第二章隨機變量及其分布

為了深入研究隨機事件及其概率，本章將引進隨機變量的概念，從而使人

們能夠進一步應用數學方法來分析和研究隨機事件的概率及其性質，更深刻地

揭示隨機現象的統計規律性.

§2.1離散型隨機變量的概率分布

2.1.1隨機變量的定義

一些隨機試驗的結果本身就是由數量來表示的.例如，擲一顆骰子，觀

察其點數，則可能的結果分別用1、2、3、4、5、6來表示；另一些隨機試驗

的結果本身與數量無關，但我們可以根據問題的需要，人為的給它們建立一個

對應關系.例如，從一批產品中隨機抽取一個產品檢驗，用0表示"抽到次

品"，用1表示"抽到合格品".這啟發我們引進一個變量，用其取值來刻畫

隨機事件，幫助我們更深入地研究隨機現象.

定義1設E是隨機試驗，。={m為E的樣本空間，X(⑼是定義在Q上

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的單值實函數，如果對任一實數X,{X(MWx}是一隨機事件，則稱X=X(o)

為隨機變量.隨機變量常用大寫字母XKZ等表示，其取值用小寫字母X、

Kz等表示.

顧名思義，隨機變量就是"其值隨機會而定”的變量，一方面，它是試驗

結果的函數，與通常的函數概念沒什么不同；另一方面，它的取值具有隨機性,

在試驗前，我們不能預知它將取何值，這要憑機會，"隨機”的意思就在這里,

究竟取何值，要到試驗做過后才能確定.

隨機變量的概念在概率論中十分重要.引入隨機變量的概念后，就可以通

過其取值來研究隨機事件，從而把對隨機事件的研究轉化為對隨機變量的研

究，為我們運用各種數學工具深入研究隨機現象奠定了基礎.

例1(1)考查射擊某一目標100次中命中的次數，某廠100臺機器在

一天中需要維修的機器數等都可以用一個隨機變量X來表示，它可能取0,

I，…，100中的彳壬一非負整數；

(2)一部電梯一年內出現故障的次數，城市某十字路口一分鐘內通過的

機動車數，單位時間內到達某公交車站等車的人數等都可以用隨機變量X來

表示，它所有可能的取值為一切非負整數；

(3)洗衣機的使用壽命X(單位：h)是一個可以在(0,+8)上取值

千里之行始于足下

帝田

K-32-

的隨機變量，｛必5000｝表示"洗衣機使用壽命超過5000h"這一事件.類似

的，測量誤差X也是一個隨機變量，它可能的取值為（-8,+8）上任意實數，

｛國＜。3｝表示"測量的誤差在（-030.3）內”.

（4）汽車司機剎車時，輪胎接觸地面的點的位置X是在［0,2萬打上取值

的隨機變量，其中，?是輪胎的半徑.

由上面可以看出,隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的

概念內。也可以說,隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象，而隨機變量則是

一種動態的觀點，就象高等數學中常量與變量的區別那樣.

隨機變量按其可能取值的特點，可以分為離散型和非離散型兩類.

若隨機變量的可能取值為有限個或無限可列個，則稱其為離散型隨機變

量，其特征是隨機變量可能取的值可以——列舉出來.在例1的（1）和（2）

中，隨機變量X為離散型隨機變量.反之，稱為非離散型隨機變量.非離散

型隨機變量中最重要的是另一類稱為連續型隨機變量，其特征是其全部可能取

值不僅是無窮多的、不可列的，而是充滿某個區間.在例1的（3）和（4）

中，隨機變量X則為連續型隨機變量.

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2.1.2離散型隨機變量的概率分布

對于隨機變量x,我們不僅要看它可能取哪些值，或取值的范圍，更重要

的是要看它以多大的概率取這些值.

定義2設離散型隨機變量X所有可能的取值為4(&=1,2,…)，X取各個

可能值的概率為

P{X=xk}=pk,k=T,2,…(2.1)

則稱(2.1)式為隨機變量X的概率函數.

