方向的不等式可加不可減,可乘不可除.【跟蹤訓練】(1)已知-6<a<8,2<b<3,則的取值范圍是________.

(2)已知a>b>0,c>0,求證:【解題指南】(1)注意對a分0≤a<8和-6<a<0討論.(2)根據不等式的可乘性證明.【解析】(1)當0≤a<8時,由2<b<3,所以所以0≤<4;當-6<a<0時,0<-a<6,又所以0<-<3,-3<<0.綜上,得-3<<4.答案:(-3,4)(2)因為a>b>0,所以ab>0,>0,于是a×>b×,即又c>0,得即【補償訓練】1.已知-≤α<β≤,則的取值范圍是________.

【解析】因為-≤α<β≤,所以所以所以又因為α<β,所以<0,所以<0.答案:

2.已知a>b,求證ab>0.【解析】因為所以<0,所以<0,又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.【知識思維導圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞2.已知a>b,求證ab>0.【解析】因為所以<0,所以<0,又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.【解析】因為-≤α<β≤,所以所以所以3.已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N*)成立嗎?提示:成立.函數y=xn在第一象限內為增函數,又3>2,故3n>2n.結論:別名性質內容注意性質1對稱性a>b?b<a可逆性質2傳遞性a>b,b>c?a>