同步練習24棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積必備學問基礎練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．若一個正方體的體對角線長為a，則這個正方體的全面積為()A．2a2B．2eq\r(2)a2C．2eq\r(3)a2D．3eq\r(2)a22．正四棱錐的底面邊長和高都等于2，則該四棱錐的體積為()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(8,3)D．83．[2024·陜西渭南高一期末]棱長都是1的三棱錐的表面積為()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)4．若正三棱錐的底面邊長等于a，三條側棱兩兩垂直，則它的側面積為()A．eq\f(3,4)a2B．eq\f(\r(3),4)a2C．eq\f(3,2)a2D．3a25．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，四棱錐S-ABCD的體積占正方體體積的()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．不確定6．[2024·安徽池州高一期中]將一個長方體沿從同一個頂點動身的三條棱截去一個棱錐，棱錐的體積與剩下的幾何體的體積之比為()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶57．[2024·河南開封高一期中]已知斜三棱柱的一個側面的面積為10，該側面與其相對側棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為()A．30B．15C．10D．608．(多選)[2024·湖北鄂州高一期末]用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為1∶2，則關于上、下兩部分空間圖形的說法正確的是()A．側面積之比為1∶2B．側面積之比為1∶8C．體積之比為1∶27D．體積之比為1∶269．(多選)[2024·河南開封高一期中]已知正四棱臺上、下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，則()A．正四棱臺的高為2B．正四棱臺的斜高為eq\r(3)C．正四棱臺的表面積為20＋12eq\r(3)D．正四棱臺的體積為eq\f(28\r(2),3)二、填空題(每小題5分，共15分)10．長方體的表面積是24，它過同一個頂點的三條棱長之和為6，則它的體對角線長是________．11．[2024·河北石家莊高一期末]已知正三棱錐O-ABC的底面邊長為4，高為2，則此三棱錐的體積為________．12．[2024·山東聊城一中高一期中]一個四棱錐的體積為4，其底面是邊長為2的正方形，側棱長都相等，則該四棱錐的側面積為________．三、解答題(共20分)13．(10分)用長為6cm，寬為3cm的矩形作成一個正三棱柱的側面，求此正三棱柱的體積．14．(10分)如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，上底面邊長為1，下底面邊長為3，側棱長為2.(1)求此正四棱臺的側面積；(2)求此正四棱臺的體積．關鍵實力提升練15．(5分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(3,2)16.(5分)[2024·廣東東莞高一期末]若四面體各棱的長是2或4，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能為________(只需寫出一個可能的值).17．(10分)[2024·山東泰安高一期中]現須要設計一個倉庫，由上下兩部分組成，如圖所示，上部分的形態是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分的形態是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積(含上下兩部分)是多少？(2)若上部分正四棱錐的側棱長為6m，當PO1為多少時，下部分的正四棱柱側面積最大，最大面積是多少？同步練習24棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積必備學問基礎練1．答案：A解析：設正方體的棱長為x，則eq\r(3)x＝a，即x2＝eq\f(1,3)a2，所以正方體的全面積為6x2＝6×eq\f(1,3)a2＝2a2.故選A.2．答案：C解析：∵正四棱錐的底面邊長和高都等于2，∴該四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).故選C.3．答案：A解析：因為四個面是全等的正三角形，S底面積＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，則表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).故選A.4．答案：A解析：因為正三棱錐的底面邊長等于a，三條側棱兩兩垂直，所以三棱錐的側棱長為eq\f(\r(2),2)a，則它的側面積為3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(3,4)a2.故選A.5．答案：B解析：令正方體棱長為a，則V正方體＝a3，VSABCD＝eq\f(1,3)×a×a2＝eq\f(1,3)a3，∴V四棱錐SABCD＝eq\f(1,3)V正方體．故選B.6．答案：D解析：設長方體同一頂點引出的三條棱長分別是a、b、c，則截去的棱錐的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×abc＝eq\f(1,6)abc，原長方體的體積V＝abc，剩下的幾何體的體積為V2＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc，∴V1∶V2＝1∶5.故選D.7．