概率函數具有以下性質：

(1)非負性：A>0(左=12…)；

(2)規范性：.

k=\

上述性質是檢驗一列非負數能否作為某個離散型隨機變量的概率函數的

依據.

由性質(2),概率分布(2.1)表明了全部概率1是如何在其可能值之間分配

千里之行始于足下

亭口、

P-34-

的，或者說它指出了概率1在其可能值集{如“…乙，…}上的分布情況，故

常把(2.1)稱為隨機變量X的概率分布或分布律或分布列.分布律可以用表格

的形式給出

XX2???X”…

PP\Pl一?Pn…

通常稱之為X的分布表.

2.1.3常見的離散型分布

1.兩點分布

若隨機變量x只有兩個可能的取值a和6,其概率分布為

P{X=a}=〃，P{X=Z?}=1—〃(0</?<1),

則稱X服從參數為夕的兩點分布.特別地，當a和6分別取1和0時，稱X

服從(0-1)分布.

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若隨機試驗只有兩個可能的結果，比如產品質量合格與不合格，種子發芽

與不發芽，新生兒是男是女等，我們總可以用服從(0-1)分布的隨機變量來描

述試驗的結果.

例2假設某打靶運動員命中率為0.7,X表示他射擊一次命中的次數,

求X的概率分布.

解用{X=1}表示"射擊一次命中"，{x=o}表示"射擊一次沒命中"，則

P{X=l}=0.7,P{X=O}=1-P{X=1}=1-0.7=0.3,

即X的概率分布為

X01

P0.30.7

2.二項分布

若隨機變量X的概率分布為

P{X=k}=P"(k)=C：p]…,左=0,1,…,明

其中0<〃<1,q=\-p,則稱X服從參數為〃、P的二項分布，記作

千里之行始于足下

于廣、

P-36-

x~B（〃，p）.

稱之為二項分布，是因為概率P{x=%}=c：是二項式(px+qy的展

開式中3的系數.易知，￡p{X=Z}=￡GpWT=(p+q)"=l.

k=Qk=0

設X為〃重貝努里試驗中事件/發生的次數，〃為A發生的概率，則

X?B(n,p).

當〃=1時，二項分布B(l,p)即為(0-1)分布.

例3一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一

個答案是正確的.某學生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？

解每答一道題相當于做一次貝努里試驗，則答5道題相當于做5重貝

努里試驗.設X表示靠猜測能答對的題數，則X~,

尸{能答對4道題以上}二P{XN4}=P{X=4}+P{X=5}

例4某廠需從外地購買12只集成電路.已知該型號集成電路的不合格率

為0.1，問至少需要購買幾只才能以99%的把握保證其中合格的集成電路不少

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于12只？

解設需要購買〃只，用X表示這n只集成電路中合格品只數，則

x~8(〃,Q9),按題意，要求事件"XN12”的概率不小于0.99,即

P[X>12}=fc；(0.9)*QI)"*>0.99

k=\2

可算出至少需要購買17只集成電路，才能以99%的把握保證其中合格品

不少于12只.

3.泊松分布

歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數學家泊松

(Poisson)首先提出的.以后發現，很多取非負整數的離散型隨機變量都可

以用泊松分布來描述.

如果隨機變量X的概率分布為

P{X=,k=0,1,2,...

Kl

其中幾>0為參數，則稱X服從參數為，的泊松分布，記作X~P(A).

泊松分布在實際中經常用到，比如一段時間內，電話用戶對電話交換中心

千里之行始于足下

▼38

，2-OO-

的呼叫次數，售票口買票的人數，原子放射的粒子數，織布機上斷頭的次數等

均可近似地用泊松分布來描述.

例5某出租汽車公司共有出租車400輛，設每天每輛出租車出現故障

的概率為0.02,試求一天內沒有出租車出現故障的概率.

