天津市濱海新區2024-2025學年高三數學上學期第一次月考試題一?單選題（共60分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據補集、交集的定義計算可得.【詳解】解：因為，所以，又，所以.故選：B2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】先解出兩個不等式的解集，再依據兩個解集的關系結合充分條件和必要條件的定義推斷即可【詳解】由，得或，由，得或，因為集合或是集合或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3.函數的部分圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據函數的奇偶性解除AB，再依據趨近于時的值推斷即可【詳解】因為，故為奇函數，解除AB，又當趨近于時，遠遠大于，全部函數漸漸趨近于0，解除D故選：C4.某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，.依據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】B【解析】【分析】由直方圖，依據各組樣本量等于總體容量乘以各組對應頻率，即可求結果.【詳解】由直方圖知：若200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數為，∴人.故選：B5.已知，則A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數和對數大小的比較，滲透了直觀想象和數學運算素養．實行中間變量法，利用轉化與化歸思想解題．6.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C對邊，，，△ABC的面積為，則的周長為（）A.6 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據三角形面積可得，結合余弦定理求得，繼而求得，可得答案.【詳解】因為△ABC的面積為，，故，即，由于，故，故，所以，所以的周長為，故選：C7.如圖，在平行四邊形中，E是的中點，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面對量的線性運算求得正確答案.【詳解】.故選：C8.已知正實數滿意，則的最小值為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】令，用分別乘兩邊再用均值不等式求解即可.【詳解】因為，且為正實數所以，當且僅當即時等號成立.所以.故選：B.9.已知，則角所在的區間可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令，則，又由，得，解得，舍去，則，在其次或第四象限，解除A和D，又而，當時，解除B，只有C答案滿意，故選C.點睛：本題主要考查了三角恒等式的應用，三角函數在各象限內的符號，以及解除法在選擇題中的應用，具有肯定難度；令，可將已知等式轉化為關于的一元二次方程，結合三角函數的有界性可得，即和的符號相反，可解除A和D，當時，可求出與所求沖突，解除B.10.已知函數，且，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推斷出函數的奇偶性和單調性，則可將化為，依據對數函數的單調性解不等式，可得答案.【詳解】依據題意，，則，故為偶函數；且當時，為單調增函數，故即，則，所以或，解得或，故實數的取值范圍為，故選：D11.已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種狀況，數形結合探討即可得到答案.【詳解】留意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿意題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿意題意；當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.12.已知函數．則關于說法錯誤的是()A.的圖象向右平移個單位長度后所得的函數為B.的圖象與的圖象關于y軸對稱C.的單調遞減區間為D.在上有3個零點，則實數a的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換公式化簡f(x)解析式.依據圖象平移對解析式的影響即可推斷A，依據正弦函數對稱性即可推斷B，依據正弦函數單調性即可推斷C，依據正弦函數圖象的性質可推斷D．【詳解】﹒對于選項A，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，∴選項A正確；對于選項B，∵，∴與圖象關于y軸對稱，∴選項B正確；對于C，由得，即的單調遞減區間為，∴選項C正確；對于D，如圖為的圖象，由圖可知，在上有3個零點，則，解得，∴選項D錯誤．故選：D．二?填空題（共40分）13.已知(i為虛數單位)，則___________.【答案】【解析】【分析】依據復數的除法運算化簡復數，再由復數的模的運算得答案.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：.14.在的綻開式中，各項系數和是___________；的系數是___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】利用賦值法可得各項系數和，依據二項式綻開式通項可得的系數.【詳解】令，可得各項系數和是1，由題設，綻開式通項，令，則，,∴的系數是.故答案為：1；.15.______．（用數字作答）【答案】1【解析】【分析】利用對數換底公式及性質計算作答.【詳解】.故答案為：116.已知甲、乙兩名籃球運動員投籃投中的概率分別為0.5和0.8，且甲、乙兩人投籃的結果互不影響．若甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中的概率為_____．【答案】0.9【解析】【分析】依據對立事務的概率公式即可求出．【詳解】設“甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中”，則．故答案為：0.9．17.在梯形中，與相交于點Q．若，則________；若，N為線段延長線上的動點，則的最小值為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】易得四邊形為平行四邊形，設，再將用表示，依據共線，求得，再將用表示，依據數量積的運算律即可求出；依據求得，以點為原點建立平面直角坐標系，設，再依據數量積的坐標表示即可求出答案.【詳解】解：因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以且，則可設，故，因為共線，所以，解得，所以，因為，所以，所以；因為，所以，所以，又，所以，因為，所以，如圖以點為原點建立平面直角坐標系，則，設，故，則，當時，取得最小值.故答案為：；.18.已知函數定義城為，恒有，時；若函數有4個零點，則t的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先化簡函數的解析式，再轉化為兩函數圖象的交點去推斷函數有4個零點時t的取值范圍.【詳解】設，則，則，設，則，則，則，則，函數圖象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，則僅有一根，又，，則，解之得，故答案為：.三?解答題（共50分）19.在中,分別是角的對邊，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函數之間的關系，整理求出的值，進而求出的值，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡即可；（Ⅱ）利用余弦定理表示出,利用完全平方公式變形后，求出，代入三角形面積公式即可.【詳解】（Ⅰ）由得：，又（Ⅱ）由余弦定理得：.又，，【點睛】此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，屬于中檔題.20已知，，.（1）求函數的最小正周期和單調遞減區間；（2）若將圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求的對稱軸及其對稱中心.【答案】（1），遞減區間為.（2）對稱軸為，對稱中心為.【解析】【分析】（1）利用向量數量積的坐標表示及二倍角、和角正弦公式可得，由正弦函數的性質求最小正周期、單調減區間.（2）依據圖象平移可得，依據正弦函數性質求對稱軸及其對稱中心.【小問1詳解】由題設，，∴最小正周期，令，可得，∴單調遞減區間為.【小問2詳解】，令，則，故對稱軸為.令，則，故對稱中心為.21.某課外活動小組共10位同學，利用假期參與義工活動，其中有3位同學參與一次義工活動，有3人參與兩次義工活動，剩下4位同學參與三次義工活動，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參與座談會．（1）設A為事務“選出的2人參與義工活動次數之和為4”，求事務A發生的概率；（2）設X為選出的2人參與義工活動次數之差的肯定值，求隨機變量X的分布列．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用已知條件轉化求解事務A發生的概率即可；（2）依據題意知隨機變量x的全部可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列即可.【小問1詳解】由題意得，．所以事務A發生的概率為．【小問2詳解】隨機變量X的全部可能取值為0，1，2．，，．所以隨機變量X的分布列為X012P22.已知函數在點處的切線斜率為4，且在處取得極值．（1）求函數的單調區間；（2）若函數有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）遞減區間是；遞增區間是，（2）【解析】【分析】（1）依據題意，列出方程組求得，得到，進而求得函數的單調區間；（2）由題意得到，利用導數求得函數的單調性與極值，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，函數，可得，因為函數在點處的切線斜率為4，且在處取得極值，可得，即，解得，所以，可得，令，解得或．當改變時，，的改變狀況如下：－1＋0－0＋2所以函數的單調遞減區間是；單調遞增區間是，．【小問2詳解】解：由函數，，則，函數在處取得極大值，在處取得微小值，要使得有三個零點，則滿意，即，解得，所以的取值范圍為．23.已知函數，（1）若函數在處的切線也是函數圖像的一條切線，求實數a的值；（2）若函數的圖像恒在直線的下方，求實數a的取值范圍；（3）若，且，證明：>【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求出切線的方程，然后設與相切時的切點為，然后可建立方程組求解；（2）由題可得對于恒成立，然后