答案：B解析：如圖，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，以斜三棱柱的一個側面為四棱柱的底面，面積為S＝10，高h＝PH＝3，四棱柱的體積V＝10×3＝30，則此斜三棱柱的體積為eq\f(1,2)V＝15.故選B.8．答案：BD解析：依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為1∶3，高之比為1∶3，所以小棱錐與原棱錐的側面積之比為1∶9，體積之比為1∶27，即小棱錐與棱臺的側面積之比為1∶8，體積之比為1∶26.故選BD.9．答案：BCD解析：對于A，∵正四棱臺上下底面對角線長為2eq\r(2)，4eq\r(2)，∴正四棱臺的高h＝eq\r(22－（\f(4\r(2)－2\r(2),2)）2)＝eq\r(2)，A錯誤；對于B，正四棱臺的斜高h′＝eq\r(22－（\f(4－2,2)）2)＝eq\r(3)，B正確；對于C，∵正四棱臺側面積為4×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝12eq\r(3)，上下底面面積分別為4，16，∴正四棱臺的表面積S＝4＋16＋12eq\r(3)＝20＋12eq\r(3)，C正確；對于D，正四棱臺的體積V＝eq\f(1,3)(4＋eq\r(4×16)＋16)×eq\r(2)＝eq\f(28\r(2),3)，D正確．故選BCD.10．答案：2eq\r(3)解析：設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（ab＋bc＋ac）＝24,a＋b＋c＝6))，可得a2＋b2＋c2＝12，所以長方體的體對角線長為eq\r(a2＋b2＋c2)＝2eq\r(3).11．答案：eq\f(8\r(3),3)解析：如圖，過O點作底面△ABC的投影O′，連接OO′，取BC的中點D，連接AD，在正三棱錐OABC中，底面△ABC為正三角形，邊長為4，所以AD＝2eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)×AD×BC＝4eq\r(3)，而OO′為該正三棱錐OABC的高，長為2，所以VOABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×OO′＝eq\f(8\r(3),3).12．答案：4eq\r(10)解析：設側棱長為a，該四棱錐的高為h，由題意可得底面正方形的對角線為eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝\r(a2－2),V＝\f(1,3)×2×2×h＝4))，解得a＝eq\r(11)，即該四棱錐的側面積為S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(11－1)＝4eq\r(10).13．解析：若用矩形的長折成正三棱柱的底面三角形，則正三棱柱的底面是邊長為2cm的正三角形，高為3cm，此時該棱柱體積為eq\f(\r(3),4)×22×3＝3eq\r(3)(cm3)；若用矩形的寬折成正三棱柱的底面三角形，則正三棱柱的底面是邊長為1cm的正三角形，高為6cm，此時該棱柱體積為eq\f(\r(3),4)×12×6＝eq\f(3\r(3),2)(cm3).14．解析：(1)因為正四棱臺的上底面是邊長為1的正方形，下底面是邊長為3的正方形，側棱長為2，側面是全等的等腰梯形，所以側面的高為eq\r(4－（\f(3－1,2)）2)＝eq\r(3)，所以此正四棱臺的側面積為4×eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\r(3)＝8eq\r(3).(2)四棱臺的高h＝eq\r(22－（\r(2)）2)＝eq\r(2)，所以此正四棱臺的體積為eq\f(1,3)×(1＋9＋3)×eq\r(2)＝eq\f(13\r(2),3).關鍵實力提升練15．答案：A解析：如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為點G，H，連接DG，CH，簡單求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點O，連接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，則S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，所以，多面體的體積V＝VEADG＋VFBCH＋VAGDBHC＝2VEADG＋VAGDBHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故選A.16．答案：3eq\r(15)＋eq\r(3)或2eq\r(15)＋8eq\r(3)或4eq\r(15)解析：由四面體各棱的長是2或4，且該四面體不是正四面體，如圖，①四面體各棱中有一條為2，另五條為4，不妨取三條側棱長均為4，底面邊長BC＝BD＝4，CD＝2，則其表面積為2×eq\f(\r(3),4)×42＋2×eq\f(1,2)×2×eq\r(42－12)＝8eq\r(3)＋2eq\r(15)，②四面體各棱中有兩條為2，四條為4，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為2的必為對棱，不妨設AB＝CD＝2，AC＝BC＝BD＝AD＝4，則四個面全等，所以其表面積為4×eq\f(1,2)×2×eq\r(42－12)＝4eq\r(15)，③四面體各棱中有三條為2，三條為4，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知邊長為2的必在同一個面內，不妨設AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝BD＝2，所以其表面積為3×eq\f(1,2)×2×eq\r(42－12)＋eq\f(\r(3),4)×22＝3eq\r(15)＋eq\r(3).17．解析：(1)∵PO1＝2m，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，∴O1O＝8m.所以倉庫的容積V＝eq\f(1,3)×62×2＋62×8＝312m3.(2)若正四棱錐的側棱長為6m，設PO1＝xm，則O1O＝4xm，A1O1＝eq