解將觀察一輛出租車一天內是否出現故障看成一次試驗，因為每輛出租

車是否出現故障與其它出租車是否出現故障無關，于是觀察400輛出租車是

否出現故障相當于做400次貝努里試驗.設X表示每天內出現故障的出租車

數，則X~B(400,0.02),P{X=0}=C^CO^S)400^^2)0?0.000309.

這里〃值較大,直接計算比較麻煩.而在二項分布中，當〃值較大,

而P較小時，有一個很好的近似計算公式，這就是著名的泊松定理：

定理1(泊松定理)設隨機變量X,,服從二項分布8(九,幺)(〃=1,2,…)，

其中P.與〃有關,若P“滿足limnp?=2>0(2為常數),則有

n—H-OO

升

wA

limP{XH=k}=limC>*(1-A,)-*=—e-伙=0,1,2,…).(2.2)

證記一=〃p“，則P“=4,/〃,

ap：（i一PJT=-+1）r4YYI-

k\vnJvny

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因此

2k

limC>i（l-p?）^=—e-A,

攵！

定理證畢.

在實際應用中，當〃比較大，夕較小（比如”0.1）,而初適中時，可直

接利用以下近似公式

C：pYl_p)"Ta卑e-w(2.3)

Kl

千里之行始于足下

-40-

2k

關于JeT的值有表可查(見本書附表2).

kl

例5中>=400,np=400x0.02=8>0,滿足泊松定理條件，可以用2=8

的泊松分布來近似計算

P{X=0卜唱腔0.0003.

由泊松定理可知，當〃較大時，〃重貝努里試驗中小概率事件出現的次數

近似服從泊松分布.

例6為保證設備正常工作，需要配備一些維修工.若設備是否發生故障

是相互獨立的，且每臺設備發生故障的概率都是0.01(每臺設備發生故障可

由1人排除).試求：

(1)若一名維修工負責維修20臺設備，求設備發生故障而不能及時維修

的概率；

(2)若3人負責80臺設備，求設備發生故障而不能及時維修的概率.

解(1波X表示20臺設備中同時發生故障的臺數廁X~8(20,0.01),

根據泊松定理，X又可近似地看作服從泊松分布，其中參數

X==20x0.01=0.2.

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20臺設備中只配備一個維修人員，則只要有兩臺或兩臺以上設備同時發

生故障，就不能得到及時維修.故所求概率為

P{X>2}=1-P{X<2}?1-e-02-0.2e-02?0.0175.

(2)80臺設備中同時發生故障的臺數*~8(80,0.01),羽以的，可用

A=80x0.01=0.8的泊松分布來近似,于是所求瞬為

30

/>{X>4}=1-P{X<4}?1-^^—e-08?0.009.

?=ok!

與第一種安排方式相比，3人維修80臺設備，雖然比1人維修20臺設

備任務重，但工作效率卻比第一種方式高，不能及時排除故障的概率僅為

0.009.

4.幾何分布

在獨立重復試驗中，事件/發生的概率為p,設X為直到首次出現力為

止所進行的試驗次數，則X所有可能的取值為一切正整數,而事件{x=Z}

(A=l,2…，)就意味著前4-1次試驗事件A都沒有發生，第Q欠A才發生，即

X的概率分布為

P{X=k}=qk~'P(k=x,2,),其中q=l-p(0<p<l).

千里之行始于足下

亭口、

P-42-

因為qip(%=1,2,…)是一個幾何數列，因此將上述概率分布稱為幾

何分布，稱隨機變量X服從參數為P的幾何分布，記作X-G(p).

例7某射手打靶命中率為〃=0.7,現進行射擊試驗，直到命中為止，

假設每次射擊是相互獨立的，求射擊次數X的概率分布.

解X~G(0.',其概率分布為P{X=A}=(0.3)i,0.7,1=1,2,....

如果前m次試驗中/沒有出現(沒有成功)，則從，”+1次起到首次出現

事件/所進行的試驗次數仍然服從參數為夕的幾何分布，而與前面失敗的次

數m無關，這一特性稱為幾何分布的無記憶性.

5.超幾何分布

設有/V個產品,其中有例個不合格品.若從中不放回地隨機抽取〃個,

則其中含有的不合格品數X是一個隨機變量，由古典概率計算公式有

「k「n-k

,1；min（H,M）,

P{X=M~cT,k=0

記r=min(〃，M),利用組合等式￡。,；品［=禺可以證明，上述概率滿

太=0

足￡p{X=眉=1,故構成一個概率分布，稱為超幾何分布.超幾何分布含有

k=0

三個參數M、/V和77,記為X~H(M,N,n).

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從一個有限總體中進行不放回抽樣常會遇到超幾何分布.在實際問題中，

如果總體中所含個體的數目/V很大，而抽取的數目〃相對很小(如〃W0.05N)

時，通常將不放回抽樣當作放回抽樣來處理，可以用二項分布來近似計算超幾

何分布.例如一批種子發芽率為90%,現從中任取10粒，求播種后發芽粒數

X的概率分布，則X服從超幾何分布.但由于一批種子的數目很大，抽取出

10粒對整批種子的發芽率幾乎沒有影響，所以可以近似地認為X服從二項分

布8(10,09).

§2.2隨機變量的分布函數

對于任意給定的x,由隨機變量的定義知｛XKx｝是一個隨機事件,

P｛X<x｝存在且為X的函數，若能確定其具體的函數形式，則事件｛X<x｝的

概率也隨之確定.這個函數稱為隨機變量X的分布函數，它的一般定義如下：

定義3設X是一個隨機變量，對于任意實數，事件｛X<燈的概率是X

的函數，記為

尸(x)=P｛X〈x｝(2.4)

稱E(x)為隨機變量X的概率分布函數，簡稱分布函數.

分布函數/(x)的基本性質：

千里之行始于足下

S二、

44

(1)對于任意實數X,0<F(x)<l,且

F(-oo)=limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1.(2.5)

X->-o0X->-KC

關于Q.5)式,我們僅作出直觀上的解釋,不進行嚴格的證明(嚴格證明超

過本書討論的范圍),事實上，F(+oo)可視為必然事件{X<小}的概率，所以

b(4w)=limP{XWx}=P{X<a}=l.類似地，E(-8)視為不可能事件

X—>-KO

{X<-oo}的概率,故R(YO)=limP{XWX}=P{X<F}=0.

(2)尸(x)是單調不減函數，即對于任意玉，有尸(3)工尸(%2).

事實上，對于任意玉<々，事件{X4斗}包含于事件{XV%}，故

F(#=P[X<^}<網凡X2?

(3)F(x)右連續，即F(x)=F(x+0).

如果一個函數同時滿足上述三條性質,則該函數一定是某個隨機變量的分

布函數.

利用分布函數2幻，可以很方便地求出隨機變量X在某一區間上取值的

概率.比如任意給定實數a,6(a<6),有

P[a<X<b}^F(h)-F(a).(2.6)

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由分布函數尸(幻的定義，若已知離散型隨機變量X的分布列

P{X=3}=p：(/三1,2,…，

則它的分布函數

尸(X)=P{X?X}=ZP{X=XJ=ZPL(2.7)

Xj^XXj^X

例1有一批產品共40件其中有3件次品.從中隨機抽取5件以x表

示取到的次品件數，求：⑴X的概率分布及分布函數;(2)P(-l<X<2).

解(1)隨機變量X可能取到的值為0,1,2,3,按古典概率計算事件

{X=&}(k=U,1,2,3)的概率，得X的概率分布為

P[X=k}=3攵=0,1,2,3.

或寫為：

%0123

P0.66240.30110.03540.0011

當x<0時，F(x)=P{X<x}=0;

千里之行始于足下*■

當04x<l時，/(X)=ZP{X=A}=P{X=0}=0.6624；

k<x

當14x<2時，/(x)=Z2{X=%}=P{X=0}+P{X=1}

kix

=0.6624+0.3011=0.9635;

當2Mx<3時,F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.9989；

當工23時,F(x)=l.

于是得X的分布函數為

0,x<0

0.6624,<&<

F(x)=-0.9635,l<x<2

0.9989,2<x<3

1,x>3

函數F(x)是階梯形右連續函數,圖2-1

其圖像如圖2-1所小，在x=0,1,2,3處有跳躍點.

(2)P(-1<X<2)=F(2)-F(-l)=0.9989,

或P(-1<X<2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.9989.

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§2.3連續型隨機變量的分布密度

2.3.1連續型隨機變量的分布密度

連續型隨機變量可能取的值為某一區間上的所有實數，因此描述連續型隨

機變量的概率分布不能再用分布列的形式.分布函數R(x)是刻畫連續型隨機

變量概率分布的一種形式，但在理論和實踐中更常用的是所謂的“概率密度”.

先來看一個實例.

例1設一個靶子是半徑為2的圓盤，假設射擊都能中靶，并且打到靶上

任一同心圓內的概率與該圓的面積成正比.若以X表示彈著點與圓心的距離，

試求X的分布函數尸(x).

解彈著點與圓心的距離X不可能小于0,所以，若x<0，則{X4X}是不

可能事件，即當x<0時，尸3=0;

若X22,由于題目假設射擊都能中靶，所以{X4X}是必然事件，有

F(x)=P{X<x}=l；

若0Mx<2,據題意，P{X<x}=/c"x2,其中％是待定常數.

又因為當x=2時，P{X?x}=P{X<2}=h萬"=1,所以--L,

4萬

千里之行始于足下

帝田

K-48-

心)=+2?故X的分布函數為

0,x<0

x2

F(x)=<0<x<2

T

1,x>2

F(x)表示隨機變量X的取值小于等于實數、的概率.為了能看出X在任意

一點X附近取值的概率大小，我們考慮X在區間(x,x+Ar］上取值的概率的平

均值

P{x<X<x+Ax}F(%+Ax)-F(x)

ArAx

當—0時，若上式的極限存在，則尸(x)在X處可導.隨機變量X在點

X附近長度為X的區間上取值的概率P{x<X〈x+&}近似等于F\x)-X,

且F'(x)越大，X在點X附近取值的概率也就越大.記尸(x)=/(x),在本例中

X

2-

J(x)=<

他

a其

F(x)=P{*力.

J-00

可見，函數/*)可以直觀地表現隨機變量X在某點附近取值的概率分布

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特征，通常稱/(X)為隨機變量X的概率密度函數.

定義4如果對于隨機變量X的分布函數F(x),存在可積函數/(%)>0

(-8<X<+8),使對任意實數X,有

F(x)=P{X<x}=「/(x)dx,(2.8)

J—00

則稱x為連續型隨機變量，函數/(X)稱為X的概率密度函數，簡稱概率密度

或密度函數或密度.

由定義4,可得到概率密度函數/(x)的下列性質:

(1)非負性：/(x)20(-co<x<+oo)；

(2)規范性：

f2+00/(x)dx=l；(2.9)

J—00

性質(2)說明,介于密度函數曲線y=/(x)及x軸之間的區域面積為1.

(3)對于任意實數。和。3<〃)，有

P[a<X<b}=F(b)-F(a)=J",/(x)dx；

千里之行始于足下

亭口、

P-50-

性質(3)將連續型隨機變量X在區間(“如上取值的概率轉化成了密度函

數在區間3勿上的定積分，從而可以利用微積分知識求解概率計算問題.從圖

形上看，該事件的概率等于密度函數曲線y=/a)與橫軸之間從。到〃的曲邊

梯形的面積(圖2-2).

(4)在f(x)的連續點處,F'(x)=f(x).

對于連續型隨機變量X,還要指出兩點：

(1)尸(x)是連續函數①；

(2)P{X=a}=0(a為任意實數).

證(2)取Ax>0,因為

O〈P{X=a}〈P{a—Ar<X〈a}

=F(tz)-F(tz-Ax)

又F(x)是連續函數,所以㈣F(a…)=/⑷，故,圖

因此，對于蓬翹隨機轉X,有

:不同的密度函數可以有相同的分布函數。即使分布函數為連續函數，相應的隨機變量也可以是非連續

型的.

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P[a<X<b]^P{a<X<b}^P{a<X<b}^P[a<X<b}

=1/0)必.(2.1

Ja

0)

例2設隨機變量X的概率密度函數為/(力=]竄1°就2，試求：

(1)常數。；(2)分布函數E(x);(3)pj1<X<2j.

解(1)由「'"(x)dx=l得(分+l)dx=2a+2=],故。=――；

(2)尸(x)=「(_《x+l)dx,

J-002

當x<0時,F(x)=0；

2

當0<x<2時，F(x)=['/Q)dt=「(-q+l)df=—1+x；

J-8Jo24

當％22時,F(x)=L

0x<0

2

即X的分布函數為F(x)=<~—+x0<x<2;

4

1x>2

千里之行始于足下■?:

(3)^<X<2}=^2(-1X+1)CU=^,

11o

或P{-<X<2}=F(2)-F(-)=-.

22lo

2.3.2常見的連續型分布

1.均勻分布

均勻分布是連續型分布中最簡單的一種，它用來描述一個隨機變量在某一

區間上取每一個值的可能性均等的分布規律.

如果隨機變量X的密度函數為

AM

1,

、----，a<x<b

1

0,其它

b-a

則稱X服從團,加上的均勻分布，記作

X~U[a,h].

圖2-3

均勻分布的密度函數圖像見圖2-3.均勻分布的分布函數為

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0,x<a

x-a

F(x)=<,a<x<b

b-a

1,b<x

對于任意(c,d)u[a,b](c<d)，有

p\c<X<j}=F(d)—F(c)-------

b-a

這說明服從均勻分布的隨機變量X落在&切上任何一個子區間中的概率與該

區間的長度成正比，而與該區間的位置無關.這就是〃均勻〃的含義.

例3某公共汽車站從上午7:00開始，每隔15min有來一輛車，如某

乘客在7:00-7:30之間隨機到此站，試求他等車少于5min的概率.

解設乘客于7:00過Ahnin到達汽車站，則%在［0,30］上服從均勻

分布，其密度函數為

—,0Wx<30

/(x)=<30

0,其它

顯然，只有乘客在7:10-7:15之間或7:25-7:30之間到達汽車站時，

乘客候車時間才不少于5min,即所求概率為

千里之行始于足下_4

54

P{10<X<151+P{25<X<301=f"—dx+f'"—dx=-.

?,IJ九30"5303

均勻分布在實際中經常用到，比如一個半徑為，的汽車輪胎，當司機剎車

時，輪胎接觸地面的點與地面摩擦會有一定的磨損.輪胎的圓周長為2萬廠，則

剎車時與地面接觸的點的位置X應服從［0,24］上的均勻分布，即

X~U［O,2］力，即在［0,2仃］上任一等長的小區間上發生磨損的可能性是相同

的，這只要看一看報廢輪胎的整個圓周上磨損的程度幾乎是相同的就可以明白

均勻分布的含義了.

2.指數分布

如果隨機變量X的密度函數為

，/、(在一優x>0

f(x)=〈

［O,x<0

其中2>0為參數，則稱X服從參數為A的指數分布，記作X~￡(2).

指數分布通常用來描述某一事件發生的等待時間.比如某種熱水器首次

發生故障的時間，燈泡的使用壽命(等待用壞的時間)，電話交換臺收到兩次

呼叫之間的時間間隔等.在離散型分布中，我們知道幾何分布用來描述獨立重

復試驗中，直到某事件/發生為止共進行的試驗次數.如果將每次試驗視為經

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歷一個單位時間，那么直到/發生為止進行的試驗次數可視為直到/發生為

止的等待時間.在這個意義上，指數分布可看

作離散情形的幾何分布在連續情形中的推廣.

由F(x)=「/(x)dx,可求得指數分布

J—00

的分布函數為：/(幻=[~"'"2°

0,x<0

指數分布的密度函數圖像見圖2-4.

例4假設某電子管的使用壽命總單位:小時)服從指數分布￡(0.0002),

求電子管的使用壽命超過3000小時的概率是多少?

千里之行始于足下

亭口、

P-56-

解X的密度函數為：

0.0002e°°*2x>

〃x)=

0,x<0

P(X>3000}=「'0.0002e-00(x)2vdr=e^-6?0.5488.

J3000

3.正態分布

一個連續型隨機變量X,如果其密度函數為

1

/(%)=.———e2ct(-oo<x<+oo),

其中小b為常數，且b>0,則稱X服從參數為〃和人的正態分布，記作

X~N(〃，o-2).

容易驗證正態分布密度函數/(%)滿足f+//(x)dx=1.

J—00

er-1一

+00[—-----------~----*-I--------------

,—e2。-dxo,——e'df

-8J2萬cr

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正態分布密度函數f(x)的圖形見圖2-5,它具有下列特性：

(1)/(x)具有鐘形的圖像，密度曲線關于x="對稱.這表明對于任意的

h>0,正態隨機變量X在關于X=〃對稱的區間與[〃,〃+h]上取值的

概率相等，^P[h-h<X<^=P[M<X<n+h].

(2)當x=〃時，函數/(幻達到最大值/(〃)=」-.并且x離〃越遠，

/(X)的值就越小.這表明對于同樣長度的區間，區間離〃越遠,X落在該區

間上的概率就越小(見圖2-6).

(3)在x=〃±b處曲線有拐點.曲線以x軸為水平漸近線.

(4)若固定a,改變〃值，則/*)的圖形沿'軸平行移動，但不改變其形

狀，如圖2-7.由此可見，正態密度曲線f(x)的位置完全由參數〃來確定.若

千里之行始于足下

圖2-7圖2-8

1

固定〃,改變值。，由于最大值為/（〃），所以越小，圖形就變得越

陡峭，而X落在M附近的概率就越大；b越大，圖形就變得越扁平（見圖2-8）.

正態分布的“鐘形"特征與實際中很多隨機變量"中間大兩頭小"的分布

規律很吻合.比如考察一群同齡人的身高，身高x（單位：m）作為一個隨機變

量，分布的顯著特點是在平均身高附近的人較多，而特別高或特別矮的人較少.

一個班學生在一次考試中的成績以及測量誤差值等均有類似的特征.正態分

布是概率論中最重要、應用最為廣泛的一類分布.德國數學家、天文學家高斯

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(KarlFrederickGauss,1777-1855)在研究誤差理論時曾用它來刻畫誤差

的分布，所以很多著作中又稱正態分布為高斯(Gauss)分布.

(〃,g)是曲線的拐點，也是曲線的對稱中心.

特別地，當〃=0,1的正態分布稱為標準正態分布，記作N(O,1).

標準正態分布的概率密度函數為圖2-9

(p(ix)=-j=e2(-oo<x<+oo),

分布函數為

1r4

①(x)二一e~dt(―8<x<+oo).

以J-

事件｛X4X｝的概率對應著圖2-10中陰影部分的面積.

千里之行始于足下

-60-

標準正態分布密度函數0（X）的曲線關于.V軸對稱，其分布函數圖像是關

于點（0一）中心對稱的5型曲線，利用標準正態密度函數的對稱性可以證明，

2

對于任意實數無，有①（-11=6中x如圖2-11所示本書附表3列出了MO

時的①（x），當x<0時，可利用等式①（-*）=1-①（龍）計算.

圖2-11

XW0.73}和*IX|<1.96}.

解查附表3可得P{XW0.73}=0(0.73)=0.7673.

P{|X|<1.96}=P{-1.96<X<1.96)=0(1.96)-0(-1.96)

=0(1.96)-[1-0(1.96)]=20(1.96)-1=2x0.975-1=0.95.

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由例5可知，若X~N（O,1）,則刊*卜。）=?（園區4）=2<!）3）-1,這是

正態分布中常用的計算公式。

對于服從一般正態分布N（〃，b?）的隨機變量x，可以通過線性變換

。=曰轉化為標準正態分布，再利用中（〃）的值求相應的概率.這是因為

<7

2

I（/一〃）2—t41X-flU

FM=「=-4=「eFdr令"一，4f至廣山，

J-8萬J-8<2兀Je

T平），（2.11）

故有

P{a<X4力}=/3)—/(a)=①—(2.12)

稱。=曰為X的標準化變換，任意一個正態隨機變量經過標準化變換

后得到的隨機變量都服從標準正態分布.

例6設隨機變量X~N(8,0.52),求尸{8.5<X<9.5}.

P{8X<9}冬F(9-.5^

解

=0(3>G(H0.9-9870~8413(

千里之行始于足下

-62-

例7設X~N(〃，b?)，求尸{|X—“<b}.

解p{|X-//|<o-}=P{//-o-<X</z+o-}=O(/Z+fT-/Z)-O(//-a-/Z)

O'(J

=0)(1)—①(—1)=2①(1)—1=2x0.84131=0.682.

類似地可求得：P{|X—“<2cr}=0.9544；尸{|x—〃<3b}=0.9974,如

圖2-12所示.

可見正態隨機變量X的取值位于參數〃附近的密集程度可用參數(7為單位

1------------------99.7%--------------------?

來度量，而且X的取值幾乎全部落在區間(〃-3b,〃+3b)之內，所以有時稱

3b為極限誤差.如果X隨機地I圖2”2F在(〃—3b,〃+3。)內，那么

就有理由懷疑X~N(〃,4)是否為真.在檢驗產品的質量或判斷異常的觀測數

據時，這是一個應用十分廣泛的準則，稱為3。原則.

例8公共汽車車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機會在1%以下

來設計的.設男子身高X服從〃=1704“我=&切的正態分布，即

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X~N(170,62),問車門高度應如何確定？

解設車門高度為力(。〃)，按設計要求RXN〃}W0.01或

P{X</?}>0.99,

因為X~N(170,62),故

…八n/XT70A-170,J/L170)、八必

P(X</?}=P(-------<------}=①------>0.99,

66v6J

查附表3可得①(2.3衿0.9901,

故取號”=2.33,即力=184.設計車門高度為184(c〃。時，可使成年男子與

6

車門頂碰頭的機會在1%以下.

§2.4隨機變量函數的分布

在許多實際問題中，我們除了對某一隨機變量的概率分布進行研究以外，

往往還要研究某些與該隨機變量有函數關系的變量.設%是一個隨機變量，

g(x)為連續實函數，則y=g(x)稱為一維隨機變量的函數，可以證明P也是

一個隨機變量.由于g(x)本身是一個確定性的函數，即x與匕之間的關系是

確定性的，這就意味著當x取定某一數值時，%的取值將由函數關系g(x)唯

一確定.正因為此，％的隨機性完全由x的隨機性所決定，進而，%的概率分

千里之行始于足下

S二、

-64-

布原則上由X的分布所確定.在這一節中我們將討論當X的分布已知時，確定

隨機變量r=g（x）的概率分布的方法.

2.4.1離散型